ОГЛАВЛЕНИЕ
• ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.................................................. I
• ГЛАВА 1. Исследование переопределенной линейной системы трех
уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка
с двумя вырождающимися линиями..............................................
□ §1.1. Случай а <\,Р <1, сг{х,у)**0..................................... 26
□ §1.2. Случай а <1,/? <1, с2(х,у)ф0..................................... зо
□ §1.3. Случай а = 1,/? = 1, с2(лг,у) = 0............................... 31
□ §1.4. Случай ог = 1,/?=1, с2(х,у)*0.................................. 35
□ §1.5. Случай а>1,/?>1, с2(хуу) = 0............................................................. 38
□ §1.6. Случай а > 1,/?> I, с2(;е,у)*0................................. 42
□ §1.7. Случай а <\у/3=\, с2(х,у) = 0................................ 45
□ §1.8. Случай а<1,/? = 1, с2(х,у)*0................................. 48.
□ * §1.9. Случай а = 1,/? < 1, с2(х,у) = 0................................ 50
□- §1.10. Случай а = !,/?< 1, с2{хуу)Ф 0................................. 51
О §1.11. Случай а <1,/?>1, с2(х,у) = 0................................... 52
О §1.12. Случай а <!,/?> I, с2(х,у) *0................................... 55
□ §1.13.Случай а>1,/?<1, с2(х,у) = 0..................................................... 57
□ §1.14. Случай а > 1,/?< 1, с7(х>у)*0.................................. 58
О §1.15. Случай а > 1,/?= 1, с2(лг,у) = 0............................... 60
□ §1.16. Случай а>1,/? = 1, с2(х,у)*0.................................. 63
□ §1.17. Случай а = \,/3> 1, с2(х,у) = 0.............................. 65
(Л §1.18. Случай а = !,/?> 1, с2(х,у)*0.................................. 67
• ГЛАВА 2. Исследование переопределенной линейной системы трех
уравнений е постоянными коэффициентами, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с двумя вырождающимися линиями..................... 69 •
□ § 2.1. Нахождение решения системы уравнений (2.1), представимого в
виде обобщенного степенного ряда ПО переменному X..................... 69
□ § 2.2. Нахождение решения системы уравнений (2.1), представимого в
виде обобщенного степенного ряда по переменному у..................... 74
• ГЛАВА 3. Исследование переопределенной линейной системы трех
уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка
с двумя вырождающимися линиями в случае разных параметров................... во
□ § 3.1. Случай а <1,/?<1, у <1, Л <1, с2(х,у)-0.............................. 80
□ § 3.2. Случай а =1,/? = 1,у = 1,Я = 1, с2(х,у) = 0...................... 86
О § 3.3. Случай а >1,/?>1, />1, Л>\, с2(х,у) = 0.......................... 91
□ §3.4. Случай а >!,/? = !, у > 1, Я = 1, с2(х,у) = 0..........—........... 98
□ §3.5. Случай «>1,/?<1, у>\, Л<1, с2(х,у) = 0............................. 100
• ГЛАВА 4. Исследование переопределенной линейной системы двух
уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка
С двумя сингулярными и сверхсингулярными ЛИНИЯМИ............................ 102
1 г
□ §4.1. Случай ах(х,у) <= Сх(0), а < \,р < 1,у < I и исходным уравнением является первое уравнение сисгемы..................................................... юз
■ §4.1.1. Случай сг(х,у) = 0...................................................... юз
■§4.1.2. Случай с2(*, у) Ф 0..................................................... ,07
□ §4.2. Случай ах(х,у) е Схф), а < 1,/? < \,у < 1 и исходным уравнением
ЯВЛЯеТСЯ ВТОрое уравнение СИСТеМЫ............................................................................. 113
■ §4.2.1. Случаи с2(х,у) = 0..................................................... цз
■ §4.2.2. Случай с2(х,у) ф0....................................................... пб
□ §4.3. Случай ах(х,у) е СХ(Р), а >!,/?> \,у > 1 и исходным уравнением является первое уравнение системы............................................. 118
