Вопросы динамики символических систем на решетках

Содерж ание
1 Введение
2 Инвариант глубины для символических каскадов
3 Глубина центра. Новое решение задачи Биркгофа для систем со счетным фазовым пространством
4 Новое решение задачи Биркгофа для потоков и полупо-токов
5 Связь и различия глубины и глубины центра. Препятствия к полной классификации
6 Инвариант глубины для действий конечнопорожденных абелевых групп на счетных фазовых пространствах
7 Глубина счетных подмножеств топологических марковских цепей
8 Двумерная топологическая марковская цепь, являющаяся аналогом модели ферромагнетика Изинга
9 Улучшенная оценка отвечающего фазовому переходу числа состояний в модели Бертона-Стейфа
10 Список литературы
3
9
19
27
32
37
56
63
79
84
2
1 Введение
Настоящая работа посвящена рассмотрению вопросов, тесно связанных с проблемой топологической классификации символических динамических систем на решетках. Изучаются одномерные и многомерные топологические марковские цепи (ТМЦ) и их свойства. Для этого используются следующие две основные методики.
Во-первых, исследуются счетные замкнутые инвариантные относительно заданного действия подмножества исследуемой системы. На этом пути удается получить некоторую информацию как о самих этих подмножествах, так и об исходной системе. Кроме того, исследование абстрактных счетных замкнутых трансляционно инвариантных подмножеств пространств бесконечных односторонних или двусторонних последовательностей оказывается полезным и при рассмотрении динамических систем несимволического происхождения — например, диффеоморфизмов многообразия, имеющих гиперболическую структуру. Как пишет Д. В. Аносов в своей работе [1), топологический бернуллиевский каскад всегда реализовывается как гиперболическое множество некоторого гладкого каскада (один из возможных способов такой реализации — надстройка над подковой Смейла). Таким образом, счегные замкнутые инвариантные символические системы дают пример динамических систем, которые, с одной стороны, сравнительно, легко поддаются изучению, а с другой стороны, при изучении которых вскрываются многие общие свойства динамических систем с гиперболической структурой.
Здесь и далее под счетными символическими системами мы понимаем ограничения заданного действия на счетные подмножества пространства последовательностей (в многомерном случае — конфигураций), составленных из символов некоторого фиксированного алфавита. Напомним, что при рассмотрении ограничения действия Т на множество М последнее называют фазовым пространством динамической системы (М,Г). Таким образом, счетные символические системы — это символические динамические системы со счетным фазовым пространством.
Во-вторых, для рассматриваемых ТМЦ изучаются меры максимальной энтропии. В одномерном случае, как хорошо известно ([22], [23]), ТМЦ всегда имеет единственную меру максимальной энтропии, называемую в этом случае мерой Пэрри. В многомерном случае это оказывается, вообще говоря, неверным. В частности, имеются примеры неприво-
3
димых многомерных ТМЦ, имеющих ровно две меры максимальной энтропии. Неединственность меры максимальной энтропии дает довольно много информации о поведении системы уже хотя бы в силу того, что с физической точки зрения она означает наличие в системе фазового перехода.
В соответствии с приведенной выше схемой, материал настоящей работы можно условно разбить на две части. В §2-7 рассматриваются символические динамические системы со счетными фазовыми пространствами, а также системы, получаемые надстройкой над таковыми. В §8 и 9 изучаются многомерные топологические марковские цепи.
Нужно сразу оговориться, что проблема полной классификации счетных символических систем относительно топологической сопряженности остается нерешенной. Однако некоторых результатов здесь удается добиться при помощи рассмотрения двух инвариантов коммутативных групповых действий на счетных замкнутых инвариантных фазовых пространствах. Первый из них называется глубиной такого действия, второй — его глубиной центра. (Во избежание недоразумений скажем сразу, что схожие по звучанию термины “глубина” и “глубина центра” — совсем разные понятия. Если С — центр некоторой счетной символической системы, то глубина С и глубина центра исходной системы, вообще говоря, никак не связаны между' собой. Словосочетание “глубина центра” следует воспринимать как единый термин.)
Оба инварианта принимают значения в множестве не более чем счетных ординальных чисел (или, согласно устаревшей терминологии, в множестве порядковых чисел не выше трансфинитных чисел второго класса). Для каждого из них исследуется множество возможных значений. Оказывается, что для произвольного не более чем счетного ординального числа а найдется счетная замкнутая трансляционно инвариантная символическая система, глубина центра которой равна а. В то же время не существует счетных замкнутых инвариантных систем, глубина которых была бы предельным трансфинитным числом (т.е. порядковым числом, не имеющим непосредственного предшественника); все остальные счетные ординальные числа реализовываются как глубины некоторых систем рассматриваемого вида. Соответствующие утверждения доказываются в §2 — для глубин на пространствах последовательностей, в §3 — для глубины центра и в §6 — для глубины в общем случае коммутативных групповых действий на счетных фазовых про-
4
странствах.
