Вполне интегрируемые дискретные системы в трех измерениях

Оглавление
1 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ 14
1.1 Основная алгебраическая система: общая формулировка . . 14
1.2 Локальные матричные системы............................ 20
1.2.1 Локальное уравнение Янга - Бакстера............... 20
1.2.2 Векторная модель.................................. 21
2 ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ДЛЯ 2 + 1 КВАНТОВОЙ ЭВОЛЮЦИИ 34
2.1 Алгебраическая система ................................ 34
2.2 Фиксация калибровки и квантование...................... 41
2.3 Ко-токовая формулировка основной системы............... 45
2.4 Феномен подобия........................................ 49
2.5 Комментарии............................................ 53
3 СТРУКТУРА Я И РЕДУКЦИЯ К КОНЕЧНОМУ ЧИСЛУ СОСТОЯНИЙ 57
3.1 Реализация Б........................................... 57
3.1.1 <? - дилогарифмичесхая функция................. 58
3.1.2 Обобщенная перестановочная функция............ 60
3.1.3 Фундаментальная Б - матрица................... 62
3.2 Иерархия Б - матриц.................................... 64
3.3 Инварианты Б........................................... 66
3.4 Вершинная матрица Б(Л^ модели Замолодчикова - Бажа-
нова - Бакстера...................................... 69
3.4.1 Определение вершинной Б^ матрицы модели ЗББ . 69
3.4.2 Геометрическая параметризация матрицы Б^ ... 72
3.5 Редукция к конечному числу состояний................... 75
3.5.1 Функциональное отображение Бу^ ^ 75
1
3.5.2 Универсальный вид 80
4 КЛАССИЧЕСАЯ ЭВОЛЮЦИОННАЯ СИСТЕМА 86 -
4.1 Общее определение эволюционирующей системы на решетке кагоме............................................... 86
4.2 Классическая эволюционная модель...................... 91
4.2.1 Еще раз об отображении К./ 91
4.2.2 Оператор эволюции................................ 94
4.2.3 Линейная система на торе......................... 96
4.2.4 Эволюция линейной системы........................ 98
4.2.5 Интегрируемость .................................101
4.3 Точное решение в конечном объеме......................108
4.3.1 Вспомогательная линейная задача и спектральная кривая................................................108
4.3.2 Параметризация динамических переменных...........113
4.3.3 Минимальный размер решетки ......................118
4.4 Лагранжевы уравнения движения и солитоны..............121
4.4.1 г-функция...................................... 121
4.4.2 Солитоны.........................................127
4.4.3 Симметрии солитонных уравнений...................128
5 КВАНТОВАЯ ЭВОЛЮЦИОННАЯ СИСТЕМА 132
5.1 Эволюция и линейная система на решетке кагоме.........132
5.1.1 Эволюция и динамическая система..................132
5.1.2 Линейная система.................................135
5.2 Свойства квантовых матриц с коммутативными столбцами 139
5.2.1 Матрицы класса ЬСЛ и их свойства.................139
5.2.2 Матрица коэффициентов конечной линейной системы 143
5.3 Интегрируемость квантовой эволюции....................150
5.3.1 Инвариантность 1.................................150
5.3.2 Комбинаторное представление квантового детерминанта ................................................152
5.3.3 Алгебра коэффициентов и функциональное уравнение 159
5.4 Конечный оператор эволюции............................162
5.5 Примеры моделестроения................................169
5.5.1 Двумерный пример: Эвошоция на полосе.............170
2
5.5.2 Однородная модель Замолодчикова - Бажанова -
Бакстера.......................................178
6 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ 191
6.1 Формулировка квазиклассической модели...............193
6.2 Дискретная эволюция в квазиклассических моделях.....195
6.3 Модель свободных бозонов............................200
6.4 Комментарии: функциональные R - операторы...........208
7 СЛОЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ 211
7.1 Конструкция следа...................................213
7.2 Алгебраическое доказательство уравнения Янга - Бакстера 219
7.2.1 Определения и примеры..........................219
7.2.2 Проекционный дубль для \....................222
7.2.3 Случай п = 2...................................229
3
ВВЕДЕНИЕ
В отличие от царства двумерных точно решаемых моделей, как классических так и квантовых, как непрерывных так и дискретных, где многообразие моделей с трудом поддается исчислению, в трех пространственных измерениях количество моделей может посчитать пальцами одной руки любой персонаж любого мультфильма. А именно, их всего три. В ' классике это - нелинейное дифференциальное уравнение Кадомцева - Пе-твиашвили [1] или же связанное с ним билинейное дискретное уравнение Хироты - Мивы [2, 3, 4] (конечно же, различные непрерывные пределы позволяют получить из уравнения Хироты различные уравнения в частных производных, уравнение же Кадомцева - Петвиашвили мы выделили по причине историчности), в статистической физике это модель Замолод-чикова - Бажанова - Бакстера [6, 7, 8, 9]; [10, 11]; [12, 13]; [14. 15, 16. 17], а в квантовой теории поля - это аффинная теория поля Тоды, где возникает квантовое уравнение Хироты [91]. (В этом перечислении мы умышленно не упомянули известные трехмерные модели Корепанова [45], поскольку сюжеты, изложенные в данной диссертации, родстзенно близки этим моделям, и местами они переплетаются и дополняют друг друга).
