Содержание
Введение.................................................... 4
Предварительные сведения..................................... 15
1 Кросснормы на тензорных произведениях, связанные с порядком 24
1.1 Кроссвормы, зависящие от порядка в одном из пространств-
сомножителей тензорного произведения................... 24
1.2 Об одном классе линейных Операторов.................... 57
1.3 О свойствах тензорных конусов в тензорных произведениях с кросснормами пш к. . ................................. 49
1.4 Непрерывность операторов, действующих между тензорными произведениями ........................................ 54
2 Об ассоциативности тензорных произведений банаховых пространств 63
2.1 Описание сопряженного пространства к Е®ъвХ............. 63
2.2 Новая характеристика кросснормы кв .................... 67
2.3 Об ассоциативности тензорных произведений с кроссвор-
мой к.................................................. 73
3 О кросснорме (г на тензорном произведении банаховых пространств 77
3.1 Определение и свойства кросснормы о.................... 77
3.2 Об ассоциативности тензорных произведений банаховых
пространств с кросснормой а............................ 82
3.3 Функтор, порожденный тензорным произведением банаховых пространств с кросснормой а . . ....................... 87
2
Заключение
Литература
3
Введение
Теория нормированных пространств с конусом (иначе, упорядоченных нормированных пространств) и теория тензорных произведений банаг ховых пространств являются актуальными разделами функционального анализа. Представляется интересным и важным также совместное развитие этих теорий, то есть рассмотрение ситуаций, когда один или оба из сомножителей в тензорном произведении являются банаховым пространством с конусом.
Следует отметить, что ситуация, когда одно пространство в тензорном произведении является банаховым пространством с конусом, второе - произвольное банахово пространство, исследовалась в разной степени общности в ряде работ. В работах В.Л.Левина ([9], [10], [13]), A.B. Бухвалова ([2]), X. Шефера ([27]), Г. Виттстока ([53]) и ряда других авторов такая ситуация исследовалась в том частном случае, когда пространство с конусом является банаховой решеткой. Однако, хорошо известно, что общая теория банаховых пространств с конусами и теория банаховых решеток требуют привлечения различных идей и разной техники. Существенной трудностью здесь является, например, невозможность использования теорем реализации, которые являются эффективным инструментом в случае, когда пространство с конусом - банахова решетка.
В.Т. Худалов в работах [16]-[18], [25] рассмотрел более общую ситуацию - тензорное произведение Е®Х упорядоченного банахова пространства Е из некоторого достаточно широкого класса (7V) и произвольного
4
банахова пространства X. Оказалось, что на эту более общую ситуацию переносится ряд результатов, известных для случая, когда Е - банахова решетка. Для справедливости многих других результатов наличие решеточной структуры оказалось существенным, что было продемонстрировано рядом контрпримеров.
Тензорные произведения двух упорядоченных банаховых пространств рассматривались также в ряде работ, среди которых следует отметить работы Д. Фремлина ([41],[42]), Г. Виттстока ([53]), Г.Н. Шотаева ([30], [31]), В.Т. Худалова ([25]). Здесь в основном получены результаты для тензорного произведения двух банаховых решеток.
Следует также подчеркнуть, что, поскольку многие банаховы пространства и тензорные произведения не удается сделать банаховыми решетками, в то время, как в них можно ввести порядки, хорошо соглаг сованные с нормой, то представляется актуальным исследование именно общих (нерешеточных) конусов в тензорных произведениях, а также кросснорм, связанных с порядком в одном или обоих пространствах -сомножителях тензорного произведения.
При изучении тензорных произведений банаховых пространств возникает ряд конкретных интересных вопросов, например:
1. Построение новых норм на тензорных произведениях банаховых пространств и выяснение условий, при которых эти нормы являются кросснормами;
2. Изучение соотношений между различными кросснормами, исследование случаев совпадения построенных кросснорм с известными
кросснормами и характеризация структурных свойств пространств с конусом в терминах совпадения кросснорм;
3. Изучение различных тензорных конусов в тензорных произведениях упорядоченных банаховых пространств с различными кросснормами. Изучению подлежат такие свойства тензорных конусов, как нормальность, несплющенность, телесность, инфрателесность, оштукатуриваемость, правильность, полная правильность.
