Прямые методы решения интегральных уравнений и приложения

-2-
ОГДАВЛЕНИЕ
Стр.
Введение 4
Глава 1 .Общая теория приближенных методов 23
§1. Прямые методы решения операторных уравнений 23
§2 .Общая теория приближенных методов 24
§З.Оитимизация прямых проекционных методов решения линейных операторных уравнений 28
64.0 квадратурных формулах 31
Глава 2Прямые методы приближенного решения одномерных сингулярных интегральных уравн епии 3 3
§1 .Постановка задачи Римана 33
§2.Квадратурные методы решения краевых задач Римана на полуплоскости 34
§3.Итерационные методы решения краевых задач Римана 36
§4. Прямые методы решения сингулярных интегральных уравнений 42
§5.0 методе моментов для приближенного решения сингулярных интегро-днфференцнальных уравнений на вещественной оси 55
§6.Итерационные методы решения с.и.у. 59
§7.06 оптимизации прямых методов решения сингулярных интегральных уравнений 66
§8.11рямые методы решения с.н.у.в вырожденном случае 68
§9.Иекоторые замечания н дополнения.Сингулярные итетральные уравнения с неотрицательным индексом и прямые методы их решения 72
Глава 3.Краевые задачи Римана на билалуплоскости и иисингулярные интегральные уравнения 80
§1.Краевые задачи Римана на биполуплоскости.Вырожденные задачи 80
§2. Квадратурные методы решения вырожденных задач Римана первого рода 84
§3. Пряные методы решения линейных бненнгулярных интегральных уравнений и краевых задач Римана на биполуплоскости 87
§4. Краевые задачи Римана с дифференциальными операторами и прямые методы их решения 96
§5.0птимизадия прямых методов решения многомерных с.и.у. 105
§6. Преобразование Фурье. Эквивалентность уравнений типа свертки и краевых задач Римана на биполуплоскости §7.Дпсхретпые уравнения типа свертки
§8.0 некоторых вариантах итерационных методов решения полных вырожденных бс.и.у. первого рода
§9. Некоторые достаточные условия однозначной разрешимости многомерных уравнений типа свертки
§10ЛТрямые методы решения полных бнсннгуляриых интегральных уравнений с вырожденной характеристической частью в случае неотрицательных частных индексов
Глава 4 Приложения: интегральные м. епкМы в теории Оирракции. Решение некоторых задач матеманшческой физики §1.11лоские волноводы с неоднородностями
§2.Обоснование интегральных методов расчета дифракционных отражательных решеток
§5 Дифракция электромагнитных волн на прямоугольном диэлектрическом клине
§4.Краевые задачи Римана на биобластях и уравнения математической физики Литература
-4-
ВВЕДЕНИЕ
Интегральные уравнения используются как основа математического моделирования для достаточно широкого круга прикладных задач (электродинамики, теории упругости, гндро- и аэродинамики и т.д.).
Данная работа посвящена решению вопросов исследования прямых методов решения сингулярных интегральных уравнений (с.н.у.) и некоторых их приложений.
Общая теория одномерных с.и.у. в гельдеровских классах и в классах функций, интегрируемых по Лебегу с весом функций, изложена в монографиях Ф.ДГахова [44,46],
Н.И. Мусхелишвнли [117], Л.И. Чибриковой [15433-А. Какичева [71],З.Нрессдорфа [128].
Актуальными остаются вопросы теоретического обоснования приближенных методов решения таких уравнений,а также - задач, приводящихся к решению таких уравнений.Сразу отметим,что в данной работе прежде всего исследуются прямые методы решения краевых задач Римана в неограниченных областях н связанных с ними сингулярных интегральных уравненнй.Теоретнческнм обоснованием прямых методов решения сингулярных интегральных уравнений на конечных контурах занимались многие авторы(см.,напр.,ряд работ Б.Г. Габдулхаева [28 - 41,В.В.Иванова [59,60], Р. Нрессдорфа [128,1790], Н.Я. Тихоненко [144-146],И.К.Лифанова [108] (обзор имеющихся результатов см. в [37,40,128]). В отличие от всех этих результатов, в том числе и от выше упомянутых) нами наряду с теорией таких уравнений [45,465,73,74,154] существенным образом используются соответствующие результаты по рациональной аппроксимации функций и интегралов по вещественной оси [1,78-81,88,124].