Что же касается вполне интегрируемых моделей з более чем трех измерениях, то и вовсе всего две модели могут быть упомянуты: самодуальное уравнение Янга - Миллса, и столь же вырожденная стат-механическая (или квантовополевая) модель[18, 19, 20], связанная с вершинным оператором, решающим уравнение 4-симплексов [21], и упоминаемая более подробно в данной работе в третьей главе.
В данной работе мы будем исследовать различные аспекты трехмерной интегрируемости.
До сих пор нет ответа на главный возникающий при исследовании трехмерных моделей вопрос: такая скудность трех (и более) - мерных моделей есть принципиальное свойство многомерных теорий, или же есть следствие какого-то патологического недопонимания сущности вопроса,
4
зозможно, на уровне формулировки моделей. В пользу принципиальной скудности многомерных теорий говорит, например, конечность физических групп симметрий, появляющихся в многомерных теориях, против, скажем, бесконечномерности группы конформных преобразований в дву-мерье. Другим логически обоснованным соображением о бесперспективности исследования многомерных теорий является то, что любую многомерную теорию можно рассматривать как двумерную, наделенную достаточно сложной внутренней, изотопической, структурой, так что ранг изотопической группы интерпретируется как скрытая размерность, и таким образом все трех и более мерные модели могут быть получены как двумерные с достаточно большой группой симметрии, причем этих групп симметрии должна быть бесконечная серия.
Первое возражение фактически уже преодолено: дискретные более чем двумерные модели есть. Как уравнение Хироты - Мивы, так и модель За-молодчихова - Бажанова - Бакстера, являются полностью трехмерными моделями, все три пространственных измерения в этих моделях входят равноправно (по крайней мере группа куба присутствует въявь). О втором возражении можно пока лишь сказать то, что редукция трехмерных моделей в двумерные существует только з случае определеннй локальности трехмерных моделей. Если же многомерные модели изначально определены как в некотором смысле нелокальные (по крайней мере, не ультра-локальные), то процедура редукции количества измерений не определена. Эти вопросы мы позже затронем более подробно.
Итак, эта работа посвящена трехмерным моделям. Во главе используемого подхода мы поставим не условие интегрируемости, (например, уравнение тетраэдров), а то, из чего оно следует, то есть представление нулевой кривизны. Сама идея представления нулевой кривизны для трехмерных точно решаемых моделей в виде локального уравнения Янга -Бакстера была предложена еще в конце восьмидесятых Нийхофом и Майе [22, 23, 24]. Мы же здесь будем использовать более общую схему для определения представления нулевой кривизны, допускающую реализацию не только как локальное уравнение Янга - Бакстера, но и в других видах. Незыблемым останется только графическое представление (локального) уравнения Янга - Бакстера в виде эквивалентности двух по-разному нарисованных треугольников. Понятие эквивалентности мы будем наполнять различными смыслами, определяя эквивалентность алгебраических
5
:истем так, чтобы условия ассоциативности (например, уравнение тера->дров) выполнялись бы автоматически.