■ §4.3.1. Случай с2(х>у) = 0.................................................... ц8
■ §4.3.2. Случай с2(х,у) Ф 0........................................................-.................................................... 121
□ §4.4. Случай ах(х,у) е Сх(£>), а > 1,/?> \,у > 1 и исходным уравнением является второе уравнение системы........................................... 125
■ §4.4.1. Случай с2(х,д>) = 0.......................................................-................................................... 126
■ §4.4.2. Случай с2(х,у) Ф 0..................................................... ,30
□ §4.5. Случай ах(х,у) <= Сх(£>), « < 1./? > 1,у < 1 и исходным уравнением
ЯВЛЯеТСЯ Первое уравнение СИСГеМЫ................................................ 134
■ §4.5.1. Случай с2(х,у) = 0............................... ...............-.... 134
■ §4.5.2. Случай с2(х,у) Ф 0................................................... ,37
□ §4.6. Случай ах(х,у) е Сх(£>) у а < \,/)>\,у <\ и исходным уравнением ЯВЛЯеТСЯ ВТОрое уравнение СИСТеМЫ............................................... 140
■ §4.6.1. Случай с2(х,у) = 0..................................................... 14,
■ §4.6.2. Случай с2(х,у) Ф 0..................................................... 144
□ §4.7. Случай ах{х9у) е Сх(£)), а > \,/3 > 1,у < 1 и исходным уравнением
ЯВЛЯеТСЯ Первое уравнение СИСТеМЫ............................................... 147
■ §4.7.1. Случай с2 (х, у) = 0....................—.............................. 147
■ §4.7.2. Случай с2(х,у) Ф 0..................................................... 150
□ §4.8. Случай ах(х,у) е СХ(Р), а > 1,/7 > \,у < 1 и исходным уравнением является второе уравнение системы............................................... 153
■ §4.8.1. Случай с2(х,у) = 0..................................................... ,53
■ §4.8.2. Случай с2(х,у) ф 0.................................................... 157
• ЛИТЕРАТУРА............................................................................ 160
И
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Дифференциальные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами и интегральные уравнения с сингулярными и сверхсингулярными ядрами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений в частных производных и имеют много важных приложений. К рассмотрению таких уравнений приводят многие задачи прикладного характера из физики, гидродинамики, теории упругости и других разделов математической * физики. В связи с этим, изучению таких уравнений посвящены много работ.. Существенные результаты в этом направлении получены в монографиях и научных работах И.Н.Векуа. [3], А.В.Бицадзе [1]-[2], М.М.Смирнова [62]-[63], М^С.Салохидцинова [61], Л.Г.Михайлова [10]-[15], З.Д.Усманова [65], Н.Р. Раджабова [27]-[58], Ф.Д.Гахова [6], &Р.СПЬе!1 [7], КЛУ.СаггоП и К.БЬохуакеГ' [64], H.Bcgehr [4], А.Д:Джураева [8]-[9] и их учеников.
Другим важным направлением в теории уравнений с частньши' производными является изучение переопределенных систем дифференциальных
уравнений с частными производными, с регулярными и сингулярными-
' 1’
коэффициентами. Исследованию переопределенных систем дифференциальных уравнений с регулярными и сингулярными коэффициентами посвящены работы Л.Г.Михайлова [Ю]-[15], А.Д.Джураева [8]-[9], H.Begehr [4], Н.Р. Раджабова [27]-[58], Э.Р.Рузметова [59]-[60] и их учеников.
Изучение переопределенных систем начали с систем с регулярными коэффициентами, а после стали изучать переопределенные системы с сишулярными и сверхсингулярными коэффициентами.
Монография Л.Г.Михайлова [10] посвящена изучению переопределенных систем с регулярными коэффициентами. В работе Л.Г.Михайлова [14] им было-найдено представление многообразия решений для переопределенных систем с одной сингулярной точкой
1
г* £ = «<*>) , г'&- = Ця,у), дх су
где «-целое положительное число.
