Введение
1. Обоснование выбора темы исследования. Настоящая работа посвящена разнообразным проблемам теории и приложений в задачах управления, матричных и операторных уравнений Риккати. Основное ее содержание составляет применение методов теории групп Ли к задачам управления на примере матричных дифференциальных уравнений Риккати.
Выбор уравнения Риккати в качестве объекта исследования не случаен. Оно встречается при решении многих задач теории управления. Это уравнение, кроме того, с самого своего появления в 1724 году* является объектом пристачьного внимания ученых различных специальностей. Достаточно напомнить замечательный результат Ж. Лиувилля, который показал, что скалярное уравнение
*У , 2 V а
И + ау =Ьх '
где а, Ъ и а — постоянные, интегрируется в квадратурах лишь при условии, что постоянная а представима в виде
4т
а = Тт~ 1 ..................
При всех других значениях а решение уравнения не может быть выражено квадратурами от элементарных функций.
В настоящее время название ”уравнение Риккати” обычно применяется к любым системам обыкновенных дифференциальных уравнений с квадратичной правой частью. Каждая новая идея в исследовании нелинейных дифференциальных уравнений непременно апробировалась на уравнении Риккати. Например, при работе над теорией нелинейных суперпозиций Софус Ли покаэач, что скалярное уравнение Риккати является наиболее общим уравнением первого порядка, которое имеет фундаментачь-ную систему решений.
Давно замеченная связь уравнения Риккати с группой дробно-линейных преобразований**, его геометрическая природа и проективные свойства определяют причины, по которым уравнения этого типа с неизбежностью возникают в различных и дачеких друг от друга областях естествознания (алгебраическая геометрия [25], теория конформных отображений [29], теория вполне интегрируемых гамильтоновых
*1 История появления статьи итальянского ученого Якопо Франческо Риккати, подробно описана, например, в книге М.И. Зеликина’’Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении” М.: Факториал - 1998.
**См., напр., [49]
2
систем (35], применение теории Бэклунда в квантовой теории поля [24], вариационное исчисление [25; 66; 67] и теория оптимального управления [2; 3; 14; 34; 36; 38; 45]).
Однако интерес к уравнению Риккати определялся не только внутренними потребностями математики. Исследование многих физических процессов показало, что роль уравнения Риккати определяется физической интерпретацией его решений. В теории упругих колебаний [22; 80], электродинамике слоистых сред [1; 5; 68], в теории многоволновых линий электропередач [24], в гидравлике трубопроводов [13], решение уравнения Риккати задает основной параметр линейной системы — импеданс или коэффициент отражения, матрицу рассеяния электромагнитных волн, либо стохастическую матрицу диффузионного процесса.
Принципиально новый этап в использовании уравнений Риккати при решении прикладных задач наступил в 50-е годы ХХ-го столетия. Возникновение и стремительное развитие теории управления породило массу принципиально новых математических задач, непосредственно относящихся к дифференциальным уравнениям (задачи об оптимальном управлении, задачи оценки параметров системы и ее состояния и т. д.). Их решение для обыкновенных дифференциальных уравнений довольно часто приводит к матричным дифференциальным уравнениям Риккати вида (см., например, [2; 32; 34; 36; 45; 53])
^ = P{t) + A{t)X + XB(t) + XR(t)X, (1)
at
где A(t), B(t), P(t) и R(t) — заданные квадратные матрицы, a X — искомая матрица.
Ряд задач из теории управления приводит к уравнения вида (1), но с постоянными матрицами А, В, Р и R. В этом случае актуальным оказывается вопрос о существовании, свойствах и единственности решения алгебраического уравнения Риккати
Р + АХ + ХВ + XRX = 9, (2)
где 9 — квадратная матрица, все элементы которой являются нулями.