Главные герои нашего повествования - новая, по сравнению с мето-зом локального уравнения Янга - Бакстера, формулировка эквивалентности, линейная алгебраическая система, и следующее из нее отображение, сплетающее Янг - Бакстеровские треугольники. Замечательнейшее свойство линейной алгебраической системы - это то, что ассоциированные с ней динамические переменные квантуются, так что сплетающее отображение сохраняет локальную алгебру Вейля. Возникновение вездесущей алгебры Вейля при исследовании трехмерных систем мистично, принимая во внимание значительнейший прогресс эволюционных моделей над алгебрами Вейля в двумерье, имеющий место в последние несколько лет (см. например основные работы [25, 26, 27, 28]). Главным же достижением мы считаем получение производящего функционала для интегралов движения с одной стороны и получение функционального уравнения на их спектры с другой. Этот функционал имеет существенно многомерную природу, он не есть след матрицы монодромии, он представляется в виде детерминанта операторно-значной матрицы коэффициентов линейной алгебраической системы, и его существование есть следствие линейности вспомогательной задачи. Линейная вспомогательная задача в дискретном квантовом многомерье, возможно, сыграет такую же роль, как и старинная, времен Гарднера, Крускала и Миуры, вспомогательная линейная задача для классических интегрируемых уравнений. Кроме того, линейная вспомогательная задача имеет смысл как в классическом, т.н. функциональном пределе, так и в квантовом, в том числе и в случае конечного числа состояний. То же самое относится и к производящему функционалу для интегралов движения, он хорошо определен во всех трех ипостасях. Во всех случаях замечательнейшей особенностью производящего функционала является то, что система производимых им интегралов движения полна (и даже переполнена, поскольку в ней въявь присутствует конво-лютивная пара, соответствующая движению центра инерции, и ее квантовые аналоги). В классическом пределе производящий функционал для интегралов движения задает спектральную кривую специального вида, ко общего положения, так что вспомогательные линейные переменные являются функцией Бейкера-Ахиезера от точки на этой кривой. Лагран-жевыми переменными классической дискретной модели является тройка
б
г-функций, удовлетворяющих системе трехкомпонентных уравнений третьей степени, вырожденным частным случаем которой является обычное Зилинейное уравнение Хироты. Лагранжевы уравнения движения имеют замечательные солитонные решения, а общее же их решение параметризуется тэта функциями на якобиане спектральной кривой.
В классическом и квантовом случае общего положения хорошо определены эволюционные модели. Однако в случае конечного числа состояний можно получить модель статистической механики, несколько обобщающую модель Замолодчикова - Бажанова - Бакстера. Обобщение заключается в том, что в возникающей у нас модели можно задать нетривиальную эволюцию параметров конечных вершинных трехмерных Р-матриц, эквивалентную эволюции классической модели. Конечность же числа состояний позволяет хорошо определять след трехмерной “матрицы мо-нодромии”, т.е. вводить обычные трехмерные трансфер-матрицы типа слой-слой. При этом для любого конечного объекта, будь то оператор эволюции или же трансфер-матрица типа слой-слой для произвольной трехмерной решетки, производящий функционал для конечных интегралов движения построим, он определяет переполненный (см. выше) набор интегралов движения, и для спектра этих интегралов движения существует универсальное функциональное уравнение.
Данная рукопись представляет собой не столько перечисление достижений диссертанта, сколько опыт последовательного, систематического изложения вопросоз, связанных с классическими и квантовыми интегрируемыми системами, вложенными с геометрической точки зрения в трехмерное Евклидово пространство.
Схематический план данной работы таков:
• В первой главе мы дадим общее изложение представления нулевой кривизны для дискретных систем: модели трехмерных эволюций в дискретном пространстве - времени исходно получаются как эволюция переменных, ассоциированных с двумерными графами, при движении геометрических составляющих этих графов. В определенном смысле плоские графы интерпретируются как сечения трехмерной решетки параллельными плоскостями. С произвольным плоским графом, образованным непараллельными прямыми, ассоциируется (основная) алгебраическая система, при этом при параллельном сдвиге некоторых прямых измененная алгебраическая система экви-
7
валентна исходной, так что:
- Алгебраическая эквивалентность двух графов, образованных тремя линиями, задает сплетающее отображение одной тройки вершин в другую (эквивалентность Янг - Бакстеровских графов), и
- Алгебраическая эквивалентность двух графов, образованных четырьмя линиями, сводится к условию эквивалентности результатов применения четырех последовательных сплетающих отображений в различных порядках - уравнению тетраэдров в функциональном смысле. Уравнение тетраэдров и есть соотношение, интерпретируемое как условие ну левой кривизны, и оно удовлетворяется автоматически при разумном выборе основной алгебраической системы.
Далее приводятся стандартные, достаточно известные, примеры основных алгебраических систем: локальное уравнение Янга - Бакстера и векторное уравнение (основное уравнение векторных моделей, исследованных И. Г. Корепановым), и их связь. Приведена классификация сплетающих отображений, ассоциированных с функциональным векторным уравнением [29, 30], а также гипотетический метод квантования векторного уравнения [24].