В монгорафии Н.Раджабова [36] исследуются линейные переопределенные системы двух уравнений с сингулярной точкой и сингулярными линиями вида:
ди а(х,у) f{x, у)
дх х° х° ’
ди_ Ь(х,у) _ /2(х,у)
ду у’ у“ ’
а также система
ди | ха{х,у) и ^ Мх,у)
дх г" г’ ’
ди у Ь{х,у) Мх,у)
ду г" #■' ’
где а = const. > О, р = const. > 0 , г2 = х2 +у2, а(х,у), b(x,y), f,(x,y), (j = 1,2)-
заданные функции в прямоугольнике D = : 0 < л: < 0 < у < 82}. В зависимости
от параметров аур (а < \,р<\\ а = \>р = 1; а>\,р>\ и другие возможные случаи), а также знаков «(0,0), Л(0,0), получены интегральные представления многообразия решений через произвольные постоянные. Кроме того, изучаются сингулярные и сверхсингулярные линейные переопределенные системы двух уравнений,-содержащие гиперболическое уравнение второго порядка с сингулярными или сверхсингулярными линиями, а также с сингулярной или сверхсингулярной точкой. В монографии также исследуются некоторые многомерные линейные системы первого порядка с сингулярной или сверхсингулярной точкой и сверхсингулярными областями.
В монографии Э.Рузметова [59] получены интегральные представления многообразия решений некоторых переопределенных систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядка с сингулярной точкой, с сингулярными линиями и плоскостями.
Кроме того, некоторые классы переопределенных систем дифференциалыиых уравнений в частных производных с сингулярными и сверхсингулярными
2
коэффициентами изучены в работах Л.Г.Михайлова, Н.Р.Раджабова, Э. Рузмстова, а также их учеников, Р.Пирова, Б.Шарипова, Ф.Шамсудинова, Б. Шоимкулова, Н.Мирзоева и других. Эти работы в основном посвящены переопределенным системам первого порядка с сингулярными коэффициентами и системам, приводящим к системам первого порядка с сингулярными коэффициентами.
Однако переопределенные системы, содержащие уравнения второго порядка' с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами, мало изучены.
Основной целью настоящей диссертации является изучение- переопределенных линейных систем трех уравнений со слабосингулярными, сингулярными* И* сверхсингулярными линиями, содержащих гиперболическое уравнение второго порядка со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями, которые исследуются впервые.
Особо важным является изучение переопределенных линейных систем с персмеными коэффициентами, этот случай исследован полностью. При этом важную роль играет связь между коэффициентами уравнений системы. Сначала изучается случай, когда коэффициенты связаны между собой определенным способом. В этом случае решение найдено в явном виде. После изучается случай, когда коэффициенты не связаны между собой и тогда решение находится через резольвенту двумерного интегрального уравнения Вольтерра со слабыми особыми линиями.
Подробно исследуется случай, когда коэффициенты системы уравнений являются постоянными, с сингулярными линиями; найдено решение-системы, представимое в виде обобщенного степенного ряда.
В'- работе также исследуется система трех линейных уравнений со слабосингулярными, сингулярными- и сверхсишулярными линиями, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка, зависящая от разных параметров степенного характера.
3
Также в работе изучается переопределенная система двух линейных уравнений со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями.
Цели и задачи исследования:
- Нахождение и изучение решения переопределенной системы трех линейных уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными. линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.
- Нахождение и изучение решения вырождающейся переопределенной' системы трех линейных уравнений с постоянными коэффициентами, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка, представимое в виде обобщенного степенного ряда по одному из переменных.
- Нахождение и изучение решения переопределенной системы трех линейных. уравнений с переменными коэффициентами со слабосингулярными , сингулярными и сверхсишулярными линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка, зависящее от разных параметров степенного характера.
- Нахождение и изучение решения переопределенной системы двух линейных уравнений с переменными коэффициентами со слабосишулярными и сверхсингулярными, линиями, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка.
Методика исследования. Используется метод интегральных представлений многообразия решений для гиперболического уравнения второго порядка с сингулярными коэффициентами и представление многообразия решений для дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными коэффициентами.
