Содержание
Введение 3
Глава 1. Интегральные представления функций классов Соболева на областях групп Гейзенберга 16
§1.1. Интегральные представления функций, заданных в ограниченных областях ЕР1, с помощью первых горизонтальных производных 16
§ 1.2. О горизонтальных полиномах на группах Гейзенберга 26
§1.3. Интегральные представления функций, заданных в областях групп Гейзенберга, с помощью горизонтальных производных произвольного порядка 27
§ 1.4. Теорема о плотности 33
§ 1.5. О некоторых классах областей на группах Гейзенберга 34
Глава 2. Коэрцитивные оценки 38
Глава 3. Теоремы вложения 42
§3.1. Обобщенные неравенства Пуанкаре 42
§ 3.2. О продолжении функций классов Соболева 44
§ 3.3. Теоремы вложения 51
Глава 4. Задача Фон-Неймана для субэллиптических систем на группах Гейзенберга 56
§4.1. Следы функций на границах ^-гладких областей 56
§4.2. Постановка и решение задачи Фон-Неймана для субэллиптиче-ских систем на группах Гейзенберга 56
Литература 59
Введение
0.1. Известно, что интегральные представления функций, заданных в областях евклидовых пространств, имеют значительные применения в теории функциональных пространств, теории дифференциальных уравнений с частными производными, теории кубатурных формул и др. вопросах. Начало интенсивного изучения этих направлений было заложено в фундаментальных работах С. Л. Соболева 1936-1938 гг. Теория пространств функций с обобщенными производными нашла свое отражение в книге самого С. Л. Соболева [1], а также в книгах И. Нечаса [2], С. М. Никольского [3], И. М. Стейна [4],
О. В. Бесова, В. П. Ильина и С. М. Никольского [5], В. М. Гольдштейна и Ю. Г. Решетника [6], В. Г. Мазьи [7], Д. Р. Адамса и Л. И. Хед-берга [8], В. И. Буренкова [9], Ю. Г. Решетника [10] и в монографиях других авторов. По поводу различных способов вывода интегральных представлений см. также работы [11-17].
Актуальность теории пространств Соболева на группах Гейзенберга обусловлена многочисленными приложениями к исследованию свойств решений субэллиптических дифференциальных уравнений, к изучению квазиконформного анализа и ко многим смежным вопросам, см., например, [18-24]. Группы Гейзенберга ИР представляют из себя наиболее известный, во многом модельный, случай пространств Карно — Каратеодори. Последние суть гладкие многообразия с выделенным касательным подрасслоением, удовлетворяющим некоторым алгебраическим условиям. Векторные поля упомянутого подрасслоения называют горизонтальными. Кривые, у которых касательные вектора содержатся в выделенном подрасслоевии, также называют горизонтальными. Расстояние Карно — Каратеодори между двумя точками равно нижней грани длин горизонтальных кривых, соединяющих эти точки. Метрика Карно — Каратеодори не эквивалентна римановой метрике. Изучению геометрии пространств Карно — Каратеодори посвящены работы М. Громова [25, 26], А. Нагеля, Е. М. Стейна, С. Вэйнгера [27], П. Пансу [26, 28] и др. авторов.
Классы Соболева функций, заданных в областях пространств Карно — Каратеодори, определяются через производные вдоль векторных полей из выделенного подрассл оения. Развитие теории таких
3
функциональных пространств стимулировалось изучением свойств регулярности субэллиптических дифференциальных уравнений. В частности, доказательство неравенств Пуанкаре и Соболева для функций, заданных в шаре пространства Карно — Каратеодори было необходимо для обобщения итерационной техники Мозера. С этим направлением исследований связаны работы Д. Джерисона [29-31], Б. Франчи [32-37], Р. Л. Уидена [33, 36, 37], Л. Капони [38], Д. Даниэлян [39, 40], Н. Гарофалло [38, 40-42], Д. М. Нье [40, 42] П. Хайлаша [43, 44], Ю. Хэйнонена [45], П. Коскела [43, 45], Г. Лу [36, 37, 46—49],
О. Мартио [44], С. К. Водопьянова [50 58], А. В. Грешнова [54-56, 59] и др. авторов.