• В следующей главе формулируется линейная (токовая) система как новый тип основной алгебраической системы [31]. С точки зрения уравнения тетраэдров, линейная система - это вспомогательная задача, условием нулевой кривизны которой уравнение тетраэдров и является. Коэффициенты линейной задачи мы изначально рассматриваем как образующие некоторого кольца, что совершенно естественно для однородных линейных уравнений, а сплетающее (неоднозначное) отображение, называемое фундаментальным отображением, выписывается з терминах рациональных функций над кольцом динамических переменных. Далее мы фактически тривиали-зуем условие нулевой кривизны, фиксируя калибровку и алгебра-изуя кольцо образующих. После фиксирования калибровки и алге-браизации, сплетающее фундаментальное отображение оказывается каноничесхим (т.е. сохраняющим локальную алгебру Вейля), и таким образом допускающим реализацию в виде операторно значной
8
функции К. Кроме того, исследуются другие аспекты линейной задачи, в частности формулируется эквивалентная линейная задача в терминах ко-токов (которые в классическом пределе и есть функция Бейкера-Ахиезера), и показывается, как то же самое отображение может возникнуть при сплетении функциональных операторов, осуществляющих бирациональные преобразования, в духе локального уравнения Янга - Бакстера. Кроме того, описывается небезынтересный феномен подобия: при некоторых дополнительных условиях линейная система для открытого графа, образованного двумя наборами параллельных линий может быть редуцированна к линейной системе для одинокой вершины.
• Далее мы реализуем алгебраизованное фундаментальное отображение Р в терминах базисных рациональных отображений и выписываем Б в терминах - дилогарифмической функции (20, 19, 32, 18]. Наличие спектральных параметров в Б позволяет, рассматривая различные предельные случаи, получить иерархию трехмерных Б матриц - решений уравнения тетраэдров. Поскольку алгебра Вейля допускает конечные представления при специальных значениях параметра д как корня из единицы, то существует возможность редукции фундаментальной Б матрицы к конечному числу состояний. В этом случае спектральные параметры операторно значной Б связываются с параметрами представлений Вейлевских алгебр, и эта связь естественно параметризуется углами сферического треугольника, так что четверка конечных матриц Я в уравнении тетраэдра параметризуются углами геометрического тетраэдра, вложенного в трехмерное Евклидово пространство. Конечно же, при подходящем выборе базиса, матричные элементы конетшой Я образуют Я-матрицу для модели Замолодчикова - Бажанова — Бакстера. Однако в точке общего положения по параметрам при редукции Б к д^' = 1 помимо конечномерной части возникает еще и нетривиальная функциональная часть, задающая дополнительное отображение в пространстве параметров. Если не стараться сразу тривиализовать эту функциональную часть так, чтобы получить модель Замолодчикова - Бажанова - Бакстера, то в последствии она приведет к целому классу концептуально иных вершинных моделей статистической механики с конечным числом состояний (шахматным моделям).
9
• В следующей главе формулируется классическая эволюция динамических переменных на решетке кагоме [33, 37, 37]. Формулировка в терминах решетки кагоме совершенно естественно в трех измерениях, поскольку именно решетка кагоме возникает при сечении кубической решетки плоскостями, наклоненными под углами агссоз(1/\/3) ко всем образующим кубической решетки. Линейная же система на замкнутой решетке кагоме, когда на динамические переменные накладываются тороидальные граничные условия, есть однородная система линейных уравнений. Эволюция определяется как применение сплетающих отображений ко всем Янг - Бакстеров-ским треугольникам решетки кагоме одновременно, “плюс” некоторая геометрически инспирированная перенумерация вершин. Эволюция является гамильтоновой, поскольку сохраняет локальную сим-плехтическую форму. Сам же вид эволюционного отображения суть гамильтоновы уравнения движения в разрешенном виде. Матрица коэффициентов линейной задачи при эволюции претерпевает линейное преобразование, так что проэволюционировавшая матрица коэффициентов линейно эквивалентна исходной. Из эквивалентности числовых матриц легко извлечь равенство их детерминантов, что говорит о том, что определитель матрицы коэффициентов линейной задачи есть инвариант эволюции. Линейность вспомогательной задачи позволяет ввести для линейных переменных пару нетривиальных С-числовых монодромий, от которых зависит определитель матрицы коэффициентов, который таким образом превращается с одной стороны в производяппоу функцию для интегралов движения классической эволюционной модели, а с другой стороны задает кривую высокого рода, являющуюся спектральной кривой эволюционной модели. Вспомогательные же линейные переменные (функция Бейкера-Ахиезера для классической модели) являются мероморф-ными функциями на спектральной кривой и порождают полную параметризацию системы динамических переменных в терминах тета-функций на якобиане спектральной кривой. Этим, в частности, доказывается полнота системы интегралов движения. Далее в этой главе приводятся лагранжевы уравнения движения. Лагранжевыми переменными является триплет т-функций, удовлетворяющий системе трилинейных соотношений. Естественно, эти уравнения имеют СО-
10
литоняые решения, которые приведены для однородной кубической решетки. Уравнение Хироты для синглетной т-функции получается из трилинейных соотношений весьма сильным вырождением по параметрам. В отличие от уравнения Хироты, симметрии которого тривиальны, система трилинейных солитоняых уравнений в силу большего числа параметров является нетривиальным представлением группы симметрии куба.
