Виртуальные многогранники

Оглавление
Введение............................................................2
1 Виртуальные многогранники. Базовые понятия. 24
1.1 Введение...................................................24
1.2 Виртуальные многогранники и хериссоны: основные определения..........................................................25
1.3 Примеры виртуальных многогранников........................38
1.4 Объем и смешанный объем виртуальных многогранников. . 41
1.5 Сети виртуальных многогранников...........................43
1.6 Изгибаемые многогранники с несвязными сетями..............46
1.7 Жесткость виртуальных многогранников......................47
1.8 Изгибаемые виртуальные многогранники со связными веерами. Октаэдры Брикара.........................................48
1.9 Теорема Минковского и виртуальные многогранники .... 51
2 Структура группы виртуальных многогранников относительно подгрупп цилиндров. 53
2.1 Введение..................................................53
2.2 Операции над многогранниками и многогранными функциями 55
2.3 Оператор а................................................57
2.4 Операторы и &\ • Выделение первого прямого слагаемого в группе V................................................58
2.5 Операторы 6к и <5Выделение последующих слагаемых ... 61
2.6 Алгоритм разложения.......................................65
3 Гиперболические многогранники и задача А.Д. Александрова. 67
3.1 Введение..................................................67
3.2 Гладкие хериссоны и Гипотеза..............................68
3.3 Гиперболические многогранники и гиперболические хериссоны ............................................................70
3.4 Сферический график опорной функции .......................74
3.5 Пример гиперболического виртуального многогранника с N
рогами (А четно) .........................................76
1
З.б Гиперболическое сглаживание..............................83
4 Гиперболические многогранники и гиперболические веера 89
4.1 Введение..................................................89
4.2 Гиперболические веера. Раскраска..........................90
4.3 Операции над веерами ......................................94
4.4 Новые примеры: гиперболические многогранники с четным
и нечетным числом рогов..................................100
4.5 Сглаживание..............................................107
4.6 Аналог теоремы Мебиуса для двумерных замкнутых седло-вых поверхностей .....................................111
5 Теорема единственности А. Д. Александрова для выпуклых многогранников и ее уточнения. 119
5.1 Введение.................................................119
5.2 Теорема А. Д.Александрова с точки зрения гиперболических многогранников...............................................120
5.3 Основной пример. (Уточнение сверху.)......................122
5.4 Уточнение снизу и три открытых вопроса...................126
6 Приложение. Псевдотриангуляции и гиперболические виртуальные многогранники. 130
Заключение.......................................................139
2
Введение
Основной объект исследования данной работы - виртуальные многогранники. Образно говоря, виртуальные многогранники суть геометрические реализации разностей Минковского выпуклых многогранников. Они определены и описаны впервые А. Пухликовым и А. Хованским (1989, [13]). Однако идея висела в воздухе задолго до этого, например с тех пор, как был открыт и изучен параллелизм между выпуклыми многогранниками и торическими алгебраическими многообразиями (см., например обзор В. Данилова [7] или Т. Ода [41]). Дело в том, что в рамках этой теории, выпуклым многогранникам соответствуют обильные обратимые пучки на торических многообразиях. Однако обратимые пучки образуют группу (группу Пикара), а многогранники - нет, т.к. не определена операция вычитания по Минковскому.
Можно пойти еще дальше и пронаблюдать идею хорошо определенного вычитания по Минковскому гладких выпуклых тел у А.Д. Александрова (см.[1]). Позднее, эта идея была реаними-рованна и развита группой французских математиков (Р. Лан-гевин, Г. Левит, X. Розенберг [31], И. Мартинес-Мор [32-34]). Они подробно изучили разности Минковского гладких выпуклых тел, т. наз. хериссоиов (hérissons) с точки зрения геометрии поверхностей. Следует отметить, что И. Мартинес-Мор построил пример седлового хериссона, благодаря чему получен отрицательный ответ на старую гипотезу о единственности выпуклых поверхностей (задачу А.Д. Александрова).
