Нелокальные краевые задачи для уравнений Соболевского типа

Оглавление
Введение 4
Глава 1. Нелокальные по времени краевые задачи 24
§1.1. Нелокальная по времени краевая задача для невырождающихся
уравнений составного типа................................... 24
§1.2. Нелокальная по времени краевая задача для вырождающихся
уравнений составного типа . . :............................. 30
§1.3. Нелокальная но времени задача для гиперболических уравнений 42
Глава 2. Нелокальные по пространственным переменным краевые задачи для уравнений составного типа 50
§2.1. Задача с нелокальными граничными условиями интегрального
вида........................................................ 50
§2.2. Задача для уравнения третьего порядка с интегральными условиями ........................................................ 65
Глава3. Обратные задачи для гиперболических уравнений 88
§3.1. Обратная задача с неизвестным составным внешним воздействием для гиперболических уравнений с условиями переопределения на временных слоях.......................................... 88
2
§3.2. Обратная задача с интегральным условием переопределения . . 109
§3.3. Обратная задача с неизвестным составным внешним воздействием и с составным условием переопределения....................121
Заключение 134
Библиографический список 13б
3
Введение
Каждая задача математической фішки сташггея как задача решения некоторого уравнения при определенных дополнительных условиях, которые в большинстве случаев диктуются её физической постановкой |58|. Дифференциальные уравнения, содержащие частные производные искомой функции уравнения совершенно специального вида, возникающие из конкретных задач математической физики |54].
Многие прикладные задачи при исследовании сводятся к рассмотрению уравнений с частными производными высокого порядка. Так, вопросы фильтрации жидкости в средах с двойной пористостью |9|, передачи тепла в гетерогенной среде |52|, влагопсреноса в иочвогрунгах [С()|, приводят к модифицированным уравнениям диффузии, представляющим собой уравнения в частных производных третьего порядка. Исследованиями подобных краевых задач занимались D. Colton [81|, N. Calist.ru |75j, И.В. Сувеика |59|, М.Х. Шха-нуков (С*1|, А.И. Кожанов [32) - (35) и другие. Разрешимость первой, второй и третьей краевых задач для одного уравнения второго порядка методом сведения краевых задач к операторным уравнениям в гильбертовом пространстве исследовал в работе И.В. Сувейка |59). М.Х. Шхапуковым |G4) доказывались существование и единственность решений некоторых нелокальных красных задач для уравнения третьего порядка. Систематическое исследование разрешимости краевых задач для уравнений третьего порядка было проведено А.И. Кожановым |82).
4
В настоящее время в связи с проблемами в области естествознания возникла необходимость обобщения классических задач математической физики, а также исследования новых задач. К качественно новым задачам можно отнести, в частности, нелокальные задачи для дифференциальных уравнении. Нелокальными задачами принято называть задачи, состоящие в отыскании решения дифференциального уравнения, значения которого заданы во внутренних точках области, либо значения на границе или со части связаны со значениями во внутренних точках области. Нелокальные задачи для разного рода уравнений рассматривались многими авторами, среди которых следует отметить » первую очередь работы A.B. Бицадзе и A.A. Самарскою |1С|, В.А. Ильина и Е.И. Моисеева [25|, |26|, Н.И. Ионкииа и Е.И. Моисеева (28|, И.О. Ломова |44|, А.Л. Скубачевского |55|, [5G], L. Byszcwski [74], А.И. Кожанова |31| - [34], Л.С. Пулькииой [49] - [51], J. Chabrowski [79], [80], Г.М. Либсрмаиа [43], В.В. Шелухина [Gl|, [02].
Нелокальные условия могут возникать в случае, когда граница области недоступна для непосредственных измерений, однако информацию об изучаемом явлении во внутренних точках области получить можно.
В случае, когда нелокальные условия связывают значения искомой функции на концах интервала со значениями в сто внутренних точках, нелокальные условия, как замечено в работе А.Л. Скубачевского и Г.М. Стеблова |57|, представимы в виде интеграла Стильтьеса, содержащего атомарную мору концов интервала [G3j, [83]. Когда границы области недоступны для непосредственных измерений, а информация об исследуемом явлении представляет собой некоторые средние значения искомого решения, при математическом моделировании она представляется в виде интегралов от искомого решения. Если интегральные условия представлены интегралами Римаиа или Лебега, не содержащими
атомарную мору концов интервала, стандартные методы при исследовании такоП задачи не применимы, так как область определения рассматриваемого дифференциального оператора не плотна в L^a, Ь).
