Смешанные задачи для обобщенных уравнений Кортевега-де Фриза и Кавахары в полуполосе

2
Введение
В настоящей работе рассматриваются нелокальные смешанные задачи в полу полосе = {(г,х):0<г <Т,х> 0}
(Т-любос положительное число) для уравнения:
° Л?(><х,и))+ /(/, х,и ) (1)
где и = и(/,дг) а(г)> О ПОЧТИ
всюду на (о, г), с граничными условиями
и(0,х) = и0(х), х>0, м(/,0)= «,(/), 0</ <Т (2)
и для следующего уравнения:
Ци - Д5« + 6£>> + я(к)/Эхи + $,(/,х)Ц,и + &('’*)“ = /(/,*) (3)
где Ь - вещественная постоянная; функция g имеет не более чем линейный рост по и ->±х; с граничными условиями: м(0,д:) = мо(х), л: > 0, и(/,0) = щ(/), мх(г,0) = ы2(/),0 г £ Г (4)
Уравнение (1) обобщает известное уравнение Кортевега-Де Фриза (КдФ):
У'/) (5)
Уравнение КдФ (5) описывает распространение 4 длинных одномерных волн на поверхности мелкой воды (см. [1]). Этот процесс является нелинейным и дисперсионным. Однако при необходимости учета наряду' с нелинейностью и дисперсией других эффектов, как неоднородности рассматриваемой нужно вводить в уравнение переменные коэффициенты. Можно ввести, как в нашем случае коэффициенты, зависящие от времени.
з
Уравнение (3) является одним из обобщений уравнения Кав&хары:
и, - 05хи + иих + аих + Ьиххх = /; (6)
Уравнение (6) описывает длинные нелинейные волны в средах со слабой дисперсией (см. [2], [3], [4], [5]).
Основное внимание в работе уделено обобщенным решениям задач (1), (2) и (3), (4). Для таких решений устанавливаются результаты о существовании, единственности и непрерывной зависимости от граничных условий.
Введем некоторые обозначения.
Пусть О - область в /Г (вообще говоря, неограниченна), О - ее замыкание, к- неотрицательное целое число. Через С* (п) обозначим пространство к раз дифференцируемое на П функций, м(х, для которых каждую частную производную Оаи порядка \а\<,к можно
продолжить до непрерывной ограниченной функции на О. Здесь а-целочисленный мульт-индекс а, > 0,|<3г) = 62Г,
За'
Оа = , ££ =——, сама функция считаегся производная
дх{ 1
нулевого порядка.
Пространство С^(й) определим как пространство функций, принадлежащих С* (р) при любом к. Через С0*(О) обозначим множество бесконечно дифференцируемых на О функций с компактным в а носителем.
Пусть а>0. Символом будем обозначать пространство
функций и{х) ИЗ С*([0,-Нэо)), для которых при любом целом неотрицательном ш полунорма:
Для любого Т >0, через С*(о,Г;5^) обозначим пространство бесконечно дифференцируемых в Щ функций, и(/,х), для которых при любых целых к,т> 0 полунорма:
?...*(“)= ЗД \(о?$и(г,х$еасЬс «М '
К
< ос.
Пусть 1</?<оо. Символы Ьр(ії\£“(Сї) (множество функций, принадлежащих Ьр{к) для любого компактного множества К области
П), ж;(П), Н*(п) = 1¥2*(а), Яо‘(О)=0^(а), Я"*(а) -пространство, сопряженное к Я*(о), используются в общепринятом смысле. Обозначим через І2..пространство и через Я* пространство
я‘(д;) (*: = (<>,-**))
Через ш 1ж+ обозначим пространство функций и(х), для
которых: 6&У811р|и(х)| < х
х>0
Через г будем обозначать пространство функций
и(х) ДЛЯ которых €33 < сс .
х>0
Введем следующие весовые пространства: для некоторого а > 0. Через £®(0,+оо) = £2 . обозначим пространство измеримых на (о,-ьх)
функций г*(/,*), ДЛЯ КОТОрЫХГ
о
Далее, для любого целого к > 0 через Я* (0,+ос) = Я*. обозначим пространство функций и(х) є Я* +, для которых:
5
Пусть Т>0; 1<р<эс; X - банахово пространство. Через Ьу(0,Т\Х) обозначим пространство измеримых по Бохнеру функций и, действующих из (0,Т) в X, для которых в случае р < ос:
Н„(о.г:^)=[1НСЛ] ,<е°;
а в случае р = со;.
