Энтропийные решения нелинейных задач динамики многофазных сред

Оглавление
Введение 8
0.1 Актуальность проблем математической корректности для
вырождающихся уравнений диффузии-конвекции и для задач усреднения в механике сплошных сред................... 9
0.2 Об уравнениях, изучаемых в диссертации................... 15
0.3 Цели диссертации. Краткий обзор содержания диссертации 20
0.4 Апробация работы......................................... 29
1 Вспомогательные сведении из линейной алгебры и функционального анализа 33
1.1 Основные обозначения..................................... 33
1.2 Функциональные пространства.............................. 35
1.2.1 Основные свойства банаховых пространств............ 35
1.2.2 О пространствах непрерывных функций................ 37
1.2.3 Пространства Лебега............................... 39
1.2.4 Пространства Соболева............................. 41
1.2.5 Пространства Бохнера.............................. 43
1.2.6 Меры Радона....................................... 47
1.2.7 О пространствах слабо* измеримых отображений и слабо измеримых отображений............................. 49
1.3 Меры Янга................................................ 51
1.4 Некоторые факты теории потенциалов Рисса и псевдо-дифференциальных операторов нулевого порядка.................... 53
1.5 Я-меры Тартара........................................... 55
1.5.1 Оригинальное определение Я-меры Тартара .... 56
1.5.2 О версии Я-мер Тартара, предложенной Е.Ю. Пановым .................................................. 58
2 Кинетическая формулировка ультрапараболического уравнения Гратца-Нуссельта 62
2.1 Формулировка задачи и основные результаты............... 62
2.2 Предварительные сведения................................ 69
2.3 Доказательство теоремы 2.2 о разрешимости кинетической
формулировки............................................ 77
2.4 Доказательство теоремы 2.3 о ренормализации кинетического уравнения ............................................. 79
2.5 Доказательство теоремы 2.4 о структуре решений кинетической формулировки.......................................... 89
3 Истинно нелинейное ультрапараболическое уравнение Гратца-Нуссельта 91
3.1 Формулировка задачи и основных результатов.............. 91
3.2 Кинетическая формулировка уравнения (3.1.1а)............ 96
3.3 Я-меры Л. Тартара....................................... 98
3.4 Формулировка принципа локализации для Я-мер 101
3.5 Доказательство теоремы 3.3.
Часть I: предварительные сведения ......................103
3.6 Доказательство теоремы 3.3.
Часть II: вывод равенства (3.4.1).......................105
3.7 Доказательство теоремы 3.3.
Часть III: вывод равенства (3.4.2) .....................108
2°^
3.8 Доказательство теоремы 3.2............................125
3.9 Доказательство теоремы 3.1............................126
4 Энтропийные решения ультрапараболической задачи Веригина 128
4.1 Формулировка задачи...................................128
4.2 Понятие энтропийного решения задачи А4.
Формулировка основных результатов .......................132
4.3 Параболическая аппроксимация задачи А4. Частичная компактность семейства приближенных полей скоростей . . . 136
4.4 Кинетические уравнения ..................................141
4.4.1 Конструкция кинетического уравнения.............141
4.4.2 Предельный переход в кинетическом уравнении при
е \ 0...........................................144
4.5 Я-меры Тартара. Формулировка принципа локализации для
Я-мер.................................................146
4.5.1 Определение Я-мер...............................146
4.5.2 Формулировка принципа локализации для Я-мер . 150
4.5.3 Доказательство теоремы 4.3.
Часть I: предварительные сведения .................151
4.5.4 Доказательство теоремы 4.3.
Часть И: вывод равенства (4.5.5)................152
4.5.5 Доказательство теоремы 4.3.
Часть III: вывод равенства (4.5.6) ................156
4.6 Доказательство теорем 4.1 и 4.2 .........................167
5 Решения задачи Дарси-Стефана о фазовых переходах в насыщенном пористом грунте 172
Предисловие...................................................172
5.1 Постановка задачи Дарси-Стефана (задачи П-й)..........174
3
5.2 Понятие энтропийного решения. Теорема существования
энтропийных решений....................................176
5.3 Параболическая аппроксимация задачи D-S.
Частичная компактность приближенных решений............180
5.4 Кинетическая формулировка,
ассоциированная с задачей D-S..........................183
5.4.1 Понятие кинетической формулировки................183
5.5 Разрешимость задачи D-S................................189
6 Эффективная модель динамики баротропного газа с быстро осциллирующими начальными данными 192
Предисловие.................................................192
6.1 Постановка задачи......................................195
6.2 Равномерные оценки относительно е......................198
6.3 Предельные переходы при £ \ 0..........................200
6.3.1 Предварительные сведения.........................200
6.3.2 Усредненные уравнения баланса массы и импульса . 201
6.3.3 Кинетическое уравнение...........................204
6.4 Формулировка усредненной задачи........................209
7 Версия усредненной модели Бахвалова—Эглит с уравнением эволюции осцилляций 211
Предисловие.................................................211
7.1 Постановки задач и формулировки основных результатов . 213
7.1.1 Одномерное движение вязкого баротропного газа с
быстро осциллирующими начальными данными . . 213
7.1.2 Эффективная модель динамики одномерного дви-
жения вязкого газа с быстро осциллирующими начальными данными ................................219
4
7.1.3 Сведение задачи Н7 к задаче для усредненных уравнений Бахвалова-Эглит в случае периодических начальных данных...........................................222
7.2 Доказательство теоремы 7.1................................226
7.2.1 Предельные переходы при е \ 0. Предварительные сведения.................................................226
7.2.2 Предельные переходы при е \ 0 в уравнениях задачи А7..................................................231
7.2.3 Кинетическое уравнение.............................232
7.3 Доказательство теоремы 7.2................................236
7.3.1 Доказательство предложения 7.3.....................236
7.3.2 Меры Янга последовательностей периодических функций. Структура функции распределения / в задаче
Н7.................................................237
7.3.3 Представление интегралов по мере Янга в задаче Н7 240
7.3.4 Завершение доказательства теоремы 7.2: вывод уравнений задачи Я7^.........................................241
7.4 Альтернативная формулировка задачи Н7 ....................244
