Оглавление
Введение 4
1. Необходимые сведения из выпуклой геометрии 21
1.1. Общие утверждения о двойственных
выпуклых телах..................................... 21
1.2. О регулярности границ двойственных
выпуклых тел .................................... 28
1.3. Кривизны Гаусса-Кронекера границ
двойственных выпуклых тел.......................... 34
1.4. Плоскости Радона-Минковского....................... 38
2. Квазигиперболическая плоскость 45
2.1. Левоинвариантные внутренние метрики и их геодезические на группе Г.............................. 45
2.2. Линейный элемент и геодезические
квазигиперболической плоскости..................... 63
2.3. Нарушение выпуклости малых шаров
в квазигиперболической плоскости................... 69
2
3. Сферы некоторых неголономных левоинвариантных внутренних метрик на 50(3) и 78
3.1. Общее описание рассматриваемых метрик............. 78
3.2. Сферы на расслоении единичных векторов плоскости Римана................................................. 82
3.3. Сферы на расслоении единичных векторов плоскости Лобачевского........................................... 92
3
Введение
В последние три десятилетия активно изучаются однородные (т.е. допускающие транзитивную группу изометрий) римановы многообразия. Их естественными обобщениями являются однородные финслеровы многообразия. Различие между ними заключается в том, что первое ведет себя в бесконечно малом как евклидово, а второе - как нормированное векторное пространство.
Аксиомы £-пространства Буземана аккумулируют свойства финслеровых пространств с ’’хорошим” поведением геодезических. Г. Буземан в книге ’’Геометрия геодезических’’ (см. [9]) показал, что аксиом локальной продолжаемости кратчайшей и единственности такого продолжения в локально компактном полном пространстве с внутренней метрикой достаточно для получения многих нетривиальных результатов в геометрии. В [б] доказано, что всякое однородное О -пространство Буземана является топологическим многообразием, а группа всех его движений — группой Ли.
Естественными обобщениями однородных С-пространств Буземана являются однородные многообразия с внутренней метрикой (т.е. расстояние между любыми двумя точками многообразия равно
точной нижней грани длин кривых в этом многообразии, соединяющих данные точки). В последние годы идет бурное развитие теории гладких связных га-многообразий (M,dc) с внутренней метрикой Карио-Каратеодори. Последняя задается парой (Ф,А), где Ф : ТМ R - финслерова непрерывная метрическая функция на касательном расслоении ТМ (т.е. ограничение Ф на касательное пространство ТтМ, т £ М, есть норма), А - вполне неголономное гладкое распределение ^-плоскостей на М, к < п (dc есть финслерова метрика на М в случае к = п). Вполне неголономность распределения А означает, что векторные поля, принадлежащие А, в каждой точке т £ М вместе со всеми своими коммутаторами порождают ТтМ. Расстояние dc(p,q) между двумя точками р, q £ М определяется по формуле
h
dc(p,q) = inf J $(a{t))dty
11
где inf берется по всем кусочно дифференцируемым путям Q = a(t), t\ < t < t>2, соединяющим точки p и g, и таким, что a(t) для почти всех t принадлежит А. Конечность метрики dc следует из классического результата П. К. Рашевского [24] и В. Л. Чжоу [34], которые установили, что любые две точки связного гладкого многообразия, снабженного вполне неголономным распределением, можно соединить кусочно непрерывно дифференцируемым путем, касающимся данного распределения. Если (М, dc) однородно, то пара (Ф, А) инвариантна относительно группы изометрий многообразия М. В
случае, когда М есть связная группа Ли С, Д должно быть левоинвариантным распределением на С, таким, что векторное подпространство Г0 = Д(е) алгебры Ли Г группы С порождает Г, а левоинвариантная норма Ф на Д определяется нормой Го на Го формулой Ф(и) = Го(^-1(и)), и Е и 1д-1 — левый сдвиг С на элемент д~1.
На сегодняшний день существует целое направление в геометрии, исследующее свойства геодезических на этих многообразиях (см., например, работы [1], [10], [11], [13] — [15], [40] - [41], [43] - [44], [48], [49]). Так, в работах [10], [13] А.М. Вершиком и В.Я. Гершковичем найдены двусторонние точные по показателю верхние и нижние гельдеровские опенки левоинвариантных неголономных римановых метрик на группах Ли. Нахождение геодезических неголономных римановых и финслеровых метрик на однородных пространствах тесно связана с математической теорией оптимального' управления (см. [6], [28], [38]). В работе [6] доказано, что кратчайшие на однородных многообразиях с внутренней метрикой есть решения некоторой линейной по управлению задачи оптимального быстродействия. В [48], [49] нахождение геодезических в неголономных римановых многообразиях сводится к решению системы уравнений Гамильтона-Якоби.
