Оглавление
Введение 4
1 Задача возбуждения электромагнитного волновода. 24
1.1 Постановка задачи........................................ 26
1.2 Спектральная задача...................................... 30
1.3 Решение задачи возбуждения волновода.................... 52
1.4 Счетность частот отсечки................................. 67
1.5 Моды полого волновода................................... 70
1.6 Излучение в ближнюю зону................................ 74
1.7 Вещественные собственные значения.........................77
1.8 Применение смешанных конечных элементов ................ 80
2 Задача рассеяния на неоднородности в волноводе. 87
2.1 Постановка задачи....................................... 88
2.2 Применение вариационного метода для задачи рассеяния
на проницаемом теле..................................... 92
2.3 Спектральные свойства задачи рассеяния..................101
2.4 Ловушечные моды гофрированного волновода................111
2.5 Собственные значения оператора Лапласа в деформированных полосах...............................................115
2.6 Периодические структуры..................................125
2
2.7 Применение принципа Релея к задаче о рассеянии в диэлектрическом слое и задаче о периодических системах. . . 130
3 Задача рассеяния в нерегулярном электромагнитном волноводе. 136
3.1 Постановка задачи......................................139
3.2 Полнога системы нормальных волн .......................141
3.3 Парциальные условия излучения..........................146
3.4 Вариационная постановка задачи.........................152
3.5 Задача рассеяния в иолом волноводе.....................156
3.6 Рассеяние на диэлектрическом теле...................
3.7 Применение принципа Релея..............................172
3.8 О разрешимости задачи рассеяния........................177
3.9 Представление поля в виде разложения по функциям Боргниса....................................................183
Заключение 190
3
Введение
Математические задачи теории волноводов являются предметом непрерывных исследований в облает теоретической физики, математической физики и математического моделирования. Эго связано в первую очередь с большим практическим значением исследования процессов распространения волн в волноведущих системах в связи с задачами проектирования радиофизических и акустических устройств. С другой стороны, строгие математические модели теории волноводов приводят к новым неклассическим задачам, имеющим фундаментальное значение для развития собственно математической физики и математического модели{ю-вания [1].
Первые исследования по теории волноводов были посвящены изучению задач, допускающих аналитическое решение. Основным предметом исследования являлись задачи, обладающие специальной симметрией, для которых изучался вопрос о существовании решений в виде бегущих волн. В этих работах (2]-[4) была доказана принципиальная возможность передачи энергии по волноводам. В работах [5]-[8] впервые рассматривались некоторые случаи задачи об излучении тока в волноводе, в частности рассматривалась задача для электрических и магнитных диполей в волноводе прямоугольного и круглого сечения.
Работами, ознаменовавшими новый этап в развитии теории волноводов, явились работы А.А.Самарского и А.Н.Тихонова 1947-1948 гг. [9]-
4
[11]. В этих работах задача о возбуждении полого волновода была рассмотрена в общей математической постановке без специальных предположений о форме сечения волновода. При этом был получен ряд фундаментальных результатов. Прежде всего, было установлено существование решения задачи возбуждения волновода сторонним током. Был исследован вопрос о представимости произвольного поля в волноводе в виде ряда по системе нормальных волн и строго доказана возможность подобного разложения. После этих работ, теория волноводов становится не только областью теоретической физики, но и разделом математики.
Необходимо отметить работы П.Е.Краснушкина [12]-[16], в которых был рассмотрен большой круг вопросов, связанных с распространением воли в неоднородных средах, в частности с передачей волн по волноводам. Особенностью рассмотрения задач в волноводах является то, что область, в которой рассматривается задача, является неограниченной, по крайней мерс, в одном направлении. А в так называемых открытых волноводах областью, в которой рассматривается задача, служит все трехмерное пространство. В связи с этим, необходимо поставить условия излучения, описывающие поведение решения на бесконечности. Применяются различные принципы излучения, такие как принцип предельного поглощения, принцип предельной амплитуды и условия излучения типа условий Зоммерфельда. Для задачи, описываемой уравнением Гельмгольца в полосе и цилиндре, условия излучения впервые были поставлены в работе А.Г.Свешникова [17]. Подобные условия излучения, называемые парциальными условиями излучения особенно удобны при постановке и изучении задач о волноводах, поскольку позволяют свести задачу в бесконечной области к внутренней краевой задаче с краевыми условиями неклассического типа.
