Теоретико-игровые модели управления финансовой деятельностью банка

1
Введение
Диссертационная работа посвящена проблеме моделирования многошаговых процессов конфликтного типа в социально-экономической сфере — одному из интенсивно развивающихся разделов прикладной математики. Она содержит исследование конкретных моделей на примере функционирования банковской системы.
Как известно, многие статические задачи экономики сводятся к оптимизационным задачам и в настоящее время статические модели изучены достаточно полно [1, 10, 21, 22, 23, 54, 55]. Первые оптимизационные задачи, связанные с динамическими моделями фирмы, появились в работе Ф. Рамсея в 30-х годах и в работах Дж. Фон Неймана в 40-х годах.
Этот период совпадает с началом развития теории математических игр. Сильный скачок произошел в развитии ряда областей математической экономики, исследования операций, теории управления. Значительная часть работ из области математической экономики и теории игр в эти годы посвящена конечношаговым конфликтным процессам с полностью информированными участниками, число которых конечно. (Дж. фон Нейман доказал свою знаменитую теорему о минимаксе, Дж.Нэш распространил доказательство Какутани теоремы Неймана о минимаксе на случай конечных бескоалиционных процессов со многими участниками).
2
В 60-е годы оптимизационные задачи динамических моделей фирмы еще решались методом классического анализа и вариационного исчисления. Но реальные задачи оптимизации не укладывались непосредственно в классические схемы, что вызвало к жизни целый ряд новых математических исследований [8, 9, 10, 16, 25, 26, 60]. Среди них важное место занимал — метод динамического программирования, предметом которого является изучение многошаговых решений, в том или ином смысле оптимальных [3, 4, 5, 22].
В конце 60-х годов в работах по теории игр была впервые разработана аксиоматическая непрерывная формализация конкурентных систем. Так как интересы участников конфликтов, возникающих в социально-экономической сфере, не всегда являются абсолютно противоположными и на некоторых этапах развития системы экономические агенты, ее составляющие, могут стремиться к достижению близких целей, то после исследования динамических процессов антагонистического типа возник естественный вопрос распространения полученных результатов на неантагонистические конфликтно управляемые конкурентные процессы [6, 13].
В конце 70-х -начале 80-х годов было доказано существование конкурентного равновесия Курно-Нэша для конфликтно управляемых систем с любым конечным числом участников, одинаково и полностью информированных о текущей предыстории процесса, но действующих независимо друг от друга, функции дохода которых непрерывно зависят от совокупной траектории процесса. Далее в аналогичном плане рассматривалось компромиссное решение, решение оптимальное по Парето, ситуации равновесия в процессах со счетным числом агентов в неантагонистических бескоалиционных процессах [14, 18, 19, 20, 33, 46, 57, 83]. Было показано также, что если функции дохода имеют аддитивный характер, то равновесие достижимо и в условиях принятия конкурирующими сторонами оперативных решений на основе информации лишь о текущем состоянии процесса. Что привело к возможности использования рекуррентных
3
соотношений Р.Веллмана в рассмотрении многошаговых процессов конфликтного типа [17, 27, 30, 33, 56, 59].
Актуальность темы.
Диссертационная работа посвящена проблеме моделирования многошаговых процессов конфликтного типа в социально-экономической сфере на примере функционирования банковской системы. В ней решено значительное число прикладных задач по оптимальному распределению ресурсов в динамических конфликтно управляемых процессах. Описание моделей сопровождается, как правило, алгоритмами отыскания решений и результатами численного счета.
Банк - одно из центральных звеньев системы рыночных структур. Развитие деятельности банков - необходимое условие создания реального рыночного механизма. Они выполняют разнообразные функции и вступают в сложные взаимоотношения между собой и другими субъектами хозяйственной жизни.
До 1987 г. банковская система включала в себя три банка - монополиста: Госбанк СССР, Стройбанк СССР и Внешторгбанк СССР. Децентрализация управления экономикой в условиях перехода к рынку потребовала изменения роли банковской системы. Реорганизация началась в 1987 году и на первом ее этапе была создана новая структура государственных банков (двухуровневая банковская система -центрального эмиссионного банка и государственных специализированных банков, непосредственно обслуживающих хозяйство). При этом не изменились принципиально кредитные отношения. Второй этап банковской реформы, который был начат в 1988 году, привел к созданию первых коммерческих банков. (Центральный банк РФ является главным банком, второй уровень банковской системы представлен широкой сетью коммерческих банков.)
