Сильные решения бесконечномерных линейных стохастических дифференциальных уравнений

Введение.
1. Общая характеристика работы
Актуальность темы. Стохастические уравнения в бесконечномерных пространствах — популярный объект исследований последних десятилетий. Это вызвано, с одной стороны, общим развитием бесконечномерного анализа и теории стохастических уравнений, и, с другой стороны, необходимостью описывать случайные явления, изучаемые в химии, биологии, экономике, теории управления и характеризуемые бесконечным числом параметров или параметрами, бесконечномерными по своей природе (например, принимающими значения в функциональных пространствах).
Первые результаты о стохастических уравнениях в бесконечномерных пространствах были получены в 1960-е годы в работах В. В. Баклана ('2]), Ч. Л. Чантладзе ([21]), Л. Гросса ([29]), 10. Л. Далецкого ([9], [8]).
Фундаментальные вопросы существования и единственности решения при различных условиях ставились и разрешались многими авторами в 70-х и 80-х годах (см. [23], [28], [19]), они обсуждаются в литературе и в последние годы (см. [27], [34], [24]).
Бесконечномерным стохастическим уравнениям посвящена обширная литература. Написано несколько монографий: Я. И. Белопольской, Ю. Л. Далецкого [3], Д. Да Праго, Д. Забчика [27], Б. Л. Розовского [16 , А. В. Скорохода [19]. Отдельные вопросы, связанные с такими уравнениями, обсуждаются в книгах Ю. А. Далецкого, С. В. Фомина [10], А. А. Дороговцева [11] и X. Го [7].
Однако даже для линейных бесконечномерных стохастических уравнений во многих случаях остаются открытыми вопросы существования и единственности решений.
Линейные уравнения в бесконечномерном случае исследовались, в основном, в банаховых пространствах. Отметим, что в банаховых пространствах большая часть работ посвящена уравнениям с неограниченным оператором. К таким уравнениям приводят линейные стохастические дифференциальные уравнения с частными производными. Их можно записывать также как уравнения с непрерывными операторами, но
1
уже в более сложных (ненормируемых) функциональных пространствах. Соответствующие приближенные уравнения в конечных разностях, заменяющие уравнения в частных производных, близки к тем, которые рассматриваются в данной работе. Отметим, что линейные стохастические уравнения в конечномерном случае исследованы в монографии1.
Во многих приложениях приходится рассматривать бесконечные системы стохастических дифференциальных уравнений вида
mn
dXn{t) = d.Wn{t) + 'y'ank(t)Xk(t) dt.
к—1
Такие системы уравнений можно трактовать как линейные стохастические дифференциальные уравнения в пространстве М°° всех последовательностей. В диссертации, в основном, исследуются вопросы существования и единственности сильных решений линейных стохастических дифференциальных уравнений в пространстве JR.™. Нетривиальность вопроса связана с тем, что пространство Ж°° небанахово. В банаховых пространствах обыкновенное дифференциальное уравнение
X\t) = AX(t) + /(*), Х(0) = Х0, (0.1)
и стохастическое дифференциальное уравнение
dX(t) = АХ (/) dt + f(t) (it + d£(t), Х(0) = Xq, (0.2)
где А - непрерывный линейный оператор, a £(£) - непрерывный (или непрерывный в среднем степени р) процесс однозначно разрешимы для любого начального условия. В ненормируемых локально выпуклых пространствах, даже в полных метрических, ситуация кардинально меняется. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение и стохастическое линейное дифференциальное уравнение могут быть неразрешимы или разрешимы неоднозначно (см. примеры в [25]).
Существование слабых решений некоторых специальных нелинейных уравнений на и слабая единственность для широкого класса начальных условий доказаны в работе [34].
Вопросы существования и единственности сильного решения стохастического уравнения в пространстве П£°° до сих пор были изучены мало. Ряд результатов в этом направлении имеется в работах [25] и [13], о чем будет сказало ниже.
1 Арапю М. Линейные стохастические системы с постоянными коэффициентами. Статистический подход. Москва, Наука, 1989.
2
Цель работы. Исследовать условия существования и единственности решения линейных стохастических дифференциальных уравнений в пространстве Е°° и их приложения, в том числе, к нелинейным уравнениям в пространстве Ж°°.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Доказано существование сильного решения линейного автономного стохастического дифференциального уравнения в пространстве М00. Найдены необходимые и достаточные условия единственности. Приведен пример уравнения, имеющего бесконечно много решений. Найдены необходимые и достаточные условия непрерывной зависимости решения от начальных параметров. В случае, когда решение автономного уравнения неединственио, указано семейство решений, непрерывно зависящее от начальных условий.
2. Построен пример неразрешимого неавтономного стохастического линейного дифференциального уравнения. Получены достаточные условия существования и единственности решения неавтономного стохастического дифференциального уравнения, непрерывной зависимости от начальных условий.
3. Даны приложения к нелинейным стохастическим дифференциальным уравнениям.
Методы исследования. Результаты диссертации получены с использованием методов стохастического анализа, теории меры, теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в различных вопросах теории стохастических уравнений и ее приложениях.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах "Бесконечномерный анализ и стохастика" под руководством профессора д.ф.-м.н. В. И. Богачева, на международном семинаре "Бесконечномерный стохастический анализ”, посвященном 95-летию со дня рождения А. Н. Колмогорова (МГУ, июль 1998), на международной конференции по стохастическому анализу (университет г. Билефельд, Германия, август 2000) и на международной конференции ”Стохастический анализ и близкие вопросы" (Санкт-Петербург, июнь 2001).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 3 работах автора: [18', [17Д [33].