В настоящий момент наибольший интерес у физиков вызывают интегральные методы электродинамики, основанные на интегральных уравнениях. Это вызвано прежде всего тем, что имеется хорошо разработанная теория таких уравнений и наработана практика их численного решения (см.,напр.,[3,4,8,26-27,34,40,41].К интегральным методам решения проблем дифракции обращались многие авторы. Так, напр., в [2] рассмотрен случай дифракции на незамкнутых поверхностях. Различные алгоритмы расчета дифракционных решеток на основе интегрального метода в СВЧ-диалазоне были предложены в работах Шестопалова В.П. (см.,напр.,[25,157-161]) н его учеников, Ильинского А.С. и его учеников [63-67] н многих других [9-10.13-21,52-56,127,141.142,153,156,166].
Основной целью диссертационной работы является:
исследование прямых методов решения одно- н многомерных с.н.у.на вещественной оси и числовой плоскости.При этом особое внимание уделяется теоретическому обоснованию прямых методов решения вырожденных бисингулярных интегральных уравнений (бс.и.у.) с неотрицательными частными индексами;
обоснование прямых методов решения краевых задач Римана с дифференциальными операторами в бицилиндрических областях;
исследование задач математической физики, решение которых можно свести к решению краевых задач Римана на бииолуплоскостн;
построение и теоретической обоснование алгоритмов прямых методов решения некоторых задач теории дифракции на основе регулярных и сингулярных интегральных уравнений.
Прн исследовании прямых методов решения с.н.у. н связанных с ними краевых задач в работе существенным образом использованы методы и результаты Б.Г.Габдулхаева по общей теории приближенных методов [34,40,41].
При обосновании прямых методов решения задач рассеяния электромагнитных волн на волноводах использованы результаты [3].Этн же результаты использованы прн расчете отражающих дифракционных решеток.
В диссертации получены следующие новые результаты:
1.Проведено теоретическое обоснование прямых методов решения полных с.н.у. на вещественной оси с неотрицательным индексом. Установлена оптимальность по порядку предложенных в диссертации прямых методов решения таких уравнений на классах
однозначно разрешимых уравнений , (М),^У\м).
2.Проведено теоретическое обоснование прямых методов решения полных линейных бс.и.у. Установлена оптимальность но порядку предложенных в диссертации прямых
методов решения таких уравнений на классе уравнений * 2 \м)
3.Получены достаточные условия однозначной разрешимости линейных бс.н.у. и многомерных уравнений типа свертки.
4.Проведено теоретическое обоснование прямых методов решения полных линейных вырожденных бс.и.у. первого рода с неотрицательными частными индексами.
5.Проведено теоретическое обоснование методов коллокацни и моментов для приближенного решения краевой задачи Римана на бицилиндрах с дифференциальными операторами.
-6-
6.Установлена эквивалентность некоторых задач математической физики и краевых задач Рнмана на биполуплоскости.
7.Предножены н обоснованы прямые методы в численной реализации некоторых задач теории дифракции.
Основные результаты диссертации докладывались по мере их получения на общегородском семинаре’Теорня аппроксимации и еб приложения”(научный руководитель чл -корр.АНТ проф. Б.Г. Габдулхаев),на Саратовской зимней школе по теории функций (1986,1988 гг.),на Всесоюзных конференциях «Метод дискретных особенностей н еб применения в математической физике»(Харьков, 1985,1987,1988;0рбл,2000), на 4-й Республиканской конференции но дифференциальным уравнениям (Болгария, Русе,1988),на международной конференции «Лобачевский н современная геометрия» (Казань,1992 г.),на Всесоюзном семинаре «Применение оптико-элсктрон. приборов н волоконной оптики в народном хозяйстве»(Москва,1989),иа конференциях «Алгебра и анализ»(Казань, 1994,1997),на семинарах кафедры высшей математики ВВИА и м. Н.Е.Жу конского (научи.рук. проф.Лнфанов И.К.Д985,1997-2000 гг.),на международной конференции РГОБ-2000 (июль 2000 г., США, Кембридж),а также - на итоговых научных конференциях профессорско-преподавательского состава КГУ, КГТШ,КСХИ. По теме диссертации опубликованы работы [6,77-99,169,170].
