Многомерные нелинейные интегрируемые уравнения : Асимптотики решений и возмущения

Оглавление
0 Введение 6
0.1 Объект исследований...................................... 10
0.2 Асимптотическая природа уравнений
Кадомцева-Петвиашвили и Деви-Стюартсона.................. 10
0.3 Постановки задач......................................... 13
0.4 Метод обратной задачи рассеяния.......................... 14
0.5 Асимптотики решений
с функциональным произволом.............................. 16
0.6 Решения с конечным числом параметров..................... 17
0.7 Задачи теории возмущений................................. 18
0.8 Результаты диссертации................................... 19
0.9 Содержание работы.........................................21
1 Метод обратной задачи и
Дпроблема 24
1.1 Решение уравнения ДС-2...................................24
1.1.1 Прямая задача рассеяния для уравнения ДС-2 и эволюция элементов Т-матрицы..............................25
1.1.2 Обратная задача рассеяния...........................26
1.1.3 Солитонные решения................................27
1.2 Решение уравнений Ишимори-1..............................30
1.3 Решение уравнения КП-2...................................30
2 Структурная неустойчивость солитона ДС-2 33
2
Оглавление 3
2.1 Однозначная разрешимость и устойчивость задачи рассеяния
для эллиптической системы Дирака..........................34
2.1.1 Теорема о разложении ..............................35
2.1.2 Разрешимость прямой задачи рассеяния...............36
2.1.3 Сопряженная матрица ...............................39
2.1.4 Формула для вариации потенциала....................42
2.1.5 Интегральное преобразование типа Фурье.............44
2.1.6 Эволюция коэффициентов разложения..................47
2.2 Структурная неустойчивость двумерного алгебраического
солитона..................................................48
2.2.1 Компактность интегрального оператора...............49
2.2.2 Задача о нулевом собственном значении..............51
2.2.3 Равномерная асимптотика собственного значения . . 52
2.2.4 Обоснование асимптотик собственных значений ... 55
2.3 Асимптотика солитоноподобного пакета .....................58
2.3.1 Постановка задачи и формулировка результатов . . 58
2.3.2 Асимптотика данных рассеяния.......................59
2.3.3 Асимптотика решения обратной задачи................64
2.3.4 Асимптотика солитоноподобного решения
уравнения ДС-2......................................68
3 Временные асимптотики решений /)-задачи 70
3.1 Асимптотика бессолитонного
решения ДС-2 ............................................ 71
3.1.1 Асимптотическое решение ^-задачи...................72
3.1.2 Оценка остатка асимптотики.........................77
3.1.3 Асимптотика решения ДС-2...........................83
3.2 Асимптотика решения уравнений
Ишимори-1.................................................84
3.3 Асимптотика решения уравнения Кадомцева-Петвиашвили 85
3.3.1 Основной результат.................................89
3.3.2 Аналитические свойства данных рассеяния............90
3.3.3 Асимптотическое решение ^-задачи ..................93
Оглавление А
3.3.4 Асимптотика в окрестности вырожденной стационарной точки..............................................107
3.3.5 Обоснование асимптотики решения /) - задачи . . .118
3.3.6 Решение уравнения КП-2............................120
4 Метод обратной задачи и
нелокальная задача Римана 123
4.1 Решение уравнения ДС-1...................................124
4.1.1 Прямая задача рассеяния...........................124
4.1.2 Эволюция данных рассеяния.........................128
4.1.3 Нелокальная задача Римана.........................129
4.1.4 Солитонное решение ..............................130
5 Временные асимптотики нелокальной задачи Римана 133
5.1 Асимптотика решения уравнений ДС-1.......................133
5.1.1 Основной результат................................134
5.1.2 Асимптотика решения нелокальной
задачи Римана......................................135
5.1.3 Вырожденные ядра..................................140
5.1.4 Асимптотика решения ДС-1 .........................142
5.2 Формз'ла для асимптотики решения
уравнения КП-1...........................................144
6 Теория возмущений солитона уравнения ДС-1 146
6.1 Теория возмущений гиперболической системы Дирака . . . 146
6.1.1 Основные результаты...............................147
6.1.2 Сопряженные функции...............................148
6.1.3 Вариация данных рассеяния.........................152
6.1.4 Финитные потенциалы...............................154
6.1.5 Теорема об интегральном преобразовании............158
6.1.6 Временная эволюция данных рассеяния...............163