• Далее мы перейдем к случаю квантовой эволюции [34, 35, 38]. Мы покажем, что подходящим образом определенный детерминант матрицы коэффициентов является производящим функционалом для квантовых интегралов движения. Каждое слагаемое в квантовом детерминанте имеет графическое представление в виде пути по решетке кагоме, и интегралы движения имеют топологическую струк-ТУРУ: каждому интегралу соответствует множество путей с определенным гомотопическим классом. Далее мы сформулируем два случая конечного числа состояний для ^ = 1. Нетривиальный аспект перехода к конечному числу состояний состоит в том, что в точке общего положения по параметрам представления алгебры Вейля оператор эволюции не сохраняет эти параметры, так что пространством состояний квантовой модели является конечномерное (парафермион-ное) расслоение над базой пространства параметров. Действие квантового оператора эволюции на параметрах эквивалентно действию классического эволюционного отображения, а потому из результатов предыдущей главы динамику параметров можно разрешить въявь. Выделение конечномерной части из оператора эволюции соответствует специальному выбору параметров представления локальной Вейлевской алгебры, и таких выборов два: или аттрактор солитон-ного предела, что порождает модель Замолодчикова - Бажанова -Бакстера в вершинной формулировке, или дополнительную периодичность общего решения на кривой высокого рода, что порождает общую шахматную модель. В любом случае квантовый определитель производит полный набор квантовых интегралов движения, и для него мы получим универсальное функциональное уравнение (справедливое для вспомогательных двумерных решеток любого вида и любой степени неоднородности). Детально мы рассмотрим несколько примеров. Первым - эволюцию не М х М решетки кагоме. а одной
11
её полосы, М х 1. При этом эволюция полосы, управляемая простейшей матрицей из иерархического списка, совпадает с эволюцией, задаваемой квантовым уравнением Лиувилля на дуальной решетке и в лабораторной системе координат, и определитель - производящий функционал - для интегралов движения может быть полностью вычислен комбинаторикой. При вычислении интегралов движения для * уравнения Лиувилля весьма забавным образом может быть введена терминология классического Бете-анзаца: одно, двух и более частичные состояния, сокращение нежелательных членов и т.д. Далее мы рассмотрим структуру производящего функционала и функциональное уравнение на квадратной вспомогательной решетке, т.е. принципиально решим задачу о нахождении собственных состояний для трансфер матрицы типа слой-слой для однородной модели Замолод-чикова - Бажанова - Бакстера.
• В обычных квантовомеханических моделях квазиклассической аппроксимацией называется исследование поведения различных величин при разложении по постоянной Планка как по малому параметру вплоть до первого порядка малости, линейного по Ь члена. Именно в этом смысле мы и трактуем понятие квазиклассического предела: выделение из нелинейной эволюции касательной линейной части. В терминах упомянутого в предыдущем пункте расслоения это соответствует касательному расслоению, а на базу мы снова наложим условие аттрактора в тригонометрическом пределе. После общего определения квазиклассических моделей мы “до конца” проводим хвазихлассический подход для фундаментальной Б матрицы и вычисляем статсумму бозонной модели Замолодчикова - Бажанова -Бакстера простым трехмерным интегрированием [39].
• В заключительной главе мьг рассматриваем двумерные Я матрицы, получаемые при редукции (слоении) трехмерных Я матриц [40]. Термин “слоение” означает обратную трансмутацию, размерности в ранг. В качестве трехмерной матрицы мы сноза берем простейшую из иерархического списка, не имеющую спектральных параметров. Тем не менее, при слоении в два измерения в двумерных Я матрицах возникают спектральные параметры, и получающиеся в п слоях двумерные матрицы связаны с аффинными а£_х теориями поля Тоды.
12
Небезынтересное приложение - получение этих двумерных Р матриц как некоторого ограничения канонических элементов (универсальных Р матриц) для Дринфельдова дубля над алгеброй, наделенной проекционной структурой, причем другое ограничение дает обычные универсальные Р матрицы для
В заключении же мы перечислим наиболее актуальные задачи, возникшие в нашем подходе, но еще не исследованые до конца.
13
Глава 1
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ
1.1 Основная алгебраическая система: общая формулировка
Обсуждение вопроса о представлении нулевой кривизны для 2 + 1 мерных моделей мы начнем с весьма общего рассуждения, которое объединяет различные существующие подходы.
