Слоения на поверхностях в дополнениях к зацеплениям

Содержание
1 Введение 3
2 Постановка задачи 7
2.1 Основные определения....................................... 7
2.2 Формулировки изучаемых вопросов......................\ . . 11
3 Слоения на поверхностях 12
3.1 Книжные представления узлов и зацеплений.................. 13
3.2 Шахматные слоения, высекаемые на торах.................... 15
3.3 Препятствия к упрощению торов............................. 18
4 Упрощение торов, лежащих в дополнениях к зацеплениям 20
4.1 Базовый приме]).............,............................. 20
4.2 Пример тора из ЛБЛ-разложения............................. 21
4.3 Связь построенных примеров с примерами К. Нг.............. 24
4.4 Пример с двумя компонентами................................ 26
5 Упрощение торов, лежащих в дополнениях к узлам 27
5.1 Частный случай: торы Нг.................................... 27
5.2 Алгоритм нахождения всех торов, имеющих шахматное слоение 35
5.3 Упрощение торов, имеющих сложность менее 22.............. 41
5.4 Псу прощаемый тор сложности 22 43
2
1 Введение
Математическая теория узлов возникла в 19 веке усилиями трех физиков: Дж. Максвелла, П. Тэйта и У. Томсона. Интерес к узлам был поначалу связан с чисто физическими проблемами теории электромагнетизма и изучением строения атома, позднее теория узлов стала развиваться как самостоятельная наука. В конце XIX века в работах [1] и [2] были построены первые таблицы узлов малой сложности. Позже теория развивалась благодаря работам Дж. Александера, М. Дэна, Г. Зейферта, К. Рейдемейстера и многих других математиков.
На этапе зарождения теории узлов последние представлялись регулярными проекциями на плоскость, а движения Рейдемейстера рассматривались как их элементарные преобразования [3], [4]. Позже было придумано другое комбинаторное описание - с помощью так называемых кос (впервые введены Е. Артином и работах [7) и [8]) и движений Маркова [5], |6]. Проблема равенства в группе кос также была решена Е. Артином.
Одним из важнейших направлений в теории узлоз является построение алгоритмов (как чисто теоретических, так и работающих на практике) для решения существующих задач. При этом алгоритмические решения некоторых проблем оказываются довольно сложными. Например, алгоритмов, определяющих эквивалентность двух узлов или тривиальность данного узла, не существовало до середины 50-х годов XX века, хотя уже в начале века появились доказательства неэквивалентности и нетривиальности конкретных узлов. Нам также не известно ни о каких попытках построения алгоритма, определяющего является ли узел сателлитным, до этого времени.
Опишем кратко некоторые существующие в теории узлов алгоритмы.
В работе [52] В. Хакеном был построен алгоритм распознавания тривиального узла при помощи нормальных поверхностей Г. Кнезера [9]. В той же рабоге строятся алгоритмы для вычисления рода узла, а также определения разводи мости зацепления.
В [10] X. Шуберт, продолжая работу В. Хакеиа, построил алгоритм для разложения неразводимого зацепления в связную сумму простых слагаемых. Существование и единственность такого разложения была доказана Шубертом ранее в [11], а на произвольные зацепления этот результат обобщил Й. Хашицуме в [12].
з
1
Идеи решения проблемы распознавания зацеплений с помощью исследования их дополнительных пространств были сформулированы
В. Хакеном в работах [13], [14]. При этом в реализации этих идей значительный вклад был внесен благодаря развитию теории достаточно больших многообразий в работах Ф. Вальдхаузека [15], Йоганксона [51], У. Джейко и П. Шалена [48], а также решению Дж. Хемионом проблемы сопряженности в группах классов отображений [16]. Проблема алгоритмической классификации неприводимых достаточно больших многообразий многократно объявлялась решенной [17], [18], [19]. Однако, как указал С. Матвеев [20], этих результатов было все еще недостаточно для завершения программы Хакена. Пробел был заделан С. Матвеевым с помощью более поздних результатов [21], [22]. Полное описание алгоритма распознавания многообразий Хакена, дающего в частном случае алгоритм распознавания зацеплений, можно найти в работе [46]. \
В силу всего вышесказанного формально вопрос о разрешимости задачи сравнения двух данных зацеплений считается решенным. Однако, алгоритм, описанный в [46], настолько сложен, что реализовать его на практике (в виде компьютерной программы) практически невозможно даже в тех случаях, когда эквивалентность или неэквивалентность данных узлов «очевидна». При этом следует упомянуть, что существует и другой подход к алгоритмической классификации многообразий Хакена, основанный на теореме Тёрстона о гиперболизации [23|, [24]. Однако, подробное его описание в литературе отсутствует.
