2
Содержание
Введение
Глава 1. Асимптотика решений системы дифференциальных уравнении
второго порядка в вырожденном случае
1.1 Асимптотика решений системы дифференциальных уравнений в случае кратных собственных значений
1.2 Асимптотические формулы для решений системы п дифференциальных уравнений второго порядка в случае нулевого собственного значения
Глава 2. Исследование уравнения для парциальных волн с быстро
осциллирующим потенциалом
2.1 Решения уравнения для парциальных воли с граничными условиями при х - О
2.2 Решения уравнения для парциальных волн с граничными условиями при X = 00
2.3 Примеры. Функция Поста и 8-матрица Литература
3
24
24
37
58
58
64
81
88
3
Введение
Асимптотические методы применяются во многих областях математики, в том числе дифференциальных уравнениях, математической физике, квантовой механике и т.д.
Вопрос об асимптотическом поведении решений обыкновенных дифференциальных уравнений, начиная с конца XIX века, служит предметом многочисленных исследований. Различные результаты этих исследований изложены в работах [6, 10, 11,14,22,27,29 - 32,34,36 - 38,43].
В различных физических задачах, таких как теория атомных столкновений, распространения радиоволн в анизотропной среде и т. д., основное место занимает изучение систем с гамильтонианом
Н (х,р) = р2Е„ + 1с Л(х),
где к - большой параметр.
Приведем необходимые в дальнейшем определения.
Рассмотрим систему из п уравнений на интервале / » [а, Ь] (конечном или бесконечном):
D2y(x) = к2 А(х)у, (0.1)
где D ~ d/dx, к-большой параметр.
Обозначим через Я, (х), / <] < п, собственные значения матрицы А (х).
Определение 1. Точка хо является точкой поворота системы (0.1), если уравнение
(1с1|дг;-*гДл-0)|| = о (**о)
имеет кратный корень.
4
Т. е., точка хо является точкой поворота системы (0.1) тогда и только тогда, когда матрица А(хо) имеет кратное или нулевое собственное значение.
Определение 2. Особая точка х = + оо называется однородной особой точкой системы (0.1), если
Мх)
пт —— = с.к * 0,1, оо при любых у, к.
Лк (.х)
Другими словами, существует функция q (х) такая, что при всех у А;(х)* с^(х) (х -> +оо), * 0, с, * с4 (у * к),
т. е. собственные значения матрицы А (х) имеют одинаковый порядок роста при х —* + оо и асимптотически некратные.
Ранее И. М. Рапопортом [27] была установлена следующая теорема для случая кратных собственных значений системы дифференциальных уравнений первого порядка.
Теорема 0.1. Система дифференциальных уравнений
<!Уп,ч
Л
кш 1
йу . "
—р- = %(0л,./, (ОЛ. 9 = 1,2,...,от, I >/„ >0,
е Ц/0,а>), / = 1,2= 1,2,...,/,,
Р = 1.2. т; = 1,2,...,/»; пр=10+11+...+1р.,; /0 =0; /, +/2 + ...+/„ = и
имеет л частных решения вида:
У*,., ехр|>^(0‘*,
1а
/ = 1,2,...,/ ; у = 1,2,...,/ ; р = 1,2,...,/и; ^ = 1,2,...,ш,
5
где 7„^,лр(,М ■ функции, непрерывные в интервапе [/л оо), и
при } <= ь = 0 ПР" ' > '•
'/»^•»,«(со) = 0пР Н4*Р’
при том условии, если функции \\’й (0, (] = 1, 2, ..., т удовлетворяют следующим требованиям:
1) \?щ 0) € I (1о, 1/), ц = 1, 2, ...,т при любом конечном //;
2) существует такое достаточно большое То, что при / > То пи одна из функций
Ке \уц Ц) - 11е мр (/) + не меняет знака.
3) Если какая-либо из функций Ке(/) - Исмр(/) + при / <) <1ц- I
неположительна и в то же время нссуммируема в интервале (Го, ос). то после умножения на / эта функция становится строго отрицательной при / >7#.
Большой вклад в развитие асимптотических методов дня решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений внесли М. Л. Наймарк [23], И. М. Рапопорт [27] и М. В. Федорюк [36 - 38].
Идея метода исследования асимптотическою поведения решений
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений заключается в преобразовании заданной системы дифференциальных уравнений к виду, называемому/.-диагональным.
Определение 3. Система дифференциальных уравнений I порядка
ОУ = (Л (х) + й (х)) У, рассматриваемая на некотором промежутке (0, со), называется Л-диагопаныюй, если
6
матрица А (х) является диагональной, причем ее элементы локально-суммирусмы, разности их действительных частей знакопостоянны, а все элементы матрицы /) (х) суммируемые на (0, ос) функции.
Однако в случае, когда матрица А (х) имеет нулевое или кратное собственное значение, заданную систему необходимо приводить не к /.-диагональному, а к несколько более общему виду, называемому нами в дальнейшем блочнодиагональным.
Хорошо изученным является случай одинакового порядка роста собственных значений матрицы А (х) при х —♦ + оо [И]. В этом случае точка х = + оо является однородной особой точкой системы (0.1) и асимптотика решений при х —* + оо выражается только через линейные характеристики матрицы А (х) (т. е. через собственные значения и собственные векторы).
Основную трудность представляет случай, когда точка х = + оо не является однородной для системы (0.1).
Пусть матрица А(х) - матрица л-го порядка, имеющая специальный вид:
А(х) =
Мх) А2*п-2)(*)
^А(п-2)х2 (Х) Ап-2 М
Л2(х) О '
I, о А„_2(х)у
О А2х(п-2)(Х)
^А(п-2)х2 (*) ^ ;
= Л0(х) + Л(х).
Здесь А2(х) - матрица второго порядка,
Л„.2(х) - матрица (п-2)-го порядка,
элементы матриц Аг^г/х) и Л(„.2)х2(х) суммируемы на [хо, со).
Наша работа посвящена исследованию системы (0.1) в двух случаях, которые ранее не рассматривались:
7
1. матрица Ао (х) имеет одно собственное значение, равное 0; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —* + оо;
2. матрица Ао (х) имеет кратное собственное значение, кратность его равна 2; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х-+ + оо.
Далее кратко изложено содержание диссертации с сопутствующими разъяснениями.
Первый параграф первой главы диссертации посвящен изучению асимптотического поведения решений системы (0.1) в случае, когда матрица Ао (х) имеет одно кратное собственное значение, кратность его равна 2; остальные собственные значения имеют одинаковый порядок роста при х —* + ос, т.е. удовлетворяют определению 2.
Обозначим кратное собственное значение Л,(лг) = Лг(х) = Л(х).
Сведем систему (0.1) к системе первого порядка. Для этого введем в рассмотрение вектор-столбец У(х, к) и матрицу В(х):
В(х) =
ВМ к,п„А>(х)
А(1‘-*)**(Х) В2п-\(х) /
Гад о 1
О КМ
+
о Кь,,М 1-М о
= В0(х) + П(х),
У(х,к) =
' >’,(*•*) 1 к-'йу,(х,к)
У „К к)
[к 'Оу„(х,к)}
где
- Київ+380960830922