Научная новизна и практическая значимость. В диссертации исследуегся переопределенная система трех линейных уравнений, содержащая гиперболическое уравнение второго порядка с сингулярными и сверхсингулярными линиями, не изученная ранее. Все результаты, изложенные в диссертации, являются новыми. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач
гидродинамики, газовой динамики, теории упругости и других разделов механики и физики.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на городских семинарах, руководимых профессором Н. Раджабовым «Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных» при кафедре Математического анализа и теории функций, 2008-2011г. ТНУ. Кроме того, работа была доложена на Международном Российско-Болгарском симпозиуме «Уравнения1 смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики», Нальчик-Хабез, 25-30-июня 2010г., на научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава и студентові посвященных «18-ой годовщине независимости Республики Таджикистан» и «Году памяти Имама- Аъзама», ТНУ, апрель 2009г, апрель 2010г., Душанбе.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8-ми публикациях автора, список которых приведен в конце диссертации.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, библиографического списка (66 наименований), изложена на 167 страницах.
Содержание диссертации. Во введении обосновывается актуальность темы, исследованной в диссертации, формулируется цель исследования, приводится краткий обзор работ, связанных с темой диссертации, а также приводятся основные результаты исследования.
В дальнейшем через Г) обозначим прямоугольник: /)={&у):0<х<3, 0<у<<%}. Соответственно обозначим: Гх ={0<*<£,, у=0}, Г2 = {дг = 0, 0 < у < £2}.
В области О рассматриваются следующие системы дифференциальнных уравнений:
ду ут ' уг
где а= const. > 0, р = const. > 0, у = const. > 0. а;(х,у),Ь; (х,у), у = 1,2, fj (*»у)(1 < j < 3),с, (х,у) -заданные функции в D, и(х, у) е С^2 (Z)) -искомая функция.
Для системы (1) в зависимости от параметров аур (а<1,/?<1; а-= а >!,/?>! и другие возможные случаи ) и от знаков д,(0,0), Ъх (0,0), а2 (0,0), 62(0,0) найдены условия совместности на коэффициенты и правые части системы, при выполнении которых общее решение данной системы находится в явном виде.
Аналогичные результаты получены и для системы (2).
Выделяются случаи, когда коэффициенты первого уравнения системы (1)
да (х 'j
или (2) между собой связаны формулой с. (х, у) = ах (.v, у)Ь. (*,у)+*g — - ’ —, а также
дх
когда с,(х,у) * д, (х, у)Ь{ (х, у) + х° .
дх
Заметим что, при с2(х,у) = а. (х,у)Ь. (х,у) + ха — ' ^х*у^. - с, (х,у) * 0 задача о
дх
нахождении общего решения системы (I) или (2), в зависимости от значений а, р сводится к изучению двумерных интегральных уравнений вольтерровского типа с двумя слабосингулярными линиями, и сингулярными линиями, изученные ранее [43], [47].
В первом параграфе первой главы рассматривается переопределенная система (1) при а<\ур<\ ,с2(*,у) = 0. В этом случае уравнение системы (1) имеет две слабые сингулярные линии.
В дальнейшем через C]y(D) обозначим класс функций и(хуу)у который внуфи
д2и
D имеет непрерывные производные первого порядка и е C(D), через
дхду
C\D) обозначим класс функций и(х,у), который внутри D имеет непрерывные производные первого порядка.
Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение: Теорема 1,1, Пусть в системе (У) а<\,р<\, коэффициенты и правые части
удовлетворяют следующим условиям:
1. ах (ху у) <= Сх (/)), а2 (ху у) <= Су (D), a, (х, у), Ъ} (*,у), j = 1,2, с, (*, у), f} (х, у) е C(D), (1 < j < 3), f2(xyy) е С'у(П),/2(х,у) е C'X(D);
2. с{(хуу) = a,(x,y)bt(д:,у) + .
3.
4. Функции /}(хуу){\ < j <3) удовлетворяют следующим условиям совместности
ур of2(xyyl + (Xj- (д (Xj j,) _ &(Х>у)) ехр[ « (х, дОКУ',(Т) +
I) дУ
+ Jexp[ Wb‘(t,y)]fl{t'y)<lt) + /,(х,у), о *
II) х“ ^^^+6,(х,>')/3(х,у)=у;(х,у)) (x,y)eD.
