-2-
Оглавление
Введение.................................................... 3
Глава I. Семейства орисфср собственной и идеальной областей пространства Лобачевского...........................
§ 1. Семейства ориентированных гиперплоскостей пространства Я„+1 и семейства гиперорисфер пространства Ал+1 12
§ 2. Семейства ориентированных гиперплоскостей пространства £л41 и семейства гиперорисфер пространства ......... 38
§ 3. О модели пространства Лобачевского в семействе сфер
евклидова пространства.................................. 52
Глава II. Преобразования Лагерра и их аналоги...............
§ 4. Преобразования Лагерра в В3 и преобразования на СРХ.... 55
§ 5. Аналоги преобразований Лагерра в пространстве Лобачевского ................................................. 64
§ 6. О преобразованиях Лагерра на псевдоевклидовой 76
плоскости .............................................
Глава III. Поверхности вращения постоянной кривизны в псевдоевклидовом пространстве...............................
§ 7. Поверхности вращения трактрисы в псевдоевклидовом пространстве, когда база и касательная к трактрисе являет-
ся прямыми одного типа............................... 82
§ 8. Поверхности вращения постоянной кривизны в евклидовом и псевдоевклидовом пространствах и их взаимосвязь .. 89 Литература................................................. 111
- 3-Введение
Пространства постоянной кривизны - наиболее простые из неевклидовых пространств. Интерес к ним объясняется тем, что они имеют приложения и в математике, и в теоретической физике. Как и любая другая область математики, они всегда будут служить источником различных задач.
Геометрии т - орисфер в неевклидовых пространствах посвящена работа М.И. Горбуновой [5] (см. также [24]). Движения в псевдоевклидовых пространствах изучались в частности, в различных статьях В.Г. Коппа, из которых в данной работе использованы [11] и [12]. С приложением этих преобразований можно ознакомиться, например, по книге [14]. Теория нормализации А.П. Нордена изложена в [18]. Необходимые сведения из теории касательных расслоений можно найти в [6]. Геометрия Лагерра подробно изложена И.М. Яг-ломом в [33] (см. также [9]). Теории дробно - линейных преобразований посвящено много работ Б.А. Розенфельда, З.А. Скопеца, И.М. Яг-лома. Аналоги преобразований Лагерра, действующие в многообразии прямых плоскости Лобачевского, рассмотрены в совместной работе [26] двух последних авторов. А.П. Широков предложил рассматривать аналоги преобразований Лагерра, действующие в многообразиях орициклов плоскости Лобачевского и орисфер пространства Лобачевского [28], [30], [31]. Аналоги преобразований Лагерра в многообразии орициклов плоскости Д2 изучены в работе М.А. Микенбсрга [15]. Аналоги преобразований Лагерра в идеальной области пространства Лобачевского введены в работе К.П. Шустовой [35]. Связь геометрии касательных расслоений комплексной проективной прямой с геометрией Лобачевского изучалась в работе H.H. Переломовой [20].
Классические результаты по геометрии Лобачевского приведены в сборнике [19]. Вопросам вложения поверхностей с определен-
-4-
ной метрикой в трехмерное псевдоевклидово пространство посвящена работа Д. Д. Соколова [27]. Интерпретации пространств постоянной кривизны изложены в книгах Б Д. Розенфельда [24],Ф. Клейна [10], Э. Картана [8], П.А. Широкова [32] и многих других авторов. Свойства псевдоевклидовой инверсии изложены в [25].
Приступим к общей характеристике работы.
Цель работы
Установить взаимосвязь между геометриями семейств орисфер собственной и идеальной областей пространства Лобачевского с одной стороны, и геометриями семейств ориентированных плоскостей евклидова и псевдосвклидова пространств - с другой. Дать истолкование аналогов преобразований Лагерра, действующих в многообразии орисфер пространства Лобачевского. Дать истолкование некоторых однопараметрических подгрупп группы Лагерра на псевдоевклидовой плоскости и изучить поверхности вращения соответствующих траекторий в псевдоевклидовом пространстве.