8 Уравнение Тартара для гомогенизации модели динамики
мелкодисперсных смесей 246
Предисловие...................................................246
8.1 Постановки задач и формулировки основных результатов . 248
8.1.1 Нестационарное течение Стокса мелкодисперсной смеси с быстро осциллирующими начальными данными 248
8.1.2 Предельные средние физические характеристики движения гомогенной жидкости................................251
8.1.3 Определение Я-мер Тартара. Уравнение Тартара . 252
8.1.4 Формулировка замкнутой гомогенной модели .... 255
8.1.5 Формулировка приближенной модели...................257
8.1.6 Корректность и свойства аппроксимации................258
8.2 Построение модели Б8.......................................259
8.2.1 Корректность задачи В8...............................259
8.2.2 Усреднение задачи В8.................................259
8.2.3 Лемма об асимптотических разложениях.................261
8.3 Явная форма (х, Ь)........................................265
8.4 Завершение построения модели Б8............................277
8.5 Обоснование корректности и доказательство свойств аппроксимации модели Б8 277
8.5.1 Доказательство теоремы 8.1...........................277
8.5.2 Доказательство теоремы 8.3...........................278
8.5.3 Доказательство теоремы 8.2...........................278
8.6 Приложение. Эквивалентная формулировка модели Б8 в
случае периодической быстро осциллирующей начальной вязкости...................................................279
9 Задача Коши для уравнения Тартара 282
9.1 Предисловие ...............................................282
9.1.1 Понятие Я-мер и уравнение Тартара....................283
9.1.2 Основные результаты..................................285
9.2 Лагранжевы преобразования..................................289
9.2.1 Предварительные сведения.............................289
9.2.2 Свойства оператора Лагранжа..........................292
9.3 Лагранжево преобразование уравнения Тартара..............296
9.3.1 Определения мерозначных решений задач Коши для
уравнения Тартара и уравнения (9.1.6) 296
9.3.2 Доказательство теоремы 9.2...........................297
9.4 Доказательство теоремы 9.1.................................305
9.4.1 Существование решения................................305
9.4.2 Единственность решения ..............................307
б
Приложение. Обобщение для пространства произвольной размерности N...................................................313
10 Эффективная термовязкоупругость насыщенного пористого грунта 315
Введение.....................................................315
10.1 Гетерогенная модель линейной термопороупругости на микроуровне . . . ’.............................................317
10.2 Гомогенная макроскопическая модель линейной термовязкоупругости:
формулировка основных результатов........................324
10.2.1 Сходимость процесса усреднения. Усредненная модель ....................................................324
10.2.2 Свойства эффективных коэффициентов................327
10.2.3 О физическом смысле и математической корректности задачи Б10.........................................327
10.3 Доказательство теоремы 10.1 (начало): слабые и двухмасштабные пределы последовательности решений задачи А10 331
10.4 Доказательство теоремы 10.1 (окончание): вывод гомогенных уравнений (10.2.3) и (10.2.4), структура эффективных коэффициентов................................................336
10.5 Доказательство теоремы 10.2..............................343
Список литературы 351
7
Введение
Диссертация посвящена исследованию двух типов нелинейных задач механики неоднородных сплошных сред.
Во-первых, изучаются вопросы математической корректности краевых задач для вырождающихся параболически-гиперболических квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка и для систем, включающих в себя такие уравнения. Эти системы описывают динамику гетерогенных сплошных сред с нелинейными свойствами.
Во-вторых, рассматриваются задачи гомогенизации для нелинейных моделей вязких жидкостей и газов, механические характеристики которых быстро осциллируют. Целью исследования является обоснование процедур гомогенизации на строгом математическом уровне.
Предыдущая история исследований задач этих двух типов показывает, что они имеют различную математическую природу. Тем не менее, в настоящей диссертации их удается плодотворно исследовать с помощью единой концепции кинетического уравнения — теоретического инструмента, предложенного первоначально Я. Бренье, Б. Пертамом, П.-Л. Лионсом, Э. Тадмором, Л. Тартаром.
8
0.1 Актуальность проблем математической корректности для вырождающихся уравнений диффузии-конвекции и для задач усреднения в механике сплошных сред
Целый ряд задач, связанных с переносом тепла и массы в неоднородных и анизотропных средах, сводится к исследованию неклассических нелинейных уравнений диффузии. С точки зрения теории дифференциальных уравнений эти задачи являются частным случаем общей проблемы о построении теории краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка с неотрицательной квадратичной формой при старших производных, поставленной O.A. Олейник |49, 50]. Изучение этой проблемы является одним из двух направлений, рассматриваемых в настоящей диссертации.
Общая теория линейных уравнений с неотрицательной квадратичной формой была построена в работах Г. Фикеры [110], Дж. Кона и Л. Ни-ренберга [117], O.A. Олейник и Е.В. Радкевича [51].
Теория энтропийных решений задачи Коши для общего квазилинейного уравнения первого порядка была построена в работе С.Н. Кружкова [29] и получила дальнейшее развитие в работах Е.Ю. Панова [52, 53, 54, 55, 140].
В статье [97], опубликованной в 1999 г., её автор X. Карильо успешно применил технику удвоения переменных из работы С.Н. Кружкова [29] и с помощью этой техники построил теорию корректности начально-краевых задач для вырождающегося квазилинейного эллиптнчески-па-раболически-гиперболического уравнения второго порядка с однородными граничными условиями в классе слабых энтропийных решений. Нелинейности в рассматриваемом в [97] уравнении являются автономными, то есть они в явном виде зависят только от искомой переменной и не зависят
9
от независимых переменных х и t. Следует отметить, что достижения X. Карильо представляют значительный интерес в нелинейной механике сплошных сред. В частности, результаты из [97] дополняют теорию обобщенных решений задачи Стефана о фазовых переходах.
В 1980-х и начале и середине 1990-х Я. Бренье, П.-Л. Лионсом, Э. Тадмором и В. Пертамом был разработан метод кинетического уравнения [94, 121, 122], который позволил авторам метода взглянуть на проблему с новой точки зрения и получить ряд интересных результатов [94, 102, 142, 143].