их
Тогда любое решение системы (1) из класса C^(D) представимо в виде и(хуу) = ехрНГ/ (*, у)](<*, (лг) + JexpPT/ (лг. j) - ^ (ху s)) (s) +
о
|ехр^“(г,5))АМ^Л))Л = ЛГ|[(01(х),^1О'),/,(х,у)],
О * 5
где,
А(х) = ехр!-»'*(х,0)][с + }ехр[И^«,0)] ¥1{у) = и^у),
О *
И'Д*.*)-'Г'**'***’ У.‘(».у)- }-а,('У)А ’ И'.:(х,у). )Ы1±У1л,
о 5 О * о *
с-произволъная постоянная.
Во втором параграфе первой главы система уравнений (1) изучена при а<\ур<\, с2{хуу)* 0.
В третьем параграфе первой главы рассматривается переопределенная система (1) при а = \ур = 1 ,с2(дт,у) = 0. В этом случае система уравнений (1) называется системой с двумя сингулярными линиями.
В случае, когда, а = \,р = 1, с2(хуу)* 0 доказана следующая теорема:
7
Теорема 1.4. Пусть в системе (1) а = 1,/?=1, коэффициенты удовлетворяют условиям 1, 3 теоремы 1.1. Пусть с2(х,у) * 0, функции ах(хуу),Ь1(х,у)уаг{х,у) в окрестности точки (0,0) удовлетворяют условию Гельдера, а также условиям а{ (0,0) > 0, А, (0,0) > 0, л2(0,0) > 0, А, (0,0) > а2 (0,0). Кроме того, существуют пределы видов:
■ВД = НтГУ'<0'°)/2(*,Ж Ъ(у) = \Шх^их,у)\,
^*“>и 1"м)
1$(х)еСХГ,) , Т3(у)еС(Г2) . Функции /,(*,у)(1 <у <3) удовлетворяют следующим условиям совместности:
у дМ1'У) +о1(х,у)/2(х,у)ш{а,(х,у)-Ь1(х,у))ехр1-и:^х,у)]х-^',>(Рг(у) +
I) , *
+ )/*,(0-°н схр[|^ 0,у)](/,О,у) + с2^,у)Т2[Е^}у)])сИ) + (/,(х,у) + сг(х,у)Тг[Е(х,у)\\ о
Ц) *+ ьх(.г,у)/’ (дг,у) = /,(дг,>>) + с2(*,у)^[а:(х,у)], ох
а функция с2(х,у) при (лг,>^) —> (0,0) удовлетворяет условию: с2(.хуу)=с{хеус\у£>О, при (дг,у)->(0,0).
Тогда любое решение системы (7) из класса С^(О) представимо в виде:
и(х,у) = х-^ту-'^{Е(х,у) + у;«,*)£(/,*)«*> =Г2 [£(*,.);)],
О о
где
Е(х,у) = „;».«•.•>—.<0 «» СХр[ -»„.(дг.Я0)]{е+ |("=(0'01 схр[ (/,0)] +
О *
+ ехр[ -И’в|(*,у)|5',,(0,,>> схр[ уг^ (*,*) - 1У6,(д:,5)](-^^- +
0 5
+ }/*>«•« ехр[ и-,, (»,»)]•
^х,у) = )а^-а^%:, ^(х,у) = ]°МЛ,
О * О О ^
Г(х,у;1,й)-резольвента известного двумерного интегрального уравнения с двумя слабыми сингулярными линиями, с-произвольная постоянная.