6.2 Возмущение дромиона......................................164
6.2.1 Постановка задачи и результаты....................165
6.2.2 Решение линеаризованного уравнения................166
6.2.3 Уравнение для первой поправки.....................168
Оглавление
5
6.2.4 Уравнение модуляции параметра.....................170
6.2.5 Приложения........................................172
7 Асимптотики многомерных интегралов 173
7.1 Асимптотика двукратных интегралов со слабой особенностью .......................................................174
7.1.1 Сведение четырехкратного интеграла к двукратному 177
7.2 Асимптотика многомерного интеграла типа Коши ............182
7.2.1 Условия существования интеграла Коши..............185
7.2.2 Асимптотика интеграла при z = const...............188
7.2.3 Равномерная зависимость от параметра..............191
Глава О
Введение
Изучение асимптотических свойств решений лежит в основании современных исследований в области нелинейных уравнений математической физики. Достаточно вспомнить, что Дж. Рассел в 1834 заинтересовался уединенной ванной из-за неизменности ее специфической формы, сохраняющейся на большом промежутке времени. Да и знаменитое уравнение Кортевега и де Фриза получено как асимптотический предел уравнения для поверхностых волн. Возрождение интереса к уравнению КдФ в шестидесятых годах 20-го века началось с изучения поведения на больших временах цепочки Ферми-Паста-Улама - нелинейно взаимодействующих осцилляторов. Последующие работы М.Крускала и Н.Забусски [142] и Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [112] привели к открытию солито-на, а затем и метода обратной задачи рассеяния. История этого вопроса всесторонне и в подробностях изложена в книгах М. Абловица и X. Сегура [1], А. Ньюэлла [66], а также в замечательной книжке А.Т. Филиппова
[79].
Нелинейные интегрируемые уравнения и метод обратной задачи рассеяния, разработанный для их решений, распахнули новые горизонты в математической физике конца двадцатого века. Это утверждение - вовсе не преувеличение. Достаточно взглянуть на длинные списки статей об интегрируемых уравнениях, приводимые в монографиях. С одной стороны, большое число работ связано с модной темой, и как следствие -появлением новых журналов и выделением фондов на исследования в
6
Глава 0. Введение
7
области нелинейных уравнений. Однако, это только внешняя сторона. На самом деле, причина кроется в методе решения интегрируемых уравнений с помощью обратной задачи рассеяния. Он привел к переосмыслению некоторых известных результатов, а также постановке новых задач.
Метод обратной задачи рассеяния обычно связывает нелинейное уравнение с парой систем линейных уравнений с переменными коэффициентами и дополнительным "спектральным"параметром. Для каждого нелинейного уравнения эта пара своя. Более того, каждому решению нелинейного уравнения соответствует свой вид коэффициентов в системах линейных уравнений. То есть, для изучения свойств решения или какого-либо класса решений нелинейного интегрируемого уравнения с помощью метода обратной задачи рассеяния приходится развивать теорию решений класса линейных систем уравнений с переменными коэффициентами и исследовать свойства их решений в зависимости от дополнительного ''спектрального"параметра. Теперь осталось вспомнить, что построение такой теории для одного обыкновенного линейного дифференциального уравнения второго порядка
им + д(х)и = к2и
длится более ста лет и пока далеко от завершения.
Вместо исследования столь широкого круга задач обычно ограничиваются изучением свойств решений небольшого списка интегрируемых уравнений. Среди (1+1)-мерных уравнений (одна пространственная переменная и временная) обычно говорят об уравнении Кортевега-де Фриза, нелинейном уравнении Шредингера, уравнении синус-Гордона, системе М-волн. Ограничен и список классов изучаемых решений. Прежде всего это точные решения, имеющие конечное число параметров - соли-тонпые и коиечпозониые.
Получить решение в виде уединенной волны (солитона) с помощью редукции к обыкновенному уравнению для перечисленных интегрируемых уравнений достаточно просто. Такое решение было найдено Бусси-неском [99]. Нетривиален следующий шаг - построение решения, которое содержит несколько таких волн - солитонов. Преобразования, переводящие одно решение уравнения синус-Гордона в другое, были описаны Бэк-
Глава 0. Введение
8
лундом в 1880 году (см., например [1]). Особенно активно такие преобразования изучаются, начиная с работы Миуры [136]. Построение конечнозонных решений интегрируемых уравнений, полученных С.П.Новиковым, опирается на метод обратной задачи рассеяния (см. [62, 22]), но может быть также сведено к решению системы интегрируемых обыкновенных уравнений.
