Оглавление
1. Распознавание свойств подалгебр мономиальных алгебр 24
1.1. О проблеме свободной порожденности подалгебр мономиальных алгебр, заданных конечным БАЄВІ- базисом ................................................ 24
1.2. Распознавание конечномерности подалгебр.......... 34
2. Распознавание свойств алгебр со строгой фильтрацией 38
2.1. О модуле сизигий и делителях нуля в диксоновой алгебре со строгой фильтрацией ......................... 38
2.2. Распознавание некоторых свойств строго - градуированных алгебр......................................... 48
2.3. О радикальных свойствах строго - градуированных алгебр................................................ 53
2.4. О росте стандартно конечно-определенной алгебры Ли 57
3. О стандартном базисе полиномиальных идеалов с умножением коммутативных мономов по правилу Пом-марэ 59
3.1. О Р-стандартном базисе полиномиальных идеалов . . 59
А. Приложение 69
2
Введение
В диссертации изучается распознавание некоторых свойств алгебр специальных видов с использованием техники стандартных базисов.
Первая попытка построения стандартных базисов сделана в работах ([22], 1926; [24], 1927). Стандартный базис впервые определен в идеалах свободных коммутативных алгебр К[хj, аг2, - - •, хп\ и рассмотрен алгоритм ’’критических нар” Бухбергером в ([16], 1965; [17],1970).
А.И. ТТТиршов предложил конструкцию стандартных базисов в свободных алгебрах Ли С(хьЖ-2,. •. ,я„) и доказал лемму о композиции (см. [12],1962). В ассоциативном случае исходной является работа Л.А. Бокутя (см. [1]). Бергман доказал ’’Diamond” лемму (аналог леммы о композиции в лиевском случае), чем распространил понятие базиса Гребнсра на свободные ассоциативные алгебры /С(аг],ж2,•♦•,£«) (см. [14],1978). Систематическое изложение фактов, связанных со стандартными базисами сделано В.Н. Латышевым в работе ([4],1988) и В.А. Уфнаровским в обзоре ([11],1990). Е.С. Голод в ([21],1988) сформулировал понятие стандартного базиса для фильтрованной алгебры с одномерными фильтрующими подпространствами и предложил ’’Diamond” лемму в гомологической форме. A.A. Михалев в ([25],1992; [26],1996) определил стандартный базис и доказал лемму о композиции для супералгебр Ли, р-супералгебр Ли и цветных супералгебр Ли.
В теории уравнений с частными производными возникли инво-лютивные методы (см. [32], 1978), благодаря которым появилась принципиально новая схема построения базисов Гребнера в комму-
3
тативной алгебре, разработанная А.Ю. Жарковым и Ю.А. Блинковым (см. [36],1993). Дальнейшее развитие эти идеи получили в ([20],1996). Такие стандартные базисы в настоящей работе названы Р-стандартными базисами (см. Гл.З, §3.1).
Во всех вышеупомянутых конструкциях стандартный базис определялся в идеалах различных классов алгебр.
Стандартный базис в подалгебрах первоначально определен в свободных коммутативных алгебрах Л. Роббиано, М. Свидлером, а также Д. Капуром, К. Мадленером в работах ([33],1988; [23],1989) и назван SAG В /-базисом (Subalgebra Analogue to Grobner bases for ideals). H.K. Иыуду в ([3],1999) определила это понятие в подалгебрах свободных ассоциативных алгебр.
В.Н. Латышев в ([27]; [28]; [29]; [30]) предложил обобщенную версию стандартных базисов, которая содержит в себе все вышеупомянутые. Она позволяет строить стандартный базис в подполигонах линейных полигонов, в частности, в идеалах строго-градуированных алгебр и алгебр со строгой фильтрацией.
