Содержание
Введение 3
Глава 0 Предварительные сведения 13
Глава 1 Геометрия гильбертовых пространств 18
§1 Круглый конус в гильбертовом пространстве . . 18
§2 Непрерывность оператора х —У \х\ в гильбертовом
пространстве..................................... 29
Глава 2 _1_ - ортогональность в нормированных прост-
Л
ранствах с конусом 36
Глава 3 Геометрия упорядоченных банаховых пространств 51
§1 Строгая выпуклость и гладкость на конусе.
Равномерная гладкость и равномерная выпуклость на конусе.................................. 51
п.1 Строгая выпуклость и гладкость на конусе 51
п.2 Равномерная гладкость и равномерная выпуклость на конусе.................................. 56
§2 Геометрия конусов в банаховых пространствах . 58
§3 Достижимые пространства ......................... 66
Заключение 76
Литература
78
Введение
Многочисленные исследования конусов в нормированных, а также в более общих линейных топологических пространствах привели к созданию большой теории - геометрии конусов. Эта теория является актуальным разделом функционального анализа и находит важное применение во многих областях математики.
Геометрией конусов, в первую очередь в банаховых пространствах, начали заниматься в тридцатых годах М.Г. Крейн и его ученики. Одновременно в этом направлении работали ленинградские математики во главе с Л.В. Канторовичем. Значительное внимание они уделили нормированным полуупорядоченным пространствам - условно полным нормированным векторным решеткам. Вулих Б.З. и Пинскер А.Г. разрабатывали теорию полуупорядоченных пространств (пространств с конусами специального вида), названных в честь Л.В. Канторовича К-пространствами. В пятидесятые годы большой вклад в теорию конусов в банаховых пространствах внесли представители воронежской математической школы во главе с М.А. Красносельским. Большим вкладом в теорию конусов в банаховых пространствах явились работы Бахтина И.А., Стеценко В.Я., Вейца Б.Е. и дрз'гих. Начиная с середины пятидесятых годов, математики разных стран, следуя общей линии развития функционального анализа, приступили к изучению конусов в линейных топологических пространствах, обобщая многие понятия, введенные ранее в нормированных пространствах.
Вместе с тем, если к настоящему времени теория решеток достаточно хорошо разработана, то в теории конусов в банаховых пространствах остается много открытых вопросов.
3
Хорошо известно, что общая теория банаховых пространств с конусом и теория банаховых решеток требуют привлечения различных идей и разной техники. Существенной трудностью является невозможность использования теорем реализации, которые очень эффективны в случае, когда пространство с конусом - банахова решетка. Поэтому не лишено интереса специальное изучение конусов в нормированных пространствах, чему и посвящена данная работа.
Хорошо известными в теории полуупорядоченных пространств являются работы Крейна М.Г. и Рутмана М.А. [19], Вулиха Б.З. [10], [11], Красносельского М.А. [18], Крейна М.Г. [7], Канторовича JI.B. [15], Бахтина И.А. [4] - [6], Шефера Х.[39] и другие.
Диссертация посвящена изучению регулярного конуса в банаховом пространстве. Понятие регулярного конуса восходит к Davies Е.В. [40] и нашло широкое применение в теории тензорных произведений банаховых пространств, теории банаховых решеток. Однако, регулярный конус оказался мало изученным в пространствах, не являющихся решеточными.
В диссертации рассмотрены банаховы пространства, в которых порядок задается строго регулярным конусом. В этом случае порядок и норма согласованы наилучптим образом, что дает возможность рассмотреть некоторые чисто порядковые понятия в терминах теории банаховых пространств. В гильбертовом пространстве понятие регулярного конуса равносильно понятию самосопряженного конуса (см. [29]).
Для доказательства основных результатов диссертации используются методы теории банаховых пространств и теории упорядоченных банаховых пространств. После доказательства основных теорем в диссертации следует обсуждение в виде примеров и з'тверждении, обосновывающих полноту и точность формулировки.
4
Результаты диссертации носят теоретический характер " :.:сгз _ быть использованы для дальнейшего развития теории полуупорядо-ченных нормированных пространств.
В диссертации впервые:
Описан регулярный конус в произвольном гильбертовом пространстве.
Доказана липшиц-непрерывность оператора х «—У |х| в гильбертовом пространстве со строго регулярным конусом.
На упорядоченном банаховом пространстве (УБП) Е со строго регулярным конусом рассмотрена ± -ортогональность, ± - ортого-
г к
нальность чя кпхтхто /5Х< и доказано, что если Е+ - замкнутый строго
регулярный конус в Е, то элементы хуу £ Е+ X-ортогональны тогда
А*
и только тогда, когда для элемента г = х — у справедлива хотя бы одна из формул:
1) ф, Е+) = Ы;
2) Л(-г,Е+) = 11x11.
Доказано, что УБП Е строго выпукло на конусе Е+ тогда и только тогда, когда УБП Е* гладкое на конусе Е+, при условии рефлексивности пространства Е.
Приведены примеры, показывающие, что некоторые банаховы свойства не допускают локализации на конус.
Доказано, что если (Е, Е+) £ (71) строго выпукло на конусе Е+, то \/х £ ±Е+> я+,х_ £ ЭЕ+, где дЕ+ - граница конуса Е+.
Получен аналог теоремы Кларксона. Доказано, что в каждом непустом замкнутом выпуклом множестве С Е+, где Е равномерно выпукло на конусе имеется ровно один элемент с минимальной для элементов этого множества нормой.
5
Доказано, что при условии строгой выпуклости УБП (£, Е+) £ (7£) на конусе Е+ или при условии строгой монотонности на конусе и выполнении и.св.Рисса, УБП Е будет метрической рсгг;гпой.
Введено в рассмотрение достижимое пространство, то есть, УБП из класса {IV) в котором для каждого элемента х существует метрическая проекция на конус. Множество всех метрических проекций элемента х на конус Е+ обозначаем М{х). Вводится класс чебышевских пространств - класс достижимых пространств, в которых для каждого х множество М(х) одноточечно. Доказано, что если достижимое пространство Е строго выпукло на конусе Е+у тогда Е - чебышевское пространство.
Доказано, что если Е - банахова решетка, равномерно выпуклая на конусе 2£+, то Е - правильная метрическая решетка.
Доказано, что всякое равномерно выпуклое на конусе Е+ упорядоченное банахово пространство (Е>Е+) из класса {IV) является чебьт-шевским.
Доказано, что точка £о € Е+ - опорная точка конуса Е+ тогда и только тогда, когда существует д € £+*, д Ф 0, такой, что д(хо) = 0.
Доказано, что если Е+ - вполне достижимый конус в банаховом пространстве Е, то Уя & Е, х $ ±Е+ имеем: х+ и X- явдшстс :срн1П.П£
точками конуса Е±.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, включая главу ” Предварительные сведения” и списка литературы, содержащего 45 наименований.
Опишем краткое содержание работы. В главе "Предварительные сведения” собраны ранее известные определения и утверждения на которые мы будем опираться в работе.
Первая глава диссертации посвящена рассмотрению регулярного ко-
6
- Київ+380960830922