Заметное место в изучении квазилинейных уравнений первого и второго порядков занимает понятие об истинной нелинейности или невырожденности уравнений; в английском оригинале: the notion of genuine nonlinearity or nondegeneracy. Н&пичие условия истинной нелинейности (невырожденности) доставляет следующее качественное свойство решениям: если в начальный момент времени имеются осцилляции — сильные колебания начальных данных но пространственным переменным, — то в энтропийных решениях уравнений или их регуляризаций (если, конечно, решения существуют) они моментально подавляются. Более точно: из всякой слабо сходящейся последовательности энтропийных решений уравнения можно выбрать сильно сходящуюся подпоследовательность.
Первое условие такого рода было предложено П.Д. Лаксом [119]: П.Д. Лаке назвал уравнение щ + а(и)х = 0 истинно нелинейным, если заданная функция и ь-> а(^) строго выпукла или вогнута. Легко объяснить геометрическую суть термина «истинная нелинейность»: уравнение вида ut + а(и)х = 0 называется истинно нелинейным, если ни на одном невырожденном интервале в R\ функция A t-> а(А) не является линейной. Конечно, строго выпуклые и вогнутые функции этим свойством обладают. В дальнейшем понятие истинной нелинейности или невырожденности было многократно обобщено для более сложных уравнений как
10
первого, так и второго порядков, см., например, статьи Л. Тартара [157] и П.-Л. Лионса, Б. Пертама и Э. Тадмора [121], а также цикл работ Е.Ю. Панова [52, 53, 55, 138, 140].
Истинно нелинейными являются знаменитое уравнение Хопфа
щ + иих = 0
и система одномерных уравнений невязкого сжимаемого газа [122]. Вообще, исследование истинно нелинейных задач представляет отдельный интерес в построении теории корректности краевых задач для квазилинейных уравнений. В диссертации исследованию истинно нелинейных уравнений и систем посвящены главы 3 и 4.
Следует отметить, что общая теория краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка с неотрицательной квадратичной формой до сих пор не создана. Ес построение остается весьма актуальным.
Второе направление, на котором сфокусировано внимание в настоящей диссертации — это задачи усреднения или гомогенизации для термомеханических систем с быстро осциллирующими данными.
Главной сложностью в изучении задач динамики сплошных сред с быстро осциллирующими, то есть быстро колеблющимися, термомеханическими свойствами, является наличие малого параметра, скажем, е, характеризующего частоту колебаний. Как замечено в [59, предисловие], описание таких процессов на микроскопических масштабах, то есть на масштабах, на которых различается каждое отдельное колебание, затруднено даже с использованием современных суперкомпьютеров, так как шаг разностного метода в данной ситуации должен быть много меньше, чем £, а это при малых значениях е приводит к практически невыполнимым объемам вычислений. Поэтому естественным является стремление построить математически корректную усредненную модель, не зависящую от £, решения которой были бы близки к решению исходной задачи при малых е. Проблема нахождения такой усредненной модели на-
11
зывается проблемой усреднения или гомогенизации. Процесс построения усредненной модели общепринято называть процедурой гомогенизации (усреднения), а его строгое математическое обоснование — обоснованием процедуры гомогенизации (усреднения).
Классическим методом в теории усреднения является метод формальных асимптотических разложений для получения усредненных уравнений. Он развит Н.С. Бахваловым и Г.П. Панасенко [7], А. Бенсуссаном, Ж.-Л. Лионсом и Г. Папаниколау [93], Р. Барриджем и Дж.Б. Келлером [96]. Другой подход, основанный на систематическом применении метода компенсированной компактности, предложен Ф. Мюра и Л. Тартаром [133, 157]. Используя метод компенсированной компактности, В.В. Жи-ков, С.М. Козлов, O.A. Олейник и Ха Тьен Пгоан [19, 20, 21] получили исчерпывающие результаты по теории усреднения линейных эллиптических и параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами. Существенный прогресс был достигнут в теории уравнений в перфорированных областях и областях с мелкозернистой границей.
Общим местом в постановках задач усреднения является требование условий на некоторую упорядоченность рассматриваемой структуры. Чаще всего предполагают, что среда является периодической, квази-иериоднческой или случайной однородной. Снабжение микроструктуры периодической геомегрией широко распространено в задачах усреднения в геофизике, а именно, в проблемах описания фильтрации жидкостей и газов через пористый грунт. Пионерские работы по построению процедур гомогенизации и результирующих усредненных моделей фильтрации в периодических пористых средах изложены в монографиях Бахвалова и Г.П. Панасенко [7], А. Бенсуссаиа, Ж.-Л. Лионса и Г. Папаниколау [93], Э. Санчеса-Паленсии [77] и статье Р. Барриджа и Дж.Б. Келлера [96]. Первое строгое математическое доказательство метода гомогенизации принадлежит, по-видимому, Л. Тартару [77, приложение], обосновав-
12
шему вывод закона Дарси, исходя из стационарных уравнений Стокса.
В работе [134] Г. Нгуетсенг предложил интересную концепцию двухмасштабной сходимости, что привело к развитию нового способа выполнения и одновременно строгого обоснования процедур усреднения — метода двухмасштабпой сходимости Лллера-Нгустсепга (см., например, обзоры [89, 115, 125]). Этот метод оказался в ряде случаев очень удобным при усреднении периодических структур, поскольку двухмасштабная сходимость позволяет установить предельные режимы последовательностей периодических функций при стремлении длины периода к нулю более точно, чем слабая (в L2, например) сходимость. В этой связи следует отметить работы Р.П. Джилберта, А. Микелича, Т. Кло-по и Ж.Л. Феррэна [100, ИЗ], в которых метод двухмасштабной сходимости был применен для построения двух различных изотермических макроскопических моделей движения линейной сжимаемой вязкой жидкости в упругом пористом грунте. В последнее время эта тематика стала очень актуальной: имеется большое количество работ, в том числе и для неизотермических моделей (см., например, статьи А.М. Мейрманова [43, 44, 45, 46], посвященных исследованию линейной нсизотермической акустики). Каждое новое достижение в этом направлении вносит вклад в лучшее понимание геофизических процессов. В этом ряду стоит материал главы 10 настоящей диссертации.