Интересными и важными являются также приложения теории тензорных произведений в теории операторов (к исследованию свойств конусов в пространствах операторов и к продолжению операторов) и в теории функторов (к исследованию двойственности функторов в категориях банаховых пространств и в категориях банаховых пространств с конусом).
В диссертации впервые решены следующие задачи:
1. Построены новые кросснормы /сип, зависящие от порядка в обоих пространствах-сомножителях тензорного произведения, и исследован вопрос об их отношении. Структурные свойства пространств с конусом охарактеризованы в терминах совпадения введенных кросснорм с основными кросснормами тг и е (теоремы 1.2.2, 1.2.3, 1.2.4, 1.2.5). Введен новый класс линейных операторов С^т(Еу F*), при помощи которого описано сопряженное пространство к Е®кЕ (теорема 1.2.1).
2. Построены примеры, показывающие, что: а) введенная кросснорма к не дает, вообще говоря, нормальности произвольного тен-
зорного конуса, б) правильность (полная правильность) конусов в пространствах-сомножителях тензорного произведения не влечет, вообще говоря, наличие такого же свойства и у произвольного тензорного конуса в тензорном произведении с кросснормами пик (примеры 1.3.1 - 1.3.3).
3. Исследованы условия непрерывности операторов, действующих между тензорными произведениями нормированных пространств, рассматриваемыми с кросснормами &, п (теоремы 1.4.1 - 1.4.7).
4. Получена новая характеристика кросснормы (теорема 2.2.1).
5. Установлены изометрии ряда классов операторов, в качестве естественных следствий которых получена ассоциативность тензорных произведений нормированных пространств с кросснормами пе, к, п, о (теоремы 2.2.2, 2.3.1, 3.2.1 со следствиями).
6. Изучен функтор Реу порожденный тензорным произведением банаховых пространств с кросснормой а и описан двойственный к нему функтор в категории банаховых пространств (теорема 3.3.1).
Диссертация состоит введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Приведем кратко содержание каждой из глав.
Большинство предварительных, хорошо известных сведений объединено в главу 0.
Глава 1 посвящена исследованию кросснорм, зависящих от свойств упорядочения в одном или обоих пространствах-сомножителях тензорного произведения. Здесь изучены также свойства тензорных конусов в
тензорных произведениях с этими кросснормами и непрерывность операторов, действующих между тензорными произведениями.
В §1.1 приведен довольно обширный обзор известных результатов о кросснормах пе и кв на тензорном произведении упорядоченного банахова пространства (УБП) с регулярным и замкнутым конусом и произвольного банахова пространства. Эти результаты применяются в §1.2 для построения новых кросснорм пи к па. тензорном произведении двух упорядоченных банаховых пространств с регулярными конусами.
В §1.2 рассмотрены нормы, индуцируемые на тензорном произведении Е <8> Б двух УБП Е и^1 различными классам линейных операторов. Введен новый класс линейных операторов - класс (£, т)-операторов. Введены новые нормы к и п на тензорном произведении упорядоченных банаховых пространств Е и F, зависящие от свойств упорядочения в обоих пространствах-сомножителях тензорного произведения. Описано сопряженное пространство к тензорному произведению двух УБП с регулярными конусами с кросснормой к} а именно, доказана
Теорема 1 (теорема 1.2.1). Пусть Е и Б - УБП с регулярными конусами Е+ и соответственно. Сопряженное пространство к тензорному произведению Е^Б изометрично С^т(Еу Б*) - банахову пространству (£,т)-операторов из Е в Б*.
Получены условия совпадения новых кросснорм с основными нормами е и 7г, при этом получено описание структурных свойств пространств-сомножителей тензорного произведения в терминах совпадения кросснорм (теоремы 1.2.2, 1.2.3, 1.2.4, 1.2.5).
8
- Київ+380960830922