2
Список основных обозначений
/V - множество натуральных чисел;
С - комплексная плоскость;
Е - круг {г: \г\<\};
5- класс голоморфных однолистных в Е функций /(г) =г+с2ф^+... +с„й)2"+...;
Спф - п-й тейлоровский коэффицент в разложении функции /в окрестности нуля;
УпФ ~ логарифмический коэффицент в разложении функции/в окрестности нуля;
5- подкласс класса 8 тех функций, которые отображают Е па плоскость С\{0} с разрезом по обобщенно непрерывной простой жордановой кривой, идущей в бесконечность;
КА!) = 7------гг- - функция Кебе;
(1-Л)-
р^-п{х) =--------^ -Г—Ь - Х)п+а (1 + х)"^\ - полином Якоби;
" 2"п\{\ - х)а {\ - х)р с!хгЛ ' 1
(а)у = а(а +1 )...(а + у -1) - символ Похгаммера; р] р(р-1)...(р-п + \)
п I 1.2..л
а,/3
- биномиальный коэффициент;
2^1
7
_ у МпЛЮт. _ гипергеометрическая функция Гаусса и
,15 00ж **!
гипергеометрическии ряд;
„_1 , / \/ „ . .. \
2<? V <7 +л о-1яАи-1-а
г ЧТ - полином Бранжа;
д:
ад=-Гь со$ хсЬс - функция Лобачевского;
о
з
а(н') - сигма-функция Вейерштрасса, т.с. целая функция
для которой точки периодов являются простыми нулями. Здесь
<*<; _ мЮ + д СІТ ц(г)-С
- уравнения Левнера;
СІЛ(/ ^СЦ/ /и(т) + 2
" 2Г ”"
</г & /і(г)” 2
/і(г) - управляющая функция в уравнении Левнера.
4
Введение
Работа посвящена исследованию геометрических и
экстремальных свойств классов однолистных аналитических функций одного комплексного переменного. В работе указаны те управляющие функции в уравнении Левнера, которым соответствуют
экстремальные функции в теореме вращения, аналогичные задачи
решены для граничных функций относительно простейших
функционалов на классе однолистных голоморфных в круге функций, указана связь полиномов Бранжа с решениями уравнения Левнера с постоянным управлением, получена формула для производящей функции для полиномов Бранжа, выведена формула типа формулы Кристоффеля-Шварца дтя конформного отображения полосы (полуплоскости) на специальные области с симметрией переноса.
Актуальность темы. Краткие исторические сведения. Доказанная в 1907 г. Г1 Кебе [1],[2] теорема о существовании круга, покрываемого образами единичного крута Е = {1:\г |<1) при отображении голоморфными в нем однолистными функциями
/(2) = 2+С2(/)22+... + Ся(/)2” -К..
(их совокупность образует класс Б), стимулировала рост интереса к экстремальным задачам геометрической теории функций. Л.Бибербах [3], основываясь на теореме площадей Гронуолла [4], доказал в 1916г., что радиус круга, указанного Кебе, равен 1/4. В более поздней работе Л.Бибербах [5] дает точную оценку модуля производной на классе Б и неточную опенку аргумента производной. Точная оценка аг£/'(г) на классе Б была получена Г.М.Голузиным [6] и И.Е.Базилевичем |7},[8] и составила содержание теоремы вращения. Доказательство основывалось на методе, предложенном в 1923г. К.Левнером [9] и, в частности, на выведенном им уравнении дтя семейства отображений на области специального вида. Создание вариационных методов
5
М.Л.Лаврентьевым [10],[11], М.Шиффером [12],[13], Г.М.Голузиным [14],[15], метода площадей Н.А.Лебедевым [16],[17], метода симметризации И.П.Митюком [18],[19], В.Н.Дубининым [20],[21], метода ортогональных многочленов в теории однолистных функций И.М.Милиным [22],[23], разработка этих методов и их применений многими авторами качественно изменило содержание теории экстремальных задач на классах однолистных функций (см. обзорную статью И.Е.Базилевича в книге “Математика в СССР за сорок лет” [24], статью Н.А.Лебедева, Г.В.Кузьминой, Ю.Е.Аленицына [25], статью И.А.Александрова, И.М.Милина [26]). Были доказаны теоремы об экстремальных функциях относительно функционалов и их систем общего вида. Оказалось, что во многих случаях экстремальные функции отображают каноническую область на плоскость с разрезами. Отсюда следовало, что их можно рассматривать как предел решений уравнения Левнера с соответствующей управляющей функцией. Важное место заняли предложенные П.П.Куфаревым [27],[28] и Н.А.Лебедевым [25] методы, объединяющие метод параметрических представлений Левнера и метод вариаций Голузина. Их развитию и приложениям посвящены работы П.П.Куфарева [29], И.А.Александрова [30Ц31], В.В.Черникова [32],[33], М.И.Редькова [34], В.Я.Гутлянского [35], В.В.Горяйнова [36]. Ими были найдены мажорантные области значений для многих функционалов, причем в большом числе рассмотренных задач они оказались совпадающими с областями значений соответствующих функционалов. Вопрос о представлении в явном виде граничных функций был решен лишь для небольшого числа задач, поскольку он оказался, вообще говоря, очень сложным.
И. Александров, С.А.Копанев, В.И.Попов. в работах [37],[38] указали примеры эффективного использования метода параметрических представлений и теории оптимального управления
6
Понтягина. Глубокое исследование в этом направлении проведено Д.В.Прохоровым [39].
Метод параметрических представлений Левнера, позволивший еще в 1923 г. доказать точную оценку |с3(/)|<3,/е 5, [9], и тогда же дать точные оценки коэффициентов разложения по степеням функцией г-(V), обратных функциям класса Я, был применен В.И.Поповым [40] к исследованию системы функционалов
на классе 5. Были получены важные теоремы о строении границы в /Г множества значений этой системы. В частности, указаны семейства прямолинейных отрезков, принадлежащих границе.
Замечательное применение метода Левнера было дано Луи де Бранжем [41],[42] при доказательстве справедливости гипотезы И.М.Милина [22] (стр.72), [43], о логарифмических коэффициентах и, как следствие, при получении неравенства |с„(/)|£и,/€3> = 3,4,..., составлявшего до работы Бранжа содержание гипотезы Бибсрбаха, высказанной в 1916 г. [3]. Отметим, что исследования, связанные с привлекательно простой формулировкой гипотезы, способствовали развитию методов геометрической теории функций и существенно обогатили ее. Проблемой коэффициентов занимались многие видные математики: Литтлвуд [44], Дьедонне [45], И.И.Привалов [46], К.И.Бабенко [47] и другие. Достаточно подробно история исследований освещена в работах Фитцжеральда и Поммеренке [48], О.М.Фомеико, Г.В.Кузьминой [49], И.А.Александрова, И.М.Милана
В § 6 этой работы указывается связь экспотенциальных полиномов Бранжа с решением уравнения Левнера. В первой главе и начале второй главы излагается способ нахождения экстремальных управлений в уравнении Левнера применительно к простейшим
[26].
- Київ+380960830922