Первыми работами, посвященными исследованию задач с интегральными условиями для уравнений в частных производных являются работы J.R. Cannon |76| и K. Rektorys |8С|.
В частности, J.R. Cannon в статье |7С] доказывает существование и единственность классического решения одномерного уравнения теплопроводности, удовлетворяющего условиям
и(х,0) = (р(х), х > О,
х{1)
J u(x,t)dx = E(t), x(i) > 0, t> 0.
о
В случае конечного проводника необходимо также задавать значение температуры па каком-либо его конце.
В 19G4 году Л.И. Камынин в статье [30] исследовал задачу с интегральным условием для уравнения параболического типа. В 1977 году Н.И. Ионкин в работе [27) рассмотрел задачу для уравнения теплопроводности с условиями вида
и(х, 0) = <р(х), 0 > х > 1,
u{0,t) = v(t), 0 >t>T, а также интегральиым условием, называемым условием A.A. Самарского
і
J и(х} t)dx = Щу 0 < t < Т.
о
6
Данное интегральное условие возникает и задачах, описывающих процессы диффузии частиц в турбулентной плазме, а также в задачах распространения тепла в тонком нагретом стержне (53]. Исследованиям задач для параболических уравнений посвящены работы С.М. Алексеевой и Н.И. Юрчука |2|, А. Bouziani п N-E. Benouar [72|, |73], A. Bouziani [GG|, |G8|, Л.R. Cannon n Van der Hook [77| ,[78], А.И. Кожапова [3G|, 3.A. Нахушевой [45|, [4G|.
Работа |1G| A.B. Вицадзе и A.A. Самарского повлекла за собой систематические исследования нелокальных начально-краевых задач для эллиптических уравнений. Вопросам разрешимости задач с нелокальными условиями для эллиптических уравнений посвящены работы А.Л. Скубачевского |55|, |56|, Е.М. Галахова и А.Л. Скубачевского [20], А.Л. Скубачевского и Г.М. Стеблова |57|.
Изучение процессов влагопереноса в капиллярно-пористой среде, их анализ привел к задачам с нелокальными интегральными условиями для уравнении гиперболического и составного типов.
Нелокальные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений можно разделить на два класса. Первый класс представляет собой задачи, нелокальные условия которых задаются в виде интегралов вдоль характеристик. Задачи этого класса рассмотрены, в часности, в работе З.А. Нахушевой [45]. Второй класс представляет собой смешанные задачи с классическими начальными данными, граничные же условия в этих задачах заменены интегральными.
Среди работ, в которых исследованы смешанные задачи с интегральными условиями для гиперболических уравнений, можно отмстить следующие статьи A. Bouziani |G7|, S. Mcslouh и A. Bouziani [84], S. Mesloub и S.A. Mcssaoudi [85], Г.Д. Гордезиаии и Г.А. Авалишвили [21]. Л.С. Пулькина [49], С.А. Бейлин |G5|, А.И. Кожанов и Л.С. Пулькина [40].
7
Следует отмстить, несмотря на то, что краевые задачи с интегральными условиями для параболических и гиперболических уравнений активно изучаются в последнее время, аналогичные задачи для тех или иных уравнений третьего порядка изучены сравнительно мало - можно указать лишь работы |С9| - |71|. 13 нашей работе мы постарались частично (в весьма незначительной степени) восполнить указанный пробел.
К необходимости изучения задач с нелокальными интегральными условиями, например, приводят коэффициентные обратные задачи. Прикладная важность обратных задач настолько велика (они возникают в самых различных областях человеческой деятельности: сейсмологии, разведке полезных ископаемых, биологии, медицине, контроле качества промышленных изделий и т.д.), что ставит их в ряд актуальнейших проблем современной математики.
