Оглавление
0. Владение......................................................................................................................................4
Глава I. Введение в спектральную теорию узлов..................................8
1. Пространства узлов..........................................................8
2. Симплициальное разрешение дискриминанта.....................................8
3. Основная фильтрация в разрешенном дискриминанте; ассоциированная с ней спектральная последовательность.............................................9
4. Теорема Концевича о реализации и гипотеза Васильева....................... 10
5. Комплексы связных и двусвязных графов; пространство Ту ................... 10
6. 3-блоки и комплексы связных графов........................................ 13
7. Вспомогательная фильтрация в члене оДег<_і основной фильтрации............ 13
8. Клеточное разбиение в <гД<Т{_і. Ориентация клеток ........................ 14
9. Нулевой дифференциал основной спектральной последовательности............. 16
Глава II. Различные способы вычисления первого члена основной (=вто-
рого члена вспомогательной) спектральной последовательности .... 18
10. Другая реализация гомологий комплексов связных графов; пространство 18
11. Первый член вспомогательной спектральной последовательности.............. 21
12. Дифференциал (1} вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы диаграмм и стар-диаграмм деревьев СІ'ІУ*1*ісигп>, 24
13. Комплексы обобщенных Т-диаграмм и обобщенных Т.-диаграмм................. 26
14. Упрощение вычислений с помощью введения дополнительной фильтрации в первом члене вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы СТ0£^, СТф“'сп......................................................... 27
15. Некоторые производящие функции ......................................... 29
16. Когомологии комплексов связных графов и свободная (супер)алгебра Ли; пространства В^, Вц.......................................................... 30
17. Первый член двойственной вспомогательной спектральной последовательности 33
18. Отображения склейки и двойственные им отображения расклейки.............. 35
19. Дифференциал Д двойственной вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы скобочных диаграмм и стар-диаграмм СВБа^е**п\ СВ.ОаЛ*'™п)............................................................... 36
20. Скобка Пуассона (Схоугена) и дифференциал комплексов С В В**#.***), СВ.1Ул*п'п’>.............................................................. 40
21. Упрощение вычислений с помощью введения дополнительной фильтрации в первом члене двойственной вспомогательной спектральной последовательности. Комплексы СВфм, СВфеухп ................................................ 45
Глава III. Двадцать дифференциальных алгебр Хопфа, связанных с дискриминантами пространств некомпактных узлов.................................. 47
22. Об алгебрах Хопфа........................................................ 47
23. О дифференциальных алгебрах Хопфа........................................ 51
24. Шесть дифференциальных алгебр Хопфа ОНАВфшу ПНАВф***, ВИЛВф"*, ИНАВІІУ™, ИНАВОш, ОНАВО™" скобочных (стар/ноль)-диаграмм.................................................................. 52
25. Шесть дифференциальных алгебр Хопфа £>//ЛТ.£>С1И, ОНАТ.ОС1'еп, ИІІ АТфш, ОИАТо1У>гл,ОНАТ1Ум,ВНАТО*1*п{стя.-[>1ноаъ)- диаграмм деревьев . . 54
26. Восемь дифференциальных алгебр Хопфа, определенных нулевым членом основной спектральной последовательности....................................... 55
2
27. Гипотезы об умножении и коумноженли в (ко)гомологиях пространств некомпактных узлов............................................................... 56
28. Суперкоммутативиость биаагебры гомологий пространств некомпактных узлов 57
29. Суперкоммутативность алгебры (Хопфа) гомологий ОНАБ1Ум^п'*п^(к) . . 60
30. Суперкоммутативпость алгебры (Хопфа) гомологий НАВ.Опчм{к) относительно частинного дифференциала 8 = 64
31. Несуперкоммутативность алгебры (Хопфа) гомологий И АВ.Ош{к) относительно частичного дифференциала д = др^ ........................................ 67
32. Суперкоммутативность алгебры (Хопфа) гомологии 1)НЛВ.Ое*еп{к) .... 69
33. Вычисление гомологий 7Ш.4В7>‘3'<л’‘ч'сп)(2) при сложности і < 2......... 74
34. Вычисление гомологий ОН.4В0(2) при сложности * < 3...................... 76
35. Алгебра (Хопфа) гомологий Н АВ,Ош<-ег1(П\к) относительно частичного дифференциала 8 = дрям .......................................................... 79
36. Соответствие между алгебрами Хопфа гомологии ОН А В [уМ****) (0 ] н ОНАВ.&^^Ю).................................................................. 80
37. Биалгебры хордовых (сунер)диаграм.м........................................ 83
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.............................................................. 84
3
0. Введение
0.1. История предмета
Топологическое изучение дискриминантов, то есть особых геометрических объектов было начато В.И. Арнольдом в конце 60-х годов, см. (Арнольд2). Оно тесно связано с изучением дополнительных пространств к этим объектам. Позднее это привело к возникновению новой области в математике - теории дискриминантов, основным инициатором развития которой был В.Л.Васильев, см. (Васильев, \г5].