Пусть С}п - произвольный плоский граф, образованный пересечением п
прямых. Образующие прямые удобнее считать ориентированными. Как
п(п — 1)
клеточный комплекс, 5п СОСТОИТ ИЗ Му = ----------- вершин, Аг5 =
замкнутых многоугольников (клеток), Щ = 2п открытых (внешних) клеток, Ад = тг(п - 2) отрезков (ребер) и А^ = 2 п открытых (внешних) ребер. Параллельное движение образующих £п линий, меняющее внутреннюю структуру 5П М- $'п, очеврщно, не меняет структуру открытых элементов. Мы будем называть такие графы геометрически эквивалентными.
Предположим, с графом (}п ассоциирована некая алгебраическая система К(С}П\Х), метод построения которой зависит от локальной структуры (/п, в том числе через набор некоторых переменных X, присваиваемых отдельным элементам Яп.
Как алгебраический объект, система К{0П\Х) должна зависеть от набора параметров, присвоенных внешним элементам £/П; а аналогичные внешние параметры для любого подграфа графа являющиеся внутренними относительно б}п, исчезают в процессе построения на-
(п - 1 )(п — 2) 2
14
ыюдаемой 2(@п\Х).
Естественно рассмотреть ситуацию, когда у пары геометрически экви-*алентных графов внешние параметры совпадают, тогда можно ста-шть вопрос об эквивалентности соответственных алгебраических систем. Предположим, что вдруг оказалось, что алгебраические системы, дхопиированные с геометрически эквивалентными графами, Z{Qn\X) и 2{£,Г}Х'), могут действительно совпадать при надлежащем подборе параметров X':
г(дп\х) = гцз'п\х’). (1.1)
В таком случае объект Z(Q\X) является инвариантом отображения [Я,Х) ({/', X'), что весьма обнадеживает с точки зрения интегрируе-
мости. Существенным является то, что отображение X X' должно быть однозначным следствием Z(X) = ЖХ’) при фиксированных Яп и
Ниже будут приведены три сценария построения наблюдаемой алгебраической системы для произвольного ориентированного графа. В любом случае изложение придется начинать с элементарной вершины, графа Яч = У, наблюдаемая для которой Х{Яч\^у) и есть главный герой при любом подходе. Нетривиально геометрически эквивалентных графов типа Яч не существует, так что задачи об алгебраической эквивалентности Z(Q2) не возникает. Далее всегда придется рассматривать Яз как композицию трех вершин, и для Яз есть всего два типа геометрически эквивалентных графов. Они показаны на рисунке (1.1). Конечно же, этот рисунок сразу же вызывает ассоциацию с графическим представлением уравнения Янга - Бакстера.
Более того, упомянутая выше ориентация линий, и соответственно, ориентация всего графа Яп, подразумевает, что стрелки на п образующих Яп линиях расставлены так, что треугольник, образованный любыми тремя линиями, является или правой или левой частью того, что изображено на рисунке (1.1): если выбраны линии а, 6 и с, то образуемый ИМИ треугольник будет ИЛИ {Уа,Ь,Уа,С,Уь,с} п том виде, что изображен з левой части (1.1), или {Уь,с, Уа,с> Уа,ь} в том виде, что изображен в правой части (1.1). В дальнейшем мы будем для краткости обозначать левый треугольник как Д, а правый треугольник как у.
Вернемся к задаче об алгебраической эквивалентности графов Д и у,
2{&\ха,Ь1 ха.с> хЬ,с) = хЬ,с>ха,с>Ха,ь) ■ (1-2)
15
Рисунок 1.1: Янг - Бакстеровская эквивалентность треугольников типа Л и V-
Напомним, что весьма желательно, чтобы переменные правой части, х[1С, х'а с и х'а 6, восстанавливались бы однозначно из (1-2). В таком случае требование алгебраической эквивалентности задает однозначное отображение
R : {ха,Ь, Х^ХЬ,с) ^ «с.<с<б)- (L3)
Заметим, что структуру и природу вершинных переменных ху a priori мы не фиксируем. Нам будет удобно принять следующее
Соглашение 1 (об обозначениях). Символ некоторого функционального отображения (в данном конкретном случае это отображение R. а в дальнейшем у нас возникнет еще эволюционное отображение Е и т.д.) мы будем использовать в зависимости от контекста:
. Как символ геометрической переклейки, преобразования Л Д V-
• Как функциональный оператор, действующий на пространстве функций от вершинных переменных <р(ха£ = х\, хьуС = > хь,с = хз):
[^1,2,3 °'р)(хЬх2,хз) = <Р{х‘1,4. 4). С1-4)
где х'к как функции хк определяются из Z(A\X) = Z[\j\Х'). Функциональное отображение мы впоследствии будем использовать вне зависимости от природы вершинных переменных ху.