5
В связи с широким применением НС только полых волноводов, но и волноводов, заполненных средой, либо открытых волноводов, большое количество работ посвящено исследованию подобных систем. Основную сложность при рассмотрении подобных задач, в отличие от задач для полых волноводов, представляет несам осой ряженный характер задачи. При исследовании задач о возбуждении и распространении электромагнитного поля по металло-диэлектрическим волноводам, с характеристиками не изменяющимися по оси волновода необходимо подчеркнуть прежде всего роль работ П.Е.Краснушкина и Е.И.Моисеева, A.C.Ильинского, Ю.В.Шсстопалова и Ю.Г.Смирнова [12],[18]-[26]. В то в|>емя как изучение задачи о нормальных волнах полого волновода мо-жет быть сведено к рассмотрению краевой задачи для уравнения Гельмгольца, для волновода, заполненного средой с изменяющимися характеристиками, это оказывается невозможным. При этом, применяются различные методы сведения системы уравнений Максвелла к рассмотрению уравнений второго порядка. В работах А.С.Ильинекого, Ю.В.Шестопалова и Ю.Г.Смирнова рассматривается класс задач с кусочно постоянной диэлектрической проницаемостью. Исследуемая задача сводится к двум уравнениям Гельмгольца относительно продольных компонент электрического и магнитного ноля. В то же время спектральный параметр входит в граничные условия и условия сопряжения на поверхностях разрыва диэлектрической проницаемости. В результате рассматривается спектральная задача с нелинейным вхождением спек-трачьного параметра. В работах Ю.В.Шестопалова и А.С.Илышского [21) на основе этой постановки были установлены области локализации спектра, более того, была доказана непустота дискретного спектра для определенных задач как для экранированных волноводов, так и для от-
6
крытых волноводов. В работах Ю.Г.Смирнова [22]-[25] исследовался вопрос о полноте собственных и присоединенных векторов волновода. При атом для двухслойного волновода прямоугольного сечения удалось свести задачу к возмущению квадрат и много операторного пучка Келдыша и установить двукратную полноту собственных и присоединенных векторов. В работе П.Е.Краенушкина и Е.И.Моисеева [12] использовался другой подход. Система уравнений Максвелла сводилась к уравнениям относительно поперечных составляющих электрического и магнитного поля. Для случая волновода круглого сечения с зависимостью характеристик среды только от радиальной координаты, задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. При этом задача сводится к квадратичному операторному пучку Келдыша. Установлена двукратная полнота системы собственных и присоединенных векторов и рассмотрена задача о возбуждении волновода. Для задачи возбуждения показана возможность построения приближенного решения сколь угодно близкого к точному по невязке. В то же время, несмотря на значительное продвижение в теории регулярных волноводов с неоднородным заполнением, в этих работах исследованы достаточно частные случаи задачи.
Необходимо отметить значительное продвижение в теории упругих волноводов. В работах И.И.Воровича и В.А.Бабешко [27] рассмотрены различные принципы излучения для упругой полуполосы. Задаче возбуждения упругого полуцилиндра посвящены работы А.Г.Костюченко,
А.Гаратжаева и Б.М.Оразова [28]-[30]. При этом проведено исследование как спектральных свойств, так и вопроса о разрешимости задачи с условиями излучения на бесконечности. Трудности, обуславливающие отсутствие аналогичных результатов в электродинамике связаны со структурой уравнений Максвелла. Исследование спектральной зада-
7
ми для системы уравнений Ламе в задаче о возбуждении полуцилиндра приводит к спектральной задаче дія квадратичного самосопряженного пучка компактных операторов. Аналогичный вид можно придать задаче и в электродинамике. Однако операторы, в данном случае не будут компактными.
