Оглавление
Введение 4
1 Объемы неевклидовых многогранников с симметриями 21
1.1 Предварительные сведения................................22
1.2 Сферические октаэдры с симметриями......................22
1.2.1 Объем сферического ок таэдра, обладающего ттт-симметрией..............................................23
1.2.2 Объем сферического октаэдра, обладающего 2| т-симметрией..............................................30
1.3 Сферические гексаэдры с симметриями.....................36
1.3.1 Объем сферического . гексаэдра, обладающего ттт-симметрией..........................................36
2 Проблема Зейделя об объеме неевклидового тетраэдра 38
2.1 Постановка проблемы.....................................39
2.2 Усиленная проблема Зейделя..............................43
2.2.1 Сферическая геометрия.............................43
2.2.2 Гиперболическая геометрия ........................45
2
2.3 Классическая проблема Зейделя.........................49
2.4 Проблема Зейделя для симметричного тетраэдра..........63
2.5 Примеры...............................................67
3 Инвариант Черна—Саймонса для конических многообразий 69
3.1 Предварительные сведения..............................72
3.2 Тригонометрические тождества и их следствия...........77
3.3 Определение и основные свойства обобщенной функции
Черна—Саймонса и инварианта Черна—Саймонса.............79
3.4 Инварианты Черна—Саймонса для конических многообразий над зацеплением Уайтхеда................................83
3.5 Примеры...............................................89
3
Введение
Вычисление объема многогранника — это классическая задача, известная со времен Евклида и не потерявшая актуальность в наши дни. В основном это связано с тем. что объем фундаментального многогранника является одним из основных инвариантов трехмерного многообразия.
Вероятно, первый результат в данном направлении принадлежит Тартальи (Tartaglia, 1499-1557), который нашел объем евклидова тетраэдра. В настоящее время этот результат известен как формула Кэли— Менгера.
Теорема 1 (Тарталья, 1546). Пусть Т — тетраэдр в евклидовом пространстве с длинами ребер I < { < j < 4. Тогда объем V — У('Г) задастся формулой
0 1 1 1 1
1 0 <*12 <*13 <*14
1 <*21 0 <*23 <*!<
1 <*31 <*32 0 <*34
1 <*41 «2 <*43 0
Заметим, что в приведенном выше соотношении объем является корнем квадратного уравнения, коэффициенты которого являются много-
4
членами с целыми коэффициентами от длин ребер. Удивительно, но этот результат можно обобщить на случай произвольного евклидова многогранника. Около десяти лет назад И. X. Сабитов [1] доказал соответствующую теорему.
Теорема 2 (САБИТОВ, 1998). Пусть Р — евклидов многогранник с жесткими гранями и длинами ребер dij. Тогда объем V[P) — это корень алгебраического уравнения четной степени, чьи коэффициенты, являются многочленами с рациональными кэфхфициентами от d?. и зависят от комбинаторного типа Р.
Стоит обратить снимание, что эта замечательная теорема носит чисто теоретический характер. Даже в тех редких случаях, когда указанное уравнение известно для конкретного типа многогранников, оно очень сложное и искать с его помощью объем крайне затруднительно. С другой стороны, теорема Сабитова дала отрицательный ответ на вопрос известной проблемы кузнечных мехов: можно ли изготовить кузнечные меха в виде многогранника с жесткими гранями, соединенными при помощи шарниров?
В отличие от евклидова пространства, в гиперболическом и сферическом случаях ситуация более сложная. Гаусс, один из создателей гиперболической геометрии, использовал слово „die Dschungel" (джунгли, дебри) в отношении вычисления объемов в неевклидовой геометрии. Формула объема для бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) известна еще со времен Н. И. Лобачевского [2] и Л. Шлефли [3]. Объем куба Ламберта и некоторых других многогранников получены Р. Келлсрхальц [4], Д. А. Деревнипым и А. Д. Медных [5], А. Ю. Весниным, А. Д. Медных и
Дж. Паркером [6], и другими. Объемы гиперболических многогранников, имеющих хотя бы одну вершину на бесконечности, найдены Э. Б. Вин-бергом [7].
