2
Введение.
В 1926-ом году Лефтецом в работе (13| была впервые доказана теорема о точках совпадения двух кусочно-линейных отображений компактных связных триангулированных и ориентируемых многообразий одинаковой размерности без края.
Для формулировки теоремы Лефшеца фиксируем ноле коэф-фициентов Я. Определим прежде всего число, называемое числом Лефшеца совпадений.
Пусть М,АГ - п-мерные компактные связные триангулированные и ориентируемые многообразий без края. Пусть /,д - кусочно-лннейные отображения из М в N. Пусть в7 - отображение Нч^\ Я) в себя , равное композиции НЯ{АТ\Я) —>/• НЧ{М\Я) —>о Нп-ч(М]Я) —*д. #п-д(Я; В) —>р-1 НЧ№\П), здесь £> - двойственность Пуанкаре. Так как #‘/(Я; Я) есть конечномерное векторное пространство, то определен след данного отображения. Определим число совпадений Л/>9 как элемент поля Я, равный 'Е£-о(“1)9Вр0ч.
Имеет место следующее утверждение.
ТЕОРЕМ А (ЛефШВЦ). В рассматриваемых условиях, если Л/>3 ^
О, то существует точка х, такая что /(х) = д(х).
Теоремы, обобщающие данный результат на случай двух непе-рывпых отображений топологических ориентируемых замкнутых многообразий одной и той же размерности были получены в 70-х годах в работах Щёлокопой Т.Н. (14) и МикЪсцса К. [15]. Построение числа Лефшеца и формулировка теоремы в данной ситуации такие же.
Обобщения данного результата на случай отображений многообразий с краем было получено Накаокой в работе 1980-го года (16]. Точнее, хотя данная теорема не доказана непосредственно в работе [16], но она является следствием леммы 8.1 в |1б] и уже изветсной теоремы для многообразий без края. Приведем формулировку данной леммы.
Пусть М, N - топологические многообразия с краями, компактные и ориетируемые. Пусть /, д - непрерывные отображения из М в N и пусть одно из отображений, скажем д, отображает ОМ в дМ. Число Лефшеца в данной ситуации определяется как ]С£=о(— где 0я есть отображение Нч^\ Я) в себя, равное композиции
#«(*; Л) ->/. нч(М] я) Нп-Ч(м,дм-Я) ->9. яп_,(л,эл; Я) ->о~1
#*(Я; Я). Здесь I) - опять двойственность Пуанкаре. Заметим, что
ВВЕДЕНИЕ.
3
в силу компактности векторное пространство НЯ(1Я\ Я) опять конечномерно, так что след врО4 определён.
Пусть ИМ - удвоение М, т.с. результат склейки двух экземпляров М по отождествлению их краёв. Очевидно, что ОМ будет многообразием без края, компактным, ориентируемым. Оба эти экземпляра М содержатся в ОМ, обозначить их можно как М+ и М~. Имеется ретракция г : ОМ —> М, совмещающая оба экземпяра М, составляющие ОМ, с М+. Аналогичная кострукция имеет место и для N. Имеется вложение г: АГ+ с DN. Определим удвоение отображения д, сохраняющего край, как отображение Од : ОМ —♦ DN, отображающее М+ п А'+ и М~ в с помощью отображения р. Так как д отображает край в край, то данное отображение корректно определено.
Лемма 8.1 в |16] гласит, что = Л*/г,£>5. При этом г/г. Од представляют из себя отображения многообразий без края, а для этого случая теорема уже известна. Кроме того, наличие тючки совпадения у пары отображений г/г, Од влечёт наличие точки совпадения у отображений /, р, так что указанная теорема для случая многообразий с краями действительно непосредственно следует из результатов [16]._
В (16] получены также результаты о структуре числа Лефшеца в случае, если имеется пара послойных отображений расслоений, база, слои и пространства которых - многообразия (см. ниже)
Непосредственно теорема для случая отображений многобразнй с краями получена в работе 1992-ого года К. МикЬецеа [17] (при этом автор признаёт приоритет Накаоки). В данной работе приведены также некоторые следствии из полученной теоремы. В частности, следующее непосредственное следствие, обобщающее теорему Брауэра о неподвижной точке: отображение, сохраняющее границу, имеет точку совпадение с каждым несущественным отображением.