Диссертация состоит нз “Введення>,,четырех глав н литературы.
В главе 1 изложена общая теория приближенных методов.
В §1 дано определение прямых методов и приведены ирнмеры.В следующем параграфе изложены основы общей теории приближенных методов (по Б.Г.Габдулхаеву).
В §3 поставлена проблема оптимизации прямых ироекцыоыных методов.
Пусть X и У данные банаховы пространства, Хп и Уп - произвольные конечномерные подпространства X,У соответственно, сНт^- =<1ш1Уп=Л?(/г)<оо,где М{п) -> оо при п -у со.
Пусть, далее, существует некоторое множество аддитивных и однородных проекционных операторов, отображающих У на Уп. Следуя [34], рассмотрим классы В и К* однозначно разрешимых линейных операторных уравнений вида соответственно
Кх = у {хеХ.уеУ), (1)
= Рпу,
{хпеХп,упеУл,РгеТп), (2) п = 1,2,...
Класс Е на практике определяется классом Р коэффициентов уравнения(1).Очевидно,
-7-
класс F в свою очередь порождает некоторый класс операторов К = {К}уКХ'->У н класс
правых частей У*= {у)с.У н с другой стороны, некоторый класс искомых элементов
♦ • • *
X ~ {.*} с: X, Кх - у ,х е X , у 6 У, К <= К.Очеввдно также,что между всеми этими
классами существует тесная связь.Так класс К определяется совокупностью классов К и У ,а кпасс Я,«- совокупностью классов Е и РЛ.
Ставится следующая задача:для уравнения(1) из класса Е требуется найти такое
уравнение (2) из класса Еп (т.е. требуется найти подпространства Xп = X*, Уп = Уя° и
операторы Рп = : У -» Уп), решение которого наилучшим {оптимальным) образом ап-
проксимирует на классе X* решение исходного уравнения х\
Так как каждый проекционный метод решения уравнения (1) определяется заданием подпространстваЛ^.У^н операторов Рп:У-> УЛ,то представляется необходимым ввести
следующие характеристики прямых методов (1), (2):
*Р-РГ,ХЛ,У„) = ВЩ> *f,PH,XnJn),
/е F infv(P\Pn,Xn,YH),
vr(F)= inf v(F\XnJn),
где х е X и хп е Хн суть точные решения уравнений (1) и (2) соответственно.
Определение 1Д[34].Пусть существуют подпространства^ = X*,Y„ = Ул°, dimA^ -= dim Yn < со и операторы Рп - : У -> У„°, Р0 е Р„ »такие, что выполняется одно из сле-
дующих условий:
v« = Un (/*); vn~un{F),n -»со; vn~un(F),n-> оо;
здесь un{F) = у(Р,рЦ,Х*,У%).Тогда прямой проекционный метод (1)>(2) при Р„ = Р1хХ„ - Xl. У = Уи° называется соответственно оптимальным, асимптотически оптн-
к г. » и rt» г, ц f
иальным, оптимальным по порядку на классе F среди всех проекционных методов Рп е Рп. Для дальнейшего нам понадобится определение я-ro колмогоровского поперечинка
-8-
Пусть m с 7-центрально-симметрическое множество,У-линейное нормированное пространство.Обозначим через Хп всевозможные конечномерные подпространства прост -рансгва У. Тогда величина
сфа,У) = inf sup inf ||х - z\
X x € m
назьтается л-м колмогоровскнм поперечником множества m [102].
Ниже нами всюду рассматриваются уравнения (1) в случае, когда/Уи 7- сепарабельные гильбертовы пространства В этом случае лемма 1 из [34] (с.45) конкретизируется, а именно, справедлива
Лемма 1.4. Пусть Р* - класс всех линейных проекционных операторов их 7 в У*. Тогда d„iX',X) * v„<^) £ v^; i a°„(F)E°n{x'),
где
E - K°n~'p„aK ,
X € X J fc r .
а через d„(X .^обозначен n-Pi колмогоровскнй поперечник множества А”* в пространстве
X.