Отметим также работы X. Радштрема [43], изучавшего разности Минковского выпуклых тел, но однако не предложившего их геометрической интерпретации.
Еще одна авторитетная область, в которой естественным путем появляются виртуальные многогранники - алгебра многогранников (polytope algebra) П. Мак Маллена [35-37], являюща-ясяся прямым аналогом алгебры выпуклых цепей А. Пухликова и А. Хованского. Эта алгебра ,,выросла,,из группы многогран-
3
ников Йессена и Торупа [26], в осеове которой лежит изучение равносоставленности многогранников относительно группы параллельных переносов. Множество выпуклых многогранников в вещественном евклидовом пространстве порождает градуированную алгебру. При этом градуировка соответствует естественной градуировке предела колец Чжоу торических многообразий. Изучение этой алгебры было черезвычайно плодотворным и привело как к решению некоторых старых проблем геометрии (например , задачи о характеризации возможных /-векторов многогранников [36], [18]), так и к открытию новых параллелей между геометрией многогранников и геометрией торических многообразий [23].
Существуют и другие интересные представления алгебры многогранников. М. Брион установил, что алгебра многогранников изоморфна алгебре кусочно-полиномиальных функций (имеется ввиду кусочная-полиномиальность относительно некоторого веера, подобно тому, как опорные функции кусочно- линейны относительно некоторого веера), профакторизованной по глобально полиномиальным функциям.
Группа виртуальных многогранников естественным образом вкладывается в алгебру многогранников (что соответствует вложению группы Пикара в кольцо Чжоу).
Виртуальные многогранники допускают следующие равносильные представления (точные формулировки - см. Глава 1).
1. Виртуальный многогранник - элемент группы Гротендика полугруппы выпуклых многогранников (групповая операция - сложение по Минковскому ®) в евклидовом пространстве, т.е. формальное выражение вида К ® М"1, где К и М - выпуклые многогранники [48], [13].
2. Виртуальный многогранник (как элемент алгебры многогранников) есть многогранная функция, т.е. конечная линейная комбинация с целочисленными коеффициентами характеристических функций выпуклых многогранников [13],
4
[35].
3. Виртуальный многогранник - кусочно-линейная положительно однородная функция, заданная на Мп [13].
Полугрупповой гомоморфизм, ставящий в соответствие каждому выпуклому многограннику его опорную функцию, продолжается до изомоморфизма группы виртуальных многогранников (операция - сложение по Минковскому ®) и группы кусочно-линейных положительно однородных функций, заданных на Еп (операция - поточечное сложение).
4. Виртуальный многогранник - пара
(Я 2)
где Р -некоторая замкнутая многогранная поверхность (допускаются самопересечения и самоналожения) с неориентированными гранями, а Е - ассоциированный с Р веер [12], [44-46].
5. С виртуальным многогранником естественно ассоциировать двойственный объект - график его опорной функции. Из соображений сохранения свойств выпуклости, его правильно рисовать на п-мерной сфере [46].
6. Виртуальный многогранник - элемент предела групп Пикара торических многообразий [7], [23], [41].
Среди трехмерных виртуальных многогранников автором впервые выделен особый класс гиперболических многогранников. Наиболее важные задачи решены именно с использованием техники гиперболических многогранников.
Структура работы следующая.
Глава 1 посвящена изучению виртуальных многогранников ради их самих. Изучены способы построения виртуальных многогранников, их различные представления, перенесены многие классические понятия.
5
Многие понятия легко распространяются по линейности: понятие граней, опорной функции, смешанного объема, объема. Важно, что при этом сохраняется алгебраичность объема. Соответствующие теоремы аналогичны теоремам из геометрии выпуклых многогранников.
В других отношениях виртуальные многогранники ведут себя иначе чем выпуклые - они бывают изгибаемыми, они не определяются совокупностью нормалей и объемов гиперграней, а также не определяются аффинными оболочками своих гиперграней.