Далее отметим проблематику, связанную с гомогенизацией нелинейных уравнений вязкой жидкости и вязкого газа с быстро осциллирующими начальными данными. Наличие вязкости в задачах существенно облегчает исследование проблем усреднения: оно открывает возможности для рассмотрения сложных задач, имеющих важное прикладное значение. Следует отметить, что распространение высокочастотных колебаний в сжимаемой нелинейной среде изучено недостаточно и требует дальнейшего исследования. Все известные результаты были получены Н.С.
13
Бахваловым, М.Э. Эглит [8], A.A. Амосовым и A.A. Злотником [2, 5], рассмотревшими вопрос об акустических колебаниях в вязком газе в предположении, что начальные данные представляют собой высокочастотные периодические колебания, модулированные но частоте или амплитуде. Одной из наиболее интересных и актуальных проблем является проблема описания изменения реологических свойств среды под действием высокочастотных колебаний. Здесь надо отметить эффект Леонтовича-Мандельштама (38, 42], [41, с. 170-175] об изменении второй вязкости, который до сих пор не получил строгого обоснования.
Еще заметим, что с физической точки зрения упомянутые выше предположения о периодичности, квазинериодичности, случайной однородности и т.п. не всегда выглядят корректными. Поэтому актуальным является построение процедур усреднения для моделей, на структуру которых требований упорядоченности не накладывается. В задачах о ба-ротропном вязком газе и мелкодисперсной несжимаемой вязкой жидкости, рассматриваемых в настоящей диссертации в главах б, 7 и 8, .таких требований нет: эволюция быстрых осцилляций описывается с помощью кинетического уравнения. В этом состоит критическая новизна подхода.
В заключение настоящего параграфа сделаем комментарии о сущности метода кинетического уравнения для исследования нелинейных задач механики сплошных сред. Метод был предложен сравнительно недавно в работах Я. Бренье [94], Б. Пертама, П.-Л. Лионса, Э. Тад-мора [121] и Л. Тартара [159] и получил свое применение в исследовании широкого ряда задач, например, при рассмотрении уравнений изэнтро-пической газовой динамики и р-систем [120, 122], квазилинейных законов сохранения первого и второго порядков [94, 102, 121, 142] и изучении распространения особенностей — концентраций и быстрых осцилляций — в решениях линейного гиперболического уравнения первого порядка и линейного волнового уравнения (159, section 3.1, З.З.]. Концепция ки-
14
иетического уравнения, предложенная Л. Тартаром, связана с конструкцией Я-мер. Конструкция Я-мер оказывается полезной в задачах гомогенизации, так как с ее помощью можно исследовать структуру пределов квадратичных выражений, аргументами которых являются осциллирующие решения. Метод, предложенный Я. Бренье [94], Б. Пертамом, П.-Л. Лионсом и Э. Тадмором [121], позволяет сводить квазилинейные уравнения и системы к линейным скалярным уравнениям для функций распределения, содержащих дополнительные кинетические переменные. Эти скалярные уравнения называются кинетическими по аналогии с уравнением Больцмана в кинетической теории газов [84], поскольку линейные части уравнений имеют структуру линейной части уравнения Больцмана, а нелинейная часть может быть формально по аналогии с оригинальным определением названа оператором столкновений. Уравнение Тартара имеет вид уравнения Больцмана с тривиальным оператором столкновений. В работах Е.Ю. Панова [54], П.И. Плотникова и соавторов (57,145, 144, 58] предложена версия метода кинетического уравнения, основанная на конструкции мер Янга, ассоциированных с последовательностями быстро осциллирующих решений изучаемых уравнений или их регуляризаций. Результаты работ [57, 145] вошли в настоящую диссертацию в главу 2. Эта версия представляет собой мощный инструмент для изучения нелинейных законов сохранения в механики сплошных сред, содержащих малый параметр.
0.2 Об уравнениях, изучаемых в диссертации
Этот параграф является кратким представлением уравнений и систем, исследуемых в диссертации.
В главах 2-3 рассматриваются краевые задачи для уравнения диф-
15
фузии-конвекции вида
d d
dta(u) + ^2dx,ai{x,t,u) - ^ дх,(ац(аc,t)dx>b{u)) = 0, (0.2.1)
i=i ij-i
x€Ud, t€ (0.Г),
и в главах 4-5 рассматриваются модели динамики сплошных сред, включающие в себя уравнение (0.2.1) своей частью.
В (0.2.1) х и t — независимые переменные: х — пространственная координата, t — временная переменная; Т = const > 0; и — искомая скалярная функция; скалярная функция а(и) является гладкой и монотонно возрастает, в главах 2, 3 и 5 имеет место просто а(и) = и; вектор-функция а = (ai,...,dd) — вектор потока; А := (а#) — диффузионная матрица, являющаяся симметричной и неотрицательно определенной; Ь(и) — монотонно неубывающая диффузионная функция, вообще говоря, нелинейная.
В случаях, когда матрица А имеет ранг d при всех х и t, то есть является строго положительно определенной, и ее компоненты ограничены, а функция Ь(и) строго монотонно возрастает и является достаточно гладкой, уравнение (0.2.1) является уравнением параболического типа. Для таких уравнений теория корректности краевых задач построена полностью как в классическом смысле, так и в классах обобщенных решений (см., например, [33]).
В общем случае предполагается, что ранг d0 матрицы А может быть меньше размерности пространства R!*. Такие уравнения называются уль-тпрапараболическими уравнениями, являются вырождающимися уравнениями параболико-гиперболического типа и возникают в динамике жидкости и газа, физике частиц, теории горения, математической биологии и финансовой математике (см. обзоры в [36, 51]).
В задачах динамики жидкости и газа они описывают нестационарный перенос материи или тепла в случаях, когда эффект диффузии в некото-
16
рых пространственных направлениях пренебрежимо мал по отношению к конвекции [37]. Впервые такие уравнения были рассмотрены в работах Л. Гратца [114] и В. Нуссельта [136], исследовавших задачи нахождения распределения тепла в ламинарном потоке несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе в случае, когда пренебрежимо мала диссипация тепла, обусловленная вязкостью и горизонтальной кривизной профилей тепла. Поэтому в литературе за ними закрепилось устойчивое название: уравнения Гратца-Нуссельта [131].