• Как некоторую формальную реализацию функционального оператора,
(R ° v) (••■) = R - ¥’(•••) • R-1. (1-5)
16
где символ присоединенного действия просто помогает правильному написанию более сложных формул. Смысл это приобретает только после хорошего определения действия вершинных операторов в их гильбертовом пространстве, т.е. относится к квантовым моделям, где вершинные переменные станут операторнозначными.
• В духе предыдущего пункта мы иногда, при рассмотрении вспомогательных отображений, будем злоупотреблять несколько неадекватным обозначением типа Р о х— х'• для И : V-* ж'..
Последние дза пункта этого соглашения мы начнем использовать не скоро, а пока будем использовать только первые два.
Вернемся, однако, к исследуемому отображению И. Функциональное отображение И обладает следующим замечательным свойством. Рассмотрим алгебраическую эквивалентность двух ориентированных “четырех - сторонников5’ типа б4, указанных на рисунке (1.2). Правый граф 64 может быть получен из левого 64 двумя различными последовательностями сплетающих отображений Р : А м- V- Будем для краткости обозначать граф бз правого и левого типа, образованный линиями а, Ь, с, как Дадс и \/а.ь,с соответственно. Переменные же присваиваются вершинам, и индексами у символа отображения И будем писать номера вершин. Пронумеруем вершины в б\ как
(1.6)
К,Ь = 14, Ъ, . Н,с = КЗ, Уа II II чз ■- V,5 II 43
Тогда первая последовательность преобразований выглядит так:
54 = { Да,Ь.с» Да,6Д? Да,с,с£? АЬ,с,Л }
1 Бз,5,б
{ Да, Ь, а Да,6,сЬ Да,с,^1 V Ь,с4 }
^2Д,6
{ Да.Ь.о Да,6,<*> V а,с,<2> V ь,с,и }
^1,4,5
{ Да,6,01 \7 ' а,Ь,с1г V Ь,с4 }
^1,2,3
= { \7а, 6,0 Vа,6,dl V Ь,с,с1 }
(1.7)
17
* вторая - как
Кг-» II ^а,5,с> ДаДеЬ Да,с,<£> } **1,2,3
{ ^а,6,С) Да,Ь,(1) 1 Да.сД? &Ъ,с4 } **1,4,5
{ ^ а,Ь,с 1 VаДc^) Д«,с,сЬ 1 ДЬ,с4 } **2,4,6
{ УаДс, \7а,М) V а,сД) Дь,еД 1 } **3,5,6
я = { V а Д о ^аД^> '\7а,с,<Ь V Ь,с-4 }
Поскольку мы потребовали, чтобы X' восстанавливались как функции X из Х(^4\Х) = Х(<3'Л\Х') однозначно, то, очевидно, суперпозиции алгебраических отображений, даваемых первой и второй последовательностью, должны совпадать. Принимая во внимание, что после-цовательность функциональных преобразований всегда антигомоморфна последовательности геометрических манипуляций, то первому сценарию геометрических преобразований соответствует суперпозиция функциональных операторов ^,2,3 ° К 1,4,5 ° **2,4,6 ° **з,5,б> называемая обычно левой частью уравнения тетраэдров, а второму сценарию - оператор ^з,5,6 ° **2,4,6 ° **1,4,5 ° ** 1,2,3) или правая часть уравнения тетраэдров. Из однозначности отображения (Оа9Х) (О'^Х') следует само уравнение тетраэдров:
К 1,2,3 ° ^1,4,5 ° *^2,4,6 0 *^3,5,6 = **3,5,6 ° **2,4,6 0 *^1,4,5 ° **1,2,3 • О -9)
В данном подходе решения уравнения тетраэдров получаются практически даром, по сравнению с чудовищной сложностью доказательства УТ -тля матриц с конечным числом состояний.
Следующим аспектом, который следует упомянуть в этой слегка неуклюжей попытке общего описания метода, есть то, что при достаточно г удачном стечении обстоятельств вершинную переменную Ху можно нацелить алгебраической структурой, сохраняемой при сплетающем отображении Р, то есть ввести квантование. В этом случае можно строить <вантовые реализации Р : Р о ^ = Р • у? • Р"1. Если, кроме того, эта алгебраическая структура обладает конечномерными представлениями, го из реализации Р можно выделить конечную часть Р
18
Рисунок 1.2: Эквивалентность “четырех сторонников” типа (74.
Возможно, схожесть терминов в дальнейшем может привести к недоразумениям, поэтому отметим терминологические аспекты особо: объекты любой природы, для которых определено геометрическое вложение в В -мерное Евклидово пространство, мы будем для краткости называть О -мерными. Эти же объекты могут быть определены над конечномерными вспомогательными пространствами (конечное число состояний) или же бесконечномерными пространствами, и в таких случаях мы будем их называть конечными или же бесконечными соответственно.
