2
Содержание
Введение .............................................................. 3
Глава X. Методы суммирования Чезаро
§ 1. Определение (С,а) - суммируемости............................11
§2. Свойства чисел Чезаро.........................................14
Глава 2. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в 1р[ауЬ\^
1
-1 <а < —
2
§1. Критерий (С,а)-суммируемости рядов Фурье в Ьр[а,Ь],
\<р<2 .......................................................25
§2. Критерий (с,£г)-суммируемости рядов Фурье в Ьр[а,Ь],
2 < р <+х> 31
Глава 3. Достаточные условия (С,от)-суммируемости рядов Фурье в
I [а,£>], ~—<а < О р 2
§1. Достаточные условия (С,а)-суммируемости рядов Фурье в
Ь2[а,Ь]......................................................36
§2. Достаточные условия (с,а)-суммируемости рядов Фурье-
Виленкина в пространстве ф,\]................................42
Заключение............................................................. 59
Список литературы.......................................................60
Введение
Пусть Ф = {р„(х)}"=0- ортонормированная система в пространстве в
общем случае комплекснозначная, и
ї.ск<рк(х) (1)
**о
ь
-ряд Фурье функции /(х), то есть Ск = \/(х)<рк(х)с1х. Величины
а
(х), xe[a,b\,
Л* А=0
где л! = (g + *Xg + 2)*...*(g+w)^^^»i_2,m = 0,1,..., называют чезаровскими ml
средними порядка а или (с, а) -средними ряда (1). Говорят, что ряд (1) суммируется методом (Сtа) ((С,а)-суммируем) в метрике пространства Lp\atb\, 1<р<+со, если
\°п (х, /) - /|(х)| = 0(1), /I -> со, (2)
I
гда Ы={ы4р<ь
р
\а
Р, а а. = о(1) означает, что Пш = 0.
■/I
Л-»03
В диссертации рассматриваются методы (С,а), где -1 < а < 0.
Известно, что равномерная суммируемость ряда (1) влечет его суммируемость в метрике пространства £р[о,А], р£ 1. Поэтому можно считать, что условия равномерной суммируемости ряда (1) методами (С,ог) являются достаточными для (С. а) -суммируемости ряда (1) в метрике пространства 1р[а,Ь]. Один из первых результатов, относящихся к
равномерной чезаровской суммируемости отрицательного порядка ряда (1) по тригонометрической системе Ф, был получен А. Зигмундом [18] в 1925 году. Он показал, что если 2тг - периодическая функция /(х) всюду удовлетворяет условию Липшица порядка а (0 < а < 1), то ее ряд Фурье равномерно суммируем методом (С,/?) (р>-а) к /(х). Позднее результат А.
Зигмунда обобщался Г.Харди и Дж. Лигглвудом [15], К. Яно [16], Л.В. Жижиашвили [6], Г.С. Сурвилло [12] и другими математиками. Первые результаты по чезаровской суммируемости отрицательного порядка в метрике пространства Lp[a,b] были получены- Л.В. Жижиашвили
(анонсированы в 1975 году в работе [7] и доказаны в 1976 году в работе [8]). Они относятся к рядам Фурье по тригонометрической системе Ф и устанавливают интегральные условия на функцию /(х), достаточные для выполнения соотношения (2). Позднее достаточные условия того же типа были получены Т.Н. Ахобадзе [2]. Обобщения на двойные тригонометрические ряды Фурье рассматривали Л.В. Жижиашвили [9] и У. Гогинава [5];
Условия другого типа используют скорость стремления к нулю коэффициентов Фурье функции /(х). А. Зигмунд [18] заметил, что если 2л -периодическая функция /(х) всюду удовлетворяет условию Липшица порядка а (0 < а < 1),
“• + £ (а„ cos пх + Ъп sin пх) (3)
^ и» 1
- ее ряд Фурье по тригонометрической системе Ф, то коэффициенты Фурье
___________________________________ Гг +^2
/(х) удовлетворяют условию +Ь* =0(п"а), ТО есть отношение 3^4 2-
п~а
ограничено. Сопоставив этот факт с полученным им результатом, отмеченным выше, А. Зигмунд [18] сформулировал задачу:
суммируем ли ряд (3) методом Чезаро отрицательного порядка, соответствующим порядку коэффициентов?
Л.В. Жижиашвили [8] отметил, что соотношение
= о(и,4а) (п -> оо)
является необходимым и достаточным для (С,а)-суммируемости ряда Фурье (3) функции /(х) к /(х) в метрике пространства Lp[-7:t7t\ 1<р<-ко, а>-1.
Yj^n-k^(ak COSAx+bk sin/се
A=0
5
В 1985 году китайский математик Wang Zhengao [17] показал, что условие
| Z A2n-i-k (°к cos кх + Ьк sin Ах)1 = о(па ) li*-n II)
является необходимым и достаточным для (С,а)-суммируемости ряда Фурье
(3) функции /(х) к /(х) в метрике пространства L[-кук\ -1 <а <0, а в случае квазимонотонных последовательностей [ап\{Ьп] таким условием является условие ап +Ьп =о(па). Кроме того, им доказана
Теорема А. Если -1<а<то |т“(х,/)-/(х)| =о(1) тогда и только тогда, когда
к,|+Ы=о(ив).
Тем самым Wang Zhengao дал отрицательный ответ на вопрос А. Зигмунда
для -1<а<~- в пространстве L[-tt,z] и тем более в случае равномерной 7
суммируемости.
В 1988 году Г.С. Сурвилло и автор [20] распространили утверждение теоремы А на ряды Фурье-Виленкина по мультипликативным ортонормированным системам Ф. Естественно возникают задачи
(А) проверить, сохраняется ли утверждение Wang Zhengao для произвольных ортонормированных систем Ф в пространстве L[a,b\ и можно ли его перенести на пространства Lp[a,b]yp> 1 ;
(Б) попытаться найти условия на коэффициенты Фурье функции /(х), при выполнении которых соотношение (2) имеет место для - ^ <а < 0. Целью работы является решение задач (А) и (Б).
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближения функций, а также при чтении спецкурсов.
Результаты диссертации докладывались на заседании кафедры математического анализа Московского государственного педагогического института в 1988 году, на заседаниях 5-й и 6-й Саратовской зимней школы по теории функций и приближений в 1990 и 1992 годах, на заседании Красноярского городского семинара по комплексному анализу в 2004 году.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [19] - [23]. Из совместных статей в диссертацию включены лишь результаты, полученные лично автором.
Работа состоит из введения, трех глав, разбитых на шесть параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 21 наименование. Объем диссертации 61 страница. Нумерация определений, лемм, теорем, следствий и формул в каждой главе сквозная. При этом первая цифра указывает номер главы. Например, «Теорема 2.3» - это третья теорема второй главы, (3.25) -25-ая формула третьей главы.
В диссертации используются следующие обозначения. Согласно [3, стр.
36, 38] пишем ип=о(уп\ если vn>0 (я=0,1,2,...) и lim—= 0. Если же
П-+СО у
отношение — ограничено, то пишем ип=0(уп).
у„
Если существуют положительные постоянные А и В такие, что для достаточно больших п А <> — £ В, то пишем un~vn .
Содержание диссертации
В первой главе вводится понятие чсзаровской суммируемости числовых и функциональных рядов и устанавливаются свойства чисел Чезаро А° (леммы
- Київ+380960830922