Решения, содержащие функциональный произвол, позволяют решать задачи Коши или Гурса. В общем случае исследование свойств этих решений опирается на метод обратной задачи рассеяния. Перечисленные выше (1+1)-мерные нелинейные интегрируемые уравнения в методе обратной задачи связаны с системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Конечные формулы для решений исходных нелинейных уравнений имеют неявный характер. Их неудобно использовать для каких-либо вычислений без дополнительного, как правило, асимптотического анализа. Более того, зачастую по смыслу исходной задачи интересным оказывается именно асимптотическое поведение решения нелинейного уравнения. Здесь нет возможности перечислить даже основные работы об асимптотиках убывающих решений (1+1)-мерных интегрируемых уравнений (см., например, [92, 84, 58, 25, 135, 30, 64, 65]). Формулы для асимптотик в (1+1)-мерном случае содержат один большой параметр, например, время и один медленно меняющийся, как правило, это отношение пространственной переменной и времени. Для получения равномерных по медленной переменной асимптотических решений используется сингулярная теория возмущений. Некоторые результаты, связанные с краевыми задачами, можно найти в [49, 55, 73, 80, 74, 6, 107, 38, 39].
Применение теории возмущений к интегрируемым уравнениям позволяет исследовать их неинтегрирусмые возмущения. Наиболее полно исследованы возмущения солитонных решений. В теории возмущений солитонных решений один из основных вопросов - вычисление медленной модуляции параметров под воздействием возмущения в течение длительного временного промежутка. Главный член асимптотики, как правило, зависит от параметров решения аналитически. В частности, формальные асимптотические решения неинтегрируемых возмущений (1+1)-мерных уравнений с солитоном в главном члене изучались в
Глава 0. Введение
9
[121, 122, 36, 59, 125, 130, 35, 37, 126, 46], возмущения конечнозонных решений, например, в работах [105, 16, 50, 51, 17, 18, 19]. Приведенные здесь и в предыдущем абзаце ссылки ни в коей мере не претендуют на полноту.
Среди (2+1)-мерных интегрируемых уравнений (две пространственных переменных и время) чаще всего упоминаются уравнение Кадомцева-Петвиашвили, система Деви-Стюартсона, система Н-волн. К этому короткому списку трудно что-либо добавить, за исключением уравнения для двумеризованной цепочки Тоды, относящейся к дискретным (2+1)-мерным моделям. При решении (2+1)-мерных уравнений возникают дополнительные сложности. В отличие от (1+1)-мерных уравнений (2+1)-мерные связаны с системами линейных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами. Дополнительный "спектральный" параметр входит в решение вспомогательной линейной системы через краевые условия. По этим причинам формулы решений задач для двумерных интегрируемых уравнений более сложны. Вопрос исследования асимптотических свойств решений (2+1)-мерных уравнений в настоящее время весьма актуален.
При построении асимптотик решений (2+1)-мерных нелинейных уравнений возникают существенные трудности. В первую очередь это связано с зависимостью от дополнительной пространственной переменной. При построении равномерных асимптотик встают задачи с двумя малыми параметрами, не связанными какими-либо соотношениями. Поэтому приходится иметь дело с двойными асимптотиками. Одним из наиболее действенных методов в этой области является метод согласования асимптотических разложений (см., например, [29]). Еще одно затруднение связано с неаналитической зависимостью вспомогательной линейной задачи от "спектрального параметра". Теория возмущений таких задач существенно отличается от хорошо разработанной теорий возмущений для задач с аналитической зависимостью от параметров (см., например, [120]).
По существу основным мотивом работ, результаты которых вошли в диссертацию, было желание развить асимптотические методы и теорию возмущений солитонных решений для (2+1)-мерных интегрируемых
Глава 0. Введение
10
уравнений.
