СОДЕРЖАНИЕ
ЕДЕНИЕ......................................................3
АВАI. КЛАССИЧЕСКИЕ И СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧ
СО СВОБОДНЫМИ ГРАНИЦАМИ..............................18
[. Общая характеристика задач массопереноса и диффузии с реакцией................................................ 19
Начально-краевые задачи для поверхностей уровня поля концентраций...........................................25
». Качественные эффекты процессов диффузии, сопровождающиеся
адсорбцией и химическими реакциями....................37
I. Стабилизация за конечное время к стационарным, пространственно локализованным решениям.................................44
АВА II. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ПЕРЕНОСА И
ДИФФУЗИИ ПАССИВНЫХ ПРИМЕСЕЙ В СТРАТИФИЦИРОВАННЫХ СРЕДАХ........................................52
Метод разделения переменных в квазилинейном параболическом уравнении диффузии и переноса .......................52
Точные решения задач диффузии и переноса от сосредоточенных, мгновенных и постоянно действующих источников в покоящейся среде.................................................63
АВА III. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ ДИФФУЗИИ
С РЕАКЦИЕЙ..........................................75
Метод Роте и интегральные уравнения задачи............75
Задачи со свободными границами в проблеме загрязнения и самоочищения точечным источником..........................80
СЛЮЧЕНИЕ..................................................86
ТЕРАТУРА
88
3
ВВЕДЕНИЕ
При исследовании нелинейных краевых задач, описывающих процессы загрязнения и рекреации среды, отражающих наряду с диффузией адсорбцию и химические реакции, особый интерес представляют задачи типа Стефана со свободной границей и источниками, существенно зависящими от искомого поля концентрации.
Нелинейные задачи со свободными границами в экологических проблемах позволяют описать реально наблюдаемую локализацию процессов загрязнения (рекреации) окружающей среды. Нелинейность здесь обусловлена как зависимостью тензора турбулентной диффузии К, так и стоков загрязнения / от концентрации с. В первом случае пространственная локализация достигается за счет вырождения, когда при с = 0 и К = 0. Однако она имеет место только в данный момент времени t и при / с» отсутствует.
Эволюцию процессов диффузии с реакцией, стабилизирующихся к предельным стационарным состояниям с четко выделенной пространственной локализацией, позволяют описать математические модели со специальной зависимостью стоков /(с). Последняя моделирует расход вещества, обусловленный химическими реакциями дробного порядка, когда /(с) = /0с^. В этом случае, независимо от вырождения коэффициента диффузии, имеет место пространственно-временная локализация диффузионного возмущения среды. В любой момент времени t локально диффузионное возмущение занимает некоторую область , ограниченную заранее неизвестной свободной поверхностью Г(/). Поле концентрации c(p,t) при этом представляет собой диффузионную волну с фронтом Г(0, распространяющуюся по невозмущенной среде, где с = 0 .
Вполне естественно, что эти качественные эффекты можно получить только на основании нелинейного подхода к моделированию процессов с реакцией.
4
Однако такой подход сопряжен со значительными математическими трудностями при исследовании возникающих здесь нелинейных задач со свободными границами, когда определению подлежит пара функций - поле концентрации c(p,t) и свободная граница Г(/) = {(p9t): c(p,t) = О}. Такие задачи, как уже отмечалось, относятся к более сложным, мало исследованным задачам математической физики.
Значительно меньше исследований проведено для краевых задач со свободными границами в виду их сложности, которая связана как с их нелинейностью, так и с тем, что они требуют априорного задания топологических характеристик искомых полей. Среди работ, в которых рассматриваются вопросы разрешимости таких задач, следует отметить работы A.A. Самарского, O.A. Олейник,
С.А.Каменомосткой, и др. При некоторых ограничениях на заданные функции в работах А.А.Березовского, Е.С. Сабининой доказаны теоремы существования и единственности решения краевой задачи со свободной границей для уравнения теплопроводности.
Не менее важное значение имеет разработка эффективных методов приближенного решения задач указанного класса, что позволит установить функциональные зависимости основных параметров процесса от входных данных, дающие возможность рассчитывать и прогнозировать эволюцию рассматриваемого процесса.
В связи с быстрым совершенствованием вычислительной техники все большее развитие получают эффективные численные методы решения таких задач. К ним относятся метод прямых, проекционно-сеточный метод, развитый в работах Г.И.Марчука, В.И.Огошкова. В последнее время успешно применяется метод фиксированных полей, основная идея которого заключается в том, что фиксируется подвижная граница и на ней задается часть известных краевых условий, решается полученная краевая задача, а затем, пользуясь оставшимися краевыми и полученным решением, находится новое, более точное положение свободной границы и т. д. Задача нахождения свободной границы при этом сводится к последующему
5
решению ряда классических краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Так как задачи со свободными границами все же исследованы недостаточно полно, а решение их сопряжено со значительными трудностями, то для их исследования и решения требуется привлечение новых идей, использование всего арсенала конструктивных методов нелинейного анализа, современных достижений математической физики, вычислительной математики и возможностей современной вычислительной техники. В теоретическом плане для таких задач остаются актуальными вопросы существования, единственности, положительности, стабилизации и пространственно-временной локализации решений.
