Полисвертки интегральных преобразований и их приложения

Оглавление
Введение 6
Историческая справка ............................................ 7
Общая характеристика работы.................................. 12
Актуальность темы....................................... 13
Цели и задачи диссертационной рабо ты................... 14
Основные результаты и научная новизна ..................... 16
Основные положения и результаты, выносимые на защи ту . 19
Апробация и публикации результатов...................... 20
I Свертки и полисвертки интегральных преобразований 21
Основные определения и обозначения 21
1. Обзор интегральных преобразований, используемых в диссертации „ 29
1.1. Элементы теории экспоненциального преобразования Фурье 29
1.1.1. Определение........................................ 29
у
1.1.2. Свойства............................................ 33
1.1.3. Свертка............................................. 35
1.2. Косинус- и синус- преобразования Фурье .................... 36
1.2.1. Определение......................................... 36
1.2.2. Свойства............................................ 38
1.2.3. ('вертки и полисвертки.............................. 42
1.3. Некоторые результаты теории преобразования Лапласа ... 45
1.3.1. Определение......................................... 45
1.3.2. Свойства............................................ 46
1.3.3. Свертка............................................. 47
2
1.4. Преобразование Меллина...................................... 50
1.4.1. Определение.......................................... 50
1.4.2. Свойства............................................. 51
1.4.3. Свертка.............................................. 53
1.5. Элементы теории преобразования Ханкеля................. 54
1.5.1. Определение.......................................... 54
1.5.2. Свойства............................................. 56
1.5.3. Свертка.............................................. 63
Краткие выводы к главе 1......................................... 64
2. Полисвертки интегральных преобразований, способы и методы их построения 66
2.1. Понятие полисвертки........................................ 66
2.2. Конструирование полисвергок интегральных преобразований “по определению”............................................ 69
2.2.1. Построение полисверток, исходя из знания теоремы
умножения ядер....................................... 70
2.2.2. Способ построения полисверток, основанный на конструировании их ядра........................................ 71
2.3. Примеры конструирования полисверток “но определению” . 72
2.3.1. Примеры построения полисвергок с помощью теоремы умножения ядер........................................... 74
2.3.2. Примеры построения полисвергок, исходя из конструирования их ядра............................................ 81
2.4. Другие методы построения полисверток....................... 81
2.4.1. Случай В = рАС ...................................... 87
2.4.2. Случай В~х = СЛ~1р................................... 88
2.5. Примеры полисверток с дифференциальными операторами
м операторами сдвига........................................ 89
3
2.5.1. Примеры, демонстрирующие случай В = рАС .... 90
2.5.2. Примеры, демонстрирующие случай В~{ = СА~]р . . 100
2.5.3. Полисвертки преобразования Ханкеля и дифференциальные операторы.......................................106
Краткие выводы к главе 2.....................................114
II Приложение сверток и полисверток интегральных преобразований к решению уравнений 115
Основные положения 115
3. Решение уравнений методом интегральных преобразований в случае одной независимой переменной 123
3.1. Исходный пример.........................................123
3.2. Общая схема.............................................125
3.3. Примеры решений конкретных уравнений методом интегральных преобразований.......................................138
3.3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения..........138
Вариант 1 ..............................................138
Вариант 2 ..............................................142
Вариант 3 ..............................................143
3.3.2. Разностные уравнения.............................152
3.4. Конструирование ядра интегрального преобразования по виду исследуемого уравнения............................158
3.4.1. Исходный пример..................................158
3.4.2. Способы конструирования ядра преобразования по виду уравнения...........................................161
1-ый способ.............................................161
2-ой способ.............................................163
4
3-ий способ...............................................166
4-ый способ...............................................168
5-ый способ...............................................170
3.5. Примеры конструирования ядер интегральных преобразований по виду решаемого уравнения..............................172
Краткие выводы к главе 3........................................181
4. Применение метода интегральных преобразований к решению неоднородных задач математической физики 183
4.1. Элементы общей схемы решения уравнений в частных производных методом интегральных преобразований ..................183
4.2. Примеры решений уравнений в частных производных в случае двух независимых переменных................................190
4.3. Метод интегральный преобразований и метод Фурье .... 212
4.4. Выбор последовательности применения интегральных преобразований при решении уравнений..............................214
4.4.1. Пример решения уравнения, когда последовательность применения интегральных преобразований определяется видом оператора С ....................................214
4.4.2. Пример демонстрирующий случай, когда последовательность применения интегральных преобразований определяется областью, в которой ищется решение уравнения .................................................216
Краткие выводы к четвертой главе...............................220
Заключение 221
Литература 225
5
Введение
В диссертационной работе рассматриваются одномерные интегральные преобразования, определяемые посредством операторов вида:
П*) = к[/] (*) = //(*)*(», о*, (0.1)
т
где иптеграл понимается в смысле Лебега, по некоторому подмножеству Т С Я, а ядро К(х,1) преобразования (0.1), вообще говоря, некоторая специальная функция двух переменных.
