Сходимость вполне и предельные теоремы в схеме серий

Содержание
1. Сходимость вполне
по подпоследовательности для сумм отрицательно ассоциированных
случайных величин. 17
1.1. Достаточные условия сходимости вполне............. 17
1.2. Необходимые условия для сходимости вполне......... 26
1.3. Бутстреповские средние и сходимость вполне........ 29
2. Оценки типа Баума-Каца скорости сходимости
в законе больших чисел. 35
2.1. Аналог теоремы Баума-Каца для отрицательно ассоци ированных случайных полей...........................
2.2. Оценка типа Баума-Каца для случайных величин, обла дающих сильным перемешиванием.......................
2.3. Оптимальность условий в оценке для сильноперсмеши вающнхея случайных величин..........................
35
45
53
3. Предельные теоремы в схеме серий. 56
3.1. Усиленный закон больших чисел в схеме серий........ 56
3.2. .Логарифмический закон в схеме серий для подпоследовательностей............................................. 64
3.3. Оптимальность моментных требований в логарифмическом законе.............................................. 69
2
Введение
Предельные теоремы для сумм случайных величин являются традиционной областью теории вероятностей, имеющей разнообразные приложения. Обзор ее основных результатов содержится, например, в монографиях [1], [4], [6], [7], [8], [14]. Наряду с классической теорией суммирования случайных слагаемых, где рассматриваются последовательности нарастающих сумм, большое внимание уделяется суммированию в схеме серий и возникающему в связи с ним понятию сходимости вполне.
Напомним, что под суммированием в схеме серий обычно понимают рассмотрение сумм вида 5„ = Xnj> где {Л'„^ : 1 < j < Лг„,п € N}-набор случайных величин, индексируемый двумя индексами, a jV„- некоторая последовательность натуральных чисел, в то время как классическая теория суммирования имеет дело с последовательностью нарастающих сумм, т.е. 5„ = £"=1 Х}. где {Л'„ : п € N}- последовательность случайных величин. Разумеется, от схемы последовательностей легко перейти к схеме серий, положив XnJ = Х}, j — 1,..., п(п € М).
Отметим также, что используются различные понятия сходимости последовательностей (должным образом нормированных) сумм случайных величин. Понятие сходимости вполне (complete convergence) появилось в работе Хсу и Роббинса [40]. Согласно ей, последовательность случайных величин У„ сходится вполне к величине V', если
Y, Р{|К - У| > £} < эо для любого е > 0.
П= 1
Здесь и, если не оговорено противное, всюду дагее рассматриваются действительные случайные величины. Применив известную лемму Бореля-Кантелли (см., наир., [17], стр. 271), легко видеть, что сходимость вполне влечет за собой сходимость почти наверное, а для случая, когда величины Y„ независимы между собой, эти два вида сходимости совпадают.
Классический результат Хсу и Роббинса заключается в следующем:
3
Теорема 1 ([40]). Пусть А'ь... , Ап,...- независимые одинаково распределенные случайные величины, 5П = Е,=і Аг Тогда условие
ЕА2<оо (1)
является достаточным для того, чтобы последовательность сходилась вполне к 0 при п -> ос.
Как доказав Эрдеш [31], условие (1) является также и необходимым.
На этот результат можно смотреть с нескольких точек зрения: во-первых, как на закон больших чисел относительного нового вида сходимости - сходимости вполне, которая, вообще говоря, сильнее сходимости почти наверное. Последнее замечание объясняет усиление мо-ментных требований, налагаемых на случайные величины, по сравнению с усиленным законом больших чисел. Напомним (см., напр., [17], стр. 376), что необходимым и достаточным условием для выполнения классического усиленного закона больших чисел Колмогорова для последовательности независимых одинаково распределенных случайных величин является конечность абсолютного первого момента случайных величин.
Во-вторых, теорема Хсу-Роббинса представляет собой оценку скорости сходимости в законе больших чисел. В основании этой трактовки теоремы 1 лежит идея, что скорость сходимости к нулю последовательности а„ можно измерить в терминах показателя 7, для которого ряд Е'^1 п^Оп сходится. Важнейшим обобщением в этом направлении теоремы Хсу-Роббинса- Эрдеша является результат Баума- Каца [19], [20].
