Содержание
сгр.
Введение....................................................... 3
Глава I. Построение системы решений уравнения
Аи + е,ч,и = 0 , обладающей базисными свойствами на окружности. 6
п
§ 1. Построение функций и 1.................................6
§ 2. Необходимые сведения из функционального анализа..........11
п
§ 3. Теорема о базисности системы функций О 1 на окружности... 15 Глава 11. Построение системы решений уравнения
А11 + е1<9и = О , обладающей базисными свойствами на границе кольца. 18
п
§4. О функциях 11 !...........................................18
п
§5. Построение функций £/ ^...............................21
§6. Дополнительные сведения из функционального анализа 41
§ 7. Построение системы решений уравнения
Аи + е^и = 0 ............................................45
Глава I 1 I. Построение системы решений уравнения
Л£/ + /2(ф)£/ = 0 , обладающей базисными свойствами на границе кольца. 53
п п
§ 8. Построение функций и и И ................................ 55
п п
§ 9. Оценки для функций С/ и I] .............................. 70
п п
§10. Базисные свойства систем функций (У и Ьт на окружности ..84 §11. Построение системы решений уравнения
Л£/ + /2(фХ/ = 0..........................................94
Глава IV. Модифицированный метод разделения переменных 102
§12. О задаче Дирихле для уравнения А1] + /2(ф)£/ = 0.....102
Литература..................................................... 119
3
Введение
1 Краевые эллиптические задачи в областях с коническими граничными точками изучались многими авторами ( см., например, [ 1 ],
[2], [ 3 ]). В этих работах доказаны теоремы о представлении решения вблизи конической точки в виде суммы некоторых функций, одни из которых являются полиномами, а другие - линейными комбинациями произведений вида (1пр)*ф/„,Дф) , где р, (р — компоненты сферической системы координат. При этом всегда можно указать конечное число таких комбинаций, которые нужно исключить, чтобы добиться требуемой гладкости. Подобные методы исследования применялись также в областях с особенностями вблизи ребер (см. I 4 ], [ 5 ], [ 6 ], [ 7 ] ).
В настоящей работе рассматривается одно из самых простых уравнений такого типа, а именно уравнение Л£/ + /2(ф)<У = 0 на плоскости. Однако в этом случае удается получить более сильные результаты. Построена специальная система решений в виде рядов п +0° к п
+ ( 01 )
ы\ ;=о
п е1Ч и{0},
„ +» к +1 „
и~= р-/! соз(жр) + ^р^"+2А:^4/А:.(ф)(1пр)у, п еХГ,
* =1 ;=0 '
О +=с к + 1 о
£Г=1пр + ^р2*^Ч'у(ф)Ыр,
к=1 у=О которые сходятся во всей плоскости.
Также удалось доказать некоторые важные свойства таких решений. Показано, что почти для всех фиксированных р данная система
функций, если рассматривать их как функции переменной ф, образует
базис. В этом плане она является аналогом системы функций вида
и„(р,ф) = 4фрУ"* (0,2)
4
2 /2
для уравнения АС/ + іи = О , где 1 — положительная постоянная, У|/?| (/р) — функции Бесселя . Более того, если бы в уравнении
Л/У + /2(ф)£/ = 0 функция /2(ф) была бы постоянной, то функ-11 п
ции ІҐ, и имели бы вид (0,2).
Данная работа посвящена изучению базисных свойств построенных п п
нами функций £/*, 11 и некоторым их приложениям. Мы не ставили перед собой задачу изучить их асимптотику при возрастании П или р, хотя поведение функций ПРИ возрастании 2и V иссле-
довано достаточно подробно ( см. [ 8 ], стр. 133 - 134). Отметим также,
п п
что информация о поведении функций и , Ц~ на бесконечности
позволила бы применить их к задаче в клине, подобно тому, как это
п п
было сделано в [ 9 ], [ 10 ]. Заметим ещё, что функции £/*, £/
можно использовать при решении задач не только в классических областях ( в круге или полукольце, как это сделано в данной работе), но и в областях, границы которых имеют локальные особенности этого типа. Это можно сделать, например, используя методы, которые применил С. Л Эделыитейн в работах [ 11 ], [ 12 ].
20
Изложим содержание диссертации по главам ( заметим, что нумерация параграфов сквозная ).
