Содержание
Введение.........................................................3
1 Инволютивные тождества грассмановых оболочек конечно порожденных алгебр 13
1.1 Инволютивные тождества ..................................... 13
1 .2 Градуированные алгебры и градуированные тождества . . 16
1.3 Многообразия инволютивных тождеств алгебр .................. 22
2 Инволютивные тождества бесконечномерной алгебры Грас-смана 29
2.1 Группа линейных автоморфизмов и антиавтоморфизмов . . 30
2.2 Инволютивные коразмерности тождеств алгебры Грассмаяа 34
2.3 Инволютивные тождества алгебры Грассмана............ 40
3 Zp-коразмерности тождеств алгебры Грассмана с автоморфизмом 45
3.1 Zp-коразмерности тождеств алгебры Грассмана с линейным автоморфизмом . . ..................................... 45
3.2 гз-тождсства алгебры Грассмана...................... 56
3-3 О структуре градуированного автоморфизма порядка 2 с
условием dim L_i = 1................................. 68
2
Введение
Одним из важных вопросов при изучении тождественных соотношений в алгебрах (как ассоциативных, так и неассоциативных) является нахождение тех или иных численных характеристик для описания количества тождеств некоторой конкретной алгебры, или, более общо, многообразия алгебр. Ответ на этот вопрос дает знание значений функциональной последовательности коразмерностей тождеств алгебры А, определение которой было дано А. Роговым в [Н]. Бели обозначить пространство п-линейных полиномов в переменных Х\,... ,хп через Vn(x), а идеал всех тождеств алгебры А через М(Л), то величина
CniA) = dim —
Я
называется в-ой коразмерностью алгебры А. Непосредственно из определения можно извлечь, что если для любого натурального п значения Сп(А) = n! = dimVn(ar), то алгебра А не удовлетворяет никакому полиномиальному тождеству (или, как еще принято говорить, алгебра А не является PI-алгеброй). А. Рсгевым в [Rj также было показано, что если алгебра А является РІ-алгеброй, то значения последовательности коразмерностей ее тождеств имеют не более чем экспоненциальный рост, Сп(А) < ап для некоторого а. 13 этой связи нельзя не отметить также работу В.Н. Латышева (L).
Описание алгебр, имеющих не более чем полиномиальный рост коразмерностей, Сп{А) < сп1 для некоторых констант с, t, было получено А.Р. Ксмером в [К2],[КЗ]. Он показал, что последовательность сп(Д) полиномиально ограничена тогда и только тогда, когда А £ наг (Л) и VT2 (£. лаг(Л), где А — бесконечномерная алгебра Грассмана, a UT> — алгебра верхнетреугольных матриц размера 2 X 2. Так как Сп(Л) — 2”“1 (см. (KRj), а Cn(UT2) = 2 4- (тг + 2)2"-1 (см [L1]), то для любой Р1-алгебры Л либо Сп(А) < сп?, либо сп(Л) > с2”.
Бесконечномерная алгебра Грассмана играст очень важную роль в PI-теории: как уже было отмечено, она порождает минимальное многообразие с экспоненциальным ростом коразмерностей; также она порождает
Уп{х)
:) П Id(.4)
3
минимальное многообразие без стандартного тождества. Кроме того, наличие стандартной 22_градуировки на алгебре Грассмана Л = Л0 © А1 позволяет определить грассманову оболочку Л(А) = А) Ф Ло Ф А\ ® Л1 для произвольной супералгебры А = А>ф А\. А.Р. Кемер в [К] доказал, что любое многообразие алгебр порождается грассмановой оболочкой некоторой конечномерной супералгебры, то есть для любой Р1-алгсбры А найдется такая конечномерная суиералгебра В, что И(Л) = И(Л(£)). Это утверждение служит одним из ключевых моментов доказательства гипотезы Ш. Амипура о цслочисленности экспоненты ассоциативной Р1-алгебры, которое было проведено А. Джамбруно и М.В. Зайцевым в работах ,С2),\С21). Верхней и нижней экспонентами Р1-алгебры А называются величины
Ехр(Л) = Пт А) и Ехр(А) = Щи $Сп{А)
соответственно. В случае их совпадения говорят об экспоненте алгебры А:
Ехр(А) = Ехр(Д) = Ехр(Л).