С развитием теории управления системами с распределенными параметрами возникла необходимость рассматривать различные обобщения уравнения (1) в бесконечномерных пространствах. Такими обобщениями стали интегро-дифференциальные краевые задачи Риккати, которые появляются, например, при решении задач об оптимальном управлении диффузионными и тепловыми процессами (см., например, [14; 56]). Аналогичные краевые задачи Риккати необходимо изучать при решении оптимизационных задач для волновых процессов.
К настоящему времени сделаны лишь первые шаги в практическом решении этих краевых задач и их теоретическом исследовании. Некоторые вопросы теории уравнения Риккати в гильбертовых пространствах разработаны А. В. Балакришнаном [3]. Уравнения Риккати в других функциональных пространствах рассмотрены в работах (см., например, [38; 57].
Интенсивное развитие вычислительной техники породило множество новых идей, связанных с приближенными методами решений дифференциальных уравнений. Одна из них, предложенная в работе [9], лежит в основе метода прогонки решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в
з
систем [35], применение теории Бэклунда в квантовой теории поля [24], вариационное исчисление [25; 66; 67] и теория оптимального управления [2; 3; 14; 34; 36; 38; 45]).
Однако интерес к уравнению Риккати определялся не только внутренними потребностями математики. Исследование многих физических процессов показало, что роль уравнения Риккати определяется физической интерпретацией его решений. В теории упругих колебаний [22; 80], электродинамике слоистых сред [1; 5; 68], в теории многоволновых линий электропередач [24], в гидравлике трубопроводов [13], решение уравнения Риккати задает основной параметр линейной системы — импеданс или коэффициент отражения, матрицу рассеяния электромагнитных волн, либо стохастическую матрицу диффузионного процесса.
Принципиально новый этап в использовании уравнений Риккати при решении прикладных задач наступил в 50-е годы ХХ-го столетия. Возникновение и стремительное развитие теории управления породило массу принципиально новых математических задач, непосредственно относящихся к дифференциальным уравнениям (задачи об оптимальном управлении, задачи оценки параметров системы и ее состояния и т. д.). Их решение для обыкновенных дифференциальных уравнений довольно часто приводит к матричным дифференциальным уравнениям Риккати вида (см., например, [2; 32; 34; 36; 45; 53])
^ = Р(<) + А(г)Х +ХВ(1)+ХЩ)Х, (1)
аг
где А(£), #(<), Р(*) и Я(г) — заданные квадратные матрицы, а X — искомая матрица.
Ряд задач из теории управления приводит к уравнения вида (1), но с постоянными матрицами А, В, Р и Л. В этом случае актуальным оказывается вопрос о существовании, свойствах и единственности решения алгебраического уравнения Риккати
Р+АХ+ХВ+ ХЛХ = в, (2)
где в — квадратная матрица, все элементы которой являются нулями.
С развитием теории управления системами с распределенными параметрами возникла необходимость рассматривать различные обобщения уравнения (1) в бесконечномерных пространствах. Такими обобщениями стали интегро-дифференциальные краевые задачи Риккати, которые появляются, например, при решении задач об оптимальном управлении диффузионными и тепловыми процессами (см., например, [14; 56]). Аналогичные краевые задачи Риккати необходимо изучать при решении оптимизационных задач для волновых процессов.
К настоящему времени сделаны лишь первые шаги в практическом решении этих краевых задач и их теоретическом исследовании. Некоторые вопросы теории уравнения Риккати в гильбертовых пространствах разработаны А. В. Балакришнаном [3]. Уравнения Риккати в других функциональных пространствах рассмотрены в работах (см., например, [38; 57].
Интенсивное развитие вычислительной техники породило множество новых идей, связанных с приближенными методами решений дифференциальных уравнений. Одна из них, предложенная в работе [9], лежит в основе метода прогонки решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в
3
частных производных. При численном решении линейных краевых задач с многоточечным заданием граничных условий методом прогонки все дополнительные условия удается перенести в одну точки. Однако для этого необходимо решать уравнение Риккати, неизбежно возникающее в процессе этого переноса. Эффективность предложенного в (9) метода проверена при решении многочисленных прикладных задач (аэро- и гидродинамике, атомной технике, при расчетах линий электропередач [2; 13; 24].