Интегральные преобразования порождают конструкции (свертки и полисвертки), обладающие факторизационным свойством:
к. [(/«а]) (*) = рда[Л(*)КзЫ<*)- (о.2)
Если оператор К] обратим, то функцию (/ * д I ((), при условии ее существования, называют полисверткон функций /(*) и ^(<), порожденной в общем случае различными преобразованиями К„ г — 1,2,3, действу к>-шими в одной алгебре; р(х) - весовая функция (вес). В частности, при К, = К, г = 1,2,3 функцию [ / * д) (<) называют сверткой функций /(£) и д(1) относительно преобразования К с весом р(х).
В части I работы сформулированы различные способы конструирования сверток и полисверток, построены полисвертки, порожденные конкретными интегральными преобразованиями и найдены некоторые условия их существования. При этом акцент сделан на полисвертки преобразования Ханкеля.
Во второй части рассмотрены приложения теории полисверток к решению различных уравнений: исследована общая схема решения уравнений методом интегральных преобразований, Продемонстрировано на примерах ее применение к решению конкретных линейных неоднородных уравнений, описан класс нелинейных сверточных уравнений, решаемых с использованием определения полисвертки и т. д.
с
Историческая справка
Как известно, интегральные преобразования - один из старейших разделов математики, играющий важную роль при решении задач как в самой математике, так и в других областях естествознания. Впервые интегральные преобразования появились в начале XIX в. в трудах Фурье, Лапласа, Пуассона, Коши главным образом по теории распространения тепла. В настоящее время преобразования Фурье и Лапласа по-прежнему занимают неоспоримо ключевые позиции. Вопросам их теории и приложений посвящена обширная литература (см., например, классические работы [5, 9, 11, 18, 26, 29, 41, 42, 44, 16]). В XX веке большое развитие получили методы, основанные на преобразовании Мсллина, особенно в теории специальных функций гиперболического типа [2, 3, 6, 7, 41]. Ото относится к исследованию одномерных операторов преобразований, имеющих структуру свертки Меллина, а именно
Р(х) = ]МК(*№- (0.3)
О
Здесь ядро представляет собой элементарную или специальную функцию, зависящую от одного аргумента г = х1. В частности, к этим преобразования относятся преобразования Лапласа, Ханкеля, Мейера, синус- и косинус преобразования Фурье, экспоненциальное преобразование Фурье и многие другие, в том числе, преобразования с наиболее общими специальными функциями гиперболического типа - 6’-функш!ями Мейера и //-функциями Фокса (см., например [14, 15, 54, 65]). К ним также приводятся с помощью замен переменной дробные интегралы и производные Р имана- Л иу вилл я.
Диссертация посвящена исследованию свсчггочных конструкций и методов их построения. Напомним основные этапы развития понятия полис-вертки.
