Оценки числа периодических решений уравнений Абеля и Льенара

Оглавление
Введение 3
1 Оценка числа циклов для некоторых типов уравнения Абеля 10
1.1 Введение............................................................. 10
1.2 Уравнены« г- малыми периодическими коэффициентами.................... 11
1.3 Двойное отношение и уравнения, имеющие не больше трех периодических решений............................................................. 14
1.4 Случай п = 4: контактная структура и поведение решений............... 17
2 О массивности множества отображений Пуанкаре уравнений Абеля 21
2.1 Введение............................................................. 21
2.2 Леммы о композициях
одномерных отображений............................................... 22
2.3 Основная лемма....................................................... 25
2.4 Доказательство теоремы о массивности (Теорема 2.2) 27
3 Некоторые оценки сверху числа замкнутых циклов векторных полей на плоскости и их применения к уравнению Льенара 29
3.1 Введение............................................................. 29
3.2 Оценки для числа замкнутых циклов.................................... 33
3.2.1 Оценки, использующие неявный параметр.......................... 33
3.2.2 Оценки, использующие явиые данные.............................. 34
3.3 Область определения обратного отображения
Пуанкаре уравнения Льенара .......................................... 35
3.3.1 С-полиномы .................................................... 35
3.3.2 Дикритические узлы на бесконечности............................ 37
3.3.3 Выталкивающие области вблизи бесконечности..................... 37
3.3.4 Область определения обратного отображения Пуанкаре..............39
3.3.5 Область определения и приращение обратного отображения Пуанкаре 41
3.3.6 Надстройка над отображением Пуанкаре........................... 43
3.4 Время первого возврата................................................ 44
3.4.1 Окрестность особой точки....................................... 44
3.4.2 Полоса вдоль вертикальной изоклины ............................ 46
3.4.3 Оценка сверху времени первого возврата......................... 47
3.5 Аналитическое продолжение отображения
Пуанкаре............................................................. 47
1
3.5.1 Комплексная область определения обратного отображения Пуанкаре 48
3.5.2 Оценка правой части и времени первого возврата................. 48
3.5.3 Применение Теоремы 3.2..........................................49
3.5.4 Финальная оценка и упрощения................................... 50
2
}
Введение
Одной из актуальных задач теории дифференциальных уравнений является задача об оценке числа периодических орбит полиномиальных дифференциальных уравнений на плоскости. Можно считать, что такого рода вопросы восходят ко второй части шестнадцатой проблемы Гильберта. 13 настоящей работе проблема оценки числа периодических ориит исследуется для уравнений Абеля и Льенара.
В первой главе исследуются несколько частных случаев задачи об оценке числа периодических решений уравнения Абеля. Мы будем рассматривать полиномиальное дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами вида
х — хп + an-i(t)xn~l + ... + а<,(£), (1)
aj{t + T) = aj(t).
При малых коэффициентах уравнение (1) имеет не более п периодических решений с учетом кратности.
Теорема 1.1. Пусть Т = ^ и для любого t корни многочлена
хп + + ... 4- ао(*),
включая комплексные, по модулю не превосходят ^. Тогда отображение Пуанкаре, имеет не более п неподвижных точек.
Эта теорема доказывается с помощью выхода в комплексную область. При п = 3 число периодических решений оценено в работах [1| и [2| (с указанием на то, что результат принадлежит С мейлу). В разделе 1.3 использован новый подход к этой проблеме, основанный на исследовании свойств двойного отношения, составленного из четырех несовпадающих решений равнения Абеля. А именно,
3
Теорема 1.2. Рассмотрим дифференциальное уравнение вида
х = х3 4- а{б)х2 4- Ь(б)х + с(*)
с гладкими коэффициентнами а(Ь), Ь(б) и с(1). Обозначим через у?(хЛ) решение этого уравнения с. начальны,м условием <р(х, 0) = х. Пусть #Ъ #з, — четыре произвольные точки на прямой, расположен-
ные в порядке возрастания х\ < < Х4. Пусть 3(х,Ь) ость
двойное отношение точек <р(х\, б), <£?(х2,£), <£>(хз,£), ^{х^Л):
£/ - Л _ Ч>{Х\3) -<р(х2,{) <Р(Х4,Ь) - <р(х$3)
4>{х1, *) - <р(жз, Ь) <р{х4,г) - ч>(хг, *)'
Тогда двойное отношение 5(х, б) является возрастающей функцией времени.
Теорема 1.3. Рассмотрим, дифференциальное уравнение
х = /{х, г)
с правой частью, обладающей тем свойством, что в каждый момент времени график функции /(х, б) пересекается с любой параболой вида ах2 + Ьх с не более, чем в трех точках. В этом случае, для любых четырех несовпадающих решений двойное отношение 5(х, <) является монотонной функцией времени.
Из этих теорем вытекает новая оценка
Следствие 1.3. Отображение Пуанкаре дифференциального уравнения вида
х = х2п4-1 4- а{б)х2 4- Ь{б)х 4* с(б) не может иметь более трех неподвижных точек.
При гг = 4 число периодических решений уравнения (1) может быть равно шести [1|. В разделе 1.4 настоящей работы построен новый класс уравнений типа (1) с гг = 4 и шестью периодическими решениями. А именно, рассматриваются дифференциальные уравнения вида
х = (х2 — 1)(х24-а(<)х 4- Ь{1)) (2)
с периодически зависящими от времени коэффициентами: а(£ 4- Т) = а(б), 6(£ 4- Т) = 6(£). Оказывается, что поведение решений для всего этого класса уравнений регулируется следующей 1-формой
£-2-#3, Хз-Х] Х\~Х2,
Теорема 1.4. Пусть х^), Ж2(0> #зМ — три различных решения уравнения (2). Поставим им в соответствие кривую
ж(<) = (®1(<),а:2(<),я?з(0),
лежащую в Е3. Тогда имеет место соотношение
а(&а)) = (х2(ь) - Х1(())(хз(Ь) - ж2(0)(*1(0 - жз(<))- (з)
Верно и обратное утверждение. Пусть кривая
х(1) = (а?1(<),а?2^),®з(0)
удовлетворяет соотношению (3), причем.
-1 < а?1(£) < хъ(1) < х${Ь) < 1.
Тогда найдутся функции а({) и 6(Л такие, что (функции Х\(Ь), х^), х$(б) являются решениями соответствующего уравнения (2).
Основные результаты этой главы опубликованы в [13].
Во второй главе основным объектом изучения является уравнение вида
х — а3(^)т3 4* а2(*)#2 4 а^х 4 ао(/), I £ [0,1], щ £ С\ (4)
Введем несколько стандартных обозначений. Рассмотрим уравнение вида
х = Н(хН), Н£СХ. (5)
Пусть (р(.х,*) решение этого уравнения с начальным условием
<р(х, 0) = х.
Обозначим через .РГ[/г] отображение Пуанкаре этого уравнения за время Т>
РТ[Ь] : х -4 р(х,Т).
Можно поставить вопрос, сколько невырожденных циклических решений может иметь уравнение (4). Циклическим решением уравнения (4) будем называть решения принимающие одинаковые значения при Ь = 0 и /• = 1. Известно [1], что при яз(2) = О, а2(*) = 0 уравнение (4) может иметь не более двух невырожденных циклических решений, при а3(£) = 0 не более трех, а при а3(£) > 0 не более четырех невырожденных циклических решений. Однако Л. Нето (3) показал, что без этих ограничений