0.1 Объект исследований
В диссертации исследованы убывающие по пространственным направлениям решения (24-1)-мерных (две пространственных переменных и время) интегрируемых уравнений. В качестве основных представителей таких уравнений выбраны уравнение Кадомцева-Петвиашвили:
дх(дги 4- 6 идги + д%и) = -3 а2с^и\
Деви-Стюартсона:
1дьА 4- д\А -|- о?д?А 4- 2к\А\2А 4- = 0,
с^р-а2д;р = -ид2х(\А\2)} к = ± 1;
а также Ишимори:
д<!9 4- -5 х (д\§ 4- оРд^в) 4- дхгиду§ 4- дуюд9§ — 0 с%ги - а2д?ги 4- 2а23(дх3 х ду§) = 0,
5 = (5ь52,55), 52 = 1.
Во всех этих уравнениях о;2 = ±1.
В диссертацию включены результаты о временной асимптотике убывающих решений этих уравнений, а также о возмущении солитонных решений уравнений Деви-Стюартсона.
0.2 Асимптотическая природа уравнений Кадомцева-Петвиашвили и Деви-Стюартсона
Происхождение уравнений Кадомцева-Петвиашвили (КП) и Деви-Стюартсона (ДС) тесно связано с теорией волн и асимптотическими методами. Уравнение КП и система уравнений ДС являются нелинейными
(1)
(2)
(3)
Глава 0. Введение
11
интегрируемыми асимптотическими пределами более сложных, до сих пор непроинтегрированных уравнений.
Уравнение КП было получено в работе [32] при исследовании устойчивости уединенной волны на поверхности жидкости, слабо модулированной в поперечном направлении. Ниже показано, как это уравнение выводится формально при рассмотрении модуляции воли малой амплитуды на больших временах в нелинейном волновом уравнении:
v>ti - Uxx - uyy + auxuxx + e2buxxxx = 0, 0 < e < 1
Если искать решение в виде:
u(z,y,t\e) =е2щ(хуеу, м*)+ eAu2(xyeyX 6t) + (4)
тогда для членов порядка е2 и еА получается система уравнений:
диЩ - дххщ = 0, дио2 - дххщ = -г дгд^щ - дгдтщ - одхигд1щ + Ьс£щ. (5)
Здесь через £ и т] обозначены медленные пространственные переменные £ = ех И 11 = еу.
Зависимость главного члена формальной асимптотики от переменных х и t легко определяется:
Ui(z,ey,ttet) = W+(x + t,ri,Ç,T) + W~(x - t,T},(sT).
Чтобы асимптотика (4) была пригодна для больших значений переменных s+ = x+t и s~ = x—t, необходимо избавиться от растущих по s+ и s~ решений во втором уравнении из (5). Это приводит к двум уравнениям, определяющим зависимость функции щ от медленных переменных:
<9„( ± 2drw± + aw±dltw± -f bd^w-) = d^w±.
Каждое из этих уравнений и есть уравнение Кадомцева-Петвиашвили. Конечно, приведенных соображений недостаточно, чтобы утверждать, что решение уравнения КП играет важную роль в теории распространения волн. Нужно еще доказать, что построенная с его помощью асимптотика (4) действительно является асимптотикой решения исходного нелинейного волнового уравнения. Такое строгое обоснование вывода уравнения КП получено в работе Л.А. Калякина [33]. Формулировка результата имеется в обзоре [34].
Глава 0. Введение
12
Асимптотическую природу имеет и система уравнений Деви-Стюарт-сона. Эта система описывает взаимодействие длинной и короткой волн малой амплитуды на поверхности жидкости. Формальный вывод системы уравнений ДС из уравнений поверхностных волн для потенциального течения жидкости над ровным дном представляется более громоздким (см. [100], [101]), чем приведенный вывод уравнения КП. Однако, исходные предположения и окончательный результат будут полезны для выяснения естественных постановок задач для уравнений ДС.
Пусть P-потенциал скорости внутри бесконечного в направлениях х и у слоя жидкости. Глубина h этого слоя конечна. Уравнение потенциального течения
АР = 0.
На дне выполняется так называемое условие непротекания
dzP\z=.h = 0.
Поверхность жидкости свободна. На этой поверхности 2 = t/, t). Ско-
рость жидкости в вертикальном направлении выражается в виде:
dzP = + dxPdtÇ + dyPdyÇ,.
Кроме этого на свободной поверхности выполняется еще и закон сохранения:
2д< + 2 dtP + (dxP)2 + (dyPf + (dzPf = 0.