Есть и другие названия вырождающихся уравнений вида (0.2.1). Например, в связи с работами А.Н. Колмогорова, касающимися задач о стохастических диффузионных процессах, моделирующих броуновское движение, такие уравнения называются уравнениями колмогоровского типа [36, 50]. В астрофизике для уравнений типа уравнений Гратца-Нуссельта (уравнений колмогоровского типа) также имеет употребление термин уравнение Фоккера-Лланка (см., например, в [40, глава II, §21], [127]).
В главах 4 и 5 изучаются две существенно различающиеся между собой по физическому смыслу задачи фильтрации, в которых уравнение вида (0.2.1) рассматривается совместно с уравнением неразрывности
сНухи = 0, жеГ', *6(0, Г) (0.2.2)
и законом фильтрации Дарси вида
V = + д(и), х € Е*, £ € (0,Т). (0.2.3)
Здесь, V = и(ж,£) — поле скоростей фильтрации, р = р{х,Ь) — распре-
деление давления и д(и) — заданная вектор-функция архимедовых сил (в главе 5 повсеместно обозначается е вместо и).
В главе 6 рассматривается задача усреднения для трехмерной системы классических уравнений Навье-Стокса изэнтропического движения
сжимаемой вязкой сплошной среды, состоящей из уравнения неразрывности (уравнения баланса массы)
дьр 4- <ИУх(ри) = О, х € Е3, I € (0,Т), (0.2.4а)
уравнения количества движения
дь{ри) 4- сПух(ри 0 и) - рАхи - £УхсНухи 4- УХР = рд}
же К3, te(0,T) (0.2.4Ь)
и уравнения состояния
Р = ар1, х € К3, « € (0, Т).
(0.2.4с)
В (0.2.4) р, и и Р — это искомые распределение плотности, поле скоростей п распределение давления, соответственно; р > 0, £ > —р — это заданные постоянные коэффициенты вязкости; вектор-функция д — заданная плотность внешних массовых сил; 7 — заданная положительная постоянная адиабаты, в главе б она считается большей трех; а > 0 заданная постоянная, она зависит от 7 и постоянного значения энтропии 5С следующим образом: а = (7 — 1)ехр(5с) [135, р. 1.2.18]. Поскольку в уравнении состояния постулируется, что давление зависит в явном виде только от плотности, то система (0.2.4) описывает динамику баротроп-пой среды.
В главе 7 рассматривается система уравнений баротропного вязкого газа в одномерном случае, заданная в массовых лагранжевых координатах и состоящая из уравнения баланса массы
(0.2.5а)
уравнения количества движения
= дх + 9и'Хе’х' (х’ ^ е ®Т’
(0.2.5Ь)
18
в котором
— тензор напряжений, и кинематического уравнения движения частиц
= и, (х, 0 б Qt• (0.2.5d)
Искомыми в этой системе являются распределение скоростей и = и(рс, t), удельный объем rj = rj(x,t) и эйлеровы координаты движения частиц
газа хе = хе(х, t). Функции gt v и Р в модели являются заданными.
Они являются, соответственно, плотностью распределенных массовых сил, вязкостью и давлением.
В главе 8 рассматривается задача усреднения для системы нестационарных уравнений Стокса неоднородной вязкой несжимаемой жидкости в двухмерном случае, состоящей из уравнения количества движения
dtv-divx(2 vD(y))+ SJxp = f, х € М2, £€(0,Т), (0.2.6а)
уравнения неразрывности
divxu = 0, же®2, t€{0,T) (0.2.6b)
и уравнения переноса для вязкости
dtv 4- v • Vxz/ = 0, х € R2, £е(0,!Г). (0.2.6с)
В (0.2.6) v} v и р — это искомые иоле скоростей, распределение вязкости и распределение давления, соответственно; / — это заданный вектор распределенных массовых сил.
Глава 9 посвящена исследованию вопросов корректности задачи Коши для кинетического уравнения Тартара
2 2
dtUt + v<d^t + dy{ntYijdXiVj) = 0 (0.2.7)
l'= 1 tj=l
19
в одном классе неотрицательных борелевских мер. Это уравнение описывает эволюцию Я-меры ассоциированной с последовательностью решений линейного уравнения переноса
в случаях, когда заданное поле скоростей г;(ж,£) является соленоидаль-ным и достаточно гладким. Здесь, (£, х, у) е (О, Т) х П хВ1, 0 < Т < +00, П — ограниченное открытое подмножество в Е2 и 81 — единичная окружность в М2; заданные коэффициенты Уц = У^(у) являются бесконечно гладкими. Уравнение (0.2.7) возникает в формулировке результирующей усредненной модели в главе 8, как замыкающее.
В главе 10 рассматривается задача усреднения для трёхмерной линеаризованной модели совместного движения упругого пористого грунта и целиком заполняющей норовое пространство вязкой сжимаемой жидкости с учетом теплопроводности. Эта модель является результатом применения классического формализма линеаризации на естественном состоянии покоя к наиболее общей нелинейной модели, непосредственно вытекающей из фундаментальных положений механики сплошных сред. Точная формулировка линеаризованной модели достаточно громоздка, поэтому в настоящем параграфе приводить ее не будем. Она изложена полностью на стр. 318-321.
0.3 Цели диссертации. Краткий обзор содержания диссертации
Целями диссертации являются
• построение новых результатов в теории корректности начально-краевых задач для ультрапараболических уравнений вида (0.2.1) и для систем, содержащих такие уравнения;
2
20
• построение и обоснование корректности новых моделей динамики жидкостей и газов с быстро осциллирующими данными с помощью процедур гомогенизации;
• развитие метода кинетического уравнения для начально-краевых задач для ультрапараболических уравнений и систем, содержащих такие уравнения, и для обоснования процедур гомогенизации моделей динамики сплошных сред с быстро осциллирующими данными.
Диссертация состоит из введения, десяти глав и списка литературы.
В главе 1 приводятся основные обозначения и сведения из линейной алгебры и функционального анализа, используемые в ходе всего изложения.
В главе 2 установлена корректность задачи Коши для квазилинейного ультрапараболического уравнения вида (0.2.1) с частичной диффузией и разрывными коэффициентами конвекции в энтропийной и кинетической формулировках. Кинетическая формулировка конструируется с помощью мер Янга, ассоциированных с последовательностями решений приближенных параболических задач. Кинетическое уравнение — это линейное скалярное уравнение, описывающее эволюцию функций распределения мер Янга в пространстве и времени. Оно содержит дополнительную «кинетическую» переменную. Доказательства главных результатов основаны на оригинально построенной процедуре ренормализации для кинетического уравнения.
