Лоренцева функция расстояния и причинность

Оглавление
Введение 4
1. Лоренцева функция расстояния
и причинность 17
1.1. Основные понятия и определения.................... 17
1.2. Незамкнутые множества причинной структуры .... 24
1.3. Условия причинности и функция расстояния.......... 28
2. Бесконечные расстояния
в пространстве-времени 45
2.1. Примеры пространств с бесконечными
расстояниями....................................... 46
2.2. Классификация причин возникновения
бесконечных значений функции расстояния............ 58
2.3. Пространства лоренцева типа....................... 62
2.4. Наглядные образы и физические
отождествления .................................... 71
3. Отображения пространства-времени, сохраняющие его
2
причинную структуру 81
3.1. Необходимые сведения.............................. 81
3.2. Гладкие и хронологические отображения пространств....................................... 85
3.3. Физические интерпретации.......................... 94
3
Введение
Диссертация посвящена изучению причинной структуры так называемых пространственно-временых (лоренцевых) многообразий, а так же изучению поведения лоренцевой функции расстояния как на некоторых конкретных типах лоренцевых многообразий (а именно, на цилиндрах), так и на пространственно-временных многообразиях произвольного типа. Особое внимание обращено на. выявление связей между поведением лоренцевой функции расстояния и причинной структурой лоренцевого многообразия. В связи с этим наиболее подробно рассмотрено влияние такого свойства лоренцевой функции расстояния, как ее конечность во всем классе конформных друг другу метрик на причинную структуру этого лоренцего многообразия. Кроме того в диссертации изучены вопросы, касающиеся условий, которые необходимо налагать на отображение двух лоренцевых многообразий, а так же на причинную структуру этих многообразий с тем, чтобы можно было делать утверждение о гладкости упомянутого отображения.
Результаты данных исследований можно отнести прежде всего к лоренцевой геометрии. Лоренцева геометрия, как самостоятель-
4
ный раздел современной математики, насчитывает относительно небольшой срок существования. Одним из фундаментальных трудов, заложившим основы формирования этого предмета, без сомнения можно считать книгу С. Хокинга и Дж. Эллиса [2]. Именно в этой работе были систематизированы известные к тому времени результаты, касающиеся математических моделей пространства-времени, а так же был разработан новый математический аппарат, в рамках и с помощью которого были получены некоторые интересные результаты. Вторым фундаментальным трудом по этой тематике является книга Дж. Бима и П. Эрлиха [1], в которой изложение результатов ещё в большей степени систематезировано. Основной мотив этой работы заключается в геометризации исследуемых про-блемм. Здесь следует отметить, что изначально проблеммы, исследуемые в лоренцевой геометрии, относились скорее к прикладным вопросам теории пространства-времени и космологии и были тесно связаны с некоторыми разделами теоретической физики. Строгий подход с точки зрения геометрии к упомянутым вопросам и представляет собой предмет исследования в лоренцевой геометрии.
Можно считать, что теория причинности является самостоятельным предметом, однако так или иначе она пронизывает все разделы лоренцевой геометрии, являясь для всех исследуемых здесь проблемм как бы основным фоном.
Лоренцева функция расстояния, построенная для лоренцевых многообразий по аналогии с римановой функцией расстояния для рима-
новых многообразий, представляет собой универсальное средство для исследования в лоренцевой геометрии вообще в теории причинности в частности и, соответственно, находит здесь широкое применение.
Вопросами, касающимися теории причинности в разное время занимались А. Д. Александров [6], Р. И. Пименов [7], Г. Буземана [8], Е. Кронхеймер [9], Б. О’Нейл [10], С. Хокинг [2], Р. Пенроуз [3], [13], Дж. Бим [1], Д. Маламснт [5] и другие. Исследования, касающиеся связи причинной структуры пространства-времени с поведение лоренцевой функции расстояния, проводились,например, Дж. Бимом, П. Эрлихом [1], С. Мизнером [16]. Проблеммами, связанными с замкнутыми причинными кривыми, занимались С. Хокинг [2], С. Мизнер [16], [18]. Отображения одного пространства-времени на другое, определенным образом сохраняющие причинную структуру, изучали Д. Маламент [5], Дж. Бим [14], У. Вайс и Дж. Аколиа [15], А. Левичсв [11]. Кроме того, подобные вопросы затрагиваются в работах [12], [27], [28].
В диссертации выделен некоторый класс пространств, для которого установлена связь между причинной структурой пространства-времени и его топологическим строением; найден критерий, устанавливающий условия, когда причинное пространство-время является глобально гиперболическим; найдено условие, определяющее непрерывность лоренцевой функции расстояния, определенной на причинном пространстве-времени. Далее, выделены основные типы лро-
6
странств,являющихся цилиндрами, на которых лоренцсва функция рассстояния может принимать бесконечные значения. Кроме того, получены новые условия, налагаемые на причинную структуру двух пространств и на свойства отображения этих пространств, достаточные для того, чтобы это отображение являлось гладким конформным преобразованием.
Диссертация состоит из введения и трёх глав. Теоремы нумеруются цифрами, первая из которых ~ номерглавы, вторая - номер теоремы внутри главы. Аналогично нумеруются леммы, следствия и примеры.
Первая глава диссертации посвящена, изучению связей между причинной структурой пространства-времени и поведением лорен-цсвой функции расстояния, определенной на этом пространстве -времени.
В параграфе 1.1 содержатся основные сведения из лоренцевой геометрии,
В параграфе 1.2 дано определение конечно недостижимой точки и, соответственно, явления конечной недостижимости. Здесь же определяется класс А лоренцевых многообразий, пространства которого исключают одновременное наличие и явления конечной недостижимости и явления захвата причинных кривых компактным множеством.
В параграфе 1.3 приводятся основные результаты первой главы. Вспомогательный характер носит
7
Лемма 1.2. Пусть пространство-время (М,д) принадлежит классу А. Если для некоторых точек р, в 6 М, множество «7+ П 1~ не замкнуто в М, а 1фГ) 1~ ф 0. то тогда (замкнутое) множество с!(П 3~) не является компактным..
Лемма доказывается методом предельных кривых, с использованием свойств С,(|— топологии на кривых.
Длее, в качестве промежуточного результата выступает
Теорема 1.1. Пусть (М, д) - различающее пространство-время класса А. Если пространство-время (М,д') удовлетворяет условию конечности расстояния для всех д' 6 С(М, д). то пространство-время (М,д) является глобально гиперболическим.
Здесь через С(М,д) обозначен класс лоренцевых метрик на многообразии М, глобально конформных метрике д :
дГеС{М,д)<*</ = Яд
для некоторой гладкой функции П : М (0. оо).
Тем не менее приведенный результат является новым. Сходное утверждение в несколько иной формулировке, касающееся сильно причинных пространств, приведено в работе [1].
Как следствие теоремы 1.1 и леммы 1.2 получено утверждение о связи между лоренцевой функцией расстояния и топологическим строением пространства, на котором эта функция определена, а именно
Следствие 1.2. Пусть (М, д) - пространство-время класса А. Если пространство-время, (М>д') удовлетворяет условию конечно-
8