Формальное асимптотическое решение уравнения Лапласа с условием непротекания на дне и двумя условиями на поверхности жидкости можно искать в виде
Р = £^Poi + РпЕ + C.C/j + ...,
форму свободной поверхности в виде:
С = + СпВ + C.C^j + ...,
где Е = exp(i(ky -I- a/t)), функции и зависят от медленных переменных £ = е(х + cgt), (с9 — const), у = еу и г = s^t’y значки С.С. в
Глава 0. Введение
13
формулах означают комплексно сопряженные слагаемые; многоточия -слагаемые меньшего порядка по £.
Следуя работе А. Деви и К. Стюартсона [100], можно получить необходимые условия пригодности асимптотического разложения. Эти условия имеют вид уравнений ДС в форме:
idTA 4- \с%А + fid^A + u\A\2A + щ Ар = 0,
а%Р + Р%р=кд1(\А |2), где А, /х, г/, i/i, a, ft - некоторые постоянные. Функции poi и рп связаны с р и А формулами:
cosh (к (z + h)) a/J. ч _ Л , ,9
Рп = —co^'(kh)—A\^rh P = <*i%>oi + АМ * «ьА = const.
Для некоторого соотношения постоянных эта система уравнений может быть приведена к интегрируемой системе уравнений ДС (2) при а2 = -1 (конечно в (2) надо заменить переменные x,y,t на £,г/,т соответственно). В этом случае система (2) обычно называется системой уравнений ДС-2.
Другой вид интегрируемой системы уравнений ДС с a2 = 1 называется системой уравнений ДС-1. Эта система уравпений выведена в работе В.Д. Джорджевика и Л.Дж. Редекоппа [101] также из уравнений поверхностных волн при учете поверхностного патяжения.
Замечание 1. Уравнения Ишимори (3) били получены как пространственно-двумерное обобщение уравнений магнетика Гейзенберга [118].
0.3 Постановки задач
Естественные постановки задач для уравнений КП и ДС можно получить из их связи с исходными уравнениями теории волн. Из преобразований координат, приводящих исходные задачи теории волн к уравнениям КП и ДС, легко видеть, что роль времени играет медленное время исходной задачи, а роль пространственных переменных - медленные пространственные переменные в линейной комбинации с медленным временем задачи из теории волн. Поэтому задача Коши выглядит естественной для уравнений КП и ДС.
Глава 0. Введение
14
Вопрос о том, к каким задачам можно свести с помощью асимптотических процедур краевые задачи для нелинейной теории волн, не совсем ясен и представляется достаточно интересным. Без всякого отношения к этому, краевые задачи для уравнений Деви-Стюартсона и Ишимори оказываются интересными и с точки зрения свойства интегрируемости. В этом аспекте они рассматривались И.Т. Хабибуллиным [81, 82].
В диссертации приведены результаты о временной асимптотике решений начальных задач для уравнений КП, ДО и Ишимори.
Теоремы о существовании решений задач Коши для уравнений КП и ДС в различных классах функций получены A.B. Фаминским, Дж. Чи-даглия и Дж. Саутом, М.М.Шакирьяновым (77, 113, 86]. Асимптотические свойства решений уравнений Деви-Стюартсона в неинтегрируемом случае и обобщенного уравнения Кадомцева-Петвиашвили изучались в работах Н.Хаяши, П. Наумкина, Дж. Саута, X. Хираты [116, 115].
0.4 Метод обратной задачи рассеяния
Для построения решений нелинейных интегрируемых уравнений используется метод обратной задачи рассеяния. Впервые метод обратной задачи рассеяния (МОЗР) был применен к интегрированию нелинейного уравнения Кортевега-де Фриза (КдФ) в работе Гарднера, Грина, Крускала и Миуры [112]. Позднее В.Е. Захаровым и А.Б. Шабатом было показано, что прием, похожий на использованный в [112] для решения уравнения КдФ, можно применить и к нелинейному уравнению Шредингера [27]. Далее в работах М.Абловица, Д.Каупа, А.Ньюэлла, Х.Сегура [91] и В.Е.Захарова и А.Б.Шабата [28] метод обратной задачи рассеяния был развит для целого класса нелинейных уравнений. В частности, интегрируемость методом обратной задачи з'равнения КП была показана в работах В.С.Дрюма [21] и В.Е.Захарова и А.В.Шабата [28].