Нам понадобятся следующие классы функций:
Сл <">' М,) • К,„А < B>K4W> s *>•
l">- w'’* ‘„л" "1-
где
Xp(t) = p(t)x'(t) х'р = р(ф<Г1!|. />(0= (1+^)/2,
^J(+<o) = = о,г,
W><R> = **<f>6 W) (R):IТТ? = °Ь
11*1кф= 11*111, .9 = 1, expt-f2), expf-/2 /2),/)(/).
Кроме того,при построении приближенных решений многомерных с.и.у. нам понадобится класс
Е*(х )= sup р(х ,Х*), <х° = sup
*
р-р('і-Ь)= і/[(і+;п(і+Г;)]. р(л,г2) = [(і+^)(і+ь2)]/4.
Имеют место следующие утверждения
Теорема 1.1. Пусть т * {М) , У = Хгл/О+оМ Тогда
<ііп+\(т,У) =М/(п + 1)', г= 1,2,...
Теорема 1.2. [79,1] Пусть т - IV ^ . 2|. Тогда
2лжр(-Г) 4.ехр(-/ )
<С (т. У) = М/(їп(п - 1).. .(я - г + 1))ш, г = 1,2...
Введем еще одни класс функций:
№?\М) = <*<г) є І2 (Я): ||*®(01Ь 5 АО , 2г (к) = МО є (Я) 0( е'2 п), |Г| —*■ со},
міг,
Очевидна
Теорема 13. Пусть т = 1У}г\м) , У - £г(В). Тогда
<У„(т, У) = М/{2гп(п- 1).. .(л - /•+ 1))1/2 ,/•= 1,2...
Теорема 1.4. Пусть т = Я'^^(М),Ї = 1г„(В,).Тогда
<12піІ(т,П~М/(П+ 1Г“.
В §4 предложены квадратурные формулы (к.ф.).'Гак налр.,рассмотрим вопрос о приблн женном вычислении ннтефалов Фурье
*га»(^ХУ = -7== (3)
V 2л .<о
Заменим плотность в (3) сплайном нулевого порядка [6].В результате получим к.ф.
+А
(Ъ№ « 4- Iехр№)( Р4Х)(0*.
А
где через нами обозначен оператор,ставяший каждой непрерьшной функции х(!) сплайн
ч
функцию нулевого порядка (? *)(/)= Е*(/*)'М')» У*(0 = {^є Ь-і,/*]; Ь
А-1
Тк =-44(1 - 2А/<?), А = !,<?: здесь Л > 0 - любое достаточно большое число.
Таким образом.
(4)
Остаточный член к.ф. (4) можно оценить следующим образом [б]:
Щг;х) \=0{А-')+0(ф,2А1д)). (5)
где через а>(.х, 5) нами обозначен равномерный модуль непрерывности функции х(г) с шагом
В главе 2 строятся н исследуются прямые методы решения с.н.у. и краевые задачи Рн-мана.В §1 приводится постановка задачи Рнмана на полуплоскости.В §2 обосновываются квадратурные методы решения краевых задач Рнмана на полуплоскости в случае,когда коэффициенты задачи суть непрерывные по ГСльдеру функции.Отметим,что в [80] были предложены вычислительные схемы приближенного решения таких задач,основанные на конечномерной аппроксимации интегралов типа Коши н соответствующих сингулярных интегралов, входящих в решение задачи Рнмана.Согласно [80]
Отметим что, Х*(1к) вычисляется при помощи Сохоцкого-Племеля, к.ф. (1.4.4), а йк(г) при помощи соотношений (2.1.7) и
5[119].
где
н
-II-
-’-7^=
Іт _а> І - 2
^£) + (^1>гє2+; 2/2/
**М+Н>1 ,«г-
2і 2/
<Мг)
_і_7<ч,Ю
2 я/
-Г^л=
/' *_ х - г
,2е2+;
фк(г)
,2€ 2”.
Доказано соответствующее утверждение относительно предложенного алгоритма приближенного решения задачи Рнмана
В следующем параграфе предложены итерационные методы решения краевых задач Ри-мана, основанные на квадратурных формулах для интефала типа Коши
(Ру)(г) = е"1пу(х) -А. , г е 2*.
2т _<» т - г
В [80] для таких интефалов была предложена к.ф.