Основным инструментов в вычислении групп гомологии таких объектов являются симпдициальные (или, в более общем случае, конические) разрешения дискриминантных пространств.
В датой работе я изучаю енмплицпальное разрешение а (построенное В.А.Васильевым, см. [VI]) дискриминанта для пространств некомпактных узлов в И”, « > 3 Некомпактньини узлами называются неособые вложения К1 ч й", совпадающие с некоторым фиксированным линейным вложением вне некоторого компактного подмножества в Е*1.
В а имеется естественная фильтрация
0 = <7о С 0\ С о-х С ... (0.1)
М.Концевич доказал, что спектральная последовательность (Васильева), ассоциированная с этой фильтрацией и считающая гомологии Бореля - Мура (= гомологии одноточечной компактификацни, приведенные относительно точки) разрешения а (которые по двойственности Александера - Понтрягина изоморфны когомологиям пространства узлов) вырождается над 0 в первом члене. С другой стороны, в членах огД<7<-1 фильтрации имеется простое клеточное разбиение (зависящее с точностью до сдвига в размерности только от четности п объемлющего пространства К"), которое делает вычисление первого члена спектральной последовательности Васильева геометрически тривиальным.
По ряду причин В.А.Васильев предположил, см. Гипотеза 4.1, что фильтрация (0.1) гомотопнчески расщепляется. Из чего должно следовать вырождение нашей основной спектральной последовательности в нервом члене для любого коммутативного кольца (абелевой группы) коэффициентов. Исходя из этого предположения основной алгебраической задачей вычисления когомологий пространств некомпактных узлов в й", п > 4 (при п = 3 изучаемая спектральная последовательность считает лишь некоторую подгруппу в когомологиях пространства узлов), становится вычисление первого члена, различным способам нахождения которого и посвящена моя работа.
Для вычисления первого члена этой спектральной последовательности В.А.Васильев ввел вспомогательную фильтрацию на членах сгДа,-_|. Получающаяся вспомогательная спектральная последовательность, ассоциированная с этой фильтрацией и считающая гомологии относительно нулевого дифференциала основной спектральной последовательности, вырождается во втором «йене, так как ее первый член (для каждого ») сосредоточен в одной строке. Нулевой член вспомогательной спектральной последовательности вместе с нулевым дифференциалом на нем есть прямая сумма тензорных произведений комплексов связных графов. Гомологии комплексов связных графов сосредоточены в одной размерности и образуют свободный 2-модуль. Они имеют простое описание как пространство, порожденное деревьями, и профакторнзованное по трехчленкьш соотношениям. Комплексы связных графов возникают в симплициаль-ыых разрешениях многих аналогичных дискриминантов.
4
При п = 3в нулевых когомологиях спектральная последовательность Васильева вы числяет так называемые “инварианты (= нулевые когомологии) конечного порядка" которые можно определить и в других, более простых геометрических терминах, см [СЬОЬ]. Двойственный пространству инвариантов объект есть би алгебра хордовых диа грамм, которая активно изучалась в последние годы, см [ВЫ, СЬР, СЬПЬ, К1, Кп, Ь N5, Б, 2\. Целью моей работы было показать, что в высших когомологиях пространств (некомпактных) узлов также возникает очень красивая математика.
0.2. Содержание работы. Основные результаты
В первой главе дается краткое описание конструкции В.А.Васильева енмплнцналь-ного разрешения дискриминанта для пространств некомпактных узлов. Формуляру-кугся основные известные результаты, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Вторая глаза посвящена различным способам вычисления второго члена вспомогательной спектральной последовательности. Во-первых, мною было замечено, см. пункты 11-12, что задание ориентации клеток в (тех, которые участвуют
в первом члене вспомогательной спектральной последовательности) может быть заметно упрошено за счет взаимоуничтожения их (клеток) элементов ориентации. Получающийся при этом комплекс (который изоморфен первому члену вспомогательной спектральной последовательности вместе с первым дифференциалом на нем) зависит только от четности п размерности объемлющего пространства ЕГ. Этот комплекс я обозначил через СТ.О04**, СТ.Оеуеп {комплекс сгпардиаграмм деревьев) для нечетного и четного п соответственно. Комплексы биградуированы, дифференциал в
них имеет биградуировку (0,-1). Комплексы СТ./>я*<(*л‘*п1 ®к, где к - основное коммутативное кольцо (абелева группа) коэффициентов, я обозначаю через СТ,(к).
В дискриминанте мы можем рассмотреть страты, порожденные отображениями К1 -т Жп, имеющими только (конечнократные) самопересечения (исключаем отображения имеющие особенности - вырождение первого дифференциала в какой-нибудь точке прямой Ж1). Диаграммы в СГ.1РоЛ4:е‘’гп)(к), отвечающие этим стратам я называю (просто) диаграммами деревьев. На пространстве, порожденном этими диаграммами, индуцируется структура факторкомплекса. Получающийся комплекс я обозначаю через СТОш^еуа*){к) (комплекс диаграмм деревьев). В СГОски[п'еп\к) можно рассмотреть подпространство элементов, граница которых, азятая в С'Г,ОсМ'сы'п^(к), остается в СТ£Й-*вв,я)(к). Комплекс, образованный этим подпространством я обозначаю через СТо£Р*^"'е")(к) С бТИл^е,,еп)(к) {комплекс ноль-диаграмм деревьев). Основной мой результат по упрощению вычислений первого члена основной спектральной последовательности состоит в том, что гомологии комплексов С7оРпЛЧ'”п)(к) и С7’.£)оА#:<”п)(к) совпадают, см. пункт 14.