Далее мы рассмотрим три типа алгебраических систем, ассоциируемых с простыми графами. Среди них, конечно, царствует локальное уравнение Янга - Бакстера, и, например, второй тип алгебраической системы, векторную модель, можно “вывести” из метода локального уравнения Янга - Бакстера. По этой причине оба этих типа алгебраических систем мы рассмотрим в одной главе. Далее в отдельной главе мы рассмотрим совершенно иную реализацию алгебраической системы, которая, во первых лает нетривиальную квантовую модель, в некотором смысле теорию поля Тоды, а во вторых - является линейной алгебраической системой, что позволяет вывести для модели квантовой эволюции производящую функцию для интегралов движения.
19
1.2 Локальные матричные системы
1.2.1 Локальное уравнение Янга - Бакстера
Наиболее широко известным примером ассоциирования алгебраической системы с произвольным ориентированным графом является вершинная с/гатистико - механическая трактовка Qn [41, 22, 23, 12, 29].
А именно, каждому ребру присваивается индекс, принимающий значение в конечном множестве Е, а вершине V присваивается некоторый параметр Ху, так что алгебраический объект Z(Q2|жу), ассоциированный с вершиной, окруженной четырьмя ребрами, есть некоторая функция Z = L'ljixv), где реберные индексы с*, ...,<5 6 Е. Для простейшего случая Q2 все ребра - внешние, и лежащие на них индексы как раз и зсть внешние переменные для наблюдаемой Z(^)- Ориентированность пары образующих линий позволяет считать R оператором, действующим в тензорном произведении: R : E<g>E Е&>Е. Рассмотрим далее п > 2. В этом случае помимо внешних ребер в Qn есть и внутренние. Картина дополняется алгебраической процедурой: по индексам внутренних переменных надлежит производить суммирование. Наблюдаемым объектом Z(Qn) теперь является статистическая сумма,
z = Е П
inner vertices edges
зависящая от внешних индексов (т.е. от внешней геометрии графа Qn) и эт набора присвоенных каждой вершине переменных ху.
Эквивалентность статсумм, ассоциированных с геометрически эквивалентными графами при условии, что параметр хп,ь> присваиваемый пересечению линий с номерами а и Ь, один и тот же для всех эквивалентных графов, есть ни что иное как Бакстеровская Z - инвариантность, обеспечивающая интегрируемость соответствующей модели статистической механики. Такой случай спектральности вершинных параметров нас совершенно не интересует, поскольку мы занимаемся поиском нетривиальных сплетающих отображений Д i-> которые и определяются локальным уравнением Янга - Бакстера:
£i,2(zi) • L 1,з(х2) • Ь2,з(^з) = Чз«э) ■ ^1.з(4) • LiAx\) • (1-11)
rout-edges, ч ^in-edges М*
(1.10)
20
Предпринимались попытки решить локальное уравнение Янга - Бакстера, скажем, для случая симметричных весов Ь с двумя состояниями [42],
Ь{х) =
а>1 О О ^ ^6
о о
Со’З ^5 Со'5 Ш4
О о
сиь
О
О
Ш2
(1.12)
где формально х = [д>ьс^]. Было набрано некоторое количество решений. параметризуемых в терминах эллиптических функций, так что аргументы этих эллиптических функций слева и справа совпадают (и к тому же удовлетворяют разностному свойству), а различие между различными весами сводится к двум формам функций весов:
ЧгМ ■ [А,з(и + у) • ЧзМ = ЧзМ • ь1,з(и + у) • ЧгОО • (1ЛЗ)
Очевидно, с точки зрения нетривиального сплетающего отображения соотношения такою типа бесполезны, хотя и приводят к нетривиальным интегрируемым двумерным моделям. Поэтому предлагается различать уравнения типа (1.11) и типа (1.13) терминологически, называя (1.13) модифицированным уравнением Янга - Бакстера [42, 43, 44, 32]. Примечательно, что у Катаева и Строганова в [42] для всех весов Ь автоматически получалось условие свободных фермионов
(1.14)
Опыт двумерных моделей учит, что необходимость эллиптической параметризации весов пропадает, если уничтожить крайнюю недиагональную вершину: = 0. Соответствующие двумерные модели, со-
гласно Бакстеру, называются моделями ферроэлектриков. Известно, что из уравнений типа Янга - Бакстера для ферроэлектриков легко выделяется алгебраически независимая часть, которую можно записать в весьма замечательном виде, обобщение которой приводит к другому сценарию для основной алгебраической системы - векторной модели.
1.2.2 Векторная модель
В этом разделе мы сначала опишем связь между матричными уравнениями и обычным локальным уравнением Янга - Бакстера. Для про-
21