Формирование кредитной системы, расширение видов кредитно-денежных операций, использование ЭВМ и средств телекоммуникаций способствует исследованию деятельности банка как отдельного элемента в банковской системе. При этом рост ресурсов у крупных
4
банков способствует расширению корреспондентских отношений, то есть договорных отношений между банками с целью взаимного выполнения операций, а рост размеров банков, расширение кредитных отношений сопровождаются усилением конкуренции. Примером мелеет служить борьба за привлечение вкладов населения. В связи с этим очевидна актуальность исследования функционирования банковской системы и моделирование ее с помощью теории многошаговых конкурентно управляемых процессов, основой которой являются математические модели конфликтно управляемых динамических систем со многими участниками.
Цель работы.
Целью диссертационной работы является решение задачи формализации и моделирования многошагового конкурентного процесса — одной из актуальных задач теории прикладной математики. Процесса, описывающего действительный процесс на примере деятельности банковской системы.
При этом в процессе решения данной задачи были рассмотрены впервые следующие модели деятельности банковской структуры: модели функционирования одного банка с полностью и не полностью удовлетворяемой заявкой (полное или частичное использование вкладов или замиов клиентов);
модели функционирования банковской системы с одним финансовым процессом (таким, как процесс приема вкладов и выдачи ссуд, процесс управления ценных бумаг, процесс инвестирования производствен ных программ);
модели функционирования банковской системы с двумя финансовыми процессами (рассматривается ведение процессов приема вкладов и выдачи ссуд и управления ценных бумаг, либо ведение процессов приема вкладов и выдачи ссуд и инвестирования производственных программ).
Целью работы также является построение алгоритмов нахождения оптимального решения для рассматриваемых моделей (с исполь-
зованием рекуррентных соотношений динамического программирования), реализованных с помощью языка программирования 1)е1рЫ.
Научная новизна.
Все результаты, изложенные в диссертационной работе, являются новыми. Построены теоретико-игровые модели многошаговых конфликтно управляемых процессов функционирования банковской системы для различных видов банковской деятельности и при различных ограничениях на процессы функционирования банковской системы при конечном числе банков. На основе метода динамического программирования получены рекуррентные соотношения динамического программирования для нахождения оптимальных решений в вышеизложенных моделях.
Теоретическая и практическая ценность.
Определение экономического эффекта от использования результатов диссертационной работы в настоящее время затруднительно. При этом алгоритмы нахождения оптимальных решений, положенных на язык программирования Бе1рЫ, могут быть использованы в качестве основы дальнейших исследований в рассматриваемой диссертацией области.
Методология и методы исследования.
В диссертационной работе проводится изучение моделей функционирования банковской системы с использованием аппарата, методологии и результатов теории управления, исследования операций, динамического программирования и общей теории игр.
Апробация работы.
Основные полученные в диссертации результаты докладывались на научных конференциях факультета Прикладной Математики -Процессов Управления СПбГУ (1999-2001 гг.), на международных конференциях по водородной энергетике и технологии НУРОТНЕ818-III (1999 г.), на международной конференции "Моделирование и Анализ Безопасности, Риска и Качества в Сложных Системах” (МА БРК-2001). А также на межвузовской научно-теоретической кон-
6
ференции Военно-морского инженерного института (1999г), п Воронежской весенней математической школе ” Понтрягинские чтения X” - Современные методы в теории краевых задач (1999г). Публикации.
По теме диссертации опубликовано семь печатных работ [37]-[43].
7
ГЛАВА 1
ДИНАМИЧЕСКИЕ ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ БАНКА
Данная глава посвящена рассмотрению двух моделей оптимального функционирования банка, деятельность которого заключается в привлечении денежных средств и их перераспределении, то есть в ведении процесса выдачи ссуд и приеме вкладов. Возникающая перед банком задача максимизации прибыли решается с помощью метода динамического программирования. Отметим, что оптимальным управлением в динамической модели функционирования банка с полностью удовлетворяемой заявкой является выбор клиентов на заданном множестве вкладчиков и заемщиков на каждом этапе. Функционирование банка с полностью удовлетворяемой заявкой означает полное использование вкладов и займов клиентов, а в динамической модели функционирования банка с не полностью удовлетворяемой за-
8
явкой существует возможность частичного использования вкладов и займов клиентов. При этом в качестве управления принимается выбор доли использования вклада или займа того или иного клиента. Тем не менее алгоритм, приведенный подробным образом в этой главе, для динамической модели функционирования банка с полностью удовлетворяемой заявкой можно использовать при включении одной дополнительной итерации для нахождения оптимального решения в динамической модели функционирования банка с не полностью удовлетворяемой заявкой. В качестве иллюстрации описанных моделей представлены численные примеры как для детерминированного, так и для стохастического случаев.
