Двойственная геометрия оснащенной гиперповерхности

2
СОДЕРЖАНИЕ
ОБІЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ...................................... 4
1. Постановка вопроса.......................................... 4
2. Актуальность темы........................................... 6
3. Цель работы................................................. 8
4. Методы исследования......................................... 8
5. Научная новизна полученных результатов...................... 8
6. Теоретическая и практическая значимость.................... 10
7. Апробация ................................................. 10
8. Публикации .............................................. 11
9. Вклад автора в разработку избранных проблем ............... 11
10. Структура и объем работы ................................. 11
11. Некоторые замечания ...................................... 11
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ .......................................... 12
Г л а в а I. ПОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ 1 ИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ................................ 26
£ / Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов
на распределении гиперплоскостных элементов.................. 26
1. Дифференциальные уравнения распределения гиперплоскостных элементов................................................ 26
2. Поля фундаментальных геометрических объектов на распределении гиперплоскостных элементов........................... 29
3. Поля охваченных геометрических объектов на распределении гиперплоскостных элементов................................. 31
§ 2. Двойственность теории регулярного распределения гиперплоскостных элементов........................................... 37
£ 3. Инвариантные оснащения распределения гиперплоскостных элементов ..................................................... 40
1. Двойственная нормализация регулярного распределения гиперплоскостных элементов.................................... 40
2. Оснащение в смысле Э.Картана регу лярного распределения гиперплоскостных элементов................................. 45
3. Оснащение в смысле Э.Бортолотти распределения гиперплоскостных элементов........................................ 47
4. Касательное оснащение распределения гиперплоскостных элементов, определяемое (п-1 )-тканью....................... 50
£ 4. Регулярная гиперповерхность сР„ и ее двойственный образ 54
1. Поля фундаментальных и охваченных геометрических объектов
на гиперповерхности......................................... 54
2. Двойственный образ регулярной гиперповерхности............. 56
3. Инвариантные оснащения регулярной гиперповерхности......... 58
9
з
Г л а в а II. ДВОЙСТВЕ* ШЫЕ АФФИННЫЕ СВЯЗНОСТИ НА РАСПРЕДЕЛЕНИИ ГИПЕРПЛОСКОСТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ... м
І / Аффинные святости на нормализованном распределении гиперп-
лоскостных элементов........................................ 64
^ 2. Двойственные аффинные связности на нормализованном непределен ни гиперпяоскостных элементов..................... 78
£ з Сопряженность пар двойственных аффинных связностей на го-
лономном распределении гиперпяоскостных элементов........... 88
£ 4 Геодезические и чебышевские (п-І)-ткани на голономном распре-
депении гиперпяоскостных элементов.......................... 92
1. Геодезические (л-Г)-ткани па голономном распределении гипер-плоскостных элементов.................................... 92
2. Чебышевские (п-І)-ткани на голономном распределении гиперплоскости ых элементов................................... 96
Глава III. ДВОЙСТВЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ СВЯЗНОСТИ } ІА ОСНАЩЕННОЙ ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ ..................................... 101
£ /. Двойственные проективные связности на оснащенной гиперповерхности ................................................ 101
}. Проективные связности на регулярной гиперповерхности, оснащенной в смысле Э.Картана............................... 101
2. Проективные связности на регулярной гиперповерхности, оснащенной в смысле Э.Бортолотти................................. 107
$ 2. Двойственные аффинные связности на нормализованной гиперповерхности .............................................. 112
$ 3. Двойственные аффинные связности на гиперповерхности как результат сужения двойственных проективных связностей 124
£ 4. Сопряженные и средние аффинные связности па регулярной гиперповерхности ........................................... 129
§ 5. Геодезические и чебышевские сети на гиперповерхности..... 141
1. Г еодезические сети на гиперповерхности.................... 141
2. Чебышевские сети на гиперповерхности....................... 143
ЛИТЕРАТУРА .................................................... 148
А
ОЫДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
1. Постановка вопроса.