Еще одним направлением исследований в Р 1-теории является изучение б'-тождеств ассоциативной алгебры А, где С — конечная группа автоморфизмов и антиавтоморфизмов А. Соответствующие определения идеала б’-тождеств М(А,(7) и последовательности 6'-коразмерностей б'-тождеств сп(А,С) для алгебры А были даны А. Джамбруно и А. Реге-вым в [СП]. Однако зарождение этой ветви Р1-тоории получило в работах Ш. Амицура [А] и [А1], посвященных исследованию инволютивиых тождеств алгебр. В них он, в частности, показал, что если алгебра А удовлетворяет некоторому инволютииному тождеству, то А является и Р1-алгеброн. В [ВС2] авторами установлена евзь между степенью инволю-тивного тождества А и степенью обычного полиномиального тождества А. Отметим также, что в общем случае наличие С-тождества алгебры А не влечет наличие у А обычного полиномиального тождества; соответствующий контрпример построен В.К. Харченко и приведен в книге С. Монтгомери [М]. Аналогично понятию экспоненты алгебры может быть введено понятие С-экспоненты алгебры А. В [в2'2] авторами доказа-
4
на целочисленность инволютивной экспоненты конечномерной алгебры. В общем случае этот вопрос является открытым, как и многие другие обобщения классических результатов Р1-теории на случай С-Р1-алгебр.
Целью настоящей диссертации является изучение свойств идеалов ин-волютивных тождеств бесконечномерных ассоциативных алгебр над полем нулевой характеристики, а также изучение идеалов гр-тождеств бесконечномерной алгебры Грассмана.
Работа состоит из введения и трех глав, разбитых на 9 параграфов. Все основные результаты (леммы, теоремы, следствия и т.п.) имеют двойной индекс: первое число указывает на номер главы, второе — на номер соответствующего результата. Объем диссертации 84 страницы, список литературы содержит 25 наименований.
Первая глава посвящена доказательству того факта, что инволютив-иое многообразие алгебр порождается грассмановой оболочкой конечно порожденной супералгебры с суперинволюцией.
В первом параграфе приведены обозначения и определения, связанные с идеалом ннволютквных тождеств.
Во втором параграфе приведены обозначения и определения, связанные с градуированными тождествами алгебр и грасемановыми оболочками. Установлено соответствие между градуированными суперинволю-тивными тождествами супералгебры А и градуированными инволютив-ными тождествами ее грассмановой оболочки А(Л). Также во втором параграфе построена конструкция суперинволютивного супермногообразия, являющегося ключевым моментом в доказательстве основной теоремы этой главы.
В последнем, третьем параграфе этой главы, получены некоторые технические леммы, а также доказана основная теорема первой части диссертации:
Теорема 1 Пусть А — Р1-алгебра с инволюцией. Тогда существует такая конечно порожденная супералгебра Ь с суперинволюцией #, что идеал инволютивных тождеств 1(1 (Л, *) алгебры А совпадает с идеалом ипволютивных тождеств 1с1(Л(£»), *) грассмановой оболочки супералге-
5
бры L, где действие инволюции * на произвольном элементе алгебры L 0 Л Э A(L) определяется по правилу {а® g)* = ® д, а € L,g € Л.
При применении описанной в первой главе техники к многообразиям алгебр с действием автоморфизма второго порядка может быть получен аналогичный результат:
Теорема 2 Пусть А — PI-алгебра с действием автоморфизма второго порядка. Тогда существует такая конечно порожденная супер-алгебра L с автоморфизмом # порядка 2, что идеал автоморфных тождеств М(Л, *} алгебры Л совпадает с идеалом автоморфных тождеств 1с1(Л(Л), *) грассмановоЛ оболочки супералгебры L, где действие автоморфгизма * на произвольном элементе алгебры L®A Э А[L) определяется по правилу (а ® g)* = а* ® д, а € L, g € Л.
При помощи результатов А.Р. Кемера из этой теоремы извлечено важное следствие:
Следствие 1 Любое многообразие супера.ггебр порождается грассма-новой оболочкой некоторой конечномерной супералгебры.
Вторая глава диссертации посвящена изучению инволютивных тождеств бесконечномерной алгебры Грассмана Л. В ней вычислены инво-лютивные коразмерности тождеств алгебры А, а также указал элемент, порождающий идеал инволютивных тождеств А.
В первом параграфе исследована связь между группой Aut* А автоморфизмов и антиавтоморфизмов алгебры Грассмана и группой линейных автоморфизмов алгебры Грассмана. Построено отображение I: Aut* А —» Aut* А и доказаны важные свойства этого отображения, часто используемые в дальнейшем во второй и третьей главах.
Во втором параграфе второй главы явно вычислены значения последовательности инволютивных коразмерностей тождеств алгебры Грассмана. При этом использовалось обобщение методов, предложенных А. Реге-вым в [КН.]. Доказана следующая основная теорема.
6
- Київ+380960830922