Наряду с теорией регулярных вдоль оси волноводов развивается теория нерегулярных волноводов [31]-[45], т.с. либо волноводов, заполненных средой, характеристики, которой изменяются вдоль продольной координаты, либо волноводов, геометрия которых нс являются всюдуг цилиндрической. Такими являются, например, изогнутые волноводы, ли-бо локально расширяющиеся или сужающиеся деформированные цилиндры, представляющие собой участки сочленения двух волноводов различного сечения. При изучении процесса распространения ноля по волноводам был предложен ряд методов, из которых особо отметим метод поперечных сечений, предложенный С.А.Щелкуновым, и развивавшийся в работах Б.З.Каценеленбаума, [44]-[45] и неполный метод Галеркина, применение которого к задаче расчета нерегулярного волновода было предложено в работах А.Г.Свешникова [32]-[35]. При этом применение неполного метода Галеркина позволило не только вычислять поле в волноводе при помощи ЭВМ, но и установить энергетические оценки, из которых в случае наличия в среде поглощения, следует существование и единственность решения [35]. Вопрос о возможности применения принципа предельного поглощения, т.е. перехода к пределу для решения при стремлении мнимой части диэлектрической и магнитной проницаемости к нулю является весьма сложным, и в настоящее время решение этой задачи в общем случае отсутствует. Для частного случая регулярного волновода принцип предельного поглощения был обоснован в работе [31]. В
8
нерегулярном волноводе возможно существование решений однородных уравнений, локализованных вблизи неоднородности. Впервые в работе Ф.Релиха 1948 г. [46] было доказано существование подобных решений для оператора Лапласа с условиями Дирихле в полуцилиндре, соединяющемся с телом достаточно большого объема. При этом, особенностью задачи является то, что подобные решения отвечают вещественным, а не комплексным с малой мнимой частью, как в открытых резонаторах, собственным значениям, и соответствующие собственные функции имеют конечную энергию. После фундаментальной работы Релиха последовала работа Д.Джонса 1953 г. [47], в которой был доказан ряд принципиать-ных результатов для локально расширяющихся цилиндров. Рассматри-валась опять задача для оператора Лапласа с условиями Дирихле. При этом было доказано отсутствие точек сгущения собственных значений.
Подобные решения получили название лопутечных мод. Ловушсч-иые моды были обнаружены в различных задачах акустики, квантовой механики и теории упругости [48]-[57]. К примеру в работе П.Эксисра и П.Шебы [53] обнаружено существование изолированною собственною значения для случая локально гладко изогнутой полосы. В работе [56] получен аналогичный результат дія L - образной полосы. Одновременно в 1989 г. [58] A.C. Сухининым была рассмотрена задача об операторе Лапласа с условиями Неймана в полосе с разрезом параллельным оси волновода, на котором ставятся условия Неймана. При этом доказано существование по крайней мере одного собственного значения, которое оказывается при постановке условий Неймана, погруженным в непрерывный спектр. Данная задача соответствует задаче о рассеянии звуковой волны на пластине в канале. Большой интерес вызывают спектральные свойства задачи о рассеянии акустической волны на произвольном
9
препятствии в канале. В работе Д.В.Эванса, М.Левитина, Д. Васильева [55] для случая, когда препятствие является симметричным относительно оси волновода, установлен критерий существования по крайней мере одного собственного значения. В работе 1997 г. В.Буллы, Ф.Гестези,
В.Ренгера и Б.Саймона [54] рассмотрена задача для деформированной полосы с условиями Дирихле и установлен критерий существования изолированной точки дискретного спектра. Для установления ненустоты дискретного спектра применялось два метода. Первый связан с применением принципа Релея для неограниченных операторов. Второй заключается в сведении исходной задачи к уравнению типа уравнения Шре-дингера в полосе и применению принципа Бирмана-Швингера. При этом устанавливается существование изолированной точки дискретного спектра, расположенной ниже границы непрерывного спектра. Этот эффект исследовался в дальнейшем рядом авторов [54],[57], получившими в том числе асимптотические оценки собственного значения. Значительное количество работ посвящено сведению задачи дія нерегулярного волновода к применению результатов для оператора Шредингера.
Дня задач о рассеянии в канале для рассматриваемой геометрии препятствия рассматривается дополнительное условие Дирихле на оси канала. что приводит к поднятию границы непрерывного спектра. В то же время вопрос о дискретном спектре, расположенном выше границы непрерывного, в целом не исследован.
К данному классу задач по используемым методам изучения примыкает вопрос о распространении волн вдоль решеток и периодических систем. Следует отметить ограниченное число строгих результатов, полученных при исследовании периодических систем [63]-[67]. Часто применяется подход, основанный на замене периодической гофрированной
10
границы прямолинейной с импедансным условием [62]. Однако этот .метод позволяет исследовать волны лишь для периодических поверхностей с малой глубиной гофра, причем частота должна быть мала. Этот метод не получил какого-либо обоснования.
