Трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ........................:....................3
ГЛАВА Г. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ .
И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ .......................;......... 17
1.1. Основные обозначения и понятия ................ 17
1.2. Некоторые вспомогательные краевые задачи типа Римана и типа Гильберта в классах аналитических и бианалитических функций .............. 19
1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам для бианалитических и полианалитических
функций ...'...........................................46
ГЛАВА II. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ КРУГОВОЙ ОБЛАСТИ .....................49
2.1. Точная постановка первой основной трехэлементной краевой задачи типа Римана для бианалитических функций ........49
2.2. Решение задачи в общем случае ............50
2.3. Решение задачи бгИг2 з вырожденном случае ......62
2.4. Решение задачи СН\2 в полувырожденном случае ..66
2.5. Решение второй основной трехэлементной
краевой задачи типа Римана .............................72
ГЛАВА III. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТРЕХЭЛЕМЕНТНЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ТИПА РИМАНА ДЛЯ БИАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СЛУЧАЕ ПРОИЗВОЛЬНЫХ
ОДНОСВЯЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ ..................................79
3.1. Решение задачи 01x2 в общем случае .............79
3.2. Об одном частном случае, когда задача вН\2
решается эффективно ................................. 93
3.3. Решение задачи в вырожденном случае ............94
3.4. О решении второй основной трехэлементной краевой задачи типа Римана
для бианалитических функций в общем случае ........... 100
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..........................................114
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ....................115
з
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время теория линейных краевых задач в классах аналитических функций комплексного переменного благодаря фундаментальным работам В.В.Боярского [И], И.Н.Векуа [1*2], Н.П.Векуа [13]-[14], Ф.Д.Гахова [20], Э.И.Зверовича [24], Г.С.Лнтвинчука [33]—[35]. Н.Й.Мусхелишвили [40] и многих других известных математиков, в основном, приняла уже завершенный вид.
В то же время, за последние годы как в России, так и за ее пределами (Китай, КНДР. Украина, ФРГ, Югославия и др.) интенсивно изучаются различные краевые задачи в классах функций более общих. чем класс аналитических функций комплексного переменного.
Данная диссертация посвящена исследованию трехэлементных линейных краевых задач (типа Римана) в классах бианалитических функций.
Определение 0.1. Функция К(^) = и(х,у) + IV{х.у) называется бианалитической в области Т плоскости комплексного переменного г = х -г ту, если она в Г имеет непрерывные частные производные по х и у до второго порядка включительно (т.е. Р[х) Є С2(Т)) и удовлетворяет там уравнению
= ъ, (0.1)
где діді = {д)дх + гд/'ду)/2 - дифференциальный оператор Коши-Римана.
Действительная и мнимая части бианалитической в области Т функции Р(^) = и(х,у) + іУ{х,у) являются бигармоничесюши в этой области, т. е.
£А1т(х,у) = 0 и ААУ(аг,у) = 0, д2 д2
где А = " оператор Лапласа (см., например. [8], [20]).
Изучение многоэлементных краевых задач для аналитических функций комплексного переменного началось с работ А.И.Маркущевича [36] и Н.П.Векуа [13]. Большой вклад в развитие теории многоэлементных краевых задач для аналитических функций внесли Б.В.Боярский [11], И.Н.Векуа [12], Р.С.Исаханов [25], Г.С.Литвинчук [33]—[35], Л.Г.Михайлов [37]—[38], К.М.Расулов [51], И.Х.Сабитов [57]— [59], Н.Б.Симоненко [60], Э.Г.Хасабов [66] и др.
4
Одним из естественных обобщений многоэлементных краевых задач для аналитических функций являются задачи с похожей структурой в более широких классах функций (полианалитических, ме-тааналитических и др.)- Интерес к такого рода задачам в течение последних тридцати лет постоянно растет. Это связано с тем, что многоэлементные краевые задачи в классах аналитических, полианалитических, метааналитических функций находят приложения в таких разделах математической физики, как теория бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [1*2], в теории плоских кавитационных течений идеальной жидкости и плоской теории упругости [39].
Исследованию таких задач в классах бианалитических и полианалитических функций посвящены работы С.В.Левинского [30]—[32], Б. Дамяновича [69]—[ТО]. Однако в указанных работах рассматривались задачи так называемого треугольного вида (см., например, [50], с. 19), которые по самой постановке сводятся к решению нескольких хорошо изученных краевых задач в классах аналитических функций. Тогда как наиболее важные многоэлементные краевые задачи общего (т.е. не треугольного) вида в классах бианалитических функций до настоящего времени оставались не исследованными. К таким задачам относятся следующие две трехэлементные краевые задачи.