Общая формула объема гиперболического тетраэдра долгое время оставалась неизвестной. Несколько лет назад Ю. Чо, X. Ким [8], Дж. Му-раками, У. Яно [9] и А. Ушиджима [10] добились успеха, установив такую формулу. Д. А. Деревнин. А. Д. Медных [11] предложили более простую интегральную формулу объема. гиперболического тетраэдра.
Теорема 3 (Деревнин, Медных, 2005). Пусть Т{А, £?, С, D, Е, F) -компактный гиперболический тетраэдр с двугранными углами A,B,C,D,E,F. Тогда объем V = V(T) задается формулой
где Z\ и Z2 — корни подынтегрального выражения, удовлет.воряющие условиям 0 < г2 — < 7Г. Более точно,
z\ = arctan 7^ — arctan , z2 = 7г — arctan ^ — arctan — , где
ki = - cos S - cos(A 4- D) - соs(B 4- E) — cos(C 4- F) — cos(D 4- E 4- F) — - cos(D + В + C) - cos(A + E + C) - cos(A 4- В 4- F), k-2 — sin S 4" sin(A -f- Z)) + sin(B + E) 4~ sin(C7 4- F) 4- sin(Z) 4" E 4* F)4*
4- sin(Z> 4* В 4” С) 4* sin (A 4" E 4* С) 4" sin(A 4~ В 4" F),
A:3 = 2 (sin A sin D 4- sin В sin E 4- sin С sin F),
V = -\J log
sin A+B+D+Efz sin А*С±£±Р±£ sjn B±C+E+F±z ^ £
S=A+B+C+D+E+F.
6
Удивительно, но еще более ста лет назад, в 190G г., итальянский герцог Гаетано Сфорца нашел формулу для вычисления объема неевклидова тетраэдра. Этот факт приобрел известность после дискуссии А. Д. Медных с X. М. Монтезиносом (Л. М. Montesinos) на конференции в Эль Бурго д’Осма (Испания) в августе 2006 г. К сожалению, выдающаяся работа Сфорца [12] до этого была полностью забыта.
Теорема 4 (СФОРЦА, 1906). Пусть 'Г — гиперболический тетраэдр с матрицей Грамма G. Рассмотрим G = G(A) как функцию двугранного угла А. Тогда объем Т задается формулой
V(T) = -l [logмИІ+n/ESS^(М,
4 J См(-А) - у/— detG(A) sin Л
Ао
где А0 — подходящий корень урнтения detC?(A) = 0 и с34(А) — соответствующий минор G{A).
Приведенная формула, хотя и имеет компактную запись в терминах миноров матрицы Грама, не так проста. Отметим, что в случае симметрического тетраэдра, противоположные двугранные углы которого попарно равны, формула объема существенно упрощается. Впервые этот замечательный факт был установлен самим Лобачевским [2] для идеального гиперболического тетраэдра, то есть тетраэдра, все вершины которого лежат на бесконечности. Дж. Милнор [13] представил соответствующий результат в весьма элегантной форме.
7
Теорема 5 (Милнор, 1982). Пусть Т — Т(А,Н,С) — идеальный гиперболический тетраэдр с двугранными углами А, В, С. Тогда объем V = V(T) задается формулой
V(Т) = А(А) + А(В) + А(С),
X
где Л (я) = — J log I 2 sin t \ dt — (функция Лобачевского. о
В общем случае, объем симметричное теграэдра найден Д. А. Де-ревниным, А. Д. Медных и М. Г. Пашкевич [14].
Теорема 6 (Деревнин, Медных, Пашкевич, 2004). Пусть Т = = Т(А, В, С) — симметричный гиперболический тетраэдр с двугранными углами А, В, С. Тогда объем V(Т) задается как вещественная часть выражения
+оо
Л о- Ь с 1 \ du
arcsin —===== +arcsin 4- arcsin —== — arcsin .. . } — ,
s/v*TT V^Tî v
u
где
1 — о2 - b2 - с2 - 2 abc
U — —j========================== ,
д/(1 — а + fr -f с)(1 + а — 6 + с)(1 4- а + 6 — с)(— 1 + а + b + с)
а cos А, 6 = cos В, с — cos С.
Интересно заметить, что идея использования симметрий оправдывает себя и для более сложных многогранников, о чем и пойдет речь в первой главе настоящей работы.
Перейдем к краткому изложению содержания работы и точным формулировкам основных результатов.
8
- Київ+380960830922