Дифференцируемое многообразие, погруженное в пространство с фундаментально-групповой связностью, называется оснащенным [27], ес-
у
ли на нем определено поле некоторого геометрического объекта g (поле оснащающего объекта многообразия):
с*&Х = Ч/Х$2№(0$г+'!/*[(0$''
где а)5' - первичные формы; а>*2 • вторичные формы Пфаффа на многообразии. Тип оснащения погруженного многообразия характеризуется строением основных функций (#), определяющих оснащающий объект gx;
в зависимости от их строения имеем различные классические оснащения многообразия (оснащение в смысле А.Н.Нордена (41], Э.Картана (84],
Э.Бортолотти (82] и т.д.).
Подмногообразие (поверхность, распределение), несущее сеть (ткань) того или иного класса, как один из примеров касательно оснащенных [38]. [23] многообразий, стало объектом изучения для целого ряда геометров. Среди них: А.П.Нордсн [41], А.И.Чахтаури [72), В.И.Шуликовский [79]. [80], В.Т.Базылев [5], [6], А.В.Столяров [56], [57], [59], [61], [62], [67], М.К.Кузьмин [6], М.А.Акивнс [2], Н.М.Остиану [43], А.Е.Либср [31], [32]. С.Е.Степанов [53]-г[55] в пространстве аффинной связности Ьп (/?> 2) изучает геометрию оснащений поверхности (гиперповерхности), ассоциированных с чебышевской сетью. Г.Н.Лынькова [33] рассматривает сети на гиперповерхностях эквиаффинного пространства, Т. АЛ Пульман [81] в пространстве Р л исследует геометрию гиперповерхности, несущей сеть.
Теория связностей, берущая свое начало и развитие от работ Т.Леви-Чивита [87], Г.Вейля [91], Р.Кенига [86], Э.Картана [83], И.А.Схоутена [90]. В.В.Вагнера [7], [8] и Ш.Эресмана [85], в настоящее время представ-
5
ляет собой широкую область исследования расслоенных пространств благодаря работам А.П.Нордена [41 ], Г.Ф.Лаптева [27]+ [30], Б.Л.Лаптепа [26], П.К.Рашевского [49], А.М.Васильева [9], [10], Ю.Г.Лумисте [34]+[37], Л.Н.Ьвтушик [24], Б.Н.Шапукова [73], А.В.Чакмазяна [71], А.В.Столярова [58], [62], [65] и др.
Особое место в общей теории занимает теория связностей в однородных расслоениях, в рамках которой линейные связности чаще всего находят приложения при изучении дифференциальной геометрии оснащенных подмногообразий (см. работы [4], [6]+[10], [35), [40), [41], [48], [50], [53]+[55], [58], [62], [68], [70] + [72], [75] + [80], [84], (85) ). Приложение аффинной связности, индуцируемой оснащением (нормализацией) изучаемого многообразия, к теории поверхностей Ут проективного пространства и различных пространств Клейна, фундаментальная группа которых является подгруппой группы проективных преобразований, характеризует одно из главных направлений в дифференциально-геометрических исследованиях А.П.Нордена (см. [41]) и сю школы.
Следует отметить, что А.П.Норден [41] при изучении геометрии гиперповерхности Уп-\ с Р„ использует две двойственные симметрические аффинные связности (первого и второго рода), индуцируемые при нормализации подмногообразия Уп_]. Определение двойственных пространств с линейной (проективной, аффинной, нормальной) связностью, данное А.В.Столяровым с точки зрения инволютивного преобразования форм
связностей их. позволило [58], [60], [62]:
/\>-
а) расширить объемлющее пространство (проективное) до пространства проективной связности;
б) рассматривать двойственные вопросы не только при нормализации подмногообразия, но и при различных других его оснащениях;
«?) проводить изучение вопросов двойственной геометрии оснащенных
6
как голономных, так и неголономных подмногообразий.