В пятом параграфе первой главы рассматривается переопределенная система (1) при а > 1,/?> 1, с2 (*,>>)- 0. В этом случае уравнения системы (1) будут уравнениями со сверхсингулярными линиями. Основным результатом этого параграфа является следующее утверждение:
Теорема 1,5, Пусть в системе (У) а > \,ß > 1, коэффициенты удовлетворяют
условиям 1, 2, 3 теоремы 1.1, функции ах(х,у),Ьх(х,у), а2(х,у) в окрестности
точки (0,0) удовлетворяют следующим условиям:
h(*.У)~<*\(0,0)|<.НУ'9 у, >ß-\,
^ix,y)-hx(pP)\<1H1xri> у2>а-1,
\а2(*,у)-а2(0,0)|<НъхЛ, у3 > а -1,
а также условиям а,(0,0)>0, 6,(0,0)>0 , а2(0,0)>0. Кроме того, существуют пределы видов:
F2 (х) = lim (схр[-а, (0,0)^д (y)\f2 (х,у)),
F,(У) = lim [ехр[-*, (0,0)й>а (х)]/3 (х,у)], /г (*) е С(Ц), F,(y) е С(Г^).
X—м»
Функции fj(x,y)( 1< j < 3) удовлетворяют следующим условиям совместности:
У0 + а Х(х, у)/2(х, у) = (а2(х,>0 - 6,(х,у))ехр[6,(0,0)<»а(х) - (х,у)]•
I) ^
■ (F, Ы + Jexp[ w j (Г, у) - *, (о,о)й>а (/)]/, (/, y)r* dt) + /, (х, у),
о
II) X* +^(х,у)/2(х,у) = /J(x,y), (*, у)е Z).
ох
Тогда любое решение системы (1) из класса C^(D) представимо в виде:
х
и(х, у) =» ехрО, (0,0)й>„ (у) - < (х, у)] {ехр[а2 (0,0)<Уа (х) - w“ (х,0)](с + Jcxp[ w“ (t,0) -
о
- а2(0,0)адв (/)] + Jexp[w' (х,*) - а, (0,0)в>,(5) +*, (0,0)^а (х) - wj (х, *)].
* о
(») + )exp[№° (/, J) -*,(0,0)И„
о * 5
где
о * о 5 о 1
(оа (х)« 1 t , а)р(у) = — 1 > с-произвольная постоянная.
Замечание 1,4. Интегральное представление (3) остается в силе также при а,(0,0) < 0, а2(0,0) < 0, 6, (0,0) < 0 и выполнения условий F2(0) = 0 и F3(0) = 0 соответственно с асимптотическими поведениями:
F2 (х) = о[ехр[~\а2(°,0)К (х)] • х'4 ], прих ->0, у<>а-\,
ЧУ) = о[ехр[—|öj (0,0)\&р(у)]’ yrs], при у -> 0, уь > р-1,
и У!(0,^) = 0 , fx (х,0) = 0 соответственно с асимптотическими поведениями f (X, у) = фхр[-|6, (0,0)|*Уа (х)] -хп ], при Л- -> 0, уь > а -1,
/](*>у) = фхр[-Ц(0,0^(у)]-у*1], приу->0, у7>р-\.
Следствие 1.4. При выполнении всех условий теоремы 1.5 и Ьх (0,0) < а2 (0,0), любое решение системы (1) из класса C*(D) на Г, и Г2 обращается в бесконечность со следующими асимптотическими поведениями
и(х,у) = 0(ехр[а2 (0,0)соа (дг)]) при х -► 0, и(х;,у) = О(ехр1а,(0,0)й>д(у)]) при у -> 0 .
Следствие 1.5. При выполнении условий теоремы 1.5, и ( Ь{(0,0) £ а2(0,0) ), представление вида (3) обладает свойством
(м(х, у) ехр[-я, (0,0)^ (у) - а7 (0,0)<yw (х)) = с .
у=0
пример 1.5. Пусть в системе (1) а > 1, р > I, а, (х, у) = Ь2 (.г, у) = а2 (х, у) = Ьх (х,у) = а,
где а = const. > 0 и /, (х, у) = а2. Тогда с, (х, у) = а2, /2 (х, у) = /3 (х, у) = а.
Легко можно видеть, что в этом случае, решение системы (1) выражается формулой:
и{х,у) = с exp^(^(»+^a(x))]+l.
В шестом параграфе первой главы система уравнений (1) изучена при а > \,Р> I, с2(х,у)*0.
Замечание 1.5 В первой главе также доказаны теоремы, подобные теоремам 1.1-1.5, для системы уравнений (1), когда:
сс = \,Р < 1; сг<1,/? = 1; а<\,р>\; «>!,/?<!; «>1,/? = 1; а-1,Р>1.