Во втором параграфе изучено поведение виртуальных многогранников и многогранных функций при вычислении смешанных объемов. Описан оператор <т , сопоставляющий каждой многогранной функции Р виртуальный многогранник аРл поведение которого совпадает с поведением функции Р.
Важный объект - веер виртуального многогранника. Как и в выпуклом случае, это минимальное разбиение пространства на конуса, на каждом из которых опорная функция линейна. Графически удобно изображать пересечение веера с единичной сферой с центром в точке О.
В отличие от выпуклого случая, веер виртуального многогранника может не только быть нерегулярным, но и содержать невыпуклые клетки. В отличие от выпуклого случая, виртуальный многогранник не определяется однозначно набором нормалей к его гиперграням и значений опорной функции на этих нормалях .
С некоторыми замкнутыми многогранными поверхностями, лежащими в Еп можно связать виртуальный многогранник (Теорема 1.2.24). Грубо говоря, для этого необходимо существование веера, двойственного поверхности, у которой выбраны коориен-тации граней (коориентировать грани можно независимо друг от друга). Иногда существует несколько вееров, двойственных одной и той же поверхности. Это значит, что с поверхностью ассоциированны несколько разных виртуальных многогранников. Например, с трехмерным тетраэдром можно связать 52 различ-
б
ных виртуальных многогранника. Вот три из них. Рисунок 1
+
ВЫПУКЛЫЙ ТЕТРАЕДР
+
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ
ТЕТРАЕДР
В четвертом параграфе изучаются вопросы жесткости виртуальных многогранников. Получены следующие результаты.
• Виртуальный многогранник, все клетки веера которого выпуклы, является жестким. Эта теорема обобщает результат о жесткости виртуальных многогранников из статьи [49] .
• При этом существуют нежесткие виртуальные многогранники с любой степенью свободы изгибаний. Однако эти примеры не слишком интересны: изгибаемость обусловле-
7
на несвязностью сети (1-остовом веера) многогранника.
• Некоторые изгибаемые октаэдры Брикара первого и второго типа могут быть снабжены структурой виртуальных многогранников. Тем самым получены примеры изгибаемых виртуальных многогранников со связной сетью.
В пятом параграфе изучается теорема Минковского в классической постановке для виртуальных многогранников. Утверждение о единственности многогранника с заданным набором нормалей гиперплоских граней и заданными значениями объемов этих граней оказывается неверным для виртуальных многогранников. Вопрос существования является крайне сложной открытой проблемой, и ответ на него скорее всего отрицательный.
К этой тематике примыкают результаты В. Александрова [19]. Он ограничился рассмотрением (в терминологии диссертации) виртуальных многогранников с выпуклым веером и доказал для них прямой аналог теоремы Минковского. Однако введенное им понятие площади грани отличается от предложенного в диссертации.
В Главе 2 решена следующая задача (уже лежащая вне рамок самой теории виртуальных многогранников).
Пусть К - п-мерный многогранник.
• Найти необходимое и достаточное условие того, что К является суммой Минковского к -мерных многогранников.
• Найти явно такое представление (если оно существует).
• Для разложимых в сумму решеточных многогранников (т.е. таких, вершины которых лежат в узлах некоторой решетки), найти такое представление, в котором все слагаемые -решеточные многогранники.
Решение задачи получено в следующем виде.
8
Для к = 1,п выделим в группе виртуальных многогранников V* подгруппы ^-цилиндров:
Виртуальный многогранник К называется к-цилиидром
(к = 1,...,п + 1 ), если он представим в виде суммы Мин-ковского (гг — к + 1)-мерных многогранников:
К = <ИтК{ <п — к + 1.
Группы А;-цилиндров Су1к образуют фильтрацию
Г* = Су11Э-'-эСу1п+1 = {Е},
где Е - единичный элемент V*.