В конце 1960-х в работах Г. С. Маканина [25], и Ф. Гарсайда [26] независимо была решена проблема сопряженности в группах кос. Полученные алгоритмы требовали очень большого перебора. Гарсайд указал также и новый алгоритм для решения проблемы равенства в группе кос, но этот алгоритм также был очень медленным.
Отметим, что примерно до середины 1980-х годов сложность алгоритмов, не связанных напрямую с решением технических задач, не обсуждалась. Интерес к подобным вопросам появился в связи с широким распространением персональных компьютеров, позволивших применять построенные алгоритмы для дальнейшего исследования. В 1980-хх гг.
У. Тёрстон существенно улучшил алгоритм Гарсайда для распознавания кос и получил алгоритм с полиномиальной по длине входа оценкой на время работы. Тёрстон доказал, что группы кос обладают биавтоматной
4
структурой [27]. Впоследствии и алгоритм для распознавания классов сопряженности кос был существенно ускорен [28]-[30].
В конце 1980-х - начале 1990-х Дж. Бирман и У. Менеско стали активно развивать подход Александера-Маркова, основанный на представлении зацеплений замкнутыми косами [34]-[41). Развитые ими методы в том числе привели к построению нового алгоритма для распознавания тривиального узла [42], который, ио-видимому, уступает алгоритму Хакена в скорости, но позволяет получать данные, полезные для дальнейшего исследования.
В недавней работе И. А. Дынников [31] предложил еще один алгоритм распознавания тривиального узла, принципиальное отличие которого от ранее известных состоит в том, что он не использует дополнительные конструкции такие, как триангуляции дополнительного пространства и расслоенные диски, а работает непосредственно с диаграммами узлов, монотонно их упрощая. В работе было показано, что прямоугольную диаграмму тривиального узла можно привести к тривиальному виду при помощи элементарных движений, не повышающих сложность диаграммы (в дальнейшем мы будем говорить об этом как о монотонном упрощении прямоугольных диаграмм узлов и зацеплений). В той же работе показывается. что с помощью монотонного упрощения можно решить и задачу разложения узла или зацепления на простые неприводимые слагаемые. Под этим понимается следующее: при помощи элементарных преобразований не увеличивающих сложность, диаграмму узла/зацеиления можно привести к виду, который представляет собой соответствующую композицию диаграмм простых составляющих данного узла/зацеилеиия. Естественно возникает следующий вопрос: верно ли, что и диаграмму любого сателлитного узла можно монотонно упростить до такого вида, где структура компаньона будет явно видна? Этот вопрос является центральным для нашего исследования. В качестве иллюстрации представлен рисунок 1.1.
5
Рис. 1.1.
¥
я
Пд. 1
Пд.4
Похожий «опрос дли случая замкнутых кос изучался в работе Бирма?! и Ме?1эско [40). Однако, как выяснилось позже, в рассуждениях авторов была ошибка (см. [41], [33]), в связи с чем геометрическое описание найденных ими серий торов нельзя было считать оконченным.
Настоящая диссертация посвящена изучению возможности монотонного упрощения прямоугольной диаграммы сателлитного узла до диаграммы, на которой сателлитпая структура становится явной. Для этого в начале даются необходимые определения и теоремы, а также излагается техника, позволяющая упрощать прямоугольные диаграммы зацеплений при помощи изучения слоений на поверхностях, лежащих в дополнениях к ним. Далее, объясняется какие результаты удается получить при помощи этой техники и какие возникают проблемы для дальнейшего упрощения. В частности, объясняется какие существуют примеры вложений торов, чья структура не поддаются выявлению на прямоугольной диаграмме. Кроме того, в работе строится алгоритм поиска комбинаторных описаний всех торов, обладающих шахматным слоением. Данный алгоритм удалось реализовать на практике в виде работающей компьютерной программы. Некоторые иллюстрации данной диссертации являются результатом работы вышеописанной программы.
Основными результатами диссертации являются:
1. Теоремы 4.1, 4.9 и 4.13, в которых строятся примеры торов, лежащих в дополнениях к соответствующим зацеплениям, неупрощасмые до вида тонких торов (границ достаточно маленьких трубчатых окрестностей узлов).
с