7
В 1941 году в [58] Churchill U.V. впервые ввел свертку
МО = / (0.4)
-оо
для преобразования Фурье с факторизационным равенством
V[/*«7](x) = V[/l(æ)V[P](x) (0.5)
и свертку для синус- и косинус-прсобразонания Фурье, для которой
V,[/*ö](x) = Vl.[/](x)Vr[9](a:). (0.6)
Здесь V' - оператор преобразования Фурье. V, и Vc - операторы синус- и косинус-преобразований Фурье соответственно.
Позднее были определены свертки для преобразований Лаплас а и Мел-лина, а в 1951 году в [68] Tricomi F.G. ввел свертку интегрального преобразования Гильберта. Факторизационные равенства для данных сверток, как и в случае свертки Фурье, имеют вид
К[/ * д](х) = К[/](х) КЫ(х), (0.7)
где К - оператор соответствующего интегрального преобразования. Свертку ■* g'j (*) с весом р(х) и факторизационньш равенством:
к [(/ S <>)] (X) = Pi*) K[/)(ï) KfeK*) (0.8)
впервые рассмотрел Виленкин И.М. [8J для преобразования Мелсра-Фока.
В 1967 году В. А. Какичев [22] предложил новый подход к понятию свертки с весом. Это позволило данные объекты конструировать для каждого конкретного интегрального преобразования.
Кроме этого в работе [22] введено новое понятие - понятие обобщенной свертки или полисвертки, и рассматривается единый подход к конструированию обобщенных сверток, порожденных одним, двумя или тремя биективными линейными операторами, который демонстрируется на
8
примерах. В частности, построены свертки синус-преобразования Фурье, преобразований Ханкеля, Конторовича-Лебедева и др.
Для иолисверток с весох! р факторизационное равенство имеет вид (0.2). Алгебраические свойства (коммутативность, ассоциативность) для данных объектов могут не выполняться.
Исследован и ем и конструированием полисверток различных и те тральных преобразований занимались Якубович С.Б., Saigo М., Мошинский О.И., Ву Ким Туан, Нгуен Суан Тхао, Какичсн В.А. и многие другие (см., например, (14, 15, 16, 23, 24, 30, 31, 50, 51, 52, 53, 54, 60. 61, 62, 63, 64, 65, 66, 70, 71]).
В 1997 году Какичевым В.А. (21] был изложен наиболее общий подход к построению сверток и полисверток, порожденных различными операторами, в том числе и не интегральных преобразований. Там же рассматривается понятие полисвертки, порожденной конечным множеством биективных лилейных операторов.
В настоящее время свертки и полисвертки нашли применение при решении задач математической физики, при вычислении интегралов и суммировании рядов. Они сами являются интегральными преобразованиями и как таковые - объектом исследований [55, 56, 69). Одним из перспективных направлений является исследование приложении уравнений типа свертки [16].
В данной диссертации изучаются приложения полисверток к одному из наиболее эффективных методов решении неоднородных линейных уравнений - методу интегральных преобразований.
Как было сказано выше, введение первых интегральных преобразований было обусловлено необходимостью решения конкретных уравнений. К настоящему времени многочисленные приложения теории интегральных преобразований к решению линейных уравнений оформились в виде метода интегральных преобразований. Указанный метод возник в
9
XIX веко как операционное исчисление. Автор исчисления, английский инженер-электрик Хевисайд, изложил его в виде ряда формальных правил без математического обоснования. Значительно раньше основные правила и теоремы операционного исчисления построили русские математики Ващенко-Захарченко и Летников, но их труды не получили широкого распространенна. Позже Хевисайд применил свой метод к решению дифференциальных уравнений в частных производных.
Метод Хевисайда оказался настолько эффективным, что он решил многие проблемы, считавшиеся до него почти неразрешимыми, и получил решение некоторых уже решенных задач в форме, значительно более приспособленной для численных расчетов.
Строгое обоснование исчислению Хевисайда последовало в работах Эфроса, Данилевского, Диткина, Бромвича, Джефриса, Детча, Карсона, Ван-дер-Поля и др. В частности выяснилось, что решения, найденные Хевисайдом, получаются с помощью интегрального преобразования Лапласа, а контурный интеграл, появившийся в работах Бромвича, является обращением преобразования Лапласа.