Ш(г)= Ъь,{*Ын)+Я-ЛГ-г) ■
/Г=1
(6)
/де
(7)
*и
v2п(г-гк)Нп (/к)
здесь через 1кп(х) нами обозначены фундаментальные полиномы Лафанжа по утлам интерполяции являющиеся корнями полиномов Эрмпта Нп(ї)- 2“ іЛ),т.е.
1 (г)- Н"{()
1кя\Ч ---------її--- •
(ґ-/*)Яя (/*)
(через £*(/) обозначена функция параболического цилиндра [51], а знак в (6),(7), выбран в
соответствии с г±).При посфоеннн алгоритма приближенного решения задачи Рнмана на полуплоскости, основанного на методе простой итерации, возникает необходимость в вычислении сингулярного интефала
ММ = —/ е’г2/2у(х)-^-,Гє(-<«,+со),
2тп _ л х — Г
для которого в [80] предложена к.ф. следующего вида.
-12-
МО(г) = X чЛ*к) + КпШ. (Ю
где Дг= 1,я,по-прежнему суть корни полиномов Эрмнта Н„(г),
и-Ь)Нн (г^)
Имеют место следующие утверждения.
Лемма 2.1 [77].Если у(()е Яр (Л/),0 <р <1,то квадратурный процесс (8) сходится при каждом фиксированном Г е (-<я,+«о), причем
I Ля1у;0 И / 0(в-Рд1пя) + е/2 /2(| ?■(?) |+1пл) 0(1п«)„
где
^ *2
1?(0Ь^2/я(Г-1^ «ф.
О
Лемма 2.2Г77]. Если у(/)е Яр(Л/),0 < р < 1, то квадратурный процесс (8) сходится в
л
Й’р (К).р(О = . причем
||^(у;2)|| = 0(/Гр/21п2*).
,г р
Вернемся к самой задаче Римана. Имеет место
Теорема 2.2.Еслн 0(/),^(/) е С,| С(/) — 11< 1,Г еР.то существует единственное решение
Ф (2) задачи (2.1.1), (2.1.2) и его можно найти как предел итерационной последовательности
1 4х
1 <2>,(т).............,*=1,2.......
2го т-2
ф>,(0= (0(0-\)ф: (0 + 5(0, (9)
Т, / Ч 1 7 / Ч Л
фо(*)= — 1 &(’)--------•
2 Го . г-2
причем
I! ф1 -ф/ ||, = 1,2,...;
1-<7
= БЦр | 0(/) — 11 »
Г е (-со,+со).
-13-
При численной реализации вычислительной схемы (9) необходимо решать на каждом итерационном шаге задачу о скачке. В этом случае можно применять одну из предложенных выше квадратурных формул для интегралов тина Коши и соответствующих сингулярных ннтегралов.Если, налр., итерационный процесс реализовывать посредством формул (2.3.11),
(1.4.4) данной работы, то, очевидно, справедлива следующая оценка погрешности:
||ФЧ* -Ф1 || =С\дш) + 0(г,-9) .
2М(Ы2)
Здесь через Ф±к.п(Онами обозначена к -я итерация, найденная посредством к.ф.(2.3.11) н
к.ф. (1.4.4),а последняя оценка справедлива в условиях, что С(/),£(/) € Н^(М)У 0<р<1.Здесь
же в качестве примера применения к.ф. (8) рассмотрен метод простой итерации для приближенного решения характеристического уравнения типа свертки с постоянными коэффициентами.
В §4 проведено теоретическое обоснование ряда прямых методов решения с.и.у. следующего вида:
(£*)(0 = (Я*(0 + №ХО=ХО> (Ю)
где
(&Х0=-7^, (и)
71! Т - Г
т ~о> 1 + т
Приведем лншь один результат.