М£.(0.г^) =
Далее, для произвольной измеримой на Л1, функции я(м) положим,
и л
£ * (и) = , £ * *(«) = }^ * {ОУМ и так далее.
о о
Введем следующие вспомогательные функции. Пусть Ц/0[х)~ бесконечно дифференцируема на /?' неубывающая функция такая,
1 "5 7~]
что У'э(х) = 0 при хй-9 ^0(х)а1 при х>\, 1//0(х)> 0 при х<= .
2 _8 8 _
Пусть а> о, положим ц/а{х) = хац/0(х). Заметим, что у/а(х) бесконечно дифференцируема и у'а (х) > 0 дтя Ух е Я1.
Пусть О - область в Ял. Для любой функции и(х,из I!*(О) через и*(х,,...,хя) будем обозначать среднюю функцию для и:
ик{х1,...,х„)=^\и(у1....у,)пЛ^-^]^у..х1уя ,
где (х,,...,х„)€&, О <И <</юг((х,,...,хДЗ£}) и ядро усреднения л(х)> О,
Я(х) € С® (л1), БиррЛ(х) е [-1,+1], |л(х)с£с = 1.
-I
Теперь приведем некоторые факты из теории линейных уравнений:
Фундаментальным решением оператора О, + й] на плоскости {(/,*)} является функция:
/со/+ <9£ - функция Эйри.
-71 Я, 71 Л„ \ '
(См. [6]).
л, ((9)- бесконечно дифференцируемая на Я1 функция и удовлетворяет условию: Л/'(0)=Й4,(0); и для нее справедливы следующие
ассимптотики:
С;|0|Г7 вшГ110|^ + «!>„\при(9
|(л)
С.*** 4 ехр(
13
V
—у —СО
,приО —у -ко
(7)
Из (7) следует, что: при 0</<7\х<0:
р{,,х}<с(ту-%(1+|*0гЯ |АС(/,х)(<Г^(1+|х(^
А при 0 < / < 7\ х > О
р(‘>х] ^ гг(х>^
где (х) е X, (л; )о X, (х) I о ,лрм л: —> +со
Приведем некоторые интерполяционные неравенства, используемые в работе.
Если и(дт)€ Н\, то:
(8)
(9)
вир«2(х)< 2 ЦкЦи^аЕг < 2 \u\dx [ \и2<£с
,г0 о о ) V о /
Если и(х)€Н](а,Ь), где 0<а</><сс,то
(10)
7
I » Л ■
\в а / а
(Н)
В частности, для и(*) е 5^
зирм2(д:)< эирм^У“ ^с(я) (и2еат<&+ с(а\ \игевк<Ьс)^ ( [и2етсЬс)^ (12)
С>1 г » • '
Х€/?1 Хв/Ц
Теперь перейдем к описанию основных результатов работы.
Настоящая работа состоит из трех глав.
Глава 1 посвящена задаче (1),(2); остальные две главы 2 и 3 задаче (3),(4).
Глава 1 состоит из трех параграфов.
Введем понятие обобщенного решения (о.р.) задачи (1),(2). Определение 1: Функция и(;,х)е £в(о,7';£2+) называется обобщенным решением задачи (1),(2), если для любой функции <р(г,х) из тождество: й^(0,Т;12+)п1л(о,Т;Н*), такой, что ^ г =^хИ) =^_0 =0 выполняется
В §1 устанавливается существование о.р. задачи (1),(2) в 4,(0,Г;4,..)-
Теорема 1.1: Предположим, что при некотором Т>0:
1. я(/)>0 почти всюду на (О, Т), а(г)<=4(0,Г), м,(/)€ ^,'(о,Г)
2. Пусть £#,х,,№х,и) обладают в л> х/?1 обобщенными производными Д,£, А/» причем пусть существуют такие
функции q(t)y(J()(^\p(^)y ЧТО ДЛЯ ПОЧТИ Всех
(/,;с,ы)€ л? х Я'
г
о
|А,г!<ф(^*Ы,)+сго(,)г
где с0(г), ?(/)а0; сг0(г), а"^(»)-?^(<)е^(0,Г)
1А./15 р(0
8
|4A*| * pM >r^e p(0 e (o,r)
3. Пусть gT (r,x,0),f(tyx,0)e I,(О,Г;£f +), n0(x)€ljf+ для некоторого a > 0. Тогда обобщенное решение задачи (1),(2) в смысле
определения 1 существует; u{t,x)eL„[o,T;%r)
Для любого х0 g Rl:
Т Х0*\
ja(/) ju^dxdt < с < a>, где с не зависит от х0.