Преобразование Лапласа очень широко используется при решении задач, связанных с интегрированием обыкновенных дифференциальных уравнений, задач теплопроводности и т. д. Однако при решении многих краевых задач математической физики весьма полезными являются и другие интегральные преобразования. Более того, эффективность метода интегральных п|н:образований значительно возрастает с увеличением класса применяемых преобразований.
Следует заметить, что хотя равносильность метода интегральных преобразований и операционного исчисления сейчас вполне выяснена, однако исторически сложившееся различие в способах изложения этих теорий сохранилось до наших дней. Проявляется оно в обозначениях и внешнем виде формул, которые легко трансформируются друг в друга простыми
10
заменами переменных.
Б настоящее время интегральные преобразования являются одним из наиболее мощных и широко используемых математических средств решения различных практических задач. Трудно перечислить все прикладные области знания, в которых используются методы интегральных преобразований. К ним относятся классические разделы математической физики [11, 17, 41, 45, 46]: распространение тепла и гидроаэромеханика, теория упругости, теория колебаний, охватывающая разнообразнейшие физические процессы, - механические колебания твердых и упругих тел, жидкостей и газов, включая акустику, электромагнитные колебания (оптика, радиоэлектроника) и многие другие. Возникшие в XX веке теории атомного ядра, автоматического регулирования и управления, массового обслуживания - также не обходятся без применения интегральных преобразований. Не удивительно поэтому, что существует обширная литература, относящаяся в той или иной степени к интегральным преобразованиям. В ряде работ, посвященных в основном приложениям, авторы подходят формально к применению интегральных преобразований. В интересах краткости и доступности изложения указываются лишь некоторые достаточные условия применимости аппарата интегральных преобразований. Другая часть работ принадлежит к исследованиям того класса, из которого можно черпать задаваемые функции, и класса, к которому будут принадлежать искомые функции для каждого конкретного преобразования. Данные работы наиболее полезны при решении задач, в которых сами вопросы разрешимости тесно связаны с классами используемых функций. Например, при решении уравнений типа свертки, которые в последние годы получили значительное развитие.
II
Общая характеристика работы
Настоящее исследование относится к теории полисверток интегральных преобразований и их приложениям к решению неоднородных линейных уравнений, в частности, обыкновенных дифференциальных, разностных, сверточных уравнений, уравнений в частных производных и т. л.
В работе систематизированы основные методы конструирования полисверток (обобщенных сверток) интегральных преобразований. Полученные теоретические результаты продемонстрированы на примерах построения полисверток конкретных интегральных преобразований. При этом акцент сделан на конструирование новых полисверток для преобразования Хан-келя.
Вторая часть диссертации посвящена приложениям полисверток на примере рассмотрения общей схемы решения неоднородных линейных уравнений методом интегральных преобразований. Полученные результаты продемонстрированы на примерах решения конкретных обыкновенных дифференциальных, разностных уравнений и уравнений в частных производных.
Для уравнений с одной независимой переменной автором предлагается несколько способов построения ядер согласованных интегральных преобразований, которые сопровождаются примерами. В качестве одного из примеров достаточно подробно исследуется возможное обобщение преобразования Ханкеля.
При решении уравнений в частных производных методом интегральных преобразований отдельно рассмотрена проблема выбора последовал тельности применения интегральных преобразований.
Настоящая диссертационная работа не претендует на полноту в изложении задач, решаемых с помощью интегральных преобразований. Примеры уравнений подобраны таким образом, чтобы наиболее наглядно про-
12
демонстрировать общую схему решения уравнений методом интегральных преобразований и преимущества указанного метода. Некоторые из представленных результатов известны [1, 7,11, 17, 25, 34, 41, 45] и могут быть получены другими методами, но они представляют самостоятельный интерес, поскольку наглядно иллюстрируют технику и методику решения.
Кроме этого, метод интегральных преобразований сравнивается с другим эффективным методом методом Фурье.
