ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение .............................................. 3
Глава 1. Оценки сильного и слабого типов для.операторов свертки 31
Глава 2. Существование и эквивалентность обобщенных ор-
топодобных систем.................................................54
Список литературы ............................................... 66
2
ВВЕДЕНИЕ.
Пусть р € [1,оо], д Є [1,ос], и - пространства со счетно-аддитивными неотрицательными мерами г/ и // соответственно (см. [19], с. 288-355), Т - оператор, определенный на некотором подмножестве К С Ьр(Ип,г]), значения которого - функции на
Т называется оператором сильного типа (р, <?), если для любой / Є К Т{ Є Ья(іїи,і/) и
\\тд, < сЦ/ІІр-
Т называется оператором слабого типа. (р,</), р Є [ 1, оо], д Є [1, оо), если для любой / € К Т/ - //-измеримая функция и для любого а > О
Ну є : |т/Ы|>«}<
Постоянные в обоих неравенствах не зависят от функции /.
При д = оо по определению понятие оператора слабого типа (р,д) совпадает с понятием оператора сильного типа
Ом)*
Если Т - оператор сильного типа (р, д), то он также оператор слабого типа (р, д), что показывает следующее неравен-
ство:
ЦТ/ll? = / \Т}(у)\Чи{у) > I \Tf(y)\qdu(y) >
Пи {у€^:|Г/(у)|>а}
> otqv{y G Я.и : \Tf(y)\ > а}.
Значит
Ну е о,: 1Т/Ы1 > а} < Mi < (М*)*.
Обратное утверждение неверно.
Пусть f(x) - интегрируемая по Лебегу на каждом ограниченном интервале прямой (-оо,+оо) функция И € ф 0, определим преобразование
1 с x+t
DJ{x) = - / f(x + t)dt = - f f(t)dt, e 0 6 z
тогда фундаментальная теорема теории интегрирования Лебега утверждает, что
lim D(f{x) = f{x)
почти всюду, т.е. что неопределенный интеграл - почти всюду дифференцируемая функция.
Если р > 1, f Е I/(R), то также верно, что
lim J \D(f(x) - f(x)\pdx = 0.
с-»0
R
Более того, введенная Харди и Литтлвудом около 1930 года максимальная функция (см. [3], а также [15], т. 1 с. 54-61; [20], с. 215, 218; [34], т. 2, с. 178-184, 211-214)
М/(х) = н\1рП£\/\(х)
ф
удовлетворяет оценкам слабого типа (1,1) и сильного типа (р,р), а именно
V/ £ L Vor > 0 р\х : Мf(x) > а} <
Cll/lli
а
и прир > 1
V/eL" (/ \Mf(x)\pdx)r < С||/||р. (1)
и
Неравенство (1) неверно при р = 1. Если взять в качестве f(x) = Х[-1,1](я), получим
1, X 6 [-1,1]
т^-7, х е (-00,-1) и(1,+оо)
Mf(x) =
вд
- неинтегрируемая функция.
Вейнером было обнаружено (см. [9]), что вышеизложенные теоремы, рассматривающие операторы Д, - частные случаи теорем для более широкого класса операторов, возникающих в так называемой эргодической теории, кратко которую
5
можно описать следующим образом. Основной математический вопрос в статистической механике Гиббса-Больцмана относится к существованию определенного типа средних величин по времени. Рассмотрим механическую систему. Ее мгновенное положение описывается путем выделения точки в ’’фазовом пространстве” 5. Начальное положение х по происшествии I секунд переходит в однозначно определенное новое положение у = (р^х) (функция <р принимает значения в 5). Предположим, что для любой точки х фазового пространства И ДЛЯ любых Г, t 9<(рг(#)) = 9и-г(У) (для некоторых механических систем это может быть доказано). Любая числовая величина, определяемая мгновенным положением механической системы задается вещественной функцией / = /(<#(я)), определенной на 5. Обычно / очень сильно колеблется с изменением t. как, например, в том случае, когда мы рассматриваем силу, с какой действуют молекулы газа на стенки содержащего их сосуда, так как эта сила сильно зависит от числа молекул, отражающихся от стенок в произвольный момент времени. Важна и измерима в лабораторных условиях не
т
/(<^(х’)), а среднее значение ^ / /(<#(х))(1Ь. Обычно значение Т можно взять большое (по сравнению со скоростью измене-
6
- Київ+380960830922