Диссертационная работа посвящена постановке новых задач со свободными границами, моделирующих процессы переноса и диффузии с реакцией загрязняющих субстанций в проблемах охраны окружающей среды, их качественному исследованию и, главным образом, разработке конструктивных методов построения приближенных решений таких задач.
В первой главе дана общая характеристика задач диффузии в активных средах, то есть средах, в которых стоки существенно зависят от концентрации. Указаны физически обоснованные ограничения на стоки, при которых проблема сведена к следующей задаче со свободными границами для квазилинейного параболического уравнения:
с, = сНу(К(р,1,с)%гас1с) - сИх{сй) - /(с) + м? в 0(0, / > О,
с(р,0) = с0(р) в 0(0) ^
(к(р,/,с)£гш/с,й)+ ас = аСф на £(0 , с(/?,/) = 0, (К(р,1,с)£га4с,п)=0 на Г(/) ,
где £(/?,/,с) - тензор турбулентной диффузии; и - вектор скорости среды, с(р^) - концентрация среды.
Значительное внимание в первой главе уделено постановкам начальнокраевых задач для поверхностей уровня концентрации в случае направленных
6
процессов диффузии, когда имеет место взаимно-однозначное соответствие между концентрацией и одной из пространственных координат. Монотонная зависимость с(х,у,2,г) от 2 позволяет трансформировать дифференциальное уравнение, начальное и краевые условия задачи для поля концентраций в дифференциальное уравнение и соответствующие дополнительные условия для поля ее поверхностей уровня - 1 = 2(;с,у,с,/). Это достигается при помощи дифференцирования обратных функций, разрешения уравнения известной поверхности 5: Ф (х,7,г,0=0->г=25 (*,>>,/) и обратного прочтения тождества
с{х,у,г5^)=с(хьу^). Дифференциальное уравнение (1) относительно с при этом
преобразуется в уравнение ДЛЯ 2- Л2-2Г /(<6)2с,
где
Аг=чт (КУгг)-[К^-], V* =/г, + 7*, + *, Ут=У-к—.
2С 02
При переходе от независимых переменных х,у,2 к независимым переменным х>у,с физическая область 0(7) трансформируется в нефизическую область Ос(/), ограниченную частью плоскости с-0, в которую переходит свободная поверхность Гу и свободной в общем случае неизвестной поверхностью с=с(х,У,О, в которую переходит известная поверхность £(/).
В отличие от оператора <#\Kgrad' прямой задачи оператор А обратной задачи существенно нелинейный. В диссертации доказана положительность соответствующей оператору А квадратичной формы
е + Г}2+у£2-2а4£-20г1£, и тем самым установлена его эллиптичность, что позволяет рассматривать для него постановки краевых задач. Интегрированием по частям получен аналог первой формулы Грина для оператора А
\\dxdy \иАг(1с=
О
-\\иК
й
О
(Уг)2
\и(Ю,г,п)іІ- \\и(\>,о,Угі)сЬсіу
_дВс Ос
&л0 С{Г]Л^)2
0
1 к
о,.сїс
(ІХСІу.
Рассмотрена задача со свободной границей для поля концентраций с - с(х,у929ї), когда на поверхности 5(/) задано условие Дирихле с!іу(К^ас1с) -с{- /(с)- и>, Р є О(г), / > 0, с(Р,0) = с0(Р), РєП(0\
С = (р(р,1), Рє 5(г), г>0, (2)
РеГ{і\ 1> 0.
с = 0, = 0,
дп
В этом случае переход относительно поверхности уровня г = г(х,у,с^) позволил избавиться от свободной поверхности с=с(х,у,/), так как она полностью определяется условием Дирихле с(х,уА) = <р(х,у,гу(х,у,/)>0-В результате получена следующая начально-краевая задача для сильно нелинейного параболического
а
оператора Л---------------в изменяющейся во времени, но уже известной области ПМ):
д1
(3)
Аг = г, ~{/(с)-\^^с, х,уеИ(I), 0<с<с(х,у,1), ?>0,
ф, у,с, 0)=г0 (х, у, с\ х,у,се(1с(0\
г(х,у,с,() = г${х,у,с,1\ с = с(х,у,1\ х,уе£)(г), />0,
гс(х,у,0,*)=-<», х,у<=й( 0, *>0.
Здесь же исследуется вопрос о единственности решения задачи (3). Исходя из полученного аналога первой формулы Грина для оператора А с учетом краевых условий после элементарных, но довольно громоздких преобразований с использованием неравенства Юнга, установлена монотонность оператора А на решениях гх и 2г задачи
\
- Київ+380960830922