о
Если а > 0, то:
|ia(t) |(l + x)e~l u\dxdi < ao
о о
О.р. задачи (I ),(2) строится как предел последовательностей решений некоторых "гладких” задач. Существование решений этих "гладких” задач доказано в [7J.
В §2 устанавливаются некоторые свойства о.р. смешанной задачи в < для линиаризованного уравнения КдФ:
«, + «0)'^ = 1>Лр(*>х)) (13)
с граничными условиями
и(о,х)=и0(лг), х>0, u(t>Q)=u](t)> 0<t<T; (14)
при этом о.р. задачи (13), (14) определяется также как и в определении К при g = pvif = 0.
Теорема 2.1: Пусть для некоторого Т>0: я(/)> 0 почти всюду на (о,г), a(t)e Ljo.T).
p(t,x)e L , (л- ; ), «1(/)бИ','(0,Г), ц,(*)б L.
Тогда обобщенное решение задачи (13),( 14) единственно.
Введем следующие вспомогательные функции Пусть х>0; положим, для некоторой функции //(/):
9
(15)
Положим, для некоторой функции р(с,х)\
I
k(t,x;ayp) = WDxG(B(l)- B{z\x-y)p(v,y)dydT
(16)
Теорема 2.2: Предположим, что для некоторого Т>0:
1. Д/)>0 почти всюду на [O.TJ, a(t)e Z, (0,7~), w,(/)«= JT11(0,7'),
г
\и?(т)а{г)сіт <ъ для некоторого /? > 6
о
2. Пусть, sup \{в(і)-в{т)) % f(l + |л:|)/1у4 \р(т,x)fLxdt <С оо
3. Пусть и0{х) s С
Тогда обобщенное решение задачи (13),(14) существует и представляется в виде:
iJ(t,x)=l(t,x;ap)+j(t,x,a,4)-j(t,x;a,l(&a,p))
§2 носит вспомогательный характер. Его результат используется в §3.
В §3 вводится класс корректности АТ, для задачи (1),(2) и, устанавливаются единственность и непрерывная зависимость о.р. задачи (1),(2) в этом классе.
Определение 2: Пусть Т>0. Функция u(t,x) принадлежит классу
корректности А', если u(i, jc) е LK (о, Ту Iг%\ ).
Теорема 3.1: Предположим, что при некотором Т>0:
1. a(t)> 0 почти всюду на (О,Т), a(r) е L,(oУТ).
2. Пустbg(t,x,u), f(t,x,и) обладают в /гг х R* обобщенными производными Dug, DXD„g,Duf , причем пусть существуют такие функции q 0), р О X сг (/, х ) и пусть существует неубывающая непрерывная на (0,Т) функция Дг) и До) = 0, что:
10
\п> ,*0, л, и )| < |мЬ(/)+ <т(/)
з
\( Ь \ 4
| ]а(т)с1т\ ди)Ж</}((2-1х)у при 0</,</,< 7
>• I
I,
где р(4^)€1,(0,7)
Пусть х/,(/,д:),//2(/,лг)е 1,^0,Г;1^- два обобщенных решения задачи (1),
(2) с граничными условиями ^ еТ^цД/) ей^(0,Г), причем пусть % е *= Ь 2 •
Тогда существует такая константа с>0, зависящая от
а’Г»1’м1.1гЧо.г)’!к(/’х)1^(о.г.^.] и свойств функций %и£9 что:
«ЮЗИр ((I + *)^ (и, (/,*)-И2(/,х))2 Ж < С |(14-х)^(«01(х)-М02(х))”а!х +
+ ФпМ-“.2(0|2^(ОЛ
В частности, о.р. в классе Кх единственно.
В главе 2 рассматривается уравнение (3). Эта глава состоит из трех параграфов
В § 1 рассматривается задача Коши для уравнения (3) с начальным условием
= ио(х\х е Я' (17)
В этом параграфе устанавливается теорема об однозначной разрешимости задачи Коши (3), (17) в пространстве
С'(о,7\5(Л)П 5^. Д.
Теопема 4.1: Предположим, что при некотором Т>0,
1. «0(д:)е5(/г)пХ^,>/€С*(0>Г;5(Л)г>5^.)
п
2. Пусть ^(о) = О и geC'X!(R), причем пусть существует константа с0, такая, что: |#’(м)| <с0 для любого и <= К.
