Введение
Настоящая диссертация относится к аналитической теории чисел. Предметом исследования являются оценки наименьшего квадратичного невычета по модулю простого числа в арифметических последовательностях. Постановка задачи о наименьшем квадратичном невычете но простому модулю принадлежит И. М. Виноградову- В 1914 г. он дал элементарное доказательство квадратичного закона взаимности, в котором использовалась оценка Гаусса для наименьшего квадратичного невычета порядка корня квадратного из модуля. В 1918 г. И. М. Виноградов [3] получил оценку наименьшего квадратичного невычета в арифметической прогрессии. Она имеет вид
«т> ^ р1/(2у^1п2р, (1)
где р - простое число, пр — наименьший квадратичный невычет по модулю р, е — неперово число, основание натурального логарифма.
В 1926 г. И. М. Виноградов |4| обобщил эту оценку на степенные невычеты и дал оценку наименьшего первообразного корня. В 1952 г. Г. Дэвенпорт и П. Эрдёш [17| уточнили степень логарифма в оценке (1). Кроме того, они нашли оценку момента любой четной степени для неполной суммы символов Лежандра. Она имеет вид
2 к
< 2ку/рЬи + (4к)шрНк, I ^ А < Р, к € N.
В том же году И. М. Виноградов |5| получил оценку суммы характеров по «сдвинутым» простым числам, где он нашел
р-1
Е
А=0
§(^)
3
оценку момента четвертой степени от неполной линейной суммы характеров, что уже позволяло улучшить оценку наименьшего невычета.
Ю. В. Линник и А. Репьи в начале пятидесятых годов получили ряд условных результатов по проблеме наименьшего квадратичного невычета, которые связывают эту задачу с оценкой модуля L-функций Дирихле на единичной прямой (7).
В 1957 г. Д. Берджесс получил современную оценку для наименьшего квадратичного невычета, которая, грубо говоря. является корнем квадратным из оценки (1). В дальнейшем А. А. Карацуба дал новый вариант доказательства оценки Д. Берджесса и решил ряд родственных задач, связанных с распределением значений сумм характеров на разнообразных арифметических последовательностях (см., например, |10|).
В основе всех доказательств оценок наименьшего квадратичного невычета по простому модулю лежат два утверждения. Первое из них — оценка неполной суммы характеров Дирихле по простому модулю, второе — оценка количества натуральных чисел с малыми (или с хотя бы одним большим) простыми делителями. Эти два утверждения положены и в основу настоящей диссертации.
Перейдем к формулировке основных результатов работы. В первой главе диссертации «Квадратичные невычеты в арифметических последовательностях» устанавливается оценка наименьшего квадратичного невычета по простому модулю в последовательности [ап]. Эта последовательность обобщает арифметическую прогрессию. С. М. Воронин назвал такую последовательность антье-последователъностпъю. Оценивается наименьшее п € N, при котором [cm] (mod р) будет квадратичным невычетом по модулю р. Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть а иррациональное число, неполные частные которого ограничены, и\ обозначает наименьшее па-
4
туралЬное число и, при котором число [qi/] (mod р) является квадратичним невычетом по простому модулю р. Тогда
Vi
Теорема 2. Пусть а иррациональное число, неполные частные которого не обязательно ограничены, щ обозначает наименьшее натуральное число о, при котором число [а;/] (mod р) является квадратичным невычетом по простому модулю р. Если для любого фиксированного £•> > 0 существует К, такое что для всех к ^ К выполняется неравенство
akak+i <
где ак — к-е неполное частное, Qk~\ — знаменатель к — 1 -й подходящей дроби числа а, то
VI <С,,о р№'*>*9.
Теорема 3 обобщает теоремы 1 и 2.
Теорема 3. Пусть а иррациональное число, для неполных частных которого справедливо соотношение
«*«*+! < !{Qh-1).
где ак — к-е неполное частное, — знаменатель к — 1-й подходящей дроби числа a, f — некоторая возрастающая функция натурального аргумента. Пусть, даже, v\ обозначает наименьшее натуральное число v, при котором число [an/] (mod р) является квадратичным невычетом по простому модулю р. Тогда
г/, < 16f2{D(£)p'H4'®-H)D2(e)pl/{2'®+2£,
где є и D(e) — величины из оценки Берджесса для nv — наименьшего квадратичного невычета по простому модулю р:
Пр < D(e.)pl^+r.
5
Выделить случаи, когда щ не превосходит константы, зависящей только от- « (при р -4 оо), позволяет теорема 4.
Теорема 4. Пусть а — иррациональное число, щ обозначает наименьшее натуральное число и, при котором число [a//} (mod р) является квадратичным невычетом по простому модулю р.
Если среди неполных частных а существует ari+i (п > 2. п + 1 четно) такое, что ап+\ является квадратичным невычетом по модулю р, ^ 1 (Qn~\ — знаменатель п - 1-й подходящей дроби числа о), и
а, ^ Л, i = l,2,...,n + 1,
то
U2 < Ап+2.
Если же среди неполных частных (-а) существует Ьи+1 (п ^ 2, п+1 нечетно) такое, что b„+i является квадратичным невычетом по модулю р, ^ 1 (S„_i — знаменатель п - 1-й подходящей дроби числа (-«)), и
bi < В, i= 1,2,...,п + 1,
то
iъ « Вп+2.
Из теоремы 2 выводятся следующие утверждения. Следствие 1. Пусть среди неполных частных а существует a,l+i (п > 2, п + 1 четно), которое является квадратичным невычетом но модулю р, и ^ 1 {Qn-\ — знаме-
Чп-1
натель п — 1-й подходящей дроби числа «).
Тогда
v\ =0о(1).
б
Следствие 2. Пусть а — иррациональное число с неполными частными, среди которых существует an+i = 2 (п >
2, п + 1 четно), и Q„-\ ^ 2.
Тогда наименьшее натуральное и, такое что [оси] (mod />) является квадратичным невычетом по простому модулю р, где р = ±3 (mod 8), не превосходен константи, зависящей только от ос (при р —> оо).
Вторая задача связана с последовательностью чисел, представимых в виде а2 + db2, где d € {1,2,3}, и состоит в получении оценки сверху наименьшего квадратичного невычета по простому модулю р в этой последовательности. В 1908 г.
3. Ландау (20| получил асимптотику количества чисел, не превосходящих х, все простые делители которых принадлежат заданным классам вычетов по заданному модулю, и тем самым получил асимптотику количества чисел, представимых в виде а2 + db~, где d Є {1,2,3}. Числа такого вида имеют нулевую плотность во множестве всех натуральных чисел.
Теорема 6. Пусть р — простое число, d Є {1,2,3}, = — 1, є > 0 — произвольное фиксированное число. Пусть, даже, итіи обозначает наименьший квадратичный невычет по модулю р в последовательности чисел, представимых в виде а,- db . Тогда
і'тіп «Сг рЧМ*.
Доказательство этой теоремы проводится с использованием общей теоремы А. А. Карацубы [10| об оценке сумм характеров в конечных нолях, а также леммы о количестве представлений натурального числа « формой a2 +db2, а, 6 Є Z, d Є {1,2,3}.
Наконец, рассмотрена задача об оценке сверху наименьшего квадратичного невычета по простому модулю р в последовательности чисел, представимых в виде х2 + ІЬу2, х, у Є Z. Отметим, что число классов эквивалентности, на которые раз-
- Київ+380960830922