Наиболее развит алгоритм решения для задач с начальными условиями. В работе А. Фокаса и М. Абловица [106] разработан формальный метод решения уравнений ДС для начальных задач с достаточно малым и быстро убывающим по всем пространственным направлениям начальным условием для функции Л и н}'левым условием на бесконечности
Глава 0. Введение
15
по пространственным переменным для функции р. Позднее, А. Фокасом и П. Сантини в статье (109] был предложен метод решения начальнокраевой задачи для уравнения ДС-1 с ненулевым краевым условием для функции р. Такое обобщение оказалось важным для описания с помощью МОЗР так называемых дромионов - уединенных волн, найденных ранее в (95]. Подробное исследование обратных задач для гиперболических уравнений, связанных с ДС-1 и цепочкой Тоды, проведено в монографии Л.П. Нижника (61]. Алгоритм решения уравнения КП в предположении, что решение достаточно быстро убывает по всем пространственным направлениям, развит в М. Абловицем, Бар Яковым и А. Фокасом [88]. Метод обратной задачи рассеяния для обобщенных уравнений ДС и Ишимори был развит в работах В.Г.Конопельченко, И.Е. Маткаримова и В.Г.Дубровского [131, 103].
Среди других многомерных интегрируемых уравнений следует отметить уравнения N-волн. Это система N гиперболических уравнений первого порядка с квадратичной нелинейностью специального вида. Система уравнений N-волн получена при асимптотическом анализе N гармоник при наличии квадратичного резонанса [5]. Интегрируемость этой системы методом обратной задачи рассеяния обсуждалась в [89]. Метод обратной задачи рассеяния для многомерной системы уравнений N-волн исследовался в статьях Д.Каупа, А. Фокаса и Л.Сана [124, 110].
Число найденных интегрируемых многомерных уравнений различного вида достаточно велико (см. например, диссертацию В.Г. Дубровского [23]). Большинство из них рассматриваются как абстрактные нелинейные многомерные модели и не имеет столь явной физической интерпретации, как, например, j-равнения ДС, КП или N-волн.
Стандартная схема метода обратной задачи подразумевает, что свойства начальной функции (гладкость и, например, убывание на бесконечности) сохраняются в динамике. Это обычно надо либо доказывать для каждого уравнения отдельно, либо, как например, в монографии Л.П. Нижника [61], а также в работах М. Викенхаузера, А.Фокаса и Л.Сана [141,110], исследовать связь между данными рассеяния, классом начальных функций и свойствами решения при ненулевом значении времени. Однако, результаты в этом направлении пока нельзя считать исчерпыва-
Глава 0. Введение
16
ющими. С современным состоянием исследований для уравнения КП-1 можно ознакомиться, например, по обзору М. Боити, Ф. Пемпннелли, А. Погребкова и Б. Принари [97].
0.5 Асимптотики решений с функциональным произволом
Трудности в исследовании решений начальных задач для нелинейных интегрируемых уравнений вызваны неявным представлением решения и громоздкими формулами, связывающими начальные данные и данные рассеяния, которые оказываются более удобными для исследования свойств решения. Поэтому вместо исследования свойств решения начальной задачи для класса начальных условий обычно рассматривают классы решений нелинейных интегрируемых уравнений в терминах данных рассеяния. Класс решений, как правило, допускает функциональный произвол в терминах данных рассеяния и поэтому соответствует классу начальных условий тоже с функциональным произволом. Такой подход оказался достаточно эффективным как для одномерных интегрируемых уравнений, так и для многомерных. В частности, он позволяет исследовать асимптотики решений уравнений Кадомцева-Петвиашвили и Деви-Стюартсона с различной степенью строгости. Видимо, первыми в этом направлении были работа С.В. Манакова, П.М. Сантини и Л.А. Тахтаджяна [133], в которой построено убывающее формальное асимптотическое решение уравнения КП-1 и статья В.Ю. Новокшено-ва [65], где построена асимптотика решения для уравнения двумеризо-ванной цепочки Тоды. Равномерные по пространственным переменным асимптотики убывающих решений уравнений ДС и уравнения КП-2 получены в работах автора [43, 42, 129]. Асимптотические свойства неубывающих решений с функциональным произволом для уравнений КП-1 и КП-2 в области перестройки - фронта решений - исследовались в работах И.А.Андерса, В.П.Котлярова, Е.Я.Хруслова, Д.Ю.Остапенко и А.П.Паль-Валя [3], [68].