Пусть я2(/) - Ь2{Г) *0, ГеЯ,Ы{(а(0-ОД)/(*(0 + 6(0» = 0-,ОД,ОД,/1(г,0 е С(Н)[85](по каждому нз ар1ументов).Прнближенное решение с.и.у. (10), (11) будем искать методом механических квадратур (м.м.к.). Согласно этому методу приближенное решение ищется в виде полинома
-«„(0 = £«*<7^(0, (12)
к*-п
где <?*„(/) определено выше,а неизвестные коэффициенты которого находятся из с.л.а.у. следующего вида:
а;5,+Ь, £ £ акЬк) = у ,, (13)
к, - -п 1П+1к=-п
а, = = Ь(Г, ),кк = Л(/к,/,)
И
-14-
ЯкпіО =№*„)(')•
Справедлива
Теорема 2.4.Пусть а(0,Ь(0,у(0* Нр(М)>0<$ <1,Л(г>0 (ио каждому аргументу)є С(1*),а оператор АГ,определяемый левой частью уравнения (І0),(11)глинейно обратим в 2^^ ^ №•
Тогда при достаточно больших л, точнее прн л таких, что Ф>)= №'Р) + 2Я„(£ГЛ) + 2|Ц ||~ Е'Н(Ь)} ||3-' ||<1.
система м.м.к. (13) имеет единственное решение а* = а* ,к = -«,«. При этом погрешность м.м.к.вписываемого соотношениями (12), (13), можно оценить неравенством
И*’-*; Н2,/(1«5,= 0(«"Р) + 0(Еп(Ът + 0(Е'п(’п)),
*
где черезхп(0 обозначено приближенное решение с.н.у. (10),(11), построенное в соответствии с (12) при а* =ак>к= -п.гг , а ЕЦР) суть наилучшие равномерные приближе-
ния функции Р € С ,построенные при помощи дробно-рациональных функций [167] по переменным г. г соответственно,
£(Г) = У(Г)У~(Г)'Ш + Ь{1)),
ї(0 = *(0ЛК0.
(лсхо-(а»)&)+г&)г(Аххо.
у(г) = ехр©(г)|
МО
й(т) + б(т)
(аг)^)Эч/-(/)х+(0-у^(Ф"(0.
Следует также отметить тот факт, что в решении многих задач дифракции используются преобразования Фурье.При помощи этого пребразования исходная задача дифракции может быть сведена к краевой задаче Римана на полуплоскости или соответствующему с.н.у. Поэтому желательно иметь приближенное решение с.н.у. в такой форме, чтобы обратное преобразование Фурье находилось как можно проще.Примером таких координатных функций являются полиномы ЭрмитаВ связи с этим здесь же предложен и обоснован метод моментов для приближенного решения характеристического с.н.у. на основе функций ПТ.Зрмнта
В §5 предлагается метод моментов для приближенного решения сингулярного интег-ро-днфференциального уравнения
-15-
(кхко=(их)«)+*;</)+<&;хо = т.
-^(0) = о,
(Нх)и)*а(Г)т + ЬМЗх№
(&)(/•) = - / Г 6 (-со,+а>) ,
ЯГ - ш т — £
/^Г)-(1 + 12)/2.
В качестве координатных функций использованы дробно-рацнональные функции И.Грегора [167].Найдена оценка погрешности.
В §6 рассмотрены вычислительные схемы приближенного решения с.и.у. (10),(11), представляющие собой разновидности проективно-итерационных методов.Установлена сходимость предложенных методов.
В §7 рассмотрены вопросы об оптимизации проекционных методов решения одномерных с.и.у.Здесь существенным образом использованы определения и обозначения,предло-женные проф.Б.Г.Габдулхаевым.Эти определения и обозначения введены нами в §3 главы 1 данной работы.
Итак,пусть Р — {х*}.Обозначим через аддитивных и однородных проекционных опе-раторовжаждый из которых неограничен как оператордействующий из ^21/(1+^(^) в
^21/(1 г2> ^ И 0ГРаничен как оператордействуюгций из С (Я) в 2^ (К) Далее,через Р®«
обозначим операторлействующий в I 2,(^) Относительно предложенных выше вычис-
2Д/(14* )
лнтельных схем приближенного решения с.и.у.(10),(11) справедливы следующие утверждения.
Теорема2.21 .Пусть /?= и Р„ = Р0)„. Тогда
уи(^)Х п"г ,г = 1,2,...,
и оптимальным по порядку среди всевозможных проекционных методов решения с.н.у. (10), (11) на классе Р будут методы механических квадратур и коллокации.
Теорема2.22Лусть Р= и Р„= Р®„. Тогда
н оптимальным по порядку среди всевозможных проекционных методов решения с.н.у. (10), (11) на классе Сбудут методы моментов н наименьших квадратов.