Начиная с работ [34],[35] большое внимание привлекают вопросы математического моделирования в теории волноводов. При этом широкое применение получили проекционные методы. Различные результаты, полученные при применении метода Галеркина в случае базисных функций с нелокальным носителем нашли отражение в [59]. Применение метода конечных разностей применительно к векторным операторам было начато в работах В.И.Лебедева [68]-[69]. Начиная с УОос годов, попу-лярность приобретает применение вариационно-разностных методов, в частности метода конечных элементов. Применение стандартного метода лагранжевых конечных элементов приводило, однако, к возникновению решений нефизического типа - ’’духов” [70]-[71]. С конца 80-х широкую популярность приобрел метод смешанных конечных элементов. Метод смешанных конечных элементов был предложен в работе Рааья-ра и Тома 1976 г. [72] в связи с проблемой аппроксимации векторного поля в пространстве Н{(Иь). Проблема аппроксимации векторных полей встает в связи с различными задачами математической физики. В этой работе рассматривалось двумерное пространство. Для трехмерных задач смешанные конечные элементы были построены в работе Нсдслека [73],[74]. Смешанные конечные элементы применялись к задаче расчета мод волноводов в большом количестве работ [75]-[81], в которых задача рассматривается в различных математических постановках.
В то же время эти работы посвящены вычислительным и алгоритмическим вопросам, возникающим при решении задачи. Математическое
11
исследование задачи проводилось в работе А.Бермудеса и Д.Педрейры (82], а также в работе [83]. Однако в этих работах использовалась некоторая модельная постановка задачи, которая рассматривается как спектральная задача относительно частоты ноля, а не постоянной распространения. Это приводит к задаче для самосопряженного оператора, в то время как типичные спектральные задачи теории волноводов не являются самосопряженными. В целом, анализ задачи основан на применении к данной задаче результатов работы Деклу, Нассифа и Раппаза [84], в которой установлен критерий сходимости собственных значений и корневых векторов при применении проекционного метода для случая нссамосопряженного некомпактного оператора.
Диссертационная работа посвящена изучению следующих задач.
1. Постановка и исследование задачи излучения и распространения волн в регулярном электромагнитном волноводе. Исследование спектральных свойств задачи. Доказательство полноты системы корневых векторов волновода. Определение области локализации и асимптотики собственных значений и доказагельство существования вещественных собственных значений. Постановка условий излучения и исследование проблемы разрешимости задачи возбуждения волновода. Доказательство существования и единственности решения в определенном функциональном классе. Выделение класса токов, излучающих поле в ближнюю зону и не возбуждающих бегущие волны.
2. Исследование задачи дифракции в нерегулярном акустическом волноводе и ее спектральных свойств. Применение вариационного метода для различных задач о нерегулярных волноводах, таких как волновод с проницаемым рассеивателем, локально расширяющийся волновод, волноводный тройник, волновод с идеально жестким препятствием и ряда
12
других. Разработка единого метода исследования этих задач. Вариационный учет парциальных условий излучения. Доказательство фред-гольмовой разрешимости задачи рассеяния в нерегулярном волноводе. Доказательство непустоты дискретного спектра нерегулярного волновода, т.с. доказательство существования так называемых ловушечных мод. Выделение класса волноводов, в которых существует бесконечное число ловушечных мод. Применение разработанного метода к задаче о распространении волн вдоль периодических линий.
3. Постановка и исследование задачи дифракции в нерегулярном электромагнитном волноводе. Применение вариационного метода и учет условий излучения. Доказатсльство фредгольмовой разрешимости зада-чи рассеяния в нерегулярном полом волноводе. Доказательство существования ловушечных мод в полом волноводе с определенной геометрией сечения. Исследование задачи о рассеянии на диэлектрическом теле. Доказательство существования бесконечного числа ловушечных мод для определенного типа диэлектрических тел.
4. Математическое изучение вопросов применения вариационно-разностных методов в теории волноводов. Доказательство отсутствия нефизичсских решений при применении метода смешанных конечных элементов. Исследование вопроса о сходимости собственных значений и корневых подпространств дискретной задачи к собственным значениям и корневым подпространствам дифференциальной.
Рабат состоит из 3 глав, введения и заключения. Объем работы составляет 210 стр., включая 8 рис. и списка литературы, содержащего 154 работы.
Перейдем к краткому описанию содержания работы.
В первом параграфе первой главе предложена новая математическая
13
постановка задами о регулярных электромагнитных волноводах [89],[90]. В математической электродинамике, при рассмотрении полей с гармонической зависимостью от времени, в качестве основных рассматриваются вихревые уравнения Максвелла. Уравнения для операторов дивергенции при не равной нулю частоте электромагнитного поля рассматриваются в качестве их следствий. В диссертационной работе применяется принципиально иной подход. Считаем, что ось г направлена вдоль оси волновода.