Мы строим набор взаимно ортогональных проекторов, групповых гомоморфизмов, коммутирующих с движениями пространства
5к : Г -> Су/*,
сумма которых есть тождественный гомоморфизм. Их сумма естественным образом порождает разложение групп V* и Су1к в прямую сумму (см. Теорема 2.5.4).
V* = 51Т*®52Т*
и
Су1к = 8кГ*® — ф8пГ\
Кроме того, мы построили другой набор проекторов 6$!, обладающих всеми свойствами 8к (кроме коммутирования с движениями пространства), и следовательно, порождающие аналогичное разложение группы виртуальных многогранников.
При этом 5^ отображает решеточные многогранники на решеточные.
Следствием этого разложения является следующая теорема.
9
Теорема 2.5.5
Многогранник К представим в виде суммы к -мерных многогранников тогда и только тогда он представим в виде суммы своих граней размерности не выше к, взятых с некоторыми (возможно, отрицательными) весами.
Это представление не единственно. Особенно интересны два примера таких представлений. Веса определяются явно с помощью операторов 6k и Sj? Операторы 5k замечательны тем, что коммутируют с группой движений Операторы Sff отображают решеточные многогранники на решеточные.
Имеется естественная (но нетривиальная) связь этого разложения с известной фильтрацией Йессена - Торупа группы П (polytope group modulo translation). Эта группа была введена для изучения равносоставленности многогранников относительно группы параллельных переносов. П - абелева группа, образующими которой являются все многогранники в Кп, а определяющие соотношения - следующие:
К\ + К2 = К\ U АГ2, если К\ П К2 -вырожденный многогранник;
иК = К, где и - произвольный параллельный перенос.
В группе П есть аналогичные подгруппы цилиндров Zk, образующие фильтрацию Йессена - Торупа:
П = Zy э ... D zn+l = {0}.
Изучение этой фильтрации позволило доказать полноту системы инвариантов Хадвигера для равносоставленности относительно группы параллельных переносов. Позже эта фильтрация была перенесена на алгебру многогранников П. МакМаллена. Полученная весовая фильтрация позволила ввести на М структуру градуированной алгебры.
В Главе 3 построена серия контрпримеров к следующей старой гипотезе (именуемой в дальнейшем "Гипотезой”).
10
Гипотеза о единственности гладких выпуклых поверхностей (задача А.Д. Александрова).[2]
Пусть К С I3 - гладкое тело. Если существует такая константа С, что в каждой точке дК выполнено неравенство Я1 < С < то тело К - шар. (Я\ и #2 обозначают главные кривизны дК).
Предыстория проблемы здесь такова.
А.Д. Александров [2] и Х.Ф. Мюнцнером [39] доказали гипотезу для аналитических тел (А.Д. Александров - существенно раньше, но при некотором дополнительном небольшом предположении). Появление статьи Мюнцнера вызвало подъем интереса к этой проблеме.
Долгое время специалисты были убеждены в справедливости Гипотезы для гладких тел, однако были получены лишь частные результаты. Д. Кутрофиотис [27] и Р. Шнайдер [52] доказали (Д. Кутрофиотис -для гладких тел, а Р. Шнайдер - для произвольной гладкости), что Гипотеза верна, если некоторая проекция тела К является диском.
Недавно И. Мартинес-Мор [33] (2001) привел контрпример к гипотезе. Вначале он показал, что каждый гладкий гиперболический хериссон порождает желаемый контрпример, а затем привел пример такого хериссона, а именно, С2- гладкую полу-алгебраическую седловую поверхность с четырьмя рогами, заданную явной формулой (см. Рис. 2).
Поясним связь между Гипотезой и теорией седловых поверхностей следующая.
Предположим, что тело К удовлетворяет условию Гипотезы. Рассмотрим разность Минковского Я = К® Втела К и шара Вс радиуса С.
Неравенство для главных радиусов кривизн означает, что Я является седловой во всех своих гладких точках (в таком случае говорим, что Я - гиперболический хериссон).
Обратно, имея поверхность, являющуюся седловой во всех своих гладких точках, опорная функция которой определена
11