I
2
Содежание
Глава I. Высшая группа Гейзенберга
1.1 Координаты I и II рода.
1.2 АвТОМОрфИЗМЫ ГРУППЫ #2«+1
1.3 Равномерные решетки на Щп+\
Глава II. Метрики Карно-Каратеодори
2.1 Контактные структуры на Н‘2п+\
2.2 Левоинвариантные метрики на (#2п+ъ^)
2.3 Кратчайшие в пространствах (#2л+ь^')
2.4 Решение вариационной задачи
2.5 Свойства метрик К-К на Н^п+х
2.6 Кривая Г£ и её свойства.
Глава III. Мера Хаусдорфа на (#2«+\,р)
3.1 Левоинвариантные меры на #2п+ь ;•
3.2 Мультипликативная константа рп геометрии К-К.
Глава IV. Систолы на #2п+1
4.1 Систолы равномерных решеток и нильмногообразий на #2г»+1-
4.2 Систолы на #з (доказательство теоремы).
4.3 Исследование функции (т(х),х 6 И на Я3.
4.4 Систолы на #2^+1, гс > 1 (доказательство теоремы).
Введение
I
Одним из новых направлений в современной геометрии является изучение метрических пространств с внутренней метрикой. Начало этих исследовании 'было положено А.Д. Александровым. Познее изложение этих идей можно найти в обзоре [1]. Кроме того, этому, направлению посвящены следующие работы: [2], [3], [7], [11], [12], [18], [19], [20]. В этих работах был предложен новый подход к изучению геометрии пространств и многообразий, в котором требования дифференцируемости и гладкости заменяются условиями касающимися внутренней геометрии рассматриваемых
I
пространств. К метрическим пространствам с внутренней метрикой относятся римановьг многообразия, финслеровы пространства, а также пространства с метриками Карно-Каратеодори. Среди последних особый интерес представляют нильмногообразия с метриками Карно-Каратеодори (К-К). Геометрия К-К находит применение во многих задачах механики, вариационных задачах, в вопросах оптимального управления. Интересной характеристикой геометрии К-К является систолическая константа. Фактически эта константа появилась для римановых поверхностей в работах Лёвнера и П. Пу [31] в начале 50-х годов. Двадцать лет спустя, М. Верже формализова! и распропагандировал идеи Лёвнера и П. Пу дав общее определение систолических констант для римановых многообразий произвольной размерности. Изложение этих идей и большое количество ссылок можно найти в обзоре [26].
Определение 1. 1-систолой sys(М’\у) (компактного) риманого многообразия (Мп,д) называется длина кратчайшей негомотопной нулю замкнутой геодезической.
Тогда систолическая константа о определяется следующим образом:
о{ма) - ы ,vol;("’ii., id
g (sys(Mn,g))n
Это определение легко обобщается на пространство с внутренними метриками.
Пусть (X, à) компактное метрическое пространство в котором задана некоторая непрерывная кривая 7(t) : [0,1] —> X. Тогда определена длина кривой 7: 1
т—1
Цу) = sup ^2d(.Xi,xi+1),
где ... , хт— произвольная последовательность точек кривой 7, занумерованных в порядке их расположения на кривой, а верхняя грань берется по всем таким последовательностям.
Метрика d называется внутренней, если для любых точек х,у G А, выполняется равенство:
d(x,y) = inf Zrf('y),
где нижняя грань берется по всем кривым 7, соединяющим х и у. Кратчайшей соединяющей х и у называется кривая, длина которой равна d(x.y).
1
4
Если п размерность по Хаусдорфу пространства X [24], то на X определена п мерная мера Хаусдорфа 71% порожденная метрикой д. Пусть Г) = В(п) — класс внутренних метрик хаусдорфовой размерности п, и конечной п мерной меры Хаусдорфа. Определим систолическую константу су следующим образом:
где sys(X, d) есть, по определению, минимальная длина негомотопной нулю замкнутой петли на X.
В случае римановых многообразий, определение (2) совпадает с определением (1). На сегодняшний день, точно решенных систолических задач имеется только три.
Теорема. (Лсвнер, 1949, не опубликованная) Пусть Т — тор с римано-вой метрикой д. Тогда :
vol(T2,<?) VZ (sys(T' 2 ’
причем равенство достигается тогда и только тЬгда, когда (Т2,#) — плоский экваториальный тор, то есть Т2 = R2/G, где G — гексогоналъ-ная решетка в R2. #
Теорема. (Р.Рп [31]) Пусть на RP2 задана риманова метрика д. Тогда:
vol(RP2, g) ^ 2 (sys(RP2,^))2 ^ л’
причем, равенство достигается тогда и только тогда, когда g — метрика постоянной кривизны.