Алгоритмические вопросы в различных классах алгебр исследовались А.И. Ширшовым, В.Н. Латышевым, В.А. Уфнаровским, У.У. Умирбаевым, Т. Гатевой-Ивановой, В.В. Борисенко, А.Я. Беловым,
Н.К. Иыуду, Д.И. Пионтковским (см. [2], [3], [7], [9] - [13], [18], [19]).
Ряд распознаваемых свойств ассоциативных стандартно конечно-определенных (с.к.о.) алгебр указан В.Н. Латышевым и Т.Гатевой-Ивановой (см. [18],1987; [19],1988). В монографии ([13],1995) А.Я. Беловым, В.В. Борисенко, В.Н. Латышевым рассмотрено распознавание некоторых свойств автоматных алгебр, в том числе распознаваемость делителей нуля и нилыютентных элементов. В ([2],1995) доказана распознаваемость свойства элемента быть односторонним
4
делителем нуля в классе алгебр с односторонней 1-переработкой. Алгоритмическая распознаваемость одностронних делителей нуля в классе алгебр с односторонней Л-переработкой, где R - натуральное число, доказана Д.И. Пионтковским (см. [7]).
В ([3],1999) положительно решена проблема вхождения в подалгебру свободной ассоциативной алгебры JC{x i,a?2» • • • 1 ®п)> порожденную конечным числом однородных элементов, с использованием техники SAG В1-6 азисов. В ([9], 1992) У.У. Умирбаевым показано, что для подалгебр в свободной ассоциативной алгебре конечного ранга проблема вхождения и проблема распознавания свободной порожденности заданным конечным множеством элементов алгоритмически неразрешимы. В настоящей работе рассматривается проблема свободной порожденности в частных случаях, причем с использованием техники SAGBJ-базисов (см. Гл.1, §1.1). В случае, когда подалгебра в свободной ассоциативной алгебре конечного ранга порождается конечным числом мономов, данная проблема алгоритмически разрешима (см. [8], Глава 4, §4.1, с. 59-64).
В ([10], 1978) В.А. Уфнаровским показано, что рост ассоциативной с.к.о. алгебры либо полиномиальный, либо экспоненциальный. Алгоритм распознавания конкретного типа роста такой алгебры указан в ([19],1988). Изменение типа роста при переходе от алгебры Ли к ее универсальной обертывающей алгебре изучалось В. М. Петроградским в ([5],1993; [31],1996). Мы, пользуясь результатами работ [15], [31], [35], путем несложных рассуждений получаем положительное решение вопроса об алгоритмической распознаваемости конкретного типа роста с.к.о. алгебры Ли (см. Гл.2, §2.4).
Также в настоящей работе изучается распознавание некоторых свойств фактор-алгебр строго-градуированных алгебр (см. Гл.2,
5
§§2.2, 2.3), левых делителей нуля в диксоновых справа алгебрах со строгой фильтрацией по модулю конечнопорожденного правого идеала (см. Гл.2, §2.1), рассматривается построение Р-стандартных базисов полиномиальных идеалов (см. Гл.З, §3.1), а также исследуется распознавание свойств подалгебр мономиальных алгебр (см. Гл.1, §§1.1, 1.2).
Основные результаты диссертации:
указаны алгоритмы распознавания свойств конечномерности, алгебраичности, ниль- и нильпотентности фактор-алгебр строго-градуированных алгебр специального вида;
показана распознаваемость левых делителей нуля в диксоновых справа алгебрах со строгой фильтрацией специального вида по модулю конечнопорожденного правого идеала;
показана распознаваемость левых делителей нуля в универсальных обертывающих алгебрах конечномерных алгебр Ли по модулю конечнопорожденного правого идеала;
показано равенство ниль-радикала и радикала Джекобсона для строго-градуированных алгебр специального вида;
указан алгоритм распознавания конкретного типа роста с.к.о. алгебры Ли;
получен критерий того, является ли предъявленная конечная система полиномов Р-стандартным базисом порожденного ею идеала в алгебре полиномов;
б
- Київ+380960830922