Методы исследования
Используются методы классической дифференциальной геометрии, теории расслоенных пространств, метод нормализации Нордена, методы теории гладких многообразий и групп Ли, методы теории накрытий.
Научная новизна и основные задачи, решенные в диссертации и быноенмые на защиту
Выделим следующие основные результаты.
1. Установлены взаимосвязи между геометриями семейств ориентированных гиперплоскостей евклидова пространства, огибающих ориентированные гиперсферы, и геометриями семейств гиперорисфер пространства Лобачевского, огибающих элементарные поверхности постоянной кривизны этого пространства.
- 5-
2. Установлены взаимосвязи между геометриями семейств ориентированных гиперплоскостей псевдоевклидова пространства 1Еп+1
и геометриями семейств гиперорисфер идеальной области про-
странства Лобачевского.
3. Дано истолкование аналогов преобразований Лагерра исходя из свойств пространства Лобачевского.
4. Введены аналоги трактрисы на псевдоевклидовой плоскости и изучены поверхности вращения этих кривых в псевдоевклидовом пространстве. Изучены поверхности вращения постоянной кривизны в псевдоевклидовом пространстве и установлены их связи со стандартными плоскостями 52,Л2> 1Л2.
Научное и прикладное значение
Полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов в тех высших учебных заведениях, где проводятся исследования по дифференциальной и неевклидовой геометриям, изучаются основания геометрии.
Апробация работы
Основные результаты работы докладывались и обсуждались на итоговых научных конференциях ЕГПИ 1994-2001 годов; на международной школе - семинаре на геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Абрау-Дюрсо, сентябрь 1998 г., 2002 г.); на международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики», посвященной 40-летию механико-математического факультета КГУ (Казань, октябрь 2000 г.), на семинаре кафедры геометрии КГУ.
Публикации
Основные результаты работы опубликованы в статьях и тезисах /[36]- [46]/.
Структура и объем работы
-6-
Дисссртация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Весь материал разбит на 8 параграфов. Нумерация формул ведется по параграфам. Например, обозначение (8.2)указывает на вторую формулу восьмого параграфа.
Краткое содержание работы
В первой главе строится диффеоморфизм многообразий ориентированных гиперплоскостей евклидова и псевдоевклидова пространств и многообразий гиперорисфер соответственно собственной и идеальной областей пространства Лобачевского, изучаются взаимосвязи между огибающими семейств гиперорисфер и гиперплоскостей. Посредством изотропной проекции (см., например, [9]), многообразия огибающих наделяются псевдоевклидовой метрикой, изучаются взаимосвязи между метриками подмногообразий.
В § 1 гиперорисфере собственной области пространства Лобачевского А/;+1 сопоставляется ориентированная гиперплоскость пространства Еп+1, рассматриваются огибающие семейств гиперорисфер и гиперплоскостей. Выделяются случаи, когда огибающие (циклы) являются гиперплоскостями пространства Лобачевского, точками пространства А„+1, гиперорисферами, гиперсферами, эквидистантами гиперплоскостей. Характеристика соответствующих им ог ибающих семейств гиперплоскостей дается с учетом свойств пространств ЕП+] и
1ЕП+1. С использованием изотропной проекции дается истолкование касания циклов. Рассматриваются преобразования «переориентации» циклов. Дается конформная интерпретация соотношений двойственности, задаваемых абсолютным поляритетом в проективной модели расширенного пространства Лобачевского. Находится вид линейного элемента индуцированной метрики в подмногообразиях огибающих семейств гиперорисфер.
-7-
В § 2 конформная модель идеальной области 1ЛЛ+1 пространства Лобачевского получена методом автополярной нормализации гиперквадрики в проективном пространстве Рп+2 . Далее решаются задачи, аналогичные задачам § 1, для семейств гиперорисфер идеальной области 'Аи+1 пространства Лобачевского и семейств ориентированных гиперплоскостей пространства 1 Еп+1.
В § 3 рассматривается модель пространства Лобачевского в семействе сфер евклидова пространства. Для наглядности рассуждения ведутся в малой размерности. Дается геометрическая характеристика семейств окружностей, соответствующих простейшим кривым, в частности, орициклам плоскости Лобачевского.