Вместо рассмотрения задачи относительно пары векторов И = (Я2, Яу, Нг) и Я = (Я,, Яу, Я.) задача рассматривается относительно векторов Л1 = Я,) и Лг = (иг,иу,Н1). В качестве основных выби-
раются уравнения для дивергенций и те четыре уравнения из вихревых уравнений, в которые входят производные по координате г. Оставшиеся два уравнения являются следствиями основных уравнений при определенных дополнительных условиях и выступают' в качестве дополнительных дифференциальных условий.
Во втором параграфе изучается спектральная задача теории регулярных волноводов. Исследование вопроса о решениях модового вида однородной системы уравнений Максвелла в определенном функциональном пространстве приводит непосредственно к рассмотрению спектральной задачи для операторного пучка Келдыша [89]-[90]. При угом для волновода произвольного поперечного сечения, с неоднородным и анизотропным в поперечном сечении заполнением доказана полнота системы собственных и присоединенных векторов волновода. Установлены область локализации и асимптотика спектра [93],[95]. Доказано, что спектр задачи расположен симметрично относительно вещественной оси и асимптотически приближается к отрицательной полуоси. Для исследования
14
спектральных свойств задачи в работе доказаны теорема о декомпозиции двумерного векторного поля и специальная теорема вложения [90],[93].
Третий параграф посвящен постановке условий излучения и доказательству существования решения задачи возбуждения волновода. Прежде всего доказана теорема о разложении вектора тока на ток, возбуждающий поле лишь в ближней зоне, тождественно равное нулю в дальней зоне и ток, возбуждающий бегущие и затухающие нормальные волны [89),[90]. Отметим, что в работе П.Е.Краснушкииа и Е.И.Моисеева [12], применяемая постановка позволяет вычислять ноле только в дальней зоне в случае произвольной компоненты являющееся комбинацией нормальных волн.
При рассмотрении задачи о возбуждении волновода с неоднородным в поперечном направлении заполнением непосредственная постановка парциальных условий излучения сталкивается с необходимостью доказательства сходимости разложений по системе собственных 11 присоединенных векторов волновода. В настоящее время вопрос о том, является ли система собственных и присоединенных векторов операторного пучка Келдыша базисом остается открытым [124]. В связи с этим мы ставим условия излучения следующим образом. Будем требовать, чтобы поле, возбуждаемое в волноводе в дальней зоне было представимо в виде суммы конечного числа бегущих волн и вектора, описывающею затухающую часть поля, и являющегося элементом пространства 12- Для решения задачи возбуждения, ток. возбуждающий бегущие и затухающие волны представляется в виде суммы двух частей, для каждой из которых рассматривается своя краевая задача. Для тока, возбуждающего бегущие волны, в качестве краевых условий ставятся парциальные условия излучения. При этом задача сводится к краевой задаче для обыкновенных
15
дифференциальных уравнений. Для тока возбуждающего затухающие волны в качестве краевого условия выступает требование принадлежности решения І2- В результате удается доказать существование решения задачи о возбуждении неоднородного волновода.
В четвертом параграфе рассматривается вопрос о частотах отсечки, т.е. значениях частоты к, которым соответствуют решения однородных уравнений Максвелла, не зависящие от продольной координаты 2. Доказано существование счетного числа частот отсечки с точкой сгущения на бесконечности, установлена асимптотика частот отсечки. Изучение поведения частот отсечки является важным, поскольку рассмотрение задачи возбуждения волновода возможно лишь при частотах не равных частотам отсечки.
В пятом параграфе доказано, что система корневых векторов полого волновода не только полна, но и является базисом. В этом случае квадраты постоянных распространения являются вещественными, присоединенные векторы отсутствуют. В рассматриваемом случае собственные векторы являются ортогональными. При этом, собственные векторы выражаются через собственные функции задачи Дирихле и Неймана, рассматриваемой в поперечном сечении.
Шестой параграф посвящен рассмотрению вопроса о токе, возбуждающем поле в ближней зоне, и не возбуждающего бегущие волны. При этом рассматривается система уравнений первого порядка.
В седьмом параграфе доказано существование вещественных собственных значений. Для доказательства задача рассматривается относительно частоты поля, в то время как постоянную распространения считаем заданной. Рассматриваемая задача сводится к спектральной задаче для самосопряженного оператора.