В случае, когда оба отображения сохраняют край, имеются два числа Лефшеца - Л/,9 и А9г/. В {17| приведён пример, что они различны. Более того, одино из чисел может быть нулевым, в то время когда второе - не равно нулю. Отмстим в связи с этим следующий результат данной работы: в ранее введённых обозначениях, в случае, когда / и д сохраняют границу, имеет место равенство: 2Л/,у — ^D^,Dя+^■J\o^^,g\o^^ • (При этом граница может быть и несвязной, но распространение данной теории на несвязные многообразия тривиально).
В работе 1997 года Б.Ь. СопсаЬгез, Л. Лег5сгБк1 [3] рассмотрели случай, когда многообразия М, N компактны, но, вообще говоря, неориентирусмы и имеют края. При этом налагаются два дополнительных требования. Первое состоит в том, что отображение д ориентируемо, то есть д*9Сп(1V) = !К„(М). Здесь ЭС„(М) - ориентирующий пучок многообразия М (определяемый как продолжение на край ОМ ориентирующего пучка многообразия об-
разованного локальными гомологиями Нп(М,М\х\Я) в точках х € гп1М с коэффициентами в Я). Второе требование имеет два варианта: либо /(дМ) С ЯЯ, либо д(дМ) С дИ. Числа Лефшеца определяются как где в случае, когда д(дМ) С дN,
О7 есть отображение пространства ЯДА/; Я) в себя, равное композиции: ЯДА/; Я) ->/. ЯДА/; Я) НП-Ч(М, дМ; СКП(М)) ->д.
ЯП_7(АГ,ЯАГ;:КП(А/)) =с ЯДА/; Я). В случае же, когда /(ЯМ) С ЯЛГ, отображение 0Я есть отображение в себя пространства Hч(N1дN,R)i определённое как ком1юзиция:ЯДАг, ЯЛГ; Я) —»/• ЯДМ,ЯМ;Я) =/> ЯП.,(Л/;^П(М)) ЯП_7(Я;1КП(Я))
#ДЛГ, ЯЛГ; Я). Участвующие здесь двойственности Пуанкаре будут пояспены в основном тексте ниже. Заметим, что в силу компактности многообразий векторные пространства ЯД Я, ЯЛГ; Я), ЯДА/; Я) конечномерны, поэтому следы определены.
В каждой из этих двух ситуаций определено число Лефщеца совпадений отображений /,р и доказано, что неравенство этого ’числа нулю влечет наличие точек совпадения у отображений / и 9-
В случае многообразий без края оба способа определения числа Лефшеца совпадений эквивалентны. В случае же непустых краёв, когда /(дМ) С Я А’ и д(дМ) С Я А/ одновременно, имеются два различных способа определить число Лефшеца совпадений. В работе (3) доказывается результат, близкий результату МикЬег^еа К.. Именно, доказывается, что разность этргх двух чисел с точностью до знака совпадает с числом Лефшеца пары отображений / \ом,д |ом' &М —► Я А/.
Если обобщения на случай многообразий с краем, неориетиру-смых, но обязательно компактных, шли по пути обощеиия схемы доказательства в простейшем случае замкнутых многообразий, то случай некомпактных многообразий потребовал привлечения новых идей. В случае ориентируемых многообразий без края возникшие проблемы были преодолены В.Р. Давндяном в работе 1980-ого года (25]. В данной работе было сделано сле^чующее.
ВВЕДЕНИЕ.
5
Пусть М, Л/ - п-мериые многообразия, ориентируемые, без края, вообще говоря, некомпактные. Пусть /,д - неперыпные отображения М —> N, при этом / - компактное, д - собственное. В работе [25] в данной ситуации определено число Лефшеца совпадений отображений /,д и доказано, что неравенство этого числа нулю влечёт наличие точки совладения у отображений / и д.
В работе [26] рассмотрен случай, когда М, N - п-мерные ориентируемые многообразия с краями, вообще говоря, некомпактные. При этом вводится дополнительное предположение, что /(ЭМ) С 5ЛГ. В этом случае также определено число Лефшеца совпадений отображений /, д и доказано, что неравенство этого числа пулю влечёт наличие точки совпадения у отображений / и д.