В главах 1,11 рассмотрено уравнение АН + Ц = О.В §1,5 п п
мы ищем решения 1/\, 1/~1 этого уравнения в виде рядов, аналогичных рядам ( 0,1 ), хотя и имеющих более простой вид. Этоиозво-
/1 л п
ляет найти функции Ф^,Ф ^ явно ( см. стр. 8 - 9, 22 - 25 ). Более
того, без этого нам было бы трудно понять, в каком виде следует
п а
искать функции и , Ц~ в общем случае. В частности, в случае
п 4/з[ + 2л п_ п _
внешних функций иI при л>--------------------ВИД Ф^,Х£ меняется по
3
5
4!л| + 2 п
сравнению с видом этих же функций при к<-------------------. Подобное
п
происходит и при построении функций Ц~ в главе III,
§ 8. Поэтому нам представляется необходимым провести подробное исследование более простого случая, прежде чем перейти к уравнению
Л.и+ /2(Ф)С/ = 0. в § 2 приведены некоторые вспомогательные
результаты, относящиеся к функциональному анализу, которые позволили в § 3 и § 5 убедиться в наличии базисных свойств функций п п
и\.Щ на окружности. Теоремы § 6 используются при доказатсль-
п п
стве в §7 базисных свойств £7^, I) \ на границе кольца. В §8 проведено построение системы функций (0,1) , в § 9 получены необходимые оценки для этих функций, а в §10, §11 с помощью теорем §6 доказана их базисность.
В главе IV исследуется связь между базисностыо системы функций ( <М ) и разрешимостью задачи Дирихле в соответствующей постановке для уравнения Д£/+/2(ф)£/=0.
В заключение отметим , что основные результаты работы докладывались на семинарах кафедры алгебры и дискретной математики (руководитель - профессор Симоненко И.Б.), кафедры вычислительной математики (руководитель - профессор Юдович В.И.) Ростовского государственного университета, а так же на конференции «Актуальные проблемы развития железнодорожного транспорта и роль молодых ученных в их разрешении.» (Ростовский государственный университет путей сообщения). Все результаты диссертации опубликованы в статьях [ 13 ] - [ 17 ].
Автор благодарит И.Б. Симоненко, под руководством которого была выполнена эта работа.
6
Глава I .
Построение системы решений уравнения
АС/ + е1<9и = О, обладающей базисными свойствами на окружности.
В § 1 сначала строится система решений данного уравнения в виде формального ряда. Далее накладываются условия, обеспечивающие единственность такой системы, а в конце параграфа доказывается и её существование. Заметим, что в этом случае решения могут быть выписаны явно. В § 2 приводятся некоторые сведения из функционального анализа, в частности, теорема об обратимости почти всюду оператора, являющегося суммой единичного и вполне непрерывного, аналитически зависящего от некоторого параметра и обратимого в одной из точек области. С их помощью в § 3 доказывается основная теорема о базисности рассматриваемой системы .
§ 1. Построение функций {] | .
О П н
] Будем искать ( пока формально ) решение (У | уравнения
&и + еі(?и= 0. (I-1-1)
в виде ряда
п - , . +со | , .. п
(/*,= Л'"» + 1>И+г1Ф;(ф). ( 1.1.2 )
к= 1
п
где ф; - 2л - периодическая функция. Здесь и далее Z
множество целых чисел.
Очевидно, что первый член этого ряда является решением уравнения А/У = 0. Остальные члены будем искать, исходя из условий, которые опишем далее.
п
Подставляя в( 1.1.1 ), получим:
где Рк - р^"'+2А’Ф^(ф).
П
Найдём А Рк. Имеем:
2 п
д—^ = р ^1к~\\п\ + 2 к- 1)Ф*(|й| + 2Л), 5р
1^А = рН+2*-2ф^(|„| + 2^
Р др
— ^А = рИ + 2*-2ф+„
Р2 V р
Таким образом,
. " 1я|+2£-2 ДР* =р' ^ л п ф*+ф*1 Я+2А:)2
/
Введём дифференциальный оператор
ім(Ф) = ф"(Н + 2*)2 + ф-
Тогда ( 1.1.1 ) примет вид :
рНе«-(«+1)ф + 2рН+2(*-0 ькп(ф\) +
к=\
+со п
+ХрН+"Ф*^ = 0. (1.1.3)
А-1
Сделаем во второй сумме замену р = к — 1, а затем снова положим к = р. В результате получим :
8
+ °° , , п
= 1>
А = О
Подставляя полученное выражение в ( 1.1.3 ) и , приравнивая нулю
II-», п
, , +2* >ь ь
коэффициенты при р1 , получим для определения Фд
рекуррентные соотношения :
£|,»М'|)=-е,'"|,ф. (1.1.4)
£**(«!) = (1.1.5)
2° Итак , и\ будем искать в виде ряда ( 1.1.2 ) , требуя , чтобы
выполнялось следующее условие : п
1) были бесконечно дифференцируемыми , 2п - периодическими функциями и удовлетворяли соотношениям ( 1.1.4 ), ( 1.1.5 ) .