Пусть Т+ - конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного г = хЧ- гу, ограниченная простым гладким замкнутым контуром £, уравнение которого имеет вид: t = х(в) + гу(з). 0 < ^ < /, где 5 - натуральный параметр. Для определенности будем считать, что начало координат принадлежит Т+. Через Т~ обозначим дополнение и Ь до полкой комплексной плоскости.
Требуется найти все кусочно-бианалитические функции .р(г) = = исчезающие на бесконечности и удовлетворяю-
щие при t 6 Ь следующим краевым условиям:
Задача I.
о.
дх
дх
дх
(0.2)
с20 (*)^^ + С21(0^^+С22(0^^=52(*);
ду
ду
ду
(0.3)
5
Задача II.
Gio(<)F*(t) + Gn (t)F-(t) + Gvl{t)F=W) = 0i(*)> (0-4)
GMW^£r+G2i(i)^£^+G22(t)^r=ÿ2(t)’ (o-5)
д/дп+ (dfdnJ) - производная по внутренней (внешней) поржали к контуру L; Gkj(t), <?ь(0 (к = 1. 2; j — 0, 1, 2) - заданные на L функции класса H[L) (Гельдера).
Отметим, что впервые граничные задачи вида I и II были сформулированы К.М.Расуловым в монографии [50] в качестве естественных и важных обобщениз! основных краевых задач типа Римана для биа-налитических функций, поставленных Ф.П.Гаховым в его известной книге [20].
Важно заметить, что в частном случае, когда Gio(£) = G^o(t) = 0 и Gk\(t) = G*i(0 = 1 (k = 1, 2) задачи I и II представляют собой основные классические задачи теории бигармонических функций, называемые соответственно первой основной бигармонической задачей и второй' основной бигармонической задачей [29], [39], [64] и имеющие многочисленные приложения в математической физике и механике. Поэтому в дальнейшем задачи I и II будем называть первой и второй основными трехэлементными краевыми задачами для биа-налитических функций.
В случае, когда,з равенствах (0.2)-(0.5) выполняются условия
GioW = ^2о(0 = 1 и Gu(t) ф 0, G2i{t) Ф 0, t € 1, (*)
и
Gn(t) = G22(t) = 0, t £ X, (**)
задачи I и II представляют собой основные двухэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций, подробно исследованные в работах [46]—[47], [50].
Однако в случае, когда выполняются (■*) и не выполняются условия (**), задачи I и II представляют собой основные трехэлементные краевые задачи типа Римана, в дальнейшем называемые, для краткости, задачами GR^ и GRn соответственно.
Поскольку задачи GR\ï и GRn до сих пор оставались не исследованными, то разработка методов их решения на сегодняшний день является актуальной проблемой.
б
Целью настоящей работы является разработка методов решения основных трехэлементных краевых задач типа Римана (задач GR\% и GR02) в классах бианалитических функций, построение теории их разрешимости, исследование их на нетеровость, а также выявление случаев, когда эти задачи допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).
Перейдем к краткому изложению содержания работы.
Первая глава "Вспомогательные сведения и краткий обзор литературы'' состоит из двух разделов. В первом разделе зводятся основные и часто используемые обозначения и понятия. Главным среди них является определение кусочно-бианалитических функций.
Второй раздел посвящен исследованию некоторых вспомогательных краевых задач Римана для аналитических функций, играющих важную роль при изучении первой и второй основных обобщенных задач типа Римана для бианалитических функций.
В подразделе 1.2.1 приводятся известные результаты исследования обобщенной краевой задачи Римана с сопряжением для аналитических функций, состоящей в отыскании всех кусочно-аналитических функций F(z) = {F*(z), F“(î)}, исчезающих на бесконечности и удовлетворяющих на L следующему условию:
F+(t) = G\{t)F~(t) + -г g{t)y t є F, (0.6)
где Gk(t) {к = 1, 2), g{t) - заданные на L функции, удовлетворяющие условию Гельдера.