Глава 3 посвящена изучению квазилинейного ультрапараболического уравнения вида (0.2.1), у которого матрица коэффициентов при вторых производных неотрицательна, зависит от временной и пространственных переменных и в случае, когда она диагональна, может менять ранг, а коэффициенты при первых производных могут быть разрывными. Предполагается, что уравнение априори допускает принцип максимума и удовлетворяет дополнительному условию «истинной нелинейности». Дока-
21
л
зывается, что задача Коши с произвольными ограниченными начальными данными имеет по меньшей мере одно энтропийное решение и всякое равномерно ограниченное множество энтропийных решений относительно компактно в Цое-
Условие истинной нелинейности формулируется следующим образом.
Условие СЗ. Уравнение (0.2.1) называется истинно нелинейным, если для и.в. (ж, £) е П выполнено требование: для любых (£,т) е Мй+1,
ё
таких, что |£|2 4-т2 = 1 и а^(ж,£)£,£; = 0, множество
й'=1
{ДеК | Г + £6*£М.0}
имеет нулевую меру Лебега. (Напомним, что в главе 3 в уравнении (0.2.1) имеет место а (и) = гг, и уточним, что функция 6(гг) в главе 3 строго возрастает.)
Доказательства основаны на введении в рассмотрение и систематическом изучении кинетической формулировки для исследуемого уравнения и на применении модификации Я-мер Л. Тартара, предложенной ЕЛО. Пановым.
Глава 4 посвящена изучению задачи Коши для двухмерной ультра-параболической модели фильтрации вязкой несжимаемой жидкости, содержащей примесь, с учетом эффекта диффузии примеси в пористую среду. Пористая среда состоит из волокон, направленных вдоль некоторою векторного ноля пх. В уравнении (0.2.1) это выражается в том, что диффузионная матрица имеет вид А = п<8>п, т.е. = п*(ж)ггДж). Предполагается, что заданные нелинейности в уравнениях модели и геометрическая структура волокон удовлетворяют дополнительному условию «истинной нелинейности», сформулированному ниже па странице 134. Эго условие аналогично условию вЗ (см. выше). Доказано, что если это условие выполняется, то задача Коши с произвольными ограниченными
22
начальными данными имеет по меньшей мере одно энтропийное решение и быстро осциллирующие режимы, которые могут иметь место в начальных данных, моментально подавляются в энтропийных решениях. Как и в главе 3, доказательства основаны на введении в рассмотрение и систематическом изучении кинетического уравнения, ассоциированного с задачей, и на применении модификации Я-мер Тартара, предложенной Е.Ю. Пановым.
В главе 5 рассматривается многомерная (двух- или трехмерная) задача Коши для модели Дарси-Стефана, описывающей процесс замер-зания/протаивания насыщенного пористого грунта с учетом фильтрации жидкой фазы. Постановка модели состоит из закона Дарси вида (0.2.3), уравнения несжимаемости в жидкой фазе (0.2.2), условия неподвижности твердой фазы, уравнения баланса энергии во всей системе «пористый грунт — насыщающая сплошная среда» вида (0.2.1), а также условия Стефана и условия непрерывности нормальных компонент поля скорости на межфазной границе. При этом, в уравнении баланса массы диффузионная матрица имеет вид А = (Над {1,1,1} (или А = сНад {1,1} в двухмерном случае), а функция 6(е) постоянна на невырожденном интервале. Длина этого интервала равна по величине скрытой теплоте фазового перехода. Методом кинетического уравнения доказывается существование обобщенных решений задачи, удовлетворяющих дополнительному условию неубывания энтропии в термомеханической системе, т.е. второму началу термодинамики.
В главе б рассматриваются классические трёхмерные уравнения На-вье-Стокса вязкой сжимаемой неоднородной сплошной среды (0.2.4) в гладкой ограниченной области, снабжённые условием прилипания на границе области и быстро осциллирующими начальными распределениями плотности. Быстрые осцилляции распределений плотности моделируются как слабые пределы при стремлении малого параметра осцилляций
23
«и.-»
к нулю. Строго обоснована процедура гомогенизации при стремлении частот быстрых осцилляций к бесконечности. Как результат, получена предельная эффективная модель динамики сжимаемого вязкого газа с быстро осциллирующими начальными данными. Эта модель состоит из законов сохранения импульса и массы, имеющих такой же вид, как в исходной системе, уравнения состояния, отличающегося от исходного уравнения состояния баротронного газа и содержащего дополнительную искомую функцию — кинетическую, а также кинетического уравнения, несущего информацию об эволюции быстро осциллирующих режимов. Существенным местом в главе является то, что от структуры начальных данных не требуется никаких свойств упорядоченности, типа периодичности и т.п. Доказательства основаны на классических положениях в теории корректности моделей вязкого сжимаемого газа и на версии кинетического уравнения, предложенной П.И. Плотниковым и Ж. Соко-ловски.
В главе 7 рассматривается одномерная модель динамики вязкого ба-ротропного газа (0.2.5), заданная в массовых лагранжевых координатах, снабженная быстро осциллирующими начальными распределениями удельного объема. Строго обоснована процедура гомогенизации при стремлении частот быстрых осцилляций к бесконечности. Как результат, получена предельная эффективная модель динамики сжимаемого вязкого газа с быстро осциллирующими начальными данными. Эта модель содержит дополнительную искомую функцию, называемую функцией распределения. Модель замыкается тем, что к усредненным уравнениям баланса массы и количества движения, усредненному закону напряженного состояния и усредненному кинематическому уравнению движения частиц добавляется дополнительное кинетическое уравнение, содержащее полную информацию об эволюции предельных режимов осцилляций.
24
Существенным местом б главе является то, что от структуры сплошной среды — вязкого баротропного газа — не требуется никаких свойств упорядоченности, например, периодичности, квази-периодичности, случайной однородности. Показано, что если начальные данные осциллируют периодически, то полученная предельная модель сводится к системе усредненных уравнений Бахвалова-Эглит.
