Дискретные модели кинетических уравнений для смесей

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение. 4
Глава I. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА
ДЛЯ СМЕСЕЙ С КЛАССИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ РАССЕЯНИЯ. 16
1.1. Уравнение Больцмана для смесей Дискретные модели. 16
1.2. Инварианты и индуктивная процедура для дискретных моделей. 17
1.3. Одномерная симметричная модель (М/т=3). '• 19
1.4. Двумерная симметричная модель {М/т-У). . 23
1.5. Модель с малым количеством импульсов (Л//т*3). 26
1.6. Семейство квадратных моделей. , 29І_
1.7. Малая моделі-, нормальная по каждой компоненте. 32
1.8. Некоторые семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и анергии. Общий
метод построения нормальных моделей. 32
1.9. Нормальные модели с малым количеством импульсов. 36
Глава 2. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ УРАВНЕНИЯ ТИПА БОЛЬЦМАНА ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ СМЕСЕЙ И УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ. 40
2.1. Дискретные модели релятивистского уравнения типа Больцмана 40
2.2. Столкновения при комптоновском рассеянии. 43
2.3.11ормальные модели для мюллеровского рассеяния. 45
з
2.4. Нормальные модели для комитоновского рассеяния. 46
2.5. Некоторые обобщения для упругих столкновения
релятивистских массивных частий 49
2.6. Модель для упругих столкновений релятивистских массивных
частиц в трёхмерном пространстве. 56
Заключение 58
.Зшерагура 60
Рисунки 70 •*
Введение
Для изучения поведения макроскопических систем с парным взаимодействием, каковыми, в частности, являются разреженные газы н иерсагирующне газовые смеси, активно используются кинетические уравнения и их дискретные модели. Наиболее часто применяемым для описания классических систем уравнением является уравнение Больцмана [21. 24. 33] Это уравнение было предложено австрийским физиком Людвигом Больцманом в 1872 году . За свою более чем вековую историю уравнение Больцмана успешно применялось для описания поведения физических, биолог ических, социальных
I
и экономических систем.
Во второй половине XX века во многом благодаря развитию электронной вычислительной техники и методов проведения численного эксперимента
. г.
особую актуальность приобрели дискретные модели уравнения Больцмана, лчлорыс активно изучались в последние три десятилетия [Ы] Несмотря на значительный рост возможностей современных вычислительных технологий, решение уравнения Больцмана по-прежнему остается сложной задачей ввиду большой размерности кинетического описания, что предъявляет высокие требования к обоснованности приближенных (численных и аналитических) методов в кинетической теории.
Дискретные модели, являющиеся основным предметом исследования Н настоящей диссертации, наследуют многие важнейшие свойства уравнения Больцмана. В частности, для дискретных моделей, равно как и для уравнения Больцмана, имеет место //-теорема [1-4]. //-теорема явилась н своё время математическим обоснованием Второго начала термодинамики. Важность этой
теоремы состоит в том. что она показывает необратимость (по параметру эволюции - времени) уравнения Больцмана. В работе [34] доказана единственность //-функции для уравнения Больцмана.
Теорема об аппроксимации интеїрала столкновений уравнения Больцмана дискретной моделью в трехмерном случае получена Бобылевым. Шнайдером и Пальчсвскнм [26-27]. Её доказательство существенно опирается на теоретико-числовой результат Иванна [28]. Фактически теорема Бобылсва - Шнайдера -Пальчсвского обосновывает применимость дискретных моделей при получении приближенных результатов для уравнения Больцмана.
Дискрет ные модели но скоростям (ДМС)для смесей широко обсуждаются в современных публикациях и очень актуальны. Однако, очень часто при' переходе от уравнения Больцмана к дискретной модели возникают артефакты дискретизации, отсутствовавшие в нзнзчатьиой континуальной постановке. ^
3 известном смысле все предлагавшиеся ранее модели для смесей были тривиальны. Читаем в работе A.B. Бобылсва и К. Черчиньяни [2]: «нет моделей для смесей, кроме тривиальных». «Простейшие модели предложены Монако и Прсцнози в их книге [40]. Они не удовлетворительны (как указывают авторы [40] на стр. 74). поскольку нет обмена энергией между различными сортами частиц. Это мы и имеем в виду, говоря, что они тривиальны». В работе К. Черчиньянн [6] читаем: «Я не знаю никаких ДМС для смсссй. кроме тех. в которых все импульсы имеют одинаковую величину, и поэтому закон сохранения энергии следует из закона сохранения числа частиц».
Эти замечания, процитированные no [5J. показывают сложившуюся ситуацию: некоторые «лишние» (spurious) инварианты, такие как энергия каждой компоненты или энергия отдельной группы частиц, мешают
6
построению хороших моделей. Следуя К. Чсрчнньяни |5.6]. мы будем называть модели с правильным числам инвариантов нормальными моделями.
В диссертационной работе рассматриваются дискретные модели, описывающие эволюцию функции распределения для смеси частиц нескольких
сортов с массами т, т, н пространственно-временном континууме К*'*1.
Здесь г есть число сортов (компонент смеси). Размерность пространства импульсов частиц равна (1. Допустимые импульсы частиц расположены в узлах некоторой целочисленной решётки, так что импульсы частиц £ -оЯ компоненты (с = 1 г) могут принадлежать дискретному набору р\,р\ р\ е Ъ*. Полное
щ I
количество дискретных импульсов модели равно У Л'.- = N •
—.
Определение. Будем говорить, чю имеет место столкновение частиц вила р?> р*} <-> р** , если их импульсы удовлетворяют следующим условия1г-
сохреягкзя:
Здесь а,/] - ит множества 1 г; и к - из множества 1, 2,.... Лга ;у, / - из
множества 1, 2. .... А'^. Каждому имеющему место столкновению поставим в
соответствие некоторое положительное число 0%$*} >0. называемое сечением столкновения. В дальнейшем запятые в подстрочных и надстрочных индексах сечений будем опускать, если это не вызовет разночтений. Сечения столкновений удовлетворяют следующим условиям симметрии:
і * °(ІО)) ” > и*