Вопросы разрешимости тех или иных обратных задач для уравнений с частными производными изучались многими авторами. Прежде всего, можно отметить работы А.И. Прилепко |47|, |48|, Ю.Е. Апиконова |4] - |6], С.М. Алексеевой и И.И. Юрчука [2|, K. Rcktorys |8С|, Ю.Я. Белова [13|, |14|, 115) Н.И. Иванчова [24|, Б.А. Бубнова [17|, Н.Я. Безиощеико |1()| - |11|, А.И. Кожапова (31|, [32), [39], O.A. Колтуновского [41|, |42| и других.
Среди обратных задач для гиперболических уравнений выделим как наиболее близкие нам коэффициентные обратные задачи в цилиндрических областях. Подобные задачи исследованы сравнительно мало - можно отметить лишь работы А.Д. Искендерова [29], в которой исследовалась единственность решений, А.Х. Амирова |3|, А.И. Кожапова и И.Р. Валитова [19|, И.Р. Валитова 118], в которых доказывалось существование решений.
В нашей же работе исследование обратной задачи для гиперболических уравнений при наличии внешнего составного воздействия представляет собой
8
дальнейшее развитие и обобщение работы А.Х. Амирова. Следует отметить, что применяемый нами метод отличается от метода, используемого и работе |3|. Задача рассматривается новая, а полученное решение обладает большей гладкостью. Отметим также, что обратная задача с неизвестной правой частью составного типа ранее изучалась лишь в случае параболических уравнений |31|.
В настоящей диссертационной работе исследуются нелокальные краевые задачи, как по временной, так и но пространственной переменным, для уравнений составного типа, нелокальная по времени задача для гиперболических уравнений, а также обратные задачи для гиперболических уравнений.
Целыо данной работы является:
1) доказательство существования и единственности решения нелокальной по времени краевой задачи для невырождающихся уравнений составного типа.
2) доказательство существования и единственности решения нелокальной по времени краевой задачи в случае вырождающихся уравнений составного типа.
3) доказательство существования и единственности решения нелокальной но временной переменной задачи для гиперболических уравнений.
4) доказательство существования решения нелокальной по пространственным переменным задачи для уравнений составного типа с интегральными граничными условиями.
5) доказательство существования решения краевой задачи с интегральными условиями для дифференциального уравнения третьего порядка.
6) доказательство существования, единственности и устойчивости решения обратных задач с неизвестной правой частью для линейных гиперболических уравнений второго порядка.
о
Перейдем к изложению основного содержания диссертации, которая состоит из трех глав. В пределах каждой глав»»! принята сквозная нумерация параграфов и формул. При одинаковом обозначении констант, пространств, в разных главах они имеют разный смысл, соответствующий конкретному разделу.
В главе 1 исследуются некоторые нелокальные но временной переменной задачи для нестационарных уравнений второго порядка по времени - уравнений составного тина и уравнений гиперболического тина.
Пусть С} цилиндр {(я,£) : х Е О = (0,1),* Е (0,Т),(0 < Т < +оо)}, а(ж,/), а()(ж,^), Ь(х,1), ЬоОМ)> /(#,£), ио(х), щ{%) ~ заданные при х £ Б, I € [О,Т] функции.
Определим операторы А и В:
с) ()
Ли = — (а(я, *)?!*) +ао(М)м, Ви = — (Ь(х, 1)их) +Ьц(х^)и.
Он редел им 11 ростра11 ства:
Ц = {ф, 0 : ф, г) € МО, Т; И7|(£>) П \¥2(0)), у,(х,1) е ^(0,Т;И/'(О))Л МО. Г; И'КД)), »«(*,<) € Ш)},
Ко = (ф,г) : ф,*) € МО,Г; №!(£>) П\У2{0)), гф><) е МОфИ'гМФФ.О € Ьг((Э)}-
Пусть Ф, Фо, Ф1 ■ линейные операторы, представимые в виде Ф = Ф] + Ф2, Ф0 = Фо! + Ф025 Ф1 = Фи + Ф]2, И ДЛЯ операторов ФЬ Ф2, Фш, Ф()2? Фи» Ф12 выполняются условия
$1 : - *Л, ЦФ^1112(0) < а2|Кх,01112(д)»
1|Фо1^||12(£)) - аз1к(х,<)||^(д), ||ФнИ1£2(я) ^ а4|к(^»0Н12(д)5 <Т>1 : <ф = —<!>!« - Ф1УХ, №М\1Л[)) < а2||М01||,(ед>
10
*01 : *01« = £*01« - Фш«*, ІІ*01«ІІІ2(0) < Зз||«(ж,0ІІІ2(у),
*п : *п« = £*цв - Фц«х, ІІ*іі«ІІІ2(р) < ЗіІИМІІда
ф2: Фз» = §-;Ьу - ф2«*, ІІ*2«|Іі2(/)) < 0-Ых, ті^{)Т.мт,
ІІ*02«І|^(С») < &||«ОМ)11//по(0,7и2(Р))> 11*12«|І£2(£>) ^ Л||«(®> ОІІІ^(0,7';І2(Р))’
$2 : ї>2« = §ІЬі' - Ф2«*, ІІ*2«НІ2(В) < &Ых, 011 Ідадої).