В [3] доказано, что всякое однородное локально компактное пространство с внутренней метрикой является метрическим проективным пределом последовательности однородных многообразий с внутренней метрикой. Последние, в свою очередь (см. [4]), изометричны
б
фактор-пространствам С/Н связных групп Ли С по их компактным подгруппам Я, снабженным некоторой инвариантной относительно канонического действия £ на О/Я метрикой Карно-Карате-одори (может быть, неголономной). В настоящее время неизвестно, является ли всякое С-пространство Буземана конечномерным. По-видимому, конечномерное однородное ^-пространство Буземана не может быть неголономным. Этот результат доказан, с одной стороны, в компактном случае в [5], с другой стороны, в размерностях < 3 (см. [1]). Отметим, что неголономные однородные многообразия характеризуются условием '■фрактальности'’, т.е. их размерность Хаусдорфа больше топологической (см. [35]).
В диссертации рассматриваются три основные темы: 1) регулярность границ двойственных выпуклых тел в Дп+1; 2) квазиги-перболическая плоскость; 3) формы сфер специальных неголоном-ных левоинвариантных внутренних метрик на группах Ли 50(3) и 5£{2)Я.
Приведем основные результаты, изложенные в диссертации.
В главе 1 доказываются некоторые утверждения о регулярности и кривизнах Гаусса-Кронекера границ двойственных выпуклых тел в евклидовом пространстве. Выпуклым телом V в йп+1, п > 1, будем называть ограниченное замкнутое выпуклое множество, содержащее начало координат в качестве своей внутренней точки.
В §1.1 дано определение двойственного тела (поляры) II* выпуклого тела II и приводятся доказательства известных результа-
7
тов о двойственных выпуклых телах в Лп+1, которые будут нужны во второй главе. В частности (см. работы [39], [42]), что граница 811 выпуклого тела и дифференцируема тогда и только тогда, когда и* строго выпукло. Формулировка и доказательство результатов приводятся в терминах функции расстояния и опорной функции Минковского тела II.
В § 1.2 дано определение двойственной точки и* для точки и, лежащей на границе дО выпуклого тела V. Основной результат этого параграфа (и первой главы в целом) составляет теорема о регулярности границ двойственных выпуклых тел.
Теорема 1.1. Пусть II - выпуклое тело в Яп+1} п > 1, с границей ди класса С™, т > 2, и кривизна Гаусса-Кропекера поверхности дИ всегда положительна. Тогда граница ди* двойственного тела II* имеет класс Ст.
Для доказательства этой теоремы существенно используется предложение 1.4.
Предложение 1.4. Пусть V - строго выпуклое тело в Яп+1, п > 1, с дифференцируемой границей ди, и* ~ двойственное тело тела и с границей ди*. Тогда отображение /, сопоставляющее точке и £ ди двойственную ей точку и* £ д1>*, определяет гомеоморфизм поверхности ди на дЪ7*. Если г - радиус-вектор точки и £ ди, п - единичный вектор внешней нормали к поверхности дП в точке и, то радиус-вектор двойственной для и тючки и* равен
В §1.3 найдено геометрическое соотношение между кривизнами Гаусса-Кронекера границ двойственных выпуклых тел. Именно, доказана
Теорема 1.2. Пусть U - выпуклое тело в Rn+1, п > I, с границей dU класса Ст, т > 2. Предположим, что кривизна Гаусса-Кронекера К{и) поверхности dU всегда положительна. Тогда для кривизны Гаусса-Кронекера К*(и*) границы dU* двойственного тела U* справедлива формула
К'(и*)К(п) = cosn+2 а, (1)
где и - произвольная точка поверхности dU с радиус-вектором г(и), п(и) - единичный вектор внешней нормали к поверхности dU в точке и, а - угол между г (и) и п(и), и* € dU* - единственная двойственная тючка для и.
Равенство, эквивалентное равенству (1), было ранее получено в статье [36].
Из теоремы 1.2 следует (см. теорему 1.3), что для любой точки и € 0U справедливо неравенство
(г ■ \
— < К(и)К'(и’) < 1, (2)
\ Г max /
где rmin и г,Пах ~ наименьшее и наибольшее расстояния от начата ко-ординат до точек поверхности 8U. Равенство ( ) = К (и) К* ( и*)
выполнено тогда и только тогда, когда dU - сфера с центром в начале координат. Равенство К (и) К* (и*) = 1 выполнено тогда и только тогда, когда векторы г (и) и гс(гг) коллинеарны.
9
- Київ+380960830922