Доказательство этих теорем можно найти в [7].
Теорема. (С.Bavard [25]) Пусть К2 — бутылка Клейна с рпмановой метрикой д. Тогда :
vol(K2, g) 2 у/2
(sys(K2,<?))2 тг
Таким образом,
<r(RP2) = i, а( Т2) = ^, «7(К2)=^.
7Г Z 7Г
На этом точные результаты заканчиваются. Хорошая оценка снизу для <r(S£), где SI — сфера с к ручками, получена М.Громовым [29]. Ему же принадлежит более общий результат, позволяющий выделить многообразия с положительной систолической константой [28].
Пусть (Л/,(?) — замкнутое m-мерное многообразие с римановой метрикой д и ненулевой фундаментальной группой. Рассмотрим отображение
F:M —>K(7Ti(M),l),
индуцирующее изоморфизм фундаментальных групп. Пусть F* — индуцированное отображение m-мерных гомологий,
F, ■■ Нт(м, к) -> Нт(К(7п(М),1)^), где к = Z, если А/ ориентируемо, и к = Z2, если М неориентируемо.
Определение 2. (М.Громов) Многообразие М называется существенным, если F,([A/]) ф 0. где [М] — фундаментальный класс М.
■ Примерами существенных многообразий являются Т2, RP2, К2, S£, RP2_i (проективная плоскость с п - 1 пленками Мебиуса) , RPn, Тп, замкнутые многообразия, допускающие метрику неположительной кривизны 1
Теорема. (М.Громов [28]) Вели М — существенное многообразие, то а(М) > 0.
В случае, когда А/ ориентируемо, верно и обратное утверждение [6].
К результатам общего характера также относится работа И. Бабенко [6]:
Теорема. (И.Бабенко) Систолические константы а(М) являются гомотопическими инвариантами многообразия М.
В геометрической теории чисел и теории упаковок хорошо известны константы Эрмита решеток в R'*.
п
Пусть д(х) — ^2 9ijx'xJ положительно определенная квадратичная фор-
»,j=1
ма над R, ar = (si,... ,хп). Тогда: *
т(д) := inf д(х) = min д(х)
W zGZn, ' zgz**, '
*#) ' хфО
’последний пример следует из теореми А дамара-Картала, поскольку в этом случае многообразие имеет гомотопический тип К(тг, 1)
I
Константой Эрмита 7„ называется следующая величина:
т(д) т(д)
= sup--------—- = max-----
я (detд)п я (det#)*
Эту задачу можно сформулировать следующим образом. Рассмотрим в R” всевозможные целочисленные решетки G — (/l,... ,/„), с п образующими, а также римановы метрики gij. Расстоянием между элементами
п
решетки естественно считать величину p(g,h) = ( ^2 0ц9г^У^2•> положим:
ij=1
fn(G) = inf p(g,h).
g.heG
. яфЬ
Тогда:
(7n)^(G)=infdet(/»—’/n)-
9ij m[Lr j
Вычисление констант Эрмита является сложной задачей. На сегодняшний день известны константы Эрмита только до размерности п = 8, для п > 8 вопрос их поиска остается открытым. В настоящее время известны хорошие асимптотики этих констант [30].
Возникнув первоначально в алгебраической теории чисел как аналитическая величина, константы Эрмита имеют прямую интерпретацию в систолической геометрии. Рассмотрим класс плоских метрик на п мерном торе Т” = Н/7<2, (где С— некоторая равномерная решетка в Кп) постоянного объема. Тогда тп(С?) = $у8(Т7'), а 7П(£) = (сг(Тп))2.
Константы, аналогичные константам Эрмита в БЛ естественно возникают в любой геометрии постоянной кривизны, а также в однородных геометриях на некомпактных группах Ли с равномерными решетками. В этой работе рассматриваются систолические констйнты (или константы Эрмита) однородной геометрии К-К на группах Гейзенберга.
Пусть Л'2п+1 = #2п-н/^ нильмногообразие [17], где #2л+1— группа, порожденная матрицами вида:
Н‘2п+г = <
которая называется (высшей) группой Гейзенберга размерности 2п 4-1 и является связной, односвязной нильпотентной группой Ли, а С — равномерная дискретная подгруппа (решетка) в Нъп+\. Каждая решетка в Щп+х
/1 ах ... ап >
0 1 ... 0 bi , ai.bj,c Є R, і = 1, • • • ,n
0 0 ... 1 К
\0 0 ... 0 IJ , d
і
- Київ+380960830922