Введение
Понятие простого объекта, введенное В. И. Арнольдом, оказалось чрезвычайно плодотворным. Это понятие является обобщением понятия устойчивого объекта. Пусть на многообразии X действует группа Ли (3. Модальностью точки х е X называется такое наименьшее число га, что достаточно малая окрестность точки х может быть покрыта конечным числом га-параметрических семейств орбит действия группы С. Точка х Е X называется простой, если ее модальность равна нулю, т.е. достаточно малая окрестность этой точки пересекается только с конечным числом орбит, см. [7].
В. И. Арнольд в работе [1] классифицировал простые особенности ростков голоморфных функций с точностью до стабильной /2-эквивалентности (две функции называются /^-эквивалентными, если одна превращается в другую при некоторой гладкой замене координат; два ростка функций называются стабильно /2-эквивалентными, если они становятся /2-эквивалентными после сложения с невырожденными квадратичными формами от подходящего числа дополнительных переменных, см. [7]). А именно, им была доказана следующая теорема.
Теорема 1 (В. И. Арнольд). Простые ростки голоморфных функций исчерпываются с точностью до стабильной эквивалентности следующим списком:
Ак /А) = хк+\ к> 1;
А fix,у) = х2у + ук~1,к> 4;
А f{x,y) = х3 + у4',
А fix, у) = х3 + xj/3;
А f(x, у) = х3 + у5.
Кроме того, В. И. Арнольд обнаружил, что эти особенности связаны с обозначаемыми теми же символами простыми алгебрами Ли или группами, порожденными отражениями, см. [2]. До этого результата особенности классифицировались по коразмерности. Однако классификация по модальности, предложенная В. И. Арнольдом, оказалась более плодотворной. В частности, списки объектов фиксированной (малой) коразмерности в некоторых случаях оказались связанными со списками объектов, возникающих в совершенно других задачах.
Классификации простых особенностей кривых посвящено значительное количество работ. Так, J. W. Bruce и Т. J. Gaffney классифицировали неприводимые плоские кривые в работе [9). В [11] С. G. Gibson и С. A. Hobbs дали классификацию простых особенностей неприводимых кривых в трех-• мерном комплексном пространстве. Классификация (стабильно) простых
2
особенностей неприводимых кривых в линейном комплексном пространстве произвольной размерности была выполнена В. И. Арнольдом в работе [3]. *
Дадим теперь необходимые определения. Особенность неприводимой кривой в начале координат в С1 — это росток комплексно-аналитического отображения / : (С, 0) -> (С\0). Пусть L (соответственно Л) — группа координатных замен в (С71,!}) (соответственно в (С,0)), т.е. группа ростков невырожденных аналитических отображений (0,0) —► (0,0) (соответственно (С, 0) -> (С, 0)). Группа L (соответственно R) называется группой левых (соответственно правых) координатных замен. Группа L х Я действует на пространстве ростков следующим образом:
(9>h) • / = 9° f ° Л”1» д е L, he R.
Два ростка называются эквивалентными, если они лежат в одной орбите этого действия.
Особенность называется простой, если все достаточно близкие к ней особенности принадлежат конечному набору классов эквивалентности (под близостью здесь понимается близость в смысле топологии Уитни: базис этой топологии состоит из прообразов открытых множеств в пространстве m-струй для каждого га). Особенность называется стабильно простой, earn она остается простой при вложении пространства, содержащего кривую, в любое пространство большей размерности. Кривые, которые становятся эквивалентными после таких вложений, называются стабильно эквивалентными, см. [3].
В. И. Арнольд в работе [3] классифицировал простые особенности неприводимых кривых в пространстве любого числа измерений с точностью до стабильной эквивалентности. В частности, он показал, что простыми являются почти все особенности, ряды Тейлора которых начинаются с членов степени два или три, или имеют вид
х\ = Х2 = *6, я>2 = 0 (mod £7),
и еще особенности тридцати двух спорадических кривых.
Приведем список В. И. Арнольда полностью.
1. Кривые с ненулевой 2-струей
A2k = (t\t2k+1).
2. Кривые с нулевой 2-струей, но ненулевой 3-струей
Здесь к>1, 0 < р < А;, 0 < i < к — 1.
Eekj) i = (*3, + г3*+2+3,‘, *з*+2+зР)
Еешы = (l?,t*k+2 + t3M+z\t3M+3*>).
3. Кривые с 6-струей (t4,t6,...) Здесь параметр к является целым числом.
а* = (*4 t6 + t2*+1), A: > 3
ьк = (<4 I6 + t2k+3,t2*+11), A: > 2
Ск = («4 t6 + t2*+5)t2*+9)) A: > 1
dk = (*4 <6 + i2*+7 fik+9^ ^2*+llj A: > 0
е* = («4 t6 «2t+9,t2*+11),’ к > -1
Л = (<4 t6 к > 1
9к = (*4 г6 к > 0.
4. Спорадические кривые
4.1 Кривые кратности 4
2.(<4,f5,t6)
10. (i4 13. (i4
t7, t9)
f + Л i10) *7,*13) t7,t17) t7)
1 .(t\t\t6,t7)
4.(t\t5 + t\tu)
8. (<4, t7, t9, <10) 9.(i4, £7, f9 + <10)
ll.(<4, t7 +19, tm, £13) 12.(t4, t7, t10, t13)
14.(<4, i7, i10) 15.(I4, f7 + t9,t13) 16.(£4
17.(t4,£7 + t9,t17) 18.(<4, t7 + t13, t17) 19.(I4
20.(t4, t7 +1 ) 21.(i4, t7 + tli) 22.(t4
23.(I4, t9, i10, <X1)
4.2 Кривые кратности 5
l.(<s,te,t7,tV9) 2.(t5,t6,?,ta)
3 .(t5,te,t7,t9) 4.(<5,l7,i8,l9)
5.(t5, t7, ts, t9, t11) 6,(£5, i6, t8, t9)
4.3 Кривые кратности 6
1.(t6, tr,ts,t9,t10, tu)
2.(t6,t7,t8,£9,t10)
3 .(t6,i7,£8,t9,tu)
C. G. Gibson и С. A. Hobbs в своей работе [11] получили кривые этого списка, которые могут содержаться в трехмерном пространстве. Авторы пришли к этой задаче, изучая движение твердого тела в трехмерном пространстве. При движении тела каждая его точка движется по какой-то кривой. У авторов возник вопрос, какие особенности могут иметь такие кривые в случае общего положения.