Предметом исследования настоящей работы являются линейные (аффинные и проективные) связности, индуцируемые в расслоениях на оснащенном подмногообразии и-мерного проективного пространства Р„, а гакже приложения этих связностей к изучению геометрии тканей (сетей) на нем; в качестве подмногообразий берутся:
1) регулярное распределение гипсрплоскостных элементов 91, то еегь нсголономная гиперповерхность ( гл. II);
2) регулярная гиперповерхность Уп_у ( гл. III).
Задача сводится к изучению двойственной геометрии указанных подмногообразий, оснащенных в том или ином смысле, посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями фундаментальных и оснащающих объектов их.
2. Ашадьиййхьтемы»
Дифференциальная геометрия сегодня представляет собой обширную область исследований разнообразных структур на гладких многообразиях, в том числе оснащенных; в изучении последних одно из ведущих мест занимает теория связностей в однородных расслоениях.
Связность является одним из основных понятий дифференциальной геометрии; она устанавливает изоморфизм между слоями над различными точками базы в зависимости от линий, соединяющих эти точки.
Ряд работ Г.Ф.Лаптева в области дифференциальной геометрии относится к геометрии пространств с аффинной или проективной связностью; в них, следуя идеям Э.Картана, дается строгое определение аффинной или проективной связности на //-.мерном многообразии Л/„. Г.Ф.Лаптеву принадлежит фундаментальная теорема в теории связностей (см. [24], [27],
[47]), вошедшая в научную литературу как 1е.ор£ма.Картана-Лаптева;
система пфаффовых форм 0а устанавливает фундаментально-
7
групповую связность в расслоенном многообразии с базовыми формами (0J и со структурной группой (7, определенной инвариантными формами
ва, тогда и только тогда, когда формы 0а связаны структурными уравнениями
Dea^Cabcebf,e‘*i-RaLKc>L^o>K,
Deo J= Q) K л о) JK, С £с. = const.
В диссертационной работе с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф.Лаптевым, путем преобразования так называемых базовых аффинных или проективных связностей, индуцируемых оснащением (в смысле Л.П.Нордена [41], Э.Картаиа [84],
Э.Бортолотти [82] ) регулярной гиперповерхности (как голономной, так и неголономной) в Р„, в разных дифференциальных окрестностях (до четвертого порядка включительно) получен и изучается ряд двойственных в смысле А.В.Столярова [62] пространств (кроме базовых) аффинной или проективной связности; найдены также приложения полученных двойственных аффинных связностей к изучению геометрии тканей (сетей) на данном подмногообразии.
Эти исследования являются актуальными, ибо, например, задача об интегрировании любой конечной системы дифференциальных уравнений с частными производными эквивалентна |25], |48] задаче об интегрировании некоторой системы Пфаффа (проблема Пфаффа [89]); прямым следствием последнего является важность изучения геометрии распределений (то есть нсголономных подмногообразий).
Следует также заметить, что аналогичными исследованиями до настоящего времени почти никто не занимался; исключение составляют работы А.В.Столярова [65]-г [67], относящиеся к оснащенной голономной (только) гиперполосе 11 т в Рп.
8
3. Цель работы.
Целью настоящего диссертационного исследования является решение следующих ключевых задач:
1) значительно обогатить теорию двойственных линейных связностей (аффинных, проективных), индуцируемых при классических оснащениях (оснащениях в смысле А.П.Нордена, Э.Картана, Э.Бортолотти) регулярной гиперповерхности - как неголономной (то есть распределения гипер-плоскостных элементов ЧЛ), так и голономной Уп-\, - погруженной в проективное пространство Р„;
2) найти приложения полученных двойственных аффинных связностей к исследованию геометрии тканей (сетей) на изучаемом подмногообразии, а именно, на распределении гипсрплоскостных элементов 9? и на гиперповерхности ¥„-[•
4. М^зтшшшгдодация,
13 диссертационной работе используются инвариантные методы дифференциально-геометрических исследований: метод продолжений и охватов Г.Ф.Лаптева [27] и метод внешних дифференциальных форм Э.Картана
(48), [69]. Применение этих инвариантных методов позволило получить дифференциально-геометрические факты, связанные с дифференциальными окрестностями высоких (до четвертого) порядков.
Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения в репере нулевого и первого порядков; благодаря этому результаты формулируются в инвариантной форме.
Отмстим, что результаты по линейным связностям получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г.Ф.Лаптевым [27], [28].
5. Научная новизна полученных результатов.
Научная новизна диссертационного исследования в значительной сте-
9
пени обусловлена с одной стороны, постановкой вопроса: изучение дифференциальной геометрии оснащенного подмногообразия (голономной и неголономной гиперповерхности) посредством исследования дифференциально-геометрических структур, индуцированных полями его фундаментальных и оснащающих объектов, а с другой стороны, использованием аналитического метода продолжений и охватов Г.ФЛаптева, позволяющего получить результаты в инвариантной форме; все это дало возможность обнаружить новые аспекты темы и получить ряд результатов в двойственной теории оснащенной гиперповерхности (как голономной, так и неголономной).
Результаты, полученные в работе, являются новыми; основные положения их заключаются в следующем:
1) изучается геометрия двойственных аффинных связностей, индуцируемых на нормализованном распределении гиперплоскостных элементов № в Р„, которые ранее на данном подмногообразии не рассматривались; найдены приложения их к исследованию двойственной геометрии (л-1)-тканей (в основном, сопряженных) на распределении Л (гл. II);
2) доказано, что на оснащенной в смысле Э.Картана (Э.Бортолотти) регулярной гиперповерхности Уп_\ с Рп в разных дифференциальных окрестностях индуцируются пять пространств проективной связности
Я £ _
Рп-ии-1 (Рп-1п-0, <? = 1,5 (гл. III);
3) показано, что на оснащенной в смысле Пордена-Картана (Нордена-Кортологги) регулярной гиперповерхности Уп-\ с Рп пространство аф-
я 1 _
финной связности А„_| „_| (Лл_|,,_]) при каждом фиксированном <7 = 1,5
является сужением соответствующего пространства проективной связнос-
я 1
ти Рп-\.п-\ (Ри-1,и-1) (гл. III);
!0
4) исследуется внутренняя геометрия двойственных аффинных связ-
и 2 ___
иостей £7 = 1,6, индуцируемых на регулярной гиперповерхности
Уп-\ сР„,а также приложения их к изучению двойственной геометрии сетей I
В работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.
6. Теоретическая и практическая значимость.
Работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании подмногообразий, погруженных в пространства более общей (или подчиненной) структуры, при изучении пространств с линейной (аффинной, проективной) связностью, индуцированных оснащением изучаемых подмногообразии.
Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а именно, спецкурсов:
1) по теории двойственных линейных связностей на оснащенных подмногообразиях классических пространств с фундаментальными группами или пространств с линейной связностью;
2) по теории распределений гиперплоскостных элементов и гиперповерхностей.
7. Дщюбщцщ,
Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на научных конференциях студентов, аспирантов и докторантов Чувашского государственного педагогического университета (Чебоксары, 1999+ 2001гг.), на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей по геомегрии (Чувашский госпедуниверситет, Чебоксары, 2000 г.); па заседаниях IX Международной конференции «Математика. Образование.
II
Экономика. Экология» (Чебоксары, ЧГУ, 2001 г.), Международной научной молодежной школы-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001г.); на заседаниях научно-исследовательских семинаров при кафедре геометрии Нижегородского госуннверситета (2001г.), Казанского госуни-верентета (2001г.).
8. Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в двенадцати работах [11]+ [22].
9. Вк,тад_ав1рр^ вд).азщботку избранных проблем.
