Содержание
Введение 3
1 Определения 12
1.1 Группы голономии..................................... 12
1.2 3-сасакиевы многообразия..............................14
1.3 Орбифолды............................................ 16
2 Построение метрик С голономией (і2
2.1 Описание ^-структуры на конусе над твисторным пространством................................................ 18
2.2 Примеры...............................................22
3 Построение метрик с голономией 5>рт(7) 25
3.1 Описание 5ргп (7)-структуры на конусе над 3-
сасакиевым многообразием..............................25
3.2 Построение явных решений на М2........................30
3.3 Анализ общей задачи существования решений на М2• • • 35
4 Построение метрик с голономией 5С/(2(п + 1)) 61
4.1 Доказательство........................................62
Введение
Диссертация посвящена построению и исследованию метрик со специальными группами голономии. В данной диссертации были изучены вопросы существования метрик с группами голономии G2, Spin(7) и SU(2n). Была полностью проинтегрирована система, эквивалентная существованию параллельной (^-структуры на конусе над тви-сторным пространством семимерного З-Сасакиева многообразия Л4, чей кватернионно-кэлеров орбифолд обладает кэлеровой структурой; рассмотрены конкретные примеры. Полностью изучено поведение решений специального вида у системы, эквивалентной существованию параллельной 5'рт(7)-структуры на конусе над М; найдено однопараметрической семейство метрик, «соединяющее» восьмимерные метрики Калаби, изучена топология пространств, на которых определены найденные метрики. Найденное семейство обобщено на случай произвольной размерности вида 4(п -f 1), изучена топология соответствующих пространств.
Группа голономии — это инвариант многообразия (риманова или псевдориманова), являющийся группой Ли и тесно связанный с геометрией данного многообразия. В 1955 году Берже доказал теорему, в которой перечислил псе возможные группы голономии риманова многообразия. Среди этого списка выделяются группы G<i и Spin(7), метрики с соответствующими группами называются исключительными или экзотическими (exceptional). Достаточно долго стоял вопрос
о конкретных примерах метрик с данными группами голономии. Теорема существования компактных (определенных на компактном многообразии) экзотических метрик была доказана в 1996 году Джойсом [16]. Доказательство данной теоремы основано на довольно тонком аппарате специальных Соболевских пространств, но описать найденные метрики конструкция Джойса не позволяет. Ковалев построил пример метрик с группой голономии Go на связной сумме двух компактных многообразий, используя теорему о склейке для эллиптических уравнений. Данная теорема также основана на оценках в специальных Соболевских пространствах [19]. На данный момент примеры Джойса и Ковалева являются единственными примерами компактных многообразий с исключительными группами голономии.
Интерес к некомпактным примерам возник относительно недавно со стороны математической физики. Было предложено использование некомпактных метрик с группами голономии Spin(7) в так называемой М-теории. В работах Гиббонса, Лю, Поупа. Светича, Канно и др. был построен ряд новых полных примеров, часть которых является не многообразиями, а орбифолдами. Все эти метрики автоматически являются Риччи-плоскими и асимптотически ведут себя как конусы, либо как произведения конусов на окружности (асимптотически локально конические — АЛК).
В частности, в работе [10] Светич, Гибонс, Лю и Поуп исследуют вопрос существования метрик с голономией Spin(7) на конусе над семимерной сферой и над пространством Алоффа-Уоллаха; они изучают с помощью численных методов полученную систему дифференциальных уравнений и получают некоторые частные решения. В той же работе ведется поиск метрик с голономией G2 на конусе над S3 х S3. Далее, в работе [11] те же авторы строят АЛК метрику с голономией Spin{7) на пространстве, вне начальной точки гомеоморфном
4
М+ х СР3 х 5і, где 5і — окружность постоянного на бесконечности радиуса, П£+ хСР3 — конус над СР3 с нестандартной метрикой. В работе [12] они развивают свои методы и находят новые метрики с другим поведением на бесконечности — найденные метрики определены либо на Ж8, либо на I4 х 54.
В работе [14] Гуков и Спаркс независимо от предыдущего коллектива авторов находят метрики с голономией £рт(7) на К4 - расслоениях над 54 и дают физическую интерпретацию найденным геометрическим структурам в терминах М-теории.
Как нам недавно удалось выяснить, Канно и Ясуи в работе [17] искали метрики с голономией £ргп(7) на конусе над пространством Алоффа-Уоллаха. В работе [18] они использовали тот факт, что оно расслаивается над СР2 и ими найдено решение (4) в этом частном случае.
С другой стороны, исследование вопроса о существовании некомпактных примеров представляет собственный интерес для геометрии, поскольку нельзя исключить возможность построения дальнейших компактных примеров из некомпактных при помощи конструкции, схожей с конструкцией Кум мера.
Первым примером полной римановой метрики с группой голономии ££/(71) явилась метрика Калаби, найденная в [7] в 1979 году. Метрика Кал аби строится на пространстве соответствующего линейного комплексного расслоения над произвольным многообразием Кэлера-Эйнштейна Р. В той же работе [7] Калаби исследует гиперкэлеровы метрики, и строит в явном виде полную риманову метрику с группой голономии 5р(т) на Т*СРт — первый явный пример гиперкэлеровой метрики. Необходимо отметить, что метрики Калаби, были описаны более удобным способом физиками в работах [20] и [9].
Интерес к явным метрикам со специальными группами голономии
5
(и, в частности, к специальным кэлеровым метрикам) достаточно высок, поскольку таких примеров известно мало. Например, Джойс в [16, 8.2.5] высказал гипотезу, что все другие (кроме метрики Кала-би для Р = СРп~1) АЛЕ-метрики с группой голоиомии 51/(п) при п > 3 являются «трансцендентными», т.с. не могут быть представлены в алгебраической форме. Отметим сразу, что метрики, которые строятся нами в Главе 3, являются асимптотически коническими (АК), но не являются АЛЕ-метрикам и, поэтому наш пример не опровергает гипотезу, высказанную Джойсом. Кроме того, насколько нам известно, построенные метрики являются первым примером непрерывного семейства римановых метрик с группой голоиомии 51/(п), п > 3, задаваемых в явной форме в терминах элементарных функций.
Первая Глава является вводной. В ней мы приводим основные определения и факты, необходимые для дальнейшего изложения. Параграф 1.1 касается групп голономии римановых многообразий; в параграфе 1.2 излагаются основные факты о геометрии 3-сасакиевых многообразий; параграф 1.3 содержит определение геометрических структур на орбифолдах. Глава 1 содержит лишь необходимые нам утверждения и не претендует на какую-либо полноту.
Во второй Главе мы приводим общую конструкцию, которая позволяет строить метрики с группой голономии б?2 по заданному 3-сасакиеву 7-мерному многообразию М. Рассмотрим 3-сасакиево многообразие М, на нем свободно действует группа 51, порождаемая одним из характеристических полей, фактор-пространство М/51 = 2 — шестимерный орбифолд, обладающий метрикой Кэлёра-Эйнштейна. Конус над 2 будет иметь группу голономии 6/2, если функции, отвечающие за деформацию конусной метрики, удовлетворяют определенной системе нелинейных дифференциальных уравнений и краевым условиям. При этом за деформацию отвечают функции А(1), В(1), 6/(1),
6
- Київ+380960830922