Актуальншпь тгмы
Основным исследуемым понятием в диссертации является понятие полисвертки. Несмотря на то, что сверточные конструкции впервые были введены в 1941 году- (для преобразований Фурье [58]), теория полисверток находится в стадии активного становления и развития. Об этом говорит, например, следующее: определение понятию полисвертки было дано только в 1967 году [22], основные результаты по конструированию полисверток интегральных преобразований относятся к 90-м годам XX века, при том, что для построения сверточных конструкций чаще всего пользуются определением нолисвертки.
Основным исследованиям в области сверточных операторов посвящены работы В.Л. Диткина, A.II. Прудникова, В.А. Какичева, Нгуен Хуан Тхао, Нгуен Тхань Хая, О.И. Маричева, С.Б. Якубовича, Ю.Ф. Лучко, L. Berg, I.H. Dimovski, N. Bozhinov, М. Saigo, H.М. Srivastava, K.G. Buschman и др.
Приложения полисверток многочислены. Чаще всего их применяют для решения уравнений типа свертки, которые в последние годы получили значительное развитие. В данной диссертации рассматриваются полис-верткн применительно к методу интегральных преобразований. Эта тематика берет свое начало из работ Трангсра П. Дж., Г. Деча и Я.С.
13
Уфлянда, содержащих достаточно систематическое изложение указанного метода. В монографии Снеддона И. при решении уравнений методом интегральных преобразований используются свертки Фурье, Лапласа, Мел-лина, косинус- и синус преобразований Фурье.
Один из выводов, полученных в результате настоящей) исследования, указывает на то, что эффективность метода интегральных преобразований возрастает с увеличением числа известных полисверток различных интегральных преобразований.
Данная диссертация затрагивает также исследования Дж. А. Азслтей-на, A.B. Иванова, H.A. Мартыненко, Л.М. Пустыльникова по конструированию ядер интегральных преобразований и работы Bozhinov N. и Dimovski Т.Н., в соответствии с которыми при построении операционного исчисления свертка связывается с некоторым линейным оператором В на основе равенства
B(f*g)(t) = (Bf*g){t).
Цели и задачи диссертационной работы
Основная цель данной диссертации - это исследование и систематическое изложение основных методов конструирования полисверток, порожденных интегральными преобразованиями и рассмотрение приложений полисверток к решению уравнений методом интегральных преобразований.
Необходимо выделить следующие этапы при достижении этой цели:
1) Определение понятия полисвертки;
2) Исследование, систематизация и изложение методов построения полисверток, следующих непосредственно из определения;
3) Исследование, систематизация и изложение других методов конструирования полисверток;
14
4) Проверка и демонстрация полученных результатов на примерах полисверток конкретных интегральных преобразовании. Вспомогательные задачи:
- подбор интегральных преобразований для проверки и демонстра-
ции методов;
- их исследование и изучение основных свойств для дальнейшего ис-
пользования.
5) Исследование метода интегральных преобразований для реконструкции общей схемы его применения;
6) Описание каждого из шагов данной схемы;
7) Систематизация и обобщение полученных результатов;
8) Решение конкретных уравнении методом интегральных преобразований с использованием иолисверток.
Из поставленной цели и вышеперечисленных задач следует структура данной диссертации.
Диссертация состоит из введения, ‘2-х частей, каждая из которых содержит вводную главу и две основных, заключения и списка использованных источников. Объем диссертации 234 стр. Список использованных источников содержит 90 наименований, из них работы автора (18 наименований) приведены в конце списка.
В вводных главах к первой и второй частям рассмотрены основные понятия, определения, обозначения, положения и утверждения, необходимые для дальнейших исследований, приводятся ссылки на основные источники, в которых можно найти более подробную информацию.