Тогда существует единственное решение и(/-,х) задачи (3), (17) из пространства С * (о,7,5 (/? )П 5^, +)
Теорема 4.1 доказывается в два этапа. На первом этапе при щ е5(Я),/ еСЛ(0,7;5(Д)), % удовлетворяющем условию 2
теоремы 4.1, методом параболической регуляризации рассматриваемого уравнения устанавливается однозначная разрешимость задачи (3), (17) в пространстве С“(0,7;5(#:)). На втором этапе, если дополнительно предполагать, что и0 е(Г(0,Г;5^к), то непосредственно выводится, что решение
к(/,дг) задачи Коши (3), (17) из указанного пространства в теореме 4.1. Результат этого §4 используется в §6.
Но сначала рассматривается смешанная задача для следующего линиаризованного соответствующего (3) уравнения.
и, - 0;и + 6ию = /(/,*); (18)
с граничными условиями (4).
В §5 устанавливаются некоторые свойства о.р. задачи (18),(4) и доказываются некоторые интерполяционные неравенства, которые используются в дальнейшем.
В §6 вводится понятие условий согласования бесконечного порядха в точке (0,0) для задачи (3),(4) при бесконечно дифференцируемых функциях и устанавливается
теорема об однозначной разрешимости смешанной задачи (3),(4) в пространстве С®(0,7;5^.).
Теорема 6.1: Предположим, что для некоторого Т>0,
12
1. щ,щ бС"(0,7'); ц, <^(/0, / е С-(о.Г;5^ .),
2. Пусть g удовлетворяет условию 2 теоремы 4.1.
3. Пусть в точке (0,0) для задачи (3), (4) выполнены некоторые условия согласования бесконечного порядка.
Тогда существует единственное решение и(1ух) задачи (3),(4) из пространства С“0 (0, Г; ).
Теорема 6.1 доказывается в два этапа. На первом этапе, методом последовательных приближений строится локальное по / решение задачи (3), (4). На втором этапе устанавливаются априорные опенки, позволяющие продолжить это локальное решение на весь отрезок [0,Т].
В §7 завершается доказательство теоремы 6.1.установлением некоторых априорных оценок. Эти априорные оценки также используются в главе 3.
В главе 3 рассматриваются о.р. смешанной задачи (3),(4). Эта глава состоит из двух параграфов.
В §8 вводится понятие о.р. задачи (3), (4) и устанавливаются теоремы существования о.р. в пространствах /,„(о, Т\ 1а2 ,) и £и(о,7’;Я;а).
Определение 4: Функция е 4,(0, „) называется о.р.
(3),(4); если для любой функции (р е +) п 12(0>Т,Н1) такой, что
Ф т - Ф.х* = Ли-о = ^«1 0 = 0 выполняется следующее интегральное тождество:
Я["Ц ~ + Ь(Рж+ (Ых - 82?) + 8*Ы<РХ + + \ и0(х)<р(Оух)сЬ +
*'т
т
+ {(мз^СлО)- ц£)^/,0 ))л = 0 о
Теорема 8.1: Предположил!, что при некотором Т>0:
1.
ІЗ
2. Пустытри некотором а>0: и0(.х) є Лх2 + ; / є
3. Пусть g(0) = 0 и £єС!(Л) причем пусть существует константа с0, такая, что І£'(и)| < с0
Тогда о.р. «(/,.г)задачи (3),(4) в смысле определения 3 существует;:
аМєі.Ір.Т’іД,);
для любого *0 > 0:
Г Ъ* I
| I и^сіхсіі < с < ос , где с не зависит ОТ х0 .
I) ц
А если а > 0, то:
Г «о
11 (і + л)а_1 и^сЬсЖ < оо . о о
0.р. задачи (3),(4) строится как пределы последовательных «гладких» решений, существование которых доказано в теореме 4.1. Для этих
гладких решений доказываются некоторые априорные оценки,
позволяющие, используя метод компактности переходить к пределу.
Теорема 8.2: Предположим, что при некотором Т>0:
1. и, 6^.(0,Г), и, 6^.(0,т), $„«геф,Т;К*)
2. Пусть % удовлетворяет условию теоремы 4.1.
3. Пусть при некотором а'ї 0, и0 є Н\л, / єТ2(0,Г;Я^)
4. Пусть и0(0) = «,(0),«о(О) = ^(0).
Тогда существует о.р. «(/,*) в смысле определения 3 задачи (3),(4). 4/,х)с1„(о,Т,н^).
Г*** 1
Для любого .г0 > 0: | | [о*хи)~ (Мг <с< оо, где с не зависит от х0.
О х,
Г
А если а> 0, ТО ||(1 + лг)аЧ(.£>^ы)'с&<* < со.
о
Теорема 8.2 доказывается по той же схеме, что и теорема 8.1.