В каждом из случае происходит построение индекса совпадений 1/,д и доказываегся, что А/^ = //)3, при этом в каждом из случаев оказывается практически очевидно, что если точек совпадения нет, то 1/>д = 0. Таким образом, доказав равенство Л/,9 = 1/<д, мы получаем доказательство основной теоремы. Построение 1/і9 во всех случаях происходит по схожей схеме.
В случае гладких отображений компактных гладких многообразий данное число имеет наглядную интерпретацию. Для типичных пар отображений /, д множество точек совпадения есть конечный набор точек. Каждой такой точке х мы можем приписать знак пересечения в точке /(х) х д(х) диагонали Д и образа 1т(/ х д). Тогда 1/д есть сумма этих знаков по всем точкам. Так что 1/д есть алгебраическое число точек совпадения.
Возможны обобщения теоремы Лефшеца и в другом направлении. Отм<ггим работу [18], в которой рассмотрена следующая ситуация. Пусть X - топологическое пространство, N С X - подмножество X, М - ориентируемое замкнутое связное многообразие размерности п, а (5, 55) - связное п-мерное компактное ориетируемое многообразие с краем, являющееся подмногообразием в М. Пусть имеются отображения д : X —♦ 5 и / : (Х,Х\іУ) —> (5,55), причём точки совпадения этих отображений лежат в N. В данной ситуации также может быть определен аналог числа Лефшеца совпадений. Делается это следующим образом (при этом используются сингулярные гомологии и когомологии первого рода с коэффициентами в О).
Пусть V : ЯД5,55; <3?) —► Я£^(5; 0>) - двойственность Пуанкаре. Фиксируем произвольным образом некоторый класс ц С
G
Hn(X, X \ N\ Q) (вся конструкция зависит от произвольного выбора этого класса). Для произвольного элемента с 6 #£_e(S;Q) класс f*D~l(c) лежит в группе Hq(X,X\N] Q). Так как пара нод-нространств {0, X \ N} вырезаема, то согласно §0 главы 5 в J8), определён элемент fD~l(c) ^ /х лежит в группе H„_q{X\Q). Так что определено отображение (): #£_,,№ Q) —► Q),
задаваемое формулой f\ = (/"Я“1) ^ д. Мы получаем отображение #£(£;Q) в себя, равное g.f\. Взяв сумму (—1 <7*/s)«7»
мы получаем число А/.у.
Индекс совпадений определяется так. Пусть d : X —► X х X - диагональное вложение, a d, : Н%(Х, X \ N; Q) —> Я£((Х, X \ N) х X]Q) - соответствующее отображение гомологий. Заметим, что гак как точки совпадения лежат в N, то образ (X \ N) х X под действием / х <7 лежит (с учётом вложения S С М) в (М х М) \ Д. Поэтому имеется отображение пар (X,X\N) х X —> (М х Mt (М х М)\Д). Пустьт € #п(МхМ, (MxM)\A;Q). Тогда Jf>g =< т, (/х g)*d*ii >. Доказывается, что данный индеек совпадает с числом Лефшеца.
В случае, когда X - компактное ориентируемое многообразие с краем, N - внутренность X, ад- фундаментальный класс, мы получаем одно из прежних определений числа Лефшеца. При этом в качестве частного случая частично (т.к. мы предполагаем, что все точки совпадения лежат в N) получается теорема Лефшеца для отображений ориентируемых компактных многообразий с краем.
В данной диссертации будет рассмотрен общий случай, когда М, N не предполагаются ни ориентируемыми, ни компактными. При этом отображение / компактно, д собственно и ориентируемо. Так же, как в работах [26|,(3|, предполагается, что М, N -многообразия с краями. Как и в [3], будет налагаться одно из следующих дополнительных ограничений: либо f(dM) С ON, либо д{дМ) С дМ. В каждом из этих двух случаев будет определено число Лефшеца совпадений и будет доказано, что при неравентсне пулю данного числа отображения fug имеют точки совпадения (теоремы 1,2).
В случае, когда f(dM) С 6N и д(дМ) С dN одновременно, получаются два способа определения числа Лефшеца совпадений. В теореме 3 устанавливается, что разность между ними - число Лефшеца для отображений краёв.
Отметим, что все указанные результаты формулируются в терминах сингулярных гомологий и когомологий.
- Київ+380960830922