Рассмотрим свободную алгебру Ли от конечного набора образующих. Рассмотрим в ней подпространство, линейно порожденное скобками, в которых каждая из образующих встречается ровно один раз. Этот объект возникает в работе (ВС). Я обнаружил, см. пункт 16, что когомологии комплексов связных графов естественно изоморфны этому подпространству, которое нанлучшим образом подходит для описания комплексов (СЯ.£>лИ<е~п>(к), СВОы^епНк), СВйОш'^(к) - комплексы скобочных (стар/ноль)-диаграмм) двойственных к СТ.О0^евеп\к), СТОы*-е°епЦк), СТ’ц£)вИ;п'"|)(к) соответственно.
Заметим, что комплекс С В. &**"*** (к) (а значит, н комплекс СВ0£,оЛЛ:,:'еп)(к)) вычисляет первый член спектральной последовательности, двойственной основной и считающей гомологии над к пространства некомпактных узлов.
5
В третьей главе я определяю, см. пункт 26, структуру (суперкоммутативной) дифференциальной алгебры Хопфа на нулевом члене основной спектральной последовательности, которая индуцирует аналогичную структуру, см. пункты 24-25 на комплексах СТ.£У««'™Цк), СТОоЛ*"’*"№, СТьО««™пЩ, к), СВ1У*Ч*"**Нк),
СВоЕ^^Цк).
Получающиеся дифференциальные алгебры Хопфа я обозначаю 1)НАТ,ОоМ^а'епЦк),
ОН АТ
ОНАТ0ЕГМ(™'>[к), ОНАВ.О^^Ік), йНАВ (к), ОНАВ^О0**“^к), со-
ответственно. При этом первые три из них суперкоммутатиони, а следующие три -суперкокоммутативны.
Ситуация, когда геометрия дискриминанта содержит некоторую информапию о мультипликативной (и комультипликативной - в случае, когда пространство дополнения является //-пространством) структуре в когомологиях пространства дополнения, типична для многих дискриминантов. Гипотезы об имеющейся связи в нашем случае пространств некомпактных узлов формулируются в пункте 27 (Гииотсзи 27.6-7).
Если основным кольцом к было поле, тогда гомологии дифференциальной алгебры Хопфа относительно дифференциала образуют алгебру Хопфа; если же к не является полем, тогда соответствующие гомологии мы рассматриваем просто как алгебры над к.
Пространство некомпактных узлов в К", п > 3, является //-пространством, следовательно, его (ко)гомологии с коэффициентами в поле образуют биалгебру (алгебру Хопфа, при п > 4). Для кольца коэффициентов к, не являющегося полем, мы рассматриваем (ко)гомологии этих пространств (с коэффициентами в к) просто как алгебры над к.
В работе доказаны следующие теоремы.
Теорема 28.1. Биалгебра гомологий над полем характеристики ноль пространства некомпактных узлов в К", л > 3, суперкоммутативна. □
Теоремы 29.1, 29.21. Алгебра (Хопфа) гомологий ОН АВО0*****^) суперкоммутативна для любого коммутативного кольца к. □
Теорема 32.1. Алгебра (Хопфа) гомологии £>//.4В.Осиеп(к) суперкоммутативна для любого коммутативного кольца к. □
Метод доказательства Теоремы 32.1 не обобщается на случаи ОНАВ.Ош{к).
Также показано, см. пункт 36, что естественное вложение
ОН ЛВОш{с™\к) ОНАВ.ОШ['™\к) (0.2)
в случае, когда к - поле характеристики ноль, индуцирует сюръективное отображение в гомологиях. При этом в случае четного п ядром является идеал, порожденный одной примитивной образующей, в случае нечетного п двумя. Из чего, в частности, следует, что аігебра Хопфа гомологий ОНАВ,Ош(к) суперкоммутативна, если к - поле характеристики ноль.
Также я позволил себе включить в эту главу, см. пункты 22-23, свое доказательство, инспирированное работой С.К.Ландо [Ь], некоторых классических результатов, см. (ММ], о (дифференциальных) алгебрах Хопфа, например, я доказав, что
1) Любая связная (дифференциальная) биалгебра над произвольным коммутативным кольцом является (дифференциальной) алгеброй Хоифа;
2) Любая связная суперкокоммутатнвнзл (дифференциальная) биалгебра над полем характеристики ноль является универсальной обертывающей (дифференциашюй) су-нералгебры Ли ее примитивных элементов.
6
- Київ+380960830922