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 35 наименований. Общий объем
3
работы 61 страница.
2. Краткое содержание диссертации.
В первой главе диссертации исследуются автономные стохастические уравнения в пространстве М°°. Дается положительный ответ на вопрос о существовании сильного решения автономного уравнения вида (0.2) с произвольным непрерывным (или непрерывным в среднем степени р) случайным процессом в правой части.
Пусть >5 — счетное множество. Обозначим через М5 пространство всех отображений х : 5 —>• Е наделенное топологией покоординатной сходимости. Такие отображения будут записываться в виде х = (ж*), г Е 5. Через Ж50 мы будем обозначать пространство Обозначим через Жд° сопряженное к нему пространство, пространство всех финитных последовательностей. Пусть Ж+ = [0;+оо). Для локально выпуклого пространства Е через Е* (и через Е') обозначается его сопряженное, а через С(Е) — пространство непрерывных линейных операторов в Е. Любой элемент В пространства £(Ж5) можно представить в виде матрицы с конечным числом элементов в строке В = (бу), г, у € 5, где при фиксированном г Е 5 строка (р^)^5 принадлежит пространству (Ж5)*.
Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, непрерывно и плотно вложенное в локально выпуклое пространство Е, а у : X* —► Н — вложение, определенное следующим образом. Для всякого к € X* функционал /г н-> (к, И.) непрерывен 11а Н. Значит, существует такой вектор ^{к) 6 В, что для всех /г € Н имеем {к, к) = {з{к),К)ц.
Определение 0.1. Непрерывный случайный процесс ИДО, ^ ^ па вероятностном пространстве (П,Е,Р) со значениями в Е навивается винеровским процессом, ассоциированным с Н, если для каждого к Е Е* с \Ык) \\н = 1 одномерный процесс (к, И^) — винеровский.
В интересующем нас случае Е = М°°. Если положить Н = /2, то для всякой последовательности независимых винеровских процессов \¥п(1) процесс ИДО = (ИД(0);_1 является винеровским в смысле определения, данного выше. Этот процесс и будет называться естественным винеровским процессом. Подробнее о бесконечномерных винеровских процессах см. работы [4], [27].
Пусть € Ж+} — неубывающее семейство ст-алгебр, т.е. филь-
трация на П. Мы будем называть фильтрацию Еь полной, если Ео содержит все множества меры нуль. Напомним, что процесс £(■) со значениями в топологическом пространстве с борелевской ст-алгеброй называется /’(-согласованным, если случайный элемент £(£) при каждом £ Е Ж+ измерим относительно Е^ Предсказуемой ст-алгеброй Тоо на [0;4-с>о) х П
4
называется cr-алгебра. порожденная множествами вида
[.s; t\ х F для 0 < 5 < t < оо, F € Ts и
{0} х F для F € /о-
Сужение Foo на [0;Т] х П обозначается как Рг- Случайный процесс
£(v) на [0; 4-эо) х Q (соответственно на |0;Т] х Q) со значениями в R1
называется предсказуемым, если он измерим относительно Роо (соответственно Ру). Случайный процесс £(*,♦) на [0; +оо) х П (соответственно на [0;Т] х О) со значениями в М00 называется предсказуемым, если все его координаты предсказуемы.
Предсказуемые процессы согласованы. Согласованные непрерывные скалярные процессы являются предсказуемыми (см. [27], раздел 3.3).
Наряду с непрерывными случайными процессами мы будем рассматривать процессы £(•) = (?п(-))Г«1 00 значениями в пространстве Е°°, которые являются непрерывными в среднем степени р > 1, т.е.
пт - шг - о
при t —» $ при каждом п С N. Другими словами, отображение [0;Т] —+ 77(12, F, Р), которое переводит t Н-+ £n[tr) непрерывно при всех п е N. При обсуждении свойств в среднем степени р непрерывность, гладкость, интеграл и производная случайной функции будут пониматься в смысле сходимости в 77(П, Р, Р). Производная в среднем степени р случайного процесса определяется как предел в 77 величин (£*+л — £t)/h при h —> 0, а интеграл - как предел интегральных сумм Римана, который существует для всех непрерывных в среднем степени р > 1 процессов. При этом, если некоторая случайная функция Си t G [а; 6], измерима и непрерывна в среднем степени р > 1, то почти наверное
(Щ) J\sds)w = J*U»)d8,
где слева стоит интеграл в среднем, а справа — интеграл, определенный отдельно для каждой реализации (см. [5, пункт 2.1.4]). Отсюда следует, что если С(-) — согласованный непрерывный в среднем степени р процесс, то процесс /q(s(u) ds также согласован. Легко видеть, что при а = 0, Ь = t правая часть равенства .^-согласована, значит, то же верно и для левой части. Более подробно о непрерывных в среднем степени р процессах см. [5, пункт 2.1.4].
Пусть заданы / € C^RjM00), А € С(Ш°°) и согласованный случайный процесс £(•) на (£2, F, Р), принимающий значения в R°°.
5