Теорема 2 ([19]). Пусть {А'„,п € М}— независимые одинаково распределенные случайные величины. 5П = Е"=і А*,-; 1/2 < а < 1,ар > 1. Тогда следующие три утверждения эквивалентны:
Е[А„|Р < со и ЕА„ = /*;
£ пор_2Р{|5„ - пр\ > епл) < оо для любого є > 0; (2)
П=1
4
£ rt“p_2P{max ^ > є} <00 для всех є > 0. (3)
П=1 *>я *“
И. наконец, в-третьих,теорему 1 можно рассматривать как усиленный закон больших чисел в схеме серий. А именно, используя лемму Бореля-Кантеллп, переформулируем теорему 1 и ее обращение, доказанное Эрдешем [31], в следующем виде.
Теорема 3. Пусть {X,X„j,l < j < п,п Є N}- независимые одинаково распределенные случайные величины. Sn = Xnj. Тогда условие (1) является необходимым и достаточным д.ія усиленного закона больших чисел, т.с. для сходимости последовательности За- к 0 почти наверное.
Суммируя все сказанное выше, отметим, что все три подхода к рассмотрению теоремы Хсу-Робинса-Эрдеша: как закона больших чисел относительно нового вида сходимости, как оценки скорости сходимости в законе больших чисел и как усиленного закона больших чисел в схеме серий; являются методологически разными и представляют различные области исследований.
Более подробно остановимся на обзоре предшествующих результатов, полученных в каждой из этих областей.
Первый подход разрабатывался множеством авторов. Появился целый ’’пласт” теорем о сходимости вполне. Мы укажем лишь несколько направлений обобщения теоремы Хсу- Роббинса-Эрдеша.
Прежде всего, это обобщения на всевозможные виды зависимых величин. Тут следует отметить работы Шиналя [69] и Пел и г рад [56]. Для перемешивающихся величин результаты были получены для ос-перемешивания Key [71]. для р перемешивания Контом и Цангом [45]. Работы Ю [72], Госала и Чандра ;33] посвящены сходимости вполне для мартингалов, a Cv [64] и Лианга [51] для отрицательно ассоциированных величин. На последних остановимся подробнее.
Понятие отрицательно ассоциированной последовательности случайных величин введено в 1983г. Йоаг-Дсв и Прошаном ([44]).
5
Случайные величины Х1,...,Х„,(п > 2) называются отрицательно ассоциированными, если для любых двух непустых непересекаклцихся множеств А и В С {1,...,п}, и пары покоординатно невозрастаю-щих(неубывающих) функций / и д, имеет место неравенство
cov(f(Xi,ieЛ)^g(X)J€B))<0.
когда ковариация существует.
Нетрудно видеть, что любое семейство независимых случайных величин автоматически будет отрицательно ассоциированным. Интересные примеры величин, обладающих отрицательной зависимостью, можно найти в (44].
В некотором смысле, отрицательно ассоциированные величины очень близки по своим свойствам к независимым. А именно, многие предельные теоремы { см., наир., [51], [64], [66], [50], [23], [2] ) могут быть перенесены с независимых величин на отрицательно ассоциированные без добавления каких-либо дополнительных условии. Подобное обобщение теоремы Хсу-Роббинса-Эрдеша получил Су в работе [64].
Теорема 4 ([64]). Пусть 6 N1 отрицательно ассоциирован-
ные. одинаково распределенные случайные величины, $п = Ху Тогда условие (1) является необходимым и достаточным для того, чтобы последовательность сходилась вполне к 0.
П
Другое направление обобщений теоремы 1, трактуемой как теорема о сходимости вполне, есть обобщения на случай неодинаково распределенных случайных величин. Здесь возникла очень интересная ситуация, так как до сих пор необходимые и достаточные условия для сходимости вполне сумм разнораспрсделенных величин не найдены.
Условие (1), очевидно, эквивалентно условию
£ пР{|А'| >€П) < ос. (4)
П=1
Возможное обобщение этого условия на разнораегтределенные величи-ны:
£ £ р{1*>1 > < ос (5)
П=\)—\
6