2. Формулировка целевой установки и выбор метода исследования. В
ряде прикладных наук (теория управления, электротехника), а также в различных разделах прикладной и вычислительной математики (вариационное исчисление и приближенные методы решения краевых задач) необходимо детально исследовать различные свойства матричных и операторных уравнений Риккати. В частности, в теории управления основные трудности в решении задач об оптимальной стабилизации и об аналитическом конструировании регуляторов для линейных систем возникают при решении соответствующих уравнений Риккати. При испльзовании метода прогонки в решении краевых задач математической физики проблема сводится к необходимости решать матричное уравнение Риккати. Этим уравнениям посвящены многие работы российских и зарубежных авторов. Однако, насколько известно автору, аппарат группового анализа дифференциальных уравнений при этом не использовался.
Целью работы является разработка способов аналитического решения различных задач теории оптимального управления, основанных на применении методов теории групп Ли к матричным дифференциальным уравнениям Риккати. Для этого в работе проведено исследование матричных уравнеий Риккати, к которым приводят различные задачи теории управления и вычислительной математики. В этом исследовании значительное место занимает использование групп Ли. В процессе решения ряда возникающих по ходу исследования задач пришлось использовать классические методы матричного исчисления. Это пришлось делать, прежде всего, для решения алгебраических уравнений Риккати. В известной автору литературе более или менее полный анатиз алгебраических уравнений Риккати не описывается, а излагаются лгадь общие соображения по решению уравнений п-й степени*. Однако матричные уравнения второй степени обладают рядом специфичных свойств, анализ которых выполнен в настоящей работе.
Чтобы в полной мере использовать возможности абстрактного группового анализа (см. Овсянников Л. В.), пришлось вводить некоторые специальные понятия (инфини-теоимальный оператор на матрицах, коммутатор на матрицах и др.). Это позволило получить компактные формулировки различных теорем, относящихся к групповой классификации уравнений Риккати, а также к достаточным условиям интегрируемости таких уравнений.
Завершая краткий анализ проблем, связанных с матричным уравнением Риккати, следует отметить, что практическое решение конкретных уравнений такого типа далеко не всегда является простой задачей. Поэтому актуальным является вопрос об их приближенном решении. Ему посвящены многие исследования. Однако их анализ
*См.. папр., Гантмахер Ф. Р, Теория матриц Наука, М., 1991.
4
выходит за рамки настоящей работы и мы ограничимся лишь некоторыми ссылками [47; 54; 58; 59; 64; 65].
3. Значимость полученных в работе результатов. В работе выполнен полный анализ алгебраических и дифференциальных матричных уравнений Риккати. Общие выводы иллюстрируются анализом конкретных примеров. Предложенная методика может быть использоваться при решении конкретных задач теории управления, приводящих к необходимости решать такие уравнсия.
Выполненный групповой анализ матричных дифференциальных уравнений Риккати прежде всего дает групповую классификацию таких уравнений. Он также указывает процедуры, с помощью которых можно получать различные достаточные условия интегрируемости и линеаризуемости уравнений Риккати. Эти достаточные условия, вообще говоря, являются конструктивными и могут давать непосредственно процедуры решения возникающих залач. Работа содержит иллюстративные примеры, на анализе которых можно просмотреть применение теоретических результатов в конкретных случаях.
4. Краткая характеристика содержания работы. Работа состоит из трех глав.
В первой главе (’’Уравнения Риккати в задачах управления”) излагаются прикладные задачи, приводящие к уравнениям Риккати. В § 1.1. рассмотрены три задачи теории управления, решение которых приводит к матричным уравнениям Риккати. Это задачи об оптимальной стабилизации, об аналитическом конструировании регуляторов и об оптимальном фильтре Каллмана-Бьюси. При решении всех этих задач появляется уравнение Риккати вида (1), где В = А*, если рассматривается процесс описываемый обыкновенным дифференциальным уравнением
dx
— - Ах + Си + fit).
at
где х € Еп — фазовый вектор, а и 6 Ет — вектор управления. Главная особенность этих задач состоит в том, что требуется находить положительные решения задачи Коши для уравнения (1). В частных случаях, когда матрицы А и С постоянны, возникает необходимость решать уравнение (2).
