Примарные разложения узлов в утолщенных поверхностях и виртуальные узлы

г
Оглавление
Введение 3
0.1 Предварительные сведения и обзор литературы........... 3
0.1.1 Связь темы диссертации с известными результатами 5
0.2 Структура и краткое содержание настоящей работы .... 8
1 Узлы в утолщенных поверхностях 14
1.1 Редукции узлов В Р X /................................ 14
1.1.1 Четыре типа редукций............................ 15
1.1.2 Мотивирующие примеры............................ 10
1.2 Элементы теории корней .................................. 20
1.2.1 Понятие корня................................... 21
1.2.2 Теорема о существовании и единственности корня . 22
1.2.3 Граф Г для узлов в утолщенных поверхностях ... 24
1.3 Доказатсльство свойства (РС) ............................ 24
1.3.1 Функция сложности............................... 24
1.3.2 Вспомогательные утверждения..................... 26
1.3.3 у — функция сложности........................... 33
1.3.4 Последовательность пар, согласованная с последовательностью редукций.................................. 36
1.4 Доказательство свойства (МР).......................... 38
1.4.1 Доказательство свойства (МР1)................... 39
1.4.2 Доказательство свойства (МР2)................... 42
2 Виртуальные узлы 56
2.1 Введение в теорию виртуальных узлов................... 56
2.1.1 Виртуальные диаграммы и узлы................... 56
1
Оглавление
2
2.1/2 Виртуальные узлы как узлы в утолщенных поверхностях 58
2.2 Единственность примариых разложений виртуальных узлов 59
2.2.1 Связное суммирование виртуальных узлов 59
2.2.2 Примарные разложения виртуальных узлов 66
Введение
0.1 Предварительные сведения и обзор литературы
Напомним, что п-мсрпьш многообразием называется хаусдорфово топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, го-мооморфиую 71-мерному шару или п-мерному полушару. Множество точек 7t-Mcpiioro многообразия А/, не имеющих окрестности, гомсоморфиоП п-мериому шару, называется краем и обозначается через дМ. В настоящей работе рассматриваются трехмерные многообразия, являющиеся прямыми произведениями замкнутых ориентируемых поверхностей на отрезок. Такие многообразия называются утолщенными поверхностями и являются самыми простыми трехмерными многообразиями после сферы SК Узлом в многообразии А/ называется простая замкнутая кривая К во внутренности Int А/.
Пусть К С F х I и К' с F' х 1 — два узла в утолщенных поверхностях. Они называются эквивалентными, если существует такой гомеоморфизм пар h: (F х I,K) -» (F* х FKf), что h(F х {()}) = F' х {()}. Напомним, что гомеомор([)нзмом пар /?.: (MtN) {М\ N') называется такой гомеоморфизм /г. А/ А/', что h(N) = N'.
На множестве всех узлов в утолщенных поверхностях вводятся 4 типа преобразований, так называемых редукций. Каждая их этих редукций либо упрощает узел, либо разбивает его на два более простых. Набор конкретных редукций определен в разделе 1.1. Как правило, интерес представляют редукции, процесс применения которых к произвольному узлу в утолщенной поверхности конечен, а результат однозначно определяется исходным узлом. Несколько примеров редукций, пс обладающих
Введение
4
этим свойством, приведено в разделе 1.1.2.
Одной из редукций узлов в утолщенных поверхностях служит операция дестабилизации. Такая редукция рассматривалась в работах [2. 5. 7, 14. 15]. Опишем дестабилизацию узла К С В х 1. Вертикальным кольцом в многообразии Вх! будем называть собственное кольцо, изотопное кольцу вида с х Ї, где сс Р - простая замкнутая кривая на поверхности Г. Выберем в многообразии В х I такое несжимаемое вертикальное кольцо А, что А П К = 0. Операция дестабилизации состоит в разрезании многообразия ^ х / по кольцу А и заклеивании двух копий этого кольца ручками индекса 2. Если в результате дестабилизации получается утолщенная поверхность, не содержащая никакого узла, то мы помещаем в пес тривиальный узел. Если в результате дестабилизации один из получившихся узлов является тривиальным узлом із утолщенной сфере, то он отбрасывается. Два узла называются стабильно эквивалентными, если от одного к другому можно перейти с помощью последовательности дестабилизаций и обратных к ним преобразований, которые называются стабилизациями (подробнее см. [7]). В работе |7| было доказано, что процесс применения к произвольному узлу в утолщенной поверхности дестабилизаций вдоль неразбнвающих колец всегда конечен, п результат однозначно определен, то есть зависит только от исходного узла и не зависит от конкретной последовательности дестабилизаций.
Теорема 0.1 (Теорема 1 из |7]). Каждый класс стабильно эквивалентные узлов в утолщенных поверхностях содерэюит единственного представителя, не допускати {его дестабилизаций.
Еще одной редукцией узлов в утолщенных поверхностях является кольцевая редукция, которая рассматривалась в работе [16]. Пусть К С В х I — узел. А с В х I — разбивающее вертикальное кольцо, пересекающее узел К в двух точках. Кольцевая редукция состоит в разрезании многообразия В х / по кольцу А п заклеивании двух получившихся копий этого кольца ручками индекса 2 с тривиальными дугами в них. Операция, обратная кольцевой редукции, называется кольцевой связной суммой узлов в утолщенных поверхностях (подробнее см. 116]). Узел, отличный от тривиального узла в утолщенной сфере £2 х /, называется примарним, если его нельзя представить в виде связной суммы двух
Введение
узлов, каждый из которых отличен от тривиального узла » утолщенной сфере.
В работе |10] было доказано, что процесс применения кольцевых редукций к произвольному узлу в утолщенной поверхности конечен. Однако, результат применения таких редукций в общем случае определен неоднозначно. Узел К С Г х 1 называется гомологически тривиальным, если он определяет тривиальный элемент в первой группе гомологий
/Л(^х/;г2).
Теорема 0.2 (Теорема 1 из |16]). Если узел К С Е х I отличен от тривиального ума в х I, то он либо является щпшарным, либо щскладывастся в кольцевую связную сумму нескольких примерных узлов.
Теорема 0.3 (Теорема 2 из [1С]). Слагаемые любого гомологически тривиального узла, представленного в виде кольцевой связной суммы прима]) них слагаемых. определены однозначно.
Для гомологически нетривиальных узлов последняя теорема неверна. В разделе 1.1.2 настоящей работы приведен пример гомологически нетрвиалыюго узла, допускающего несколько различных разложений, получаемых с помощью операций кольцевых редукций.
0.1.1 Связь темы диссертации с известными результатами
Узлы в утолщенных поверхностях тесным образом связаны с вщппуаль-пым.и узлами. Теория виртуальных узлов была изначально разработана Л. Кауффманом в работе |5]. С комбинаторной точки зрения виртуальный узел определяется как множество классов эквивалентности диаграмм Гаусса, которые не обязательно задают классические узлы. Помимо этого Л. Кауффман предложил способ задания виртуальных узлов узлами в утолщенных поверхностях (см. |2, 5. 14. 15]), при этом один и тот же виртуальный узел задастся бесконечным числом узлов в утолщенных поверхностях, сводимых друг к другу с помощью операций стабилизации и дестабилизации. В работе |2] доказывается, что множество