Подраздел 1.2.2 посвящен подробному исследованию обобщенной краевой задачи Римана с интегральными членами в классах аналитических функций, состоящей в отыскании всех кусочно-аналитических функций исчезающих на бесконечности и удовлетворяющих на L следующим условиям:
¥>+(*) + J A(t,r)v+(r)dr + j E(t, г)<р+(т)<іт =
L 'L
+G2(t)<p~(t) + j B(t%r)ip~(T)dT + J D{t,r)(fr{T)dr + Q{t), (0.7)
L L
где G\(t), Gi(t), Q(t) - заданные на контуре L функции класса Гель-дера, причем G(t) ф 0 на L; А(£.т), В(£,т), D(t, г), E(t, т) - заданные фредгольмовы ядра, т. е. A(t,r), Bit, г), Dit,г), E(t,r) є H,(L х L).
И, наконец, в подразделе 1.2.3 исследуется внешняя краевая задача типа Гильберта для бианалитических в области Т~ функций, которая
(
состоит в отыскании всех бианалитических в области Т~ функций, исчезающих на бесконечности и удовлетворяющих на Ь следующим условиям: _______
+ «■<'>• (0'8)
+(«,<»), (0.9)
где G*(i), Qk{t) {к = 1, 2) — заданные на контуре L функции класса H(L).
Сформулированная задача (0.8)—(0.9) играет важную роль при исследовании как задачи GR^, так и задачи GRn в случае, когда L -простой гладкий замкнутый контур, а функции Gkj(t) удовлетворяют следующим условиям:
\Gu{t)\ = \Gk2(t)\^0, t£L, к= 1, 2.
В третьв1М разделе представлен обзор литературы по теме диссертации.
Вторая глава "Первая и вторая трехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций в случае круговой области" посвящена исследованию задач GRn и GR.& при условии, что контур L - единичная окружность с центром в начале координат. Данная глава состоит из пяти разделов.
В разделе 2.1 дается точная постановка задачи GRn н излагается суть метода ее исследования. Здесь указывается, что для решения и качественного исследования первой основной трехэлементной краевой задачи типа Римана целесообразно рассмотреть три различных случая:
1) общий случай (т.е. |Gn(*)| Ф \С\ъЩ и K?2i(f)| ф |G22(*)I);
2) вырожденный случай (т.е. [Gli(£)| = 1^12(01 11 K?2l(t)| = 1^22(01)5
3) полувырожденный случай (т.е. |Gn(t)| = \Gi%(t)\ и \G2l(t)\ ф |G22(0l или \Gn(t)\ ф \GMt)\ и |G21(t)| = |G22(f)l).
В разделе 2.2 задача GR\2 исследуется в общем случае.
При этом зная, что всякую кусочно-бианалитическую функцию с линией скачков L можно представить в виде
F(z) =
F+(z) =9о(г) + z<Pi{z), =еГ+, F-(z)=rt[z) + Stf[z), :6T-,
8
где^(г) Е А(Т+), 9: (г) Е А(Г“) (г = 0,1), причем ^ (с) = /{ (г)/;2, /Г(г) Е А(Т~), а также учитывая соотношения
дг)'
и замечая, что на Ь = {£ : |£| = 1} справедливо равенство
д_ _ д_ д_ д_ .
дх д= д?' ду
(0.11)
_ і
г = ь
краевые условия (0.2)-(0.3) можно переписать в виде:
ф+(г) = (?п(*)ФГ(*) + і2б-'12(<)ФГ(ї) + (0.1-2)
$2 (*) = ^21(0^2 (0 + І2(?22(^)Ф2 (і) + ^2(1). (0.13)
где Фі(г) = {Фі'(г), ФГ(г)}; ф>(г) = {ФДг), Ф2(г)} " исчезающие
на бесконечности кусочно-аналитические функции с линией скач-
ков £. связанные с аналитическими компонентами искомой кусочно-бианалитической функции следующими соотношениями:
ФШ=Мй++мы.
ФГ(2) =
(іх сіл
скро(г) І<рї{г)
СІ 2
4-
Ф2+(г) = г
Ф-2 (г) = 2
<*Фо(2) ,
СІ2
11“’ dz
Фо(2) , ФГ(-)
+
+ гір і(г),
- Г.-Л+/Г
+
- 2Фі (г).
(0.14)
(0.15)
(0.16)
(0.17)
Iи ' сЬ
Таким образом, установлено, что задача ОтЯ^ равносильна системе двух независимых обобщенных задач Римана с сопряжением относительно исчезающих на бесконечности кусочно-аналитических функций.
Далее, используя идею, предложенную в монографии [33], устанавливается, что решение каждой из задач вида (0.12) и (0.13; можно свести к решению векторно-матричной задачи Римана вида:
к = 1. 2.