16
Восьмой параграф посвящен исследованию вопроса о применении метода конечных элементов в спектральной теории волноводов. Изучается вопрос о применении смешанных конечных элементов к задаче вычисления мод волновода с диэлектрическим заполнением. При этом рассматривается спектральная задача для несамосопряженною некомпактною оператора. В работе доказана сходимость собственных значений и корневых векторов, дискретной задачи к решениям дифференциальной. Основным моментом доказательства является теорема вложения для векторных функциональных пространств.
Вторая глава посвящена исследованию задачи рассеяния в нерегулярном акустическом волноводе и задаче рассеяния в электромагнитном волноводе в скалярном приближении. Основное внимание уделено изучение спектральных свойств задачи. Для постановки задачи используются парциальные условия излучения, введенные в [34]-[35] А.Г.Свешниковым, позволяющие перейти от рассмотрения задачи в цилиндре к задаче в ограниченной области с краевыми условиями нелокального вида.
Задача описывается уравнением типа Гельмгольца. При этом не вводятся предположения о наличии затухания у препятствия. В работе докатана фредгольмова разрешимость задачи. Основным моментом, используемым при изучении задачи, является введение специальною функционального пространства в определение которого входит учет парциальных условий излучения.
В то же время могут существовать частоты, при которых задача неразрешима. Этим частотам соответствуют решения однородной задачи, называемые ловушечными модами [49], которые локализованы вблизи неоднородности и имеют конечную энергию. Вопрос о существовании подобных решений имеет принципиашное значение [60]. Это связано со
17
следующим неклассическим характером задачи. Непрерывный спектр занимает полуось [&і,оо),&і > 0, где к\ - наименьшая частота отсечки. При этом лишь конечное число собственных значений может быть расположено в промежутке (ОДі). Таким образом, в случае существования бесконечного числа собственных значений, у которых отсутствуют, как было показано Д.Джонсом [47],конечные точки сгущения, они оказываются погруженными в непрерывный спектр. Одним из первых примеров задачи математической физики с собственными значениями, погруженными в непрерывный спектр, явилась спектральная задача для оператора Шрсдингсра с медленно убывающим осциллирующим потенциалом, построенным Вигнером и Фон Нейманом [125]. Другим примером явля-стся задача о ловушечных модах в канале со свободной поверхностью, которые были открыты Урселом в 1951 г. [126] и исследовались Кузнецовым, Мотыгиным, Эвансом, Макайвером и другими [128]-[130]. Однако принципиальным является то, что во всех этих задачах существует лишь конечное число собственных значений, погруженных в непрерывный спектр.
В первом параграфе рассматривается постановка задачи о рассеянии на проницаемом акустическом препятствии в волноводе с идеально мягкими и идеально жесткими стенками. Вводятся условия излучения и задача в бесконечном цилиндре сводится к задаче в конечной области с неклассическими краевыми условиями.
Во втором параграфе применяется вариационный метод для задачи рассеяния на проницаемом препятствии в волноводе. В работе вводится функциональное пространство специального типа со скалярным произведением, учитывающим условия излучения вариационным способом [91]. Доказанная лемма о полноте введенного функционального пространства
18
позволяет применять вариационный метод к исследованию задачи. Это позволяет доказать фрсдгольмову разрешимость .задачи.
Третий параграф посвящен спектральным свойствам задачи. Основным результатом является доказательство существования собственных значений. Исходная задача в цилиндре сводится к задаче с вхождением спектрального параметра в уравнение Гельмгольца и нелинейным вхождением в граничные условия. Для установления этою результата разработан метод, основанный на рассмотрении вспомогательной задачи относительно нового спектрального параметра. Исследуя зависимость этого параметра от частоты ноля доказывается существование собственного значения исходной задачи. Доказывается, что обобщенное решение краевой задачи с парциальными условиями излучения является классическим.
Четвертый параграф посвящен обнаруженному эффекту существования ловушечных мод в гофрированных волноводах. При этом поле ло-вушечной моды убывает степенным, а не экспоненциальным образом.
В пятом параграфе рассмотрено применение принципа Релея к задаче о рассеянии на диэлектрическом теле погруженном в диэлектрический слой в волноводе. Задача рассматривается в скалярном приближении. Установлена граница непрерывного спектра. Доказана непустота дискретного спектра.
В шестом параграфе рассматривается применение метода, разработанного в третьем параграфе к различным задачам теории нерегулярных волноводов. Исследована задача об акустическом волноводе с абсолютно жестким препятствием. Установлен критерий, позволяющий определить, области частот возникновения ловушечных мод. В том числе рассмотрен случай, когда препятствием является абсолютно жесткая
19
- Київ+380960830922