При рассмотрении ростков приводимых кривых естественным образом возникает понятие мультиростка.
4
Определение 1. Мультиросток в (С\0) — это набор Р = (/1 ростков аналитических отображений /,- : (С,0) —» (€”,0), где lm.fi П 1т/у = {0} для г Ф ) (}\,-. •, /* называются компонентами мультиростка).
На пространстве мультиростков действует группа Ь х Ящ х ... х Щк), где /?(,) — экземпляр с номером г группы правых координатных замен, по формуле
(э> Ль, Л*) ■ (/1.../*) = (д О /, о Л“1,..., д о /* о /г*1).
Определение 2. Два мультиростка Р и F/ в (С",0) называются ЯЬ-эквивалентными, если они лежат в одной орбите определенного выше действия.
Определение 3. Мультиросток Я = (Л,...,/*) называется простым, если существует окрестность в пространстве мультиростков, содержащая Р и пересекающая только конечное число орбит. Мультиросток называется стабильно простым, если он остается простым после вложения (0^,0) (Оу,0).
Стабильно простые особенности мультиростков в комплексном пространстве произвольной размерности были классифицированы автором совместно с Р. Р. Садыковым в [12], [13].
Рассмотрим обобщение понятия /^^-эквивалентности мультиростков.
Пусть С С Ь — некоторая подгруппа группы Ь левых координатных замен. Тогда положим 1Ю = б х Ящ х ... х Я(к)> гДе Щ) — экземпляр с номером г группы правых координатных замен. Группа Ж? (право-левых координатных замен) действует на пространстве мультиростков по формуле
(д, Ль..., Л*) • (/ь ...,Л) = (Э ° Л 0 ЛГ1,• • - ,3 ° Л ° Л*1).
Определение 4. Два мулътиростка Я и Р' в (О*,0) называются ЯС-эквивалентными, если они лежат в одной орбите действия группы ЯС.
Определение 5. Мультиросток Я = (/1 называется ЯС-
простым, если существует окрестность в пространстве мультиростков, содержащая Р и пересекающая только конечное число ЯС-орбит.
Теперь предположим, что в комплексном пространстве задана какая-то дополнительная структура, например симплектическая или контактная. В качестве группы С? мы можем рассмотреть подгруппу группы Ь, состоящую из локальных диффеоморфизмов, сохраняющих эту структуру.
5
Допустим, что наше пространство имеет четную размерность 2п и снабжено симплектической структурой, т.е. в нем задана замкнутая невырожденная 2-форма со. По известной теореме Дарбу существуют такие координаты (#1,..., .. .рп) (они называются симплектическими), в ко-
п
торых локально форма со = ^ А В качестве группы <2 мы теперь
*=1
рассматриваем группу локальных симплектоморфизмов нашего пространства, т.е. локальных диффеоморфизмов, сохраняющих симплектическую форму со. В этой ситуации мы будем называть Я(7-эквивалентность симплектической эквивалентностью.
Мультиросток называется симплектически стабильно простым, если он остается простым после вложения г : (С2,г, 0) (С2Д, 0), причем если ьо\ —
росток симплектической формы в (С^О), а со2 — росток симплектической формы в (С2ДГ,0), то г*а>2 = со\. Мультиростки, которые после таких вложений становятся симплектически эквивалентными, называются симплектически стабильно эквивалентными.
Пусть в этом пространстве задан росток кривой, эквивалентный (£2, г2гп+1) (особенность Л.2т) в смысле обычной Я£-эквивалентности (т.е. если рассматривать все локальные диффеоморфизмы). Возникает естественный вопрос: на какие орбиты действия группы симплектических замен распадется ЯЬ-орбита этого ростка? Ответ на этот вопрос был дан В. И. Арнольдом в работе [5]. Вот как он выглядит. Здесь и далее коор-• динаты (91,..., • • • >Рп) считаются симплектическими, если не огово-
рено противное.
Теорема 2. Пусть есть росток кривой, который ЯЬ-эквивалентен (£2, £2тп+1). Тогда он симплектически эквивалентен одному и только одному ростку из следующего списка.
МтА ■ (91 = <2,Р1 = Ь2т+1,р> 1 = ?>1 = 0)
Мт,г ■■ (?1 = <2,92 = «2т+1,Р1 = «2т+2г+\р> 1 = 9>2 = о), 0 <г <2т
Замечание. При г = 2т моном 72т+2г+1 в координате р\ можно заме-нить нулем.
Из этой теоремы, в частности, вытекает, что мультиросток, ЯЬ-эквивалентный (/2,£2т+1), остается симплектически простым.
Мы классифицируем остальные симплектически простые ростки неприводимых кривых, а также все симплектически простые ростки приводимых кривых (мультиростки). Основным результатом является следующая
Теорема 3. Всякий симплектически стабильно простой мультиросток ш с точностью до перестановки компонент симплектически стабильно
6
- Київ+380960830922