Основная цель части I: определение понятия “полисвертка”, исследование, систематизация и изложение основных методов построения полис-
15
верток интегральных преобразований. В первой главе части I сделан обзор основных интегральных преобразований - экспоненциальною преобразования Фурье, косинус- и синус-преобразований Фурье, преобразований Лапласа, Меллина и Ханкеля. Кратко изложены основные результаты теорий данных преобразований, необходимые для дальнейшего исследования: описаны некоторые классы функций, свойства, свертки и известные полисвертки. В главе 2 подробно рассмотрено определение полисвертки, систематически изложены способы и методы конструирования полисвер-ток интегральных преобразований. Полученные результаты продемонстрированы на примерах (п. 2.3 и 2.5).
В части II данной диссертации на основе анализа метода интегральных преобразований построена общая схема решения линейных неоднородных уравнений в случае одной независимой переменной (глава 3) и описаны основные элементы соответствующей схемы для уравнений в частных производных (случай двух независимых переменных, глава 4). Полученные результаты проиллюстрированы на конкретных примерах линейных неоднородных уравнений с учетом фактов, изложенных в главах 1 и 2. Проведено сравнение метода интегральных преобразований с методом Фурье.
В заключении каждой главы сформулированы краткие выводы, содержащие описание полученных результатов, формулировки основных выводов и утверждений. Основные результаты диссертации представлены в Заключении, там же описаны дальнейшие перспективы исследования.
Осноииые результаты и научная новизна
В ходе изучения основных интегральных преобразований, их свойств и полисверток, был получен ряд новых результатов: систематизированы дифференциальные свойства преобразования Ханкеля и Меллина, построены новые полисвертки для преобразования Ханкеля, найдены некоторые условия их существования, систематизированы и обобщены основные ме-
10
тоды конструирования полисверток интегральных преобразований, сконструирован ряд полисверток, содержащих дифференциальные операторы и операторы сдвига. Эти результаты дополняю т известные исследования в области сверточных операторов (работы В.Л. Диткина, A.II. Прудникова. В.А. Какичева, Нгуен Хуан Тхао, Нгуен Тхань Хая, О.И. Маричева,
С.Б. Якубовича, Ю.Ф. Лучко, L. Berg, I.H. Dimovski, N. Bozhinov, М. Saigo, H.М. Srivastava, R.G. Buschmau и др.).
Исследование приложений теории интегральных преобразований и их полисверток к решению различных уравнений позволило структурировать метод интегральных преобразований.
Выделено три варианта общей схемы указанного метода в случае решения уравнения с одной независимой переменной. При рассмотрении каждого варианта выделена и описана основная последовательность действий, сформулировано понятие согласованности интегральных преобразований (полисверток интегральных преобразований) с операторным уравнением.
Используя полученные результаты, нетрудно описать область применимости метода интегральных преобразований к решению уравнений.
Введение понятия согласованности интегрального преобразования с уравнением также позволило разработать несколько схем конструирования ядер интегральных преобразований по виду решаемого уравнения в дополнение к ранее известным. Данные схемы продемонстрированы на примерах. Получено и исследовано одно из возможных обобщений преобразования Ханкеля.
Введение понятия согласованности полисверток с интегральным преобразованием позволило не только по-новому взглянуть на метод интегральных преобразований, но и получить ряд новых результатов, а именно:
- обобщить понятие фундаментального решения уравнения, подробно описать процедуру нахождения “обобщенного” фундаментального реше-
17
пня;
- объединить свойства исследуемого интегрального преобразования с по-лисвертками, порожденными данным преобразованием и содержащими различные операторы, и уравнениями, решение которых возможно с помощью этого преобразования.
Один из классов подобных уравнений - сверточные уравнения. Метод интегральных преобразований позволяет решать нелинейные неоднородные сверточные уравнения вида
£ <** («5 * (0 + (г* * ив)А (0 = ДО • (0.9)
Исследование данных сверточных уравнений приводят к следующему результату: в частных случаях нелинейное сверточное уравнение может быть сведено к решению линейных уравнений вида
£■>,£*«(() = /«. (О.Ю)
к
где Ску например, дифференциальный или разностный оператор.
Все три варианта общей схемы решения уравнений методом интегральных преобразований продемонстрированы на достаточно большом количестве примеров (п. 3.3). Особое внимание при этом уделяется дифференциальным и разностным уравнениям.