Доказательства основаны на результатах A.A. Амосова и A.A. Злотни-ка о корректности начально-краевых задач для уравнений баротропного вязкого газа и на использовании аппарата теории мер Янга.
В главе 8 рассматривается математическая модель (0.2.6), описывающая нестационарное течение Стокса мелкодисперсной смеси вязких несжимаемых жидкостей с быстро осциллирующими начальными данными, происходящее в ограниченной области С R2 в течение промежутка времени [0,Т] (Т = const < оо). При этом считается, что значения вязкости i/£(x,t,\) переносятся вдоль траекторий движения частиц со скоростью ve(x, t, А), где е и А — малые произвольные положительные параметры, характеризующие соответственно частоты осцилляций распределений вязкости и скорости и амплитуды отклонений этих распределений от постоянного значения вязкости оо > 0 и достаточно гладкого поля скоростей г>(°)(ж,£), определяющих некоторое «плавное невозмущенное» течение «средней» однородной вязкой жидкости. Существование решений у этой модели при фиксированных значениях параметров £ и А гарантируется известными положениями теории уравнений Стокса и Навье-Стокса [6, 80].
Проводится гомогенизация рассматриваемой модели, то есть предельный переход в уравнениях и краевых условиях при е \ 0, и возникает проблема нахождения эффективных характеристик гомогенной среды, связанная с необходимостью предельного перехода в произведении Ve(yxve + (Ух^€У)у в то время как и£ и Vxv£ сходятся всего лишь слабо*
25
в £°°(П х (О, Т)) и слабо в Ь2(0, х (0,Т)), соответственно. В связи с этой проблемой предлагается и реализуется метод приближенною определения эффективных характеристик мелкодисперсных гомогенных смесей, основанный на использовании предложенной Л. Тартаром [159, 160] концепции Я-меры, позволяющей с повышенной точностью аппроксимации
определить структуру слабого предела т-\\ти£(^7 ху£ + (УхУеУ). Как
£\0
результат, конструируется система приближенных гомогенных уравнений, в рамках которой Я-мера является неизвестной, подлежащей определению. Наконец, полученная система замыкается добавлением к ней макроскопического, то есть не содержащего параметр £, эволюционного уравнения Тартара (0.2.7), единственным решением которого служит Я-мера. Итогом проводимых действий является построение корректной замкнутой модели динамики гомогенной смеси, решения которой с повышенной точностью аппроксимируют слабые пределы решений исходной задачи.
Глава 9 имеет вспомогательный характер по отношению к главе 8: она посвящена исследованию уравнения Тартара (0.2.7). В предположении, что коэффициенты конвекции Vj принадлежат пространству Г2(0,Т; Яд(П)), устанавливается корректность задачи Коши для уравнения Тартара в том же пространстве мер, которому как раз и принадлежат Я-меры. С этой целью конструируется продолжение теории лагранжевых координат для случая негладких соленоидальных полей скоростей.
В главе 10 рассматривается линеаризованная модель совместного движения упругого пористого грунта и вязкой сжимаемой жидкости с учетом теплопроводности. Считается, что жидкость целиком заполняет норовое пространство. Поровое пространство обладает периодической геометрией и модель содержит малый параметр — отношение характерных размеров микро- и макроуровней, а именно, отношение длины
26
ребра ячейки периодичности и характерного размера полной термомеханической системы. Проводится процедура усреднения, то есть предельный переход в уравнениях модели при стремлении малого параметра к нулю. При этом предполагается, что физические характеристики отдельных фаз от малого параметра не зависят. В результате конструируется корректно поставленная начально-краевая задача для модели линейной термовязкоупругости с памятью формы и тепла, решением которой являются пределы решений исходной задачи. Коэффициенты усредненной модели однозначно определяются микроструктурой. Усреднение проводится методом двухмасштабной сходимости Аллера-Нгуетсенга и математически строго обосновано.
На защиту выносятся следующие основные положения.
• Доказаны существование и единственность энтропийных решений задачи Коши для уравнения Гратца-Нуссельта с разрывными коэффициентами конвекции и частичной диффузией.
• Установлено существование энтропийных решений задачи Коши для истинно нелинейного уравнения Гратца-Нуссельта с разрывными коэффициентами конвекции и матрицей диффузии переменного ранга. Доказана относительная компактность ограниченных семейств энтропийных решений такого уравнения.
• Установлена разрешимость задачи Дарси-Стефана о фазовых переходах типа лёд-вода в жидкости, фильтрующейся через пористую структуру. Построена кинетическая формулировка этой задачи.
• Доказано существование энтропийных решений задачи Коши для двухмерной модели Веригина, описывающей фильтрацию вязкой несжимаемой жидкости, содержащей примесь, с учетом эффекта диффузии примеси в пористую среду. Пористая среда состоит из
27
одномерных волокон, и ее геометрия удовлетворяет дополнительному условию истинной нелинейности.
• Проведено усреднение многомерной модели динамики баротропного вязкого газа с быстро осциллирующими начальными распределениями плотности при стремлении частот осцилляций к бесконечности без каких-либо ограничений на структуру осцилляций (типа периодичности или случайной однородности). Как результат, получена предельная эффективная модель динамики сжимаемого вязкого газа с быстро осциллирующими начальными данными.
• Проведено усреднение одномерной модели динамики баротропного вязкого газа с быстро осциллирующими начальными распределениями плотности, заданной в массовых лагранжевых координатах, при стремлении частот осцилляций к бесконечности без каких-либо ограничений на структуру осцилляций (типа периодичности или случайной однородности). Как результат, получена предельная эффективная модель динамики сжимаемого вязкого газа с быстро осциллирующими начальными данными. Показано, что если начальные данные осциллируют периодически, то полученная предельная модель сводится к системе усредненных (квази-осредненных) уравнений Бахвалова-Эглит.
• Проведено усреднение гетерогенной модели динамики мелкодисперсной смеси с быстро осциллирующими начальными распределениями вязкости без каких-либо ограничений на структуру смеси (типа периодичности или случайной однородности). В результате построена корректная замкнутая гомогенная модель, включающая в себя кинетическое уравнение Тартара для Я-мер, ассоциированных с распределениями вязкости.
• Доказана корректность задачи Коши для уравнения Тартара в слу-
28
чае негладких соленоидальиых полей скоростей.