где
(0.18)
Ск(і) =
Сн(і)
¥с^(Г)
ск1(і)
Ск1(і)
1
ЩГ)
9
Qk(t) =
f tgk(t)Gki(t) - tgk(t)Gk2(t) >
ад
' ФШ '
, #(;) =
v ^и(г) ,
Gki(t)
причем граничные значения функций «£*;(-) должны удовлетворять
условию ______
ip£2{t) = teL, fc = l, 2, (0.19)
и связаны определенными соотношениями с функциями Ф*(*).
В разделе 2.2, пользуясь тем, что главные миноры матрицы G^t) отличны от нуля, решение каждой из задач вида (0.18) удается свести к последовательному решению обобщенной скалярной задачи Римана относительно исчезающей на бесконечности кусочно-аналитической функции ф&{г):
Фк2^) ~ <5*2(*№(*) + JВкг^,т)ф];2(т)<1т = Qti(t), (0.20)
где 6*2(2)» Як2№), Вк2{Ът) определенным образом выражаются через заданные функции, и обычной скалярной задачи Римана относительно кусочно-аналитической функции ^(т), исчезающей на бесконечности:
+ <2ы(<). (0.21)
где 6н(2)? Фи (2) определенным образом выражаются через известные функции.
По найденным 'Фм(г) и с Учетом выполнения условия (0.19)
находим функции Ф?(г) и Ф* (2), то есть решения задач (0.12)—(0.13).
Далее показывается, как по кайленным функциям Ф*(~) (А: = 1.2) можно определить аналитические компоненты искомой кусочно-бианалитической функции Р(^) и устанавливается, что функции (Г) (г) находятся по формулам:
^о+(г) = / ~ (*?(О + *î(0 - 2^-°
àÇ,
г*
ФГ(^) - ФГ(^)
2 г
*о(~) = / ^(ФГ(0 + Ф2“(0-2
^уГ(С) rfc
<*с,
(0.22)
(0.23)
(0.24)
10
(0/25)
где Г+ (Г") - произвольная гладкая кривая, лежащая в Г+ (Т ) и соединяющая точки 0 и л (ос и х). И тогда решение задачи СЯГ2
находятся по формулам (0-22)—(0.25).
Таким образом, в разделе 2.2 получен следующий результат.
Теорема 2.1. Пусть Ь = {£ : |£| = 1}. Тогда: если |£и(01 Ф |£*2(*)|; * € ^ п'Ри ^ = 1> 2, гпо решение задачи ОЪи сводится к последовательному решению двух обобщенных скалярных задач Римана и двух обычных скалярных задач Ргииана относительно кусочно-аналит.ических функций? исчезающих бесконечности.
Далее исследуется картина разрешимости задачи в об-
щем случае. Обозначим через ае^- - индексы Коши функций 0^(0 (к — 1, 2; у = 1, 2), а через азы и 35*2 _ индексы задач вида (0/21) и (0.20) соответственно. В разделе 2.1 выясняется, что ази = аэ*2 = зеы*
Следовательно, для полного исследования картины разрешимости нужно рассмотреть четыре различных случая в зависимости от значений индексов ж 11 и Ж21. Подытоживает эти исследования следующая теорема.
Теорема 2.2. Если |<?*х(£)| -=р |С*2(01> * С Ь, к = 1, 2, т, о числа I линейно независимых решений однородной задачи и р условий
разрешимости неоднородной задачи ОТ1\2 - оба конечны, то есть задача нетеров а.
В заключении раздела 2/2 рассматривается один частный случай задачи Устанавливается, что в случае, когда £ - единичная
окружность с центром в начале координат, а £^-(£) - рациональные функции, задача допускает эффективное решение. А именно, в
случае, когда Ь - единичная окружность с центром в начале координат, а С*7-(0 - рациональные функции, задача СЯ,2 решается в квадратурах.
Раздел 2.3 посвящен исследованию задачи 12 в вырожденном случае. Здесь устанавливается, что исходная задача равносильна системе двух обобщенных задач с сопряжением вида (0.12)—(0.13) относительно кусочно-аналитических функций.
Каждая из полученных задач вида (0.12)—(0.13) сводится к решению соответствующей векторно-матричной задачи Римана вида
будет определяться по формулам (0.10), где функции <?о (г)' и (г)
ФИ*) = (*) + Як{Я- к = 1. 2,
(0.26)