*02 - *02« = дї*02« — *02«гі ІІ*<>2«Н£2(Д)) < Дз||гі(х, 0111^.(0,7’;/,._,(/;))>
*12 : *12« = 0^*12« - *12«л ІІ*12«ІІ/,2(у) < Ді||«(®»
(0.1)
В §1.1 и цилиндре С} рассматривается нелокальная задача для певырождаю-щегося уравнения составного типа.
А именно, исследуется следующая краевая задача: найти и цилиндре ф решение уравнения
ип - Ащ - Ви = /(х, *), (0.2)
удовлетворяющее условиям
и(х, 0) = Фи + ио(я), я Є /Л (0.3)
г/Дх,0) = Фои + Фіщ + и^х), х Є Д (0.4)
и(0,*) = и(М) = 0, 0<КТ. (0.5)
В случае нулевых операторов Ф, Фо и Ф] мы имеем обычную начально
краевую задачу для уравнения составного типа (0.2). Начально краевые
задачи для уравнения (0.2) рассматривались многими авторами. В достаточно
общем виде теории уравнений составного типа изложена в монографии А.И.
Кожанова |82|. Речь в ней идет именно о начально краевых задачах. Здесь
рассматривается нелокальная задача.
Положим 61 = тах|6о(я, 0)1, Ь> = тахЬ(х,0).
[0,1] [0,1]
Для поставленной задачи доказана следующая теорема.
и
Теорема 0.1. Пусть выполняются условия
а(х,*),Ь(х,<) Є С2{О), ао(М)|6оОМ) Є С{С})\ а{х,1) > «о > 0, Ь(х,ї) > 60 > 0, ао(М) < -во < 0, (хЛ) є <2;
< -6о < «/(*М) < о, Ь*(х,0 < О, ММ) > 0, (ж, О Є С?;
5о > 4Д&2 4- Ааф{Г+
4- тах{[4(аз 4- 02^2) 4" 2а\Ь\\Т — Ьц 4- 4/?3 4* 4/?ііц 4- 4/?>^2?
1 > 4/Ї4, «о > 2а.і, бо > 2Ьі/?і, 6у(1 — 2Д) > 2аіД.
Тогда для любой функции /(х, 2) из пространства ^{0) и любых (функций
- О 1 О 1
Но(х) из пространства \У2 ;(^)ГНИ2(.0) и и\(х) из пространства \\гч1Щ краевая задача (0.2) - (0.5) имеет решение и{х, і), принадлежащее пространству Кь и ото решение единственно.
В §1/2 рассматривается нелокальная красная задача для ні урождающегося уравнения составного типа. Исследуется краевая задача: найти функцию м(х, £). являющуюся в цилиндре (} решением уравнения (0.2) и удовлетворяющую условиям (0.3) - (0.5). Доказана следующая теорема существования и единственности.
Теорема 0.2. Пусть выполняются условия
а(х,1),Ь(х,1) Є С2{0), а0(х,1),Ь0(х,{) € С\0)\ а(х, £) > 0, Ь(х, і) > 0, а(х> <) 4- Ь(х, £) > а{) > 0, (х, £) Є «о(ж, 0 < -5о < 0> Ц*М) < < 0, (хД) Є <?;
6(х,0) < МЬ{х,і), а2(х,І) < Міа(х,£), Ь*(х,£) < Л/2&(х,£);
а(х,0) < М3а(х,*), ^(х,0 ^ МіЬ(х,і)\ аі(х,І) < 0, 6/(х,*) < 0, ММ) > О, ММ) > 0» ОМ) € Я;
12