п
Кроме того , чтобы обеспечить единственность Ф к ,
потребуем, чтобы п
2) ф; были ортогональны всем решениям уравнения Ь}. п (Ф) = О,
к> 1.
п
Заметим , что если система Ф ^ , удовлетворяющая условиям 1), 2),
существует , то она единственна. Ниже мы убедимся , в существовании такой системы..
Іп Л +со
Ф \ ?■ вида \ к = 1
п (_іу2е/(,7+/:)ф
(4|я| - 2п + 3)\..-(4Л|и| - 2кп + Зк2)
ф+ _ (-1)"**
Ф к —--------------------------------------------— удовлетворяет
условию
!)•
9
п
Сначала покажем , что Фд удовлетворяют ( 1.1.4 ( 1.1.5 ) .
п
Подставим Ф | в ( 1.1.4 ), получаем:
/(п+1)Ф /(и+1) ф
(|и| + 2) +------------------------.---------------------(/7 + I)2 =
(4|л| - 2п + 3) (4|и| -2п + 3)
-е/('
/(л+1)ф
_ _в/(я+1)ф
= ... 1>Ф
((Н + 2)г-(и + 1)г) __ ^
(4|«| -2/7 + 3)
То есть И”+1)<р =е'("+1)ф.
я я
Следовательно , Ф ^ удовлетворяет ( 1.1.4 ) . Подставляя Ф^ в
( 1.1.5 ), к > 2, получим:
(—1)*е'("+А)ф 2
— , . , — - ТТ2Г(Н + 1кУ +
‘(4|/?| - 2/7 + 3)-...-(4&|/7| - 2кп + 3к )
(.п + к)2 =
(4[и| - 2/7 + 3)-.. ,-(4А:|/7| - 2кп + Ък )
~ (4|л| - 2п + Зк2)-..,(4(к - 1)|и| - 2{к - 1)|и| + 3(к - I)2) '
Преобразовав левую часть, убеждаемся в справедливости ( 1.1.5 )
п п
для Ф, к > 2. Следовательно , Ф к удовлетворяют условию 1).
п
Теперь покажем , что Ф £ удовлетворяют условию 2) . Общее решение уравнения • ,ДФ) = 0 имеет вид:
СЬ -г Ап\+2к)ч> -ф|+2Л)ф
я
где произвольные постоянные . Ясно , что и Ф0~
п
ортогональны . Следовательно , Ф^ удовлетворяют условию 2) .
10
4 Итак , построенные с помощью рядов формальные решения выглядят следующим образом :
п
и\ = р1'г|е",ф +
ТОО
+ Хр|и|+2А
, п eZ .
к=1 (4|я| - 2п + 3)-...-^4£|и| - 2кп + Ък2|
Покажем , что каждый такой ряд сходится равномерно в любом круге. Пусть 0 < Ро < р. Так как
п\+2к
max
ф€[0,2л]
Р<Ро
то по признаку Вейерштрасса получаем равномерную сходимость в
\п\ + 2к
<р«!_
к\
П
круге радиуса р0, следовательно 1]\ определены корректно и
являются непрерывными функциями.
Точно так же доказывается равномерная сходимость в любом п п
ди\ ди\
круге рядов
. Следовательно , U j один раз непрерывно
ах ду
дифференцируемы для любого П .
_ п п п
д2и\ дги\ д2Ъ'\
Аналогично можно показать, что ---------г—, т— и -------------
дх2 ду2 дхду
сходятся равномерно на любом компакте при /7^0. При /7=0 равномерная сходимость справедлива , если отбросить слагаемое, возникающее при к — 1 . Однако следует заметить , что при /7 = 0
2 2
сходимость справедлива в пространстве ( ^2 - пространство
Соболева).
- Київ+380960830922