Диссертация является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные работы по теме диссертации выполнены без соавторов.
10. Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения (общая характеристика работы), трех глав и списка использованной литературы, включающего 91 наименование. Полный объем работы составляет 156 страниц машинописного текста.
11. Некоторые замечания.
Все рассмотрения в настоящей работе носят локальный характер. Все встречающиеся функции предполагаю гея достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые многообразия достаточно гладкие).
Для определений, теорем, следствий, замечаний и формул принята двойная нумерация: первая (римская) цифра указывает на номер главы, а вторая (после точки) - на помер предложения, формулы в данной главе.
Во всей работе индексы пробегают следующие значения: j,K,L =0,/r, J,K,L,P,Q,S,T = \.п. i,j,k =0,и-1; iJ,k,l,ni,p.q,r,s,t = \,n-\, причем по индексам, заключенным в квадратные скобки, производится операция альтернирования, а по индексам в круглых скобках осуществляется операция циклнровання:
Операция внешнего дифференцирования обозначается буквой «О», операция внешнего умножения - символом « л ».
Оператор V действует по следующему закону:
.„/,«1 ...л, “ <,.„^«1..^ ” Л2 ->р а\-а, А _ у _ а, вИг<уг, +
+ т?"/*'и'"Мг<о л'+...+ 7'.а|,:,^И|'-"-в»5»+
+ +... + г*‘;У
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ В первом главе содержится материал, носящий, в основном, реферативный характер и необходимый для изложения результатов диссертации.
В §_}, вводится понятие распределения гиперплоскостных элементов 91. погруженного в проективное пространство Рп> строятся поля фундаментальных и некоторых охваченных геометрических объектов на регулярном подмногообразии 9?.
В цД приводится определение распределения гиперплоскостных элементов 91 в Р„, выводятся дифференциальные уравнения подмногообразия 91 в репере нулевого порядка.
В пД путем последовательного продолжения дифференциальных уравнений распределения 91 в Рп построены поля фундаментальных геометрических объектов подмногообразия 91 до третьего порядка включительно, определен тензор неголономности распределения гиперплоскостных элементов 91.
13
В 11Л строятся поля охваченных объектов подмногообразия 'Л в Рп, дается понятие соприкасающейся гиперквадрики распределения Л и в 3-й дифференциальной окрестности внутренничз образом получено поле инвариантных соприкасающихся гиперквадрик; приводятся поля квазитензоров второго и третьего порядка, определяемые внутренним образом и задающие поля нормалей Михэйлеску, Фубинн и Вильчинского первого рода.
§ 2 посвящен краткому обзору двойственной теории регулярного распределения гиперплоскостиых элементов Л, найдены соотношения, связывающие компоненты полей фундаментальных и охваченных геометрических объектов двойственного образа Л в Рп с соответствующими компонентами полей геометрических объектов прообраза Л.
В первой главы рассматриваются некоторые классические оснащения регулярного распределения nineрплоскостных элементов Л в Рп:
приводятся (11.1) примеры внутренним образом определяемых двойственных нормализаций подмногообразия Л (нормализация Михэйлеску, Фуби-ни, Вильчинского), рассматриваются оснащения в смысле Э.Картана (п.2) и в смысле Э.Бортолопи (п.З) распределения Л, рассматриваются (п.4) вопросы касательного оснащения подмногообразия Л, определяемого (н-1)-тканью Х„_, (как правило, сопряженной).
§_4 первой главы посвящен обзору двойственной теории оснащенной регулярной гиперповерхности Уп_] с Рп.
Приведено (п.!) дифференциальное уравнение гиперповерхности У„_] в репере первого порядка, построены поля фундаментальных и охваченных геометрических обьектов подмногообразия У„~\ с /’, до четвертого порядка включительно, дана геометрическая трактовка полей некоторых геометрических объектов; например, поле соприкасающихся гиперквадрик
определяется полем геометрического объекта {s „ , Л,, A jj четвертого