В § 1.2 показано, что некоторые краевые задачи для нелинейных уравнений в частных производных можно сформулировать как уравнения Риккати в специально построенных функциональных пространствах. Излагаемая процедура продемонстрирована на примере краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений теплопроводности. Ее можно повторить и в более общих случаях Л ем самым показано, что групповой анализ операторных уравнений Риккати можно использовать для анализа различных краевых задач для нелинейных уравнений в обыкновенных и частных производных.
В § 1.3 показано, что для управляемых процессов, описываемых краевыми задачам для уравнения теплопроводности, задача об аналитическом конструировании регуляторов приводит к специфичной краевой задаче (так называемой интегро-дифферен-циальной краевой задаче), которая может быть сформулирована как уравнение Риккати в соответствующем функциональном пространстве.
5
Материал этой главы иллюстрирует актуальность различных задач для матричного дифференциального урапвнения Риккати в теории управления и необходимость рассмотрения аналогичных задач для операторных уравнений Риккати.
Вторая глава (” Алгебраическое уравнение Риккати”) посвящена различным методам решения алгебраического уравнения вида (2). Как уже отмечалось выше, необходимость анализа такого уравнения в данной работе связана с тем, что его решения являются постоянными решениями дифференциального матричного уравнения (1).
В § 2.1 дается общий анализ уравнения (2) с позиций теории матриц. Согласно этой теории, уравнение
Р’(Х) = АтХт + Ат-1Хт~1 + ■ • • + АхХ + Л. = в решается с помощью скалярного уравнения
д(р) = <*еКр{р)) =
В общем случае такой способ решения необычайно грмоздок и мало что дает для практического решения задачи. Однако для уравнения Риккати эта процедура вполне обозрима и позволяет получать все решения уравнения (2). Этот факт иллюстрируется анализом сравнительно простых примеров.
В § 2.2 изложенная процедура применяется к общему уравнению вида (2). Такое поэтапное решение уравнений вида (2) позволяет упростить решение задачи в общем случае. Это проиллюстрировано решением конкретных примеров.
В § 2.3 предлагается иной способ решения уравнения вида (2), основанный на использовании связи между уравнением (2) и специально сконструированной системой линейных матричных уравнений. Полученный здесь результат сформулирован в виде теорем 3.1 и 3.2. Предложенная процедура применяется при решении конкретных примеров, что позволяет более полно оценить ее достоинства и недостатки.
Глава 3 (я Группы, допускаемые матричным уравнением Риккати, применение теории нелинейных суперпозиций ”) является центральной в работе.
В § 3.1 описываются простейшие свойства дифференциальных уравнений Риккати (1), среди которых следует отметить свойство, сфориулированне в замечании 1. Оно является одним из обобщений известной теоремы об ангармоническом отношении четырех решений скалярного уравнения Риккати (см., например [49]).
Сделан также полный анализ уравнений с постоянными матрицами, который со-провождаетися решением иллюстративных примеров. Среди свойств уравнений с постоянными матрицами следует отмстить полезный для дальнейшего анализа результат, основанный на свойствах ортогональных матриц. Он состоит в том, что если уравнение можно представить в виде
= (Г - А)(У - В),
то, кроме постоянных решений У = А и У = В, это уравнение может иметь решение, которое получается из условия ортогональности матриц У — А и У — В. Пример
6
такого типа в работе приведен. Рассмотрен также вопрос о существовании решения общего уравнения Риккати.