Во второй главе рассматриваются преобразования Лагсрра и их аналоги в пространстве Лобачевского. В § 4 строится базис операторов группы Лагерра G10 в Еъ. Преобразования группы истолковываются как движения пространства 1£4. Устанавливаются связи этих преобразований с преобразованиями на комплексной проективной прямой.
В § 5 дается истолкование преобразований группы С10 исходя
из свойств пространства Лобачевского А3. Выделяется подгруппа
группы О10, изоморфная группе движений пространства А3. Дается
истолкование псевдоевклидовых трансляций в пространстве Лобачевского.
В § 6 дается геометрическая характеристика некоторых операторов группы Лагерра плоскости Е2, частично изученной в [34]. Устанавливаются связи этих преобразований с геометрией Лобачевского.
В третьей главе изучаются поверхности вращения постоянной кривизны в псевдоевклидовом пространстве.
-8-
В § 7 рассматриваются поверхности вращения одной из трактрис, найденных в § 6. Для поверхности, полученной эллиптическим вращением трактрисы, строится ее накрытие идеальной областью 1Л2 плоскости Лобачевского с удаленным особым орициклом - изотропной прямой. Каждая точка при эллиптическом вращении трактрисы движется по орициклу идеальной области, при гиперболическом - по орициклу собственной области плоскости Лобачевского. Фактически одна из этих псевдосфер получена П.А. Широковым в работе «Интерпретация и метрика квадратичных геометрий» [32]. Только автор не обратил внимания на свойства самого меридиана и не исследовал глобально связи поверхности с идеальной областью плоскости Лобачевского.
В § 8 рассматривается более общая задача. Рассматриваются меридианы поверхностей вращения постоянной кривизны в псевдо-евклидовом пространстве. Показывается, что в интегрируемых случаях меридианы являются трактрисами или окружностями (которые тоже можно истолковать как трактрисы, только с изотропной базой).
Изучаются поверхности вращения в 1Е3. Строится, в частности, продолжение евклидовой «воронки» Бельтрами-Миндинга. Пропедевтический рисунок для этой цели можно найти в [16]. С помощью теории
накрытий и двух метрик пространств Еъ и 1Е3 устанавливаются взаимосвязи изучаемых поверхностей с поверхностями вращения постоянной кривизны в Е3 и со стандартными эллиптической, гиперболической плоскостями, а также с идеальной областью плоскости Лобачевского.
Определения и обозначения, используемые в работе
Пространством Лобачевского Д„, или п- мерным гиперболическим пространством, называется пространство, изометричное полу-
-9-
сфере мнимого радиуса псевдоевклидова пространства хЕп+\ с линейным элементом
Л2 = 1№/)2-(^м+1)2. (*)
/*1
В работе почти всюду используется конформная интерпретация пространства Лобачесвского Дл в евклидовом полупространстве с ортогональными координатами 71,.. .,77" . Абсолют пространства А„ в
используемой модели задается уравнением 7]п = 0, линейный элемент метрики имеет вид
2>*‘)а ж* —
(7П)2
Движения пространства Ля- взаимно-однозначные отображения этого пространства на себя, сохраняющие вид линейного элемента. Гиперо-рисферы пространства Ап в данной модели изображаются евклидовыми гиперсферами, касающимися абсолюта, и евклидовыми гиперплоскостями, параллельными абсолюту.
Под идеальной областью *ЛЯ пространства Лобачевского иногда понимается пространство, изометричное множеству мар диаметрально противоположных точек сферы вещественного радиуса пространства 1Е„+1 единенным элементом (*), или пространство, эквивалентное данному с точностью до «обращения мнимостей»: вещественные расстояния умножаются на комплексную единицу / , мнимые - делятся на / .В первой главе используется модель Пуанкаре этого
пространства в псевдоевклидовом полупространстве ]Еп с ортогональными координатами 71,.. .,т)п. Линейный элемент используемой метрики Ч,, имеет вид
- Київ+380960830922