В настоящее время в некоторых работах интегральными подставлениями функций, определенных в пространствах Карно — Каратеодори, называют’ неравенство вида
№-сл<с,/
В(г,Сзг)
где х € В (г, г), а (?2 и Сз не зависят от х, г и /. Из этого соотношения выводятся неравенства Пуанкаре и Соболева. Однако многие более тонкие результаты не могут быть получены с помощью упомянутого неравенства. К таким результатам относятся, например, коэрцитивные оценки для дифференциальных операторов, которые выражаются в виде линейных комбинаций производных некоторого фиксированного порядка вдоль векторных полей из стандартного базиса горизонтального подрасслоения. В дальнейшем будем называть такие операторы линейными однородными дифференциальными операторами с постоянными в смысле стандартного базиса горизонтального подрасслоения коэффициентами.
Известно, что коэрцитивные оценки являются важным инструментом при изучении систем уравнений математической физики. Обычно в литературе под коэрцитивными оценками для дифференциального оператора (} понимают либо неравенство
1М1и^(п) < С(П9 Я)(\\(Эи\\ьр(п) + Нк^п))
4
для произвольной вектор-функции и, либо неравенство
IHIw*(n) <C(ft,Q)||Qti||il((n)
для финитной вектор-функции. В 1907 г. Корн [60] доказал справедливость таких неравенств для оператора Qi = (Vw)T) (тензор
напряжения) при р = 2. Значительно позже, в работах Н. Ароншай-на и К. Т. Смита [61, 62], а также, в работах О. В. Бесова [63] такие неравенства были доказаны для достаточно широкого класса операторов, действующих на функции, заданные в областях евклидовых пространств. См. также [64, 65, 66].
Для операторов
Qi = \{Vu+(Vu)T)
и
Q2 = i (Vu + (Vw)T) - - Sp Vw 2 n
Ю. Г. Решетняк [10, 14] получил более сильный вариант коэрцитивных оценок. Эти неравенства были использованы в квазиконформном анализе для доказательства теорем устойчивости [10].
В данной работе доказывается именно усиленный вариант коэрцитивных оценок для линейных однородных дифференциальных операторов с постоянными в смысле стандартного базиса горизонтального подрасслоения группы БГ1 коэффициентами, с копечномерным ядром.
В работе использованы идеи и классические подходы к теории пространств функций с обобщенными производными, заложенные в работах С. Л. Соболева, О. В. Бесова, В. И. Буренкова, В. Г. Мазьи, Ю. Г. Решетняка и др.
Цель работы состоит в том, чтобы
1. Вывести интегральные представления типа Соболева функций, заданных в областях групп Гейзенберга.
2. Доказать коэрцитивные оценки и ряд других неравенств, связывающих различные нормы, заданные через горизонтальные производные.
5
3. Применить полученные неравенства для доказательства теорем вложения и исследования свойств решений субэллиптических систем дифференциальных уравнений.
В диссертации получены следующие результаты.
1. Для точек области П' С ШР1 выведены интегральные представления типа Соболева функций, заданных в области П С Н", при условии, что область П' звездна в области О, относительно некоторого шара.
2. Показано, что любая ограниченная область удовлетворяющая условию конуса на группе Гейзенберга, может быть представлена в виде объединения конечной совокупности открытых множеств £/j, звездных в области П относительно некоторых шаров. Приведены новые и известные примеры областей, удовлетворяющих условию конуса и (є, £)-условию на группах Гейзенберга.
3. Выведены коэрцитивные оценки для вектор-функций, заданных в ограниченных областях W1, удовлетворяющих условию конуса.
4. Доказаны обобщенные неравенства Пуанкаре для функций, заданных на группах ИГ1.
5. Построены операторы продолжения вектор-функций классов Соболева, заданных в областях групп Гейзенберга.
6. Доказаны аналоги классических теорем вложения для пространств функций Соболева, заданных в областях групп ИР1.
7. Доказана теорема существования и единственности слабого решения задачи Неймана для ряда линейных субэллиптических систем.
Результаты диссертации могут применяться в теории систем субэллиптических дифференциальных уравнений, теории функциональных пространств, квазиконформном анализе на группах Карно, и др. вопросах.
0.2. Приведем основные определения используемые в работе. Точки группы ЮР1 отождествляются с точками пространства M2n+1. Групповое умножение определяется формулой
(x',x",x2n+l) • (у',у",У2п+і)
= {х1 + у', х" + у", Х2п+\ + У2п+1 - 2(х', у") + 2(х", у')),
где х' = х" = (хп+1,...,Х2„), у' = (У1,...,Уп), у" =
6
- Київ+380960830922