ВВЕДЕНИЕ
Идея дискретизации дифференциального уравнения (обыкновенного или в частных производных) для аппроксимации его решений введена в математику уже давно, начиная с классических работ Л. Эйлера и других основоположников анализа.
В настоящее время переход к дискретизованному уравнению является одним из основных методов построения приближенных решений (см., например, 125]). Метод дискретизации (метод конечных разностей) используется не только в теории численных методов, но и в общей теории дифференциальных уравнений для качественного исследования решений [30].
В связи с интенсивным изучением бесконечномерных динамических систем, порождаемых, в частности, уравнениями в частных производных (отметим книги [11, 12, 15, 24]), возник интерес к исследованию соответствующих конечномерных систем, порождаемых дискретизациями этих уфавнений.
В первую очередь изучению подверглись свойство диссипативности таких систем (разностных схем) и структура их глобальных аттракторов [9, 13, 31]. Кроме того, изучалось свойство отслеживания приближенных
3
траекторий точными. Это свойство было установлено в окрестности гиперболической неподвижной точки [1, 2, 18], а также в окрестности глобального аттрактора параболического уравнения в том случае, когда эволюционная система является системой Морса-Смейла [17, 22].
В диссертации изучаются некоторые качественные свойства дискретизаций нелинейных параболических уравнений в частных производных.
Представляют интерес различные задачи, связанные с динамическими системами, порождаемыми дискретизациями - теория инвариантных множеств для таких систем, оценки расстояний между их траекториями точных уравнений на бесконечных временных промежутках, задачи о восстановлении параметров дифференциальных уравнений по наблюдениям дискретизаций их решений (задачи локальной параметрической идентифицируемости).
Изучение сформулированных задач представляет интерес как для общей качественной теории бесконечномерных динамических систем, порождаемых дифференциальными уравнениями в частных производных, так и для теории численных методов, т.к. методы дискретизации являются наиболее часто используемыми.
4
Содержание работы
В диссертации используются следующие пространства:
(ДО,/г) - пространство к раз непрерывно дифференцируемых функций, действующих из открытого множества (0,я)еИ в К.
С'М -линейное пространство всех функций из СДО,#) с компактным носителем в (0,я).
к2(0,я) - пространство всех интегрируемых с квадратом функций с нормой
ни..)=[Ы**
кУг
4о
Н](0,ж) - пространство Соболева, состоящее из всех функций !/€/,2(0,лг), обладающих интегрируемыми с квадратом обобщенными
производными первого порядка, с нормой
ИЦ».,) = I
г /
«|2 +
си
дх
Л
6х
/ /
Я10(0,л) - подпространство Н\097Г), состоящее из функций,
обращающихся в 0 при лг=0 и х=7Г, эквивалентная норма
2 4/
г он 6х
4« дх )
1/
*■% _
Я(а,Ь) - пространство Соболева с нормой
5
£кр (для г,р> 1) - банахово пространство последовательностей {щ: к>0] с нормой
1М1,, = 2».
\к=о
I/
/р
Диссертация состоит из трех глав.
В главе I рассматривается параболическое уравнение
= +/("), х е[0,тг],/>0, (1.1)
с условиями Дирихле
//(0,/) = фг,/)=0, />0, (1.2)
и начальным условием
*/(*,0)=«0(х), Х€[0,/Т]. (1.3)
Предполагается, что/еС2.
л
Станем обозначать через скалярное произведение в Л (0,я), через К - пространство Я о(0,л) и через |.|к - норму в К.
Запишем задачу (1.1)-(1.3) в виде эволюционного уравнения
й=Аи+Р(и\ г{0)=^. (1.4)
Хорошо известны условия [33], при которых уравнение (1.4) порождает полугруппу операторов £(/) в К такую, что и(х^)=Х(1)и{)(х).
Достаточно предположить, например, что существует константа С такая, что
чАи) < С. (1.5)
В параграфе 1 рассматривается дискретизация задачи (1.1 )-(1.3) стандартным методом конечных элементов по пространственной переменной х и неявным методом Эйлера по времени.
Фиксируем временной шаг И>0 и конечное разбиение 3 отрезка [0,л] с максимальной длиной отрезка разбиения О>0.
Обозначим через Х(3) подпространство пространства К, состоящее из непрерывных функций, линейных на каждом отрезке разбиения 3.
Сопоставим оператору А = $1сЬс билинейную форму
, ч Г ди д\>
^,)=!лйа
Определим линейный оператор
Д(3):К(3)->Х(3)
соотношениями
<^(3)м,у)/,2 = а(и,у) для всех и,У€ К(3).
Значения 8(пИ)ио(х) при п>0 аппроксимируются функциями ^еХ(З), определяемыми из соотношений
=А(ЗУ„ +Г(3)Р(К).
где
/>(3):/,2(0,;г)->К(3)
- ортогональный проектор.
Цель данной главы - получить условия предельного отслеживания для последовательности дискретизаций, строящихся по следующему правилу. Фиксируем натуральное число Т. Рассмотрим промежутки времени
1т = (гпТ,(т+\)Т\, т=0, 1,... .
Каждому значению т сопоставим натуральное число Кт и разбиение Зт отрезка [0,/г) с максимальной длиной отрезка разбиения От. Будем предполагать, что Кт+\>Кт и что З^ получается подразбиением разбиения 3,„. Будем писать К(т) вместо Х(3Ш).
Введем числа Ао=0 и кт=Т(Ко+...+ Кт.\) при т> 1. Определим операторы
л4(/и):К(/и)-»К(т)
по аналогии с Л(3).
Фиксируем К0еК(0) и зададим У,ь п>0, соотношениями
~ " — = А(т)Уп + Р{т)У{Уп),
где кт<п< кт+ь Ь„,=\/Кту и Р(т) - ортогональный проектор Ь\0,я) на К(т). Так как К(д;)сК(л;-Ы), функция У^+, корректно определяет функцию
Цчи+1+1*
8
- Київ+380960830922