В четвертой главе диссертации рассматриваются элементы общей схемы решения уравнений, когда число независимых переменных п > 2. На частных случаях показана последовательность основных действий и представлены правила выбора порядка, в котором следует применять интегральные преобразования. Рассмотрено несколько примеров решения уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными.
Все полученные автором результаты сформулированы в виде свойств, лемм, теорем с обязательным доказательством. Ряд оригинальных положений по тематике данной работы не вошел в диссертацию, но оформлен
18
в виде статьи [87] и опробован на международных научно-методических конференциях [79, 83, 84].
Результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях н таких математических дисциплинах как интегральные преобразования, операционное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, при решении конкретных интегральных, дифференциальных, интсгро-дифференциальных, разностных, сверточных и других уравнений и систем уравнений, а также при решении конкретных задач математической физики.
Основные положении и результаты, выносимые на защиту
На защиту выносятся следующие результаты:
- основные методы конструирования полисверток интегральных преобразований;
полисвертки преобразования Ханке л я и некоторые условия их существования;
- полисвертки, содержащие разностные и дифференциальные операторы;
- общая схема решения неоднородного уравнения с одной независимой переменной методом интегральных преобразований, роль знания полисвертки;
- формулировка понятий согласованности интегральных преобразований и полисверток интегральных преобразований с исследуемым уравнением;
- способы конструирования ядер интегральных преобразований по виду решаемого уравнения;
19
- решение уравнения в частных производных методом интегральных преобразований; выбор последовательности применения интегральных преобразований;
- обзор преимуществ и недостатков метода интегральных преобразований; роль использования понятия полисвертки.
Апробация и публикации результатов
Отдельные части диссертации докладывались на международных научно-методических конференциях “Избранные вопросы математики и методики се преподавания”, (Смоленск, май 1998 г.) и “Математика в Вузе” (Санкт-Петербург, июнь 1998 г. и сентябрь 1999 г., Великий Новгород, июнь 2000 г., Псков, сентябрь 2001 г.), на международных конференциях “Математические методы в образовании, науке и промышленности” (Тирасполь, 1999 г.) и “Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений” (Минск, февраль 2001 г.), на секции “Методика преподавания высшей математики и информатики” (рук. Матвеев Н. М.) научно-теоретической межвузовской конференции с международным участием “V царскосельские чтения” (Санкт-Петербург, апрель 2001 г.) на семинарах кафедры теоретической и математической физики НовГУ-Некоторые из основных результатов диссертации опубликованы в работах [73]—[90], из которых пять в соавторстве с научным руководителем.
В настоящее время автором подготовлены и направлены в печать две статьи: “Полисвертки преобразования Ханкеля и дифференциальные операторы” (направлена в журнал “Доклады Академии наук”) и “О некоторых полисвертках, порожденных преобразованием Ханкеля” (направлена в журнал “Математические заметки”), — содержащие основные результаты по конструированию конкретных полисверток преобразования Ханкеля, в том числе содержащих дифференциальные операторы.
20
Часть I
Свертки и полисвертки интегральных преобразований
Часть I диссертационной работы состоит из вволной главы “Основные определения и обозначения” и двух основных глав “Обзор интегральных преобразований, используемых в диссертации” и “Полисвертки интегральных преобразований, способы и методы их конструирования”.
Известные результаты сопровождаются ссылками на источники, где можно найти более подробную информацию об интересующих нас объектах исследования.
Оригинальные результаты в основном сосредоточены в последней главе данной части диссертации, все они приводятся с доказательствами.
Основные определения и обозначения
Ниже рассмотрены определения используемых в работе понятий и результаты различных теорий. Большей частью они предполагаются читателю известными.
Пространства
Пусть И = (а, 6), —оо < а < Ь < оо. Вещественнозначная или комплекснозначная функция вещественного аргумента /(4), определенная и измеримая на множестве О, принадлежит классу Ь? = Ь,,(П), р > 1, если выполняется неравенство
/\mfdt <оо. (о.и)
и
21