• Проведено усреднение линеаризованной модели периодической микроструктуры «сжимаемая вязкая жидкость — упругое пористое тело» с учетом теплонереноса при стремлении длины периода к нулю. В результате получена корректная линейная модель термовязкоупругого тела с памятью.
0.4 Апробация работы
Диссертация выполнена в 1999-2012 гг. в теоретическом отделе Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО РАН.
Все результаты, изложенные в диссертации, своевременно опубликованы в статьях автора в периодических рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК для опубликования результатов докторских диссертаций [23, 57, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 74, 75, 145, 148]. Также по теме диссертации имеются публикации в трудах конференций и в журналах, не входящих в список ВАК [65, 66, 73, 129, 149, 150, 151, 152). Глава 2 написана по материалам работ автора [57, 145], совместных с П.И. Плотниковым. Вклад авторов в эти работы равнозначен и его трудно разделить. Чтобы сделать изложение замкнутым, эти результаты целиком введены в диссертацию.
Основные результаты докладывались на научных семинарах
• «Математические проблемы механики сплошной среды» под руководством академика В.Н. Монахова и чл.-корр. РАН П.И. Плотникова (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск),
• «Групповой анализ дифференциальных уравнений» под руководством академика Л.В. Овсянникова и д.ф.-м.н. А.П. Чунахина (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск),
29
• «Прикладная гидродинамика» под руководством чл.-корр. РАН В.В. Пухначёва (ИГиЛ СО РАН, Новосибирск),
• «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы анализа» под руководством д.ф.-м.н. B.C. Белоносова и д.ф.-м.н. М.В. Фокина (ИМ СО РАН),
• отдела условно-корректных задач под руководством чл.-корр. РАН В.Г. Романова и д.ф.-м.н. Д.С. Аниконова (ИМ СО РАН),
• «Избранные вопросы математического анализа» под руководством д.ф.-м.н. Г.В. Демиденко (ИМ СО РАН),
• «Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики» под руководством д.ф.-м.н. А.М. Блохина (ИМ СО РАН),
• «Задачи прикладной и индустриальной математики» под руководством д.ф.-м.н. A.A. Папина (АлтГУ, Барнаул),
• кафедры математического моделирования МЭИ под руководством д.ф.-м.н. A.A. Амосова (МЭИ, Москва),
• «Анализ и дифференциальные уравнения» иод руководством профессора Ж.Ф. Родригеша (José Francisco Rodrigues) (Центр математики и фундаментальных приложений (CMAF), Лиссабон, Португалия),
• «Углерод в газовых фазах: элементарные реакции, структуры, материалы» под руководством профессора Э. Шнака (Eckart Schnack) (Институт технической механики университета Карлсруэ, Германия),
• Центра современной математики и физики (CAMP) под руководством академика НАН Пакистана профессора А. Кадира (Asghar
30
Оасйг) (Национальный университет науки и технологий (МиБТ), Равалпинди, Пакистан),
а также на научных конференциях но математике и механике, среди которых
• Международные конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященные памяти И.Г. Петровского (Москва, МГУ, 2001, 2004, 2011);
• VIII и X Всероссийские съезды по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики (Пермь, 2001; Нижний Нов-город, 2011);
• Международный семинар «Нелинейные уравнения в частных производных и задачи со свободными границами» (Обидуш, Португалия, СМ АР, 2002);
• Международная конференция «Нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных ИРПЕ-2003» (Алушта, Украина, 2003);
• Четырнадцатая зимняя школа но проблемам механики сплошных сред (Пермь, ИМСС УрО РАН, 2005);
• Международные конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике», посвященные памяти М. А. Лаврентьева (Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, 2005, 2010);
• 12-я Международная региональная конференция но математической физике (Исламабад, Пакистан, Нац. центр физики, 2006);
• Российская конференция «Математика в современном мире», посвященная 50-летию Института математики им. С.Л. Соболева (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2007);
31
• XXXIII Дальневосточная математическая школа-семинар им. академика Е.В. Золотова (Владивосток, ИАПУ ДВО РАН, 2008);
• Международная конференция, посвященная 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, ИМ СО РАН, 2008);
• Международная конференция «Вычислительная математика, дифференциальные уравнения, информационные технологии», посвященная памяти профессора Ц.Б. Шойнжурова (Улан-Удэ, ВСГТУ, 2009);
• XXXVIII Летняя школа-конференция «Актуальные проблемы механики - 2010 (АРМ-2010)» (Санкт-Петербург, ИПМаш РАН, 2010);
• Всероссийская конференция «Нелинейные волны: теория и новые приложения», посвященная памяти чл.-корр. РАН В.М. Тешукова и приуроченная к 65-летию со дня его рождения (Новосибирск, ИГиЛ СО РАН, 2011);
• Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, МИАН, ВлГУ, МГУ, 2012);
• Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 80-летию со дня рождения академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск, ИМ СО РАН, НГУ, 2012).
Автор благодарен своему научному консультанту чл.-корр. РАН профессору Павлу Игоревичу Плотникову и коллективу теоретического отдела ИГиЛ СО РАН за внимание к работе и многочисленные полезные обсуждения.
32
Глава 1
Вспомогательные сведения из линейной алгебры и функционального анализа
1.1 Основные обозначения
Начнем с описания основных используемых по ходу всего изложения диссертации обозначений.
Вектор в п-мерном евклидовом пространстве обозначается через V = (у\9..., уп). У всевозможных матриц А = (а#), г,у = 1,..., 71, компоненты а,у являются вещественными, индексом г нумеруются строки и индексом 3 — столбцы. Через А* = (ад) обозначаются транспонированные матрицы. Как обычно, произведение матрицы на вектор-столбец обозначается через Ау, вектор-строки на матрицу — через иА. Произведением
двух матриц С = А© является матрица с компонентами Су = / , сцФкі•
Там, где это удобно, будем применять стандартное соглашение о суммировании по повторяющимся индексам, заключающееся в том, что скалярное произведение каких-либо двух векторов представляется в виде
г = 1 ,...,тг повторяется в записи правой части равенства. Аналогично,
п
п
V • и = У{Щ, где символ суммирования
опущен, поскольку индекс
33