Во второй главе в области D рассматривается система уравнений вида:
д2и(х,у) ди(х,у) . ди(х,у) , .
xy-a^+a'x—te-+b'y-^+d'uix'y)=Mx'y)'
~ди^Х'У^+а2 ч(х,у) = /2(х,у), ^ ^
дх
ди(хуу)
+ Ь3 и(х,у) = />(х,у),
ду
где а\ у Ь\, а2, Ъг, б/]-заданные постоянные, /у(х,у)(1< у £ 3) -заданные функции в £>, м(х, у) -искомая функция.
10
В первом параграфе второй главы получены многообразия решений системы уравнений (4), представимые в виде обобщенного степенного ряда по переменному х. В этом параграфе получено следующее утверждение:
Теорема 2.1. Пусть в системе (4) функции /}{х,у){\ <, у ^ 3) представимы в виде абсолютно и равномерно сходящихся рядов вида:
0*7*3),
**-0
где фк] (у) -известные функции. Кроме того, пусть функции /ДуО), такие, что существуют следующие пределы:
>•->0 ' * у-Л
при 8к - + + > о 9 к+у+Ь. * 0 и выполнено бесконечное число условий
к+ у + Ь{
совместности вида:
(к + / + *,)-£-[/■ /12(у)] = (к + у + а2 )у°'"ЛАу);
с!у
{к + у + 6, )[(/• Д, (у))'- Д, О-)] = [(*2 - а, X* + У) + Ь,ь2 - с1, ]/■Д, (у).
Тогда единственное решение системы (4) из класса функций и(х, у) ,
представимых в виде обобщенного степенного ряда, по переменному х , представимо в виде:
и(х.у) = ^у ^ ~ \ ф], (5)
£о о к + у + Ьх
где ск -призвольные постоянные, для которых существует предел:
= /х<1 , 0 < д: < <5,.
*-*• ы
Замечание 2.1. Интегральное представление (5) остается в силе также при
С1 (к 4* у)
8к ————- <0 и вьшолнения условий /.,(0) = 0 с асимптотическим поведениям;
к+у+Ьу
/к.Лу) = °(УГ') > при у -> 0 , ук > \бк\9 к = 0,1,2,... .
Теорема 2.2. Пусть коэффициенты и правые части системы (4) удовлетворяют всем условиям теоремы 2.1, кроме условия к + у+Ьх * 0. Пусть для какого-нибудь значения к = к0, к0+у+Ь{= 0.
Тогда единственное решение системы (4) представимо в виде:
\
Во втором параграфе второй главы получены многообразия решений системы уравнений (4), представимые в виде обобщенного степенного ряда по переменному у. В этом параграфе получены теоремы, подобные теоремам 2.1.
В третьей главе в области D рассматривается система уравнений вида:
где а = const. > 0, р — const. > 0, у = const. > О, А, = const. > О, а^х,у\ь;(х,у), 7=1,2, fJ(x,y)(\<j<3), с,(*,у) -заданные функции в D , и(х,у) -искомая функция.
В этой главе для линейной переопределенной системы трех уравнений, содержащей гиперболическое уравнение второго порядка с слабосингулярными, сингулярными и сверхсингулярными линиями, в зависимости от условий на коэффициенты и в случае разных параметров степенного характера, найдены многообразия решений через одну произвольную постоянную.
В первом параграфе третьей главы рассматривается переопределенная система уравнений (6) при а < 1, /? < 1, у <1, Я<1 , с2(х>у) = 0. В этом случае уравнения системы (6) являются уравнениями со слабыми сингулярными линиями.
Во втором параграфе третьей главы рассматривается переопределенная система уравнений (6) при а = \,р = \,у = \,Л = \ , с2{х,у)- 0. В этом случае уравнения системы (6) будут уравнениями с сингулярными линиями.
и 2.2.
х
г ри(х^у)_ + ущХ' уу = у2 уу
(6)
У
д Мх, у) + ^ ^ у^Х' ^ в ^ ^
су
12
- Київ+380960830922