Таким образом, глава посвящена рассмотрению моделей, которые, с одной стороны, носят вспомогательный характер, а с другой — являются базовыми при исследовании конфликтного случая. Эти модели также являются фундаментом при рассмотрении более сложных моделей, в которых под деятельностью банка предполагается ведение нескольких финансовых процессов.
1.1. Динамическая модель функционирования банка с полностью удовлетворяемой заявкой
для детерминированного случая
1.1.1. Математическая формализация процесса деятельности банка с полностью удовлетворяемой заявкой
Рассматривается дискретная модель функционирования банка с полностью удовлетворяемой заявкой для детерминированного случая (в дальнейшем будем обозначать ФБ-ПЗ-д) на протяжении конечного отрезка времени [О, Г], содержащего г равных периодов, для обозначения которых используется индекс к. Работа банка заключается в проведении кредитно-денежных операций, то есть в выдаче ссуд и приеме вкладов.
Будем считать, что осуществлено разбиение а = {0 = £о < Ь\ <
9
... < іг ■=. Т} интервала [О,Т] на отрезки равной длины. При этом предположим, что в начальный момент времени 1о банк располагает необходимой информацией о всех клиентах рассматриваемого рынка кредитно-денежных операций. А именно: ему известно количество заемщиков 1к и вкладчиков га*. во все промежутки времени к = 1,... , г. Для каждого заемщика р*, = 1,... ,/* определен объем ссужаемого капитала Ррк со своим сроком займа тРк) а для каждого вкладчика с/*. = 1,..., га*, объем вклада и срок вклада соответственно. Поэтому уже в начальный момент времени £о банк определяет общее количество ссужаемого капитала, необходимого для расчета ссудной процентной ставки 7/г^ заемщика р*., в каждый из периодов к = 1,..., г, что фактически является спросом на ссуды:
«Л = Е д*. (1-1.1)
Рк=1
Будем предполагать, что ссудная процентная ставка г1тРк = у(ЯркчРрк>трк) является функцией, зависящей от спроса на ссуды ()РкУ объема ссужаемого капитала РРк заемщика р* и срока его займа гРА. и имеет вид:
1
100
гКк = —а*.ехр
РЛ ■ ' ( 1Л'2 }
Здесь 61,62 и 5 - некоторые известные и постоянные коэффициенты, а коэффициент а*, - вычисляется посредством рекуррентного соотношения:
а» = а.к-1 + (1.1.3)
где ао - известная эффективная заемная процентная ставка.
Замечание. Можно представить множество зависимостей ссудной процентной ставки от этих переменных, но это не влияет на ход всех последующих рассуждений.
Б рассматриваемом случае для вычисления ссудного процента банк использует ряд определенных правил, посредством которых контролирует ситуацию на рынке клиентов:
10
1. При увеличении спроса на ссуды банк увеличивает ссудный процент.
2. При увеличении объема ссужаемого капитала одному заемщику банк уменьшает свой ссудный процент.
3. Чем больше срок займа, тем выше ссудный процент.
Рассуждая аналогичным образом, предположим, что заемная процентная ставка рт^ = А**, т~лк) есть функция от объема вклада
Д*. вкладчика (1/., срока его вклада т^к и общего объема вкладов Цс\к в период к и она вычисляется но следующей формуле:
^ = їоос*ехр
Аи т(ік
-г
Ь 2
Здесь коэффициенты Ь], Ь2 и з суть - те же самые коэффициенты, которые используются при расчете ссудной процентной ставки, Со -известная эффективная ссудная процентная ставка.
Сі = с^-і + — — — (1.1.5)
где спрос на вклады определяется следующим образом:
тк
С* = Е Оф,. (1.1.6)
<**С=1
Эффективные ставки со и ао установлены на кредитно-денежном рынке и подчинены общему правилу: а у > Су.
При расчете заемного процента банк руководствуется следующими правилами:
1. При увеличении спроса на вклады, то есть возрастания количества вкладчиков, заемная ставка уменьшается.
2. При увеличении принимаемого объема вклада у одного клиента увеличивается и заемный процент.
3. Чем больше срок реализации займа, тем выше заемный процент.
Таким образом, подсчитав ссудный и заемный процент, банк рас-
полагает всей информацией, необходимой для начала своей деятельности. То есть ему известны объемы вкладов и объемы ссужаемых
11