Во втором параграфе, посвященном групповому анализу уравнений Риккати, вводятся основные понятия, необходимые для групповых операций на матрицах (ин-финитсэимальный оператор и его продолжение, коммутаторы и т. д.). При этом важно, что такие понятия удается вводить и в случае матричного группового параметра. Введенные таким образом инфинитезимальные операторы служат основой для построения групп, допускаемых уравнением Риккати. С помощью различного типа определяющих уравнений удается построить конкретные группы, допускаемые уравнением Риккати. Приводятся иллюстративные примеры.Теоретические выводы формулируется в виде ряда теорем.
Предложенный аппарат группового анализа позволяет получать достаточные условия, при выполнении которых можно указать замену переменных, обеспечивающую интегрируемость уравнения Риккати. Этот результат сформулирован в виде теорем и проиллюстрирован решением конкретных примеров. Проанализирован также вопрос об инвариантных решениях уравнения Риккати.
В § 3.3 рассматривается вопрос о линеаризации матричного уравнения Риккати. Получены необходимые и дастаточные условия линеаризуемости такого уравнеия. Он обобщает известный критерий линеаризуемости скалярного уравнения Риккати. Полученный результат иллюстрируется решением содержательного примера.
Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре профессора Н. X. Ибрагимова ’’Групповой анализ уравнений математической физики” на факультете ВМиК МГУ, семинаре кафедры математики Уфимского государственного авиационного технического университета, международном семинаре ” Современный групповой анализ и задачи математического моделирования”, (г. Уфа, июнь 1991 года), международной конференции МСЮ11АК 2000 (г. Уфа, октябрь 2000 года).
Основные результаты работы опубликованы в работах [15-20].
Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю доктору фиэ.-мат. наук, профессору Н.Х. Ибрагимову за внимание к работе и оказанную поддержку, а также кандидату физ.-мат. наук, доценту С.Р. Свирщсвскому за консультации и конструктивные обсуждения результатов работы.
7
ГЛАВА 1
УРАВНЕНИЯ РИККАТИ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ
§ 1.1. Уравнение Риккати в теории управления
В этом параграфе мы рассмотрим некоторые задачи теории управления, при решении которых появляются матричные уравнения Риккати. В каждой такой задаче уравнение обладает некоторой спецификой и оно имеет те или иные дополнительные свойства, которых нет у общего уравнения Риккати. Поэтому при необходимости мы будем формулировать эти свойства.
1. Задачи об аналитическом конструировании регуляторов и об оптимальной стабилизации [36]. Будем рассматривать управляемый процесс, который описывается векторным дифференциальным уравнением
х = А(<)ж 4- В(1)и, to < t < Т, (1.1)
в котором х — {т1,...,тп} € Еп — фазовый вектор, и = {п1,...,нг} € Ег — вектор управлений. Матрицы А(2) и В(<) предполагаются непрерывными. Первая из них имеет размерность пхп, а вторая — пхг. Допустимыми управлениями считаются произвольные кусочно-непрерывные управления и — н(0? причем все точки разрыва функции и = и(£) (если таковые имеются) первого рода. Каждому такому допустимому управлению соответствует единственное решение задачи Коши
х = А(1)х + £(*)«(*), *0<*<Т, (1.2)
х(и) = х°. (1.3)
В прикладных задачах особое значение имеют допустимые управления в форме и = и(<, г), когда управление зависит не только от времени, но и от текущего состояния системы. В этом случае для описания процесса вместо (1.2)—(1.3) мы получаем другую задачу:
х = А(Ь)х + В^)и(1,х), *0 < 2 < Т, (1-4)
х(*0)=т°, (1.5)
в которой допустимым управлением считается функция и = п(^,х) такая, что задача (1.4)—(1.5) имеет единственное решение при любом заданном векторе х° из некоторой окрестности 0(0) начала координат. На таких управлениях определен функционал
,/Н = х*(Т)Ех{Т) + С [х*(*)<2(*М0 + «*(0Д(Ф(*)1 Л, (1-6)
Л,
8
- Київ+380960830922