Временные асимптотики решений уравнений Ишимори, видимо, впер-
Глава 0. Введение
17
вые выписаны в предлагаемой диссертации. Впрочем, они легко получаются из асимптотики решения вспомогательной линейной задачи, связанной с уравнениями ДС. Формула, связывающая решение вспомогательной линейной задачи для уравнений ДС с решением уравнений Ишимо-ри, приведена, например, в [131].
0.6 Решения с конечным числом параметров
Наиболее известные результаты в области нелинейных интегрируемых уравнений, достигнутые с помощью метода обратной задачи рассеяния - это явные формулы для решений. Простейшие из них обычно называются солитоиами, несмотря на существенные различия в природе и свойствах этих решений. Видимо, самыми простыми найденными соли-тонными решениями уравнений КП и ДС являются так называемые алгебраические солитоны или лампы. Они построены в работе С.В. Мана-кова, В.Е. Захарова, Л.А. Бордаг, А.Р. Итса и В.Б. Матвеева [134] для уравнения КП-1 и в работе А. Фокаса и М. Абловица [106] для уравнений ДС-2. Отметим, в [106] были построены только сингулярные алгебраические лампы, позднее В.А. Аркадьевым, А.К. Погребковым и М.С. Поливановым [93] были найдены и регулярные алгебраические решения, убывающие во всех пространственных направлениях. Экпоненциально убывающие солитонные решения уравнения КП-2 найдены в [134]. Локализованные, экспоненциально убывающие во всех пространственных направлениях решения уравнений ДС-1, были построены М.Боити, Дж.Леоном, Л.Мартиной и Ф.Пемпииелли (95]. Еще один класс решений с конечным числом параметров для нелинейных интегрируемых уравнений, обычно обсуждающийся в работах по методу обратной задачи рассеяния - условно периодические, так называемые конечнозонные решения. Эти решения обычно выражаются через тэта-функции нескольких переменных. Для уравнений КП такие решения изучались в работах И.М. Кричеве-ра [48, 53). Перечисленные решения содержат конечное число свободных параметров. Кроме них для уравнений КП известен набор решений с произволом в виде функции одной переменной. Обзор различных решений уравнений КП и методов их построения имеется в книге [26]. Точ-
Глава 0. Введение
18
ные решения уравнений Деви-Стюартсона с помощью преобразований Беклунда построены, например, в работах Дж. Сатсумы, М. Абловица, М. Салля, Я. Хиетаринты и Р. Хироты [139, 72, 117].
Явные формулы для некоторых решений уравнений Ишимори построены, например, в [131, 103]. Решения некоторых других 24- 1-мерных интегрируемых можно найти в работах [104, 102], см., также, [23].
0.7 Задачи теории возмущений
Применение теории возмущений для 2+1-мерных интегрируемых уравнений связано с самим выводом уравнения Кадомцева-Петвиашвили [32]. В [32] Б.Б. Кадомцев и В.И. Петвиашвили показали, что плоская уединенная волна уравнения КП-2 неустойчива по отношению к поперечным возмущениям. Этот результат и открытие метода обратной задачи рассеяния для 2+1-мерных интегрируемых уравнений породили работы, в которых исследовалось явление поперечной устойчивости (см. например, [24, 7, 70]).
С другой стороны, интересна задача о возмущении двумерных соли-тонов 2+1-мерных интегрируемых уравнений. Возмущения этих решений разумно рассматривать как по отношению к начальным условиям, так и по отношению к уравнениям. Если рассматривать только возмущения точных решений, это существенно расширяет класс решений, поддающихся анализу. Если же исследовать еще и возмущения уравнений, тогда можно изучать более широкий класс уравнений, и, в какой-то мере, более адекватные математические модели физических процессов.
Задачи теории возмущений для 1+1-мерных интегрируемых уравнений на формальном уровне исследованы довольно подробно (см., например, [121, 36, 125, 130, 37]). Исследование возмущений 2+1-мерных решений началось сравнительно недавно. Известны формальные результаты о возмущении конечнозонных решений уравнения КП, полученные И.М.Кричевером [52, 53]. В классе убывающих решений результаты пока относятся только к уравнениям ДС, исследованным в совместных работах Р.Р.Гадыльшина и автора [10, И, 111, 128].
Одна из причин, по которой исследование двумерных солитонов не