Задача о нахождении множества возможных значений глубины центра имеет долгую историю и восходит к Дж. Биркгофу. В 1926 году в статье (2] он сформулировал ее как задачу о нахождении множества счетных ординальных чисел, которые могут реализовываться как порядковые числа множеств центральных траекторий некоторых динамических систем (по атому поводу смотри также статью Биркгофа [3] и его монографию [4]). В конце 1940-х — начале 1950-х годов А. Г. Майер дал ответ на поставленный вопрос, приведя в цикле работ [5)-[8] построение потоков с фазовыми пространствами, вложенными в Л3, имеющих произвольные (наперед заданные) глубины центра. Потоки, сконструированные Майером в [8], определены целиком в полнотории и задаются при помощи дифференциальных уравнений вида
= Хг(хих2,хъ), I = 1,2,3,
правые части которых .ОДхьа^зз) непрерывны и удовлетворяют условию Липшица. Изложение конструкции Майера имеется также в книге
В. В. Немыцкого и В. В. Степанова [11].
Таким образом, теорема, приведенная в §3, эквивалентна теореме, доказанной Майером. Однако конструкция Майера, на взгляд автора, довольно громоздка и тяжела. За счет использования методов символической динамики в §3 удается получить повое решение задачи Биркгофа, представляющееся автору более простым и наглядным по сравнению с построением Майера.
Новое решение задачи Биркгофа в ее классической формулировке (для потоков и полупотоков, фазовые пространства которых вложены в евклидово пространство) приводится в §4. Соответствующие потоки и иолупотоки получаются при помощи стандартной процедуры надстройки над канторовым совершенным множеством и построенных в §3 примеров счетных замкнутых инвариантных пространств последовательностей (соответственно, двусторонних и односторонних), ограничения на которые преобразования сдвига имеют заданную глубину центра. По поводу конструкции надстройки смотри [13], [14], [15], [17].
Со времени выхода работ А. Г. Майера предпринималось много попыток усилить его результаты либо модифицировать понятие глубины центра и изучать родственные ему инварианты. Так, Л. П. Шильнико-
5
вым |9) был построен пример динамической системы, вкладываемой в трехмерное евклидово пространство, которая задается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с бесконечно дифференцируемыми правыми частями; для этой системы порядковое число Рс (модификация глубины центра) превышает любой наперед заданный счетпый грансфинит. Различные варианты понятия глубины центра для потоков класса С°° на открытых ориентируемых двумерных поверхностях изучались также Д. Нейманом (Dean A. Neumann, [10]). Однако вводимый в настоящем тексте инвариант глубины динамической системы (смотри §2 и б) является новым и впервые изученным автором в работах [29], [30]. В статье [31] приводится новое решение задачи Биркгофа, основанное на тех же методах, что были использованы при изучении глубины.
Очевидно, что множество всех не более чем счетных ординалов несчетно. Поэтому введение каждого из инвариантов глубины и глубины центра разбивает пространство всех счетных замкнутых трансляционно инвариантных символических систем на несчетное множество классов (с равными глубинами либо глубинами центра) так, что представители различных классов не сопряжены друг другу. Тем не менее, даже совместное рассмотрение глубины и глубины центра не дает полной топологической классификации динамических систем описанного вида. В §5 приводится пример двух несопряженных друг другу систем, глубины которых совпадаю!' и глубины центра которых также равны. Более того, полностью классифицировать удается лишь системы глубины 1 (но этот случай тривиален); уже для случая глубины 2 возникают существенные трудности, а для глубины 3 имеется пример (смотри §5) счетной серии попарно несопряженных систем, производные которых совпадают. В §5 строится дополнительный инвариант, различающий все системы из упомянутой серии, но и с его помощью проблему полной классификации решить не удается.
Кроме того, в §5 исследуется связь глубины и глубины центра. Рассматривается множество совместных значений глубины и глубины центра на счетных замкнутых инвариантных системах. Приводится оценка, выражающая их друг через друга.
Как уже отмечалось раньше, материал §6 представляет собой обобщение конструкции инварианта глубины на “многомерный” случай — на случай действия произвольных конечнопорожденных абелевых групп на счетных фазовых пространствах. При этом, хотя построение и имеет
6