2
Содержание
Введение..........................................................3
1 О расходимости всюду рядов Фурье непрерывных функций многих переменных............................................20
1.1 Вспомогательные результаты........................... 20
1.2 Построение функции с рядом, расходящимся почти всюду . . 38
1.3 Построение функции с всюду расходящимся рядом .......... 45
2 Непериодические функции ограниченной А-вариации и интеграл Фурье.................................................48
2.1 Некоторые свойства функций ограниченной
Л-вариации............................................ 48
2.2 11редставленне непериодических функций ограниченной А-
вариации интегралом Фурье ............................... 58
3 О поведении треугольных частичных сумм рядов Фурье функций ограниченной Л-вариации..............................70
3.1 Модифицированные частичные суммы..................... 70
3.2 Оценки поведения модифицированных ядер Дирихле........ 77
3.3 Достаточные условия ограниченности и сходимости треугольных частичных сумм........................................... 95
3.4 Пример функции с неограниченными треугольными частичными суммами.................................................104
Список обозначений..............................................114
Список литературы
115
3
Введение
Структура работы
Работа состоит из введения, трех глав, списка основных обозначений и списка литературы из 46 наименований.
В данной работе формулы, леммы и теоремы будут имеют номера из двух чисел, первое из которых - номер главы, а второе номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.
Основные определения
Данная работа посвящена исследованию сходимости и расходимости рядов и интегралов Фурье функций двух и более вещественных переменных. Рассматриваемые функции будут предполагаться измеримыми комплекснозначными.
В работе мы будем придерживаться следующих соглашений.
В главах 1 и 3 все функции будут считаться 2тг-периодическими по каждому переменному, если нс оговорено противное. Такие функции будут рассматриваться на кубе Т" или 27, где Т = [0,2тг), 2\ = [-*, г), в зависимости от того, какой способ нам удобнее в конкретном случае.
Через £>*(:г) будем обозначать одномерное ядро Дирихле:
ок(х) = ІЙ+ІІ*
2віп §
В случае, когда размерность пространства независимых переменных больше единицы, будут использоваться следующие обозначения. Элементы К" будут обозначаться как векторы, например, х = (хі,...,х„). Угловыми скобками будем обозначать скалярное произведение
п
&у) = 52
Л-1
Вектор с целочисленными координатами для краткости будем называть номером.
Через [х] и [х] будем обозначать соответственно наибольшее целое п ^ х и наименьшее целое пг > х. Через Хл будем обозначать характеристическую функцию множества А.
Через С и С(-) обозначаются соответственно положительные постоянные и положительные величины, зависящие лишь от перечисленных в скобках аргументов, не обязательно одинаковые в различных случаях. Там, где
ВВЕДЕНИЕ
4
необходимо указать, что такие постоянные или величины в нескольких формулах совпадают, они снабжаются индексом, например: С2(х, Л) (нумерация ведется в пределах главы).
При оценке различных интегралов для краткости будут вводиться обозначения вида 3, Л, Лд и т. п. Такие обозначения вводятся заново в каждом доказательстве, если не оговорено противное.
Определение 1. Пусть /(£) — 2т:-периодична по каждому аргументу и интегрируема по Лебегу на Т”. Ее рядом Фурье по тригонометрической системе называется ряд
Т"
коэффициенты Фурье функции /. В двумерном случае будет, как правило, применяться обозначение
Определение 2. Прямоугольной частичной суммой ряда Фурье называ-
т=—М п=—N
В двумерном случае нас будут интересовать также сферические и треугольные частичные суммы.
Определение 3. Сферической (шаровой) частичной суммой ряда Фурье функции двух переменных называется
Определение 4. Треугольной частичной суммой ряда Фурье функции двух переменных называется
где
ется
А/,
и.
или в двумерном случае
т»1=-Д/1 тп——М„ М N
(*,»))= £ £
Ш (*.»))= £
ВВЕДЕНИЕ
5
Определение 5. Ряд Фурье функции / называется А-сходящимся (по прямоугольникам) в точке х, где А ^ 1, если существует
ram A#(-t+oo
с
1 M-
по всем номерам А/ таким, что - < -т-/ ^ А для любых г и j.
A Mj
1-сходимость обычно называегся сходимостью но квадратам (по кубам), а сходимость без ограничений на отношения компонент — сходимостью по прямоугольникам (по Прингсхейму). Аналогично можно рассматривать различные случаи сходимости треугольных частичных сумм. Подробнее о различных типах сходимости кратного ряда см. [27], гл.1, §6, и [1], введение, п.З.
Если Л С Zn, то частичную сумму те кратною ряда Фурье
5, л)(/,х)=^отй(/У(’ад
те А
можно представить в виде
Яч(Л*> = ^/ лг+й)0(д,(й)ой,
Т”
где величина
тел
называегся ядром Дирихле, соответствующим эггой частичной сумме. В частности, прямоугольным частичным суммам соответствуют прямоугольные ядра Дирихле, которые имеют вид
П
А\?(и) = П DNk(uk),
k=i
то есть распадаются в произведение одномерных ядер Дирихле. Явный вид треугольных ядер Дирихле £>(з,у) будет приведен ниже (в главе 3).
Введем также определения модулей непрерывности 2тг-псрнодических по каждому переменному функций.
Определение б. Модулем непрерывности функции / € С(Тп) называется функция от <5 > 0, определяемая формулой
w(/,£) = sup sup |/(f + Л) - /(f)I.
ВВЕДЕНИЕ
6
Если в этом определении ограничиться теми Л, у которых лишь к-я компонента отлична от нуля, то мы получим определение частного модуля непрерывности (*;*(/,<5).
Определение 7. Модулем непрерывности в пространстве Ьр(Тг) дня принадлежащей этому пространству функции /(х) называется функция от & > 0, определяемая формулой
Для интегрируемой на К2 функции двух переменных рассмотрим ее преобразование Фурье
ЯСч) = ^ Л
К2
Возникает следующая проблема: когда можно утверждать, что справедлива формула обращения
Д*,У) = ^//яСч)^ей»'<«*7 ? (1)
й*
Уже в одномерном случае требование интегрируемости /(£) накладывает столь излишне ограничительные условия на функцию /, что интеграл в формуле обращения обычно понимают в смысле главного значения.
В случае функции двух переменных мы имеем еще больше свободы в интерпретации формулы (1). А именно, мы можем, например, понимать интеграл в ее правой части как предел интегралов но некоторой расширяющейся последовательности плоских множеств (под{юбнее см. [1], введение, п.7).
Пас будет интересовать сходимость "прингсхсймовского типа"в (1). Мы определяем частичные интегралы по прямоугольникам:
.4 Б
/1(2) -А-В
и изучаем их поведение при независимом стремлении Л и В к +оо.
Другие определения и обозначения будут вводиться по мерс необходимости. Для удобства в конце работы приведена таблица основных обозначений с указанием страниц, на которых они впервые вводятся.
ВВЕДЕНИЕ
7
Обзор предшествующих результатов
Состояние исследований по различным проблемам теории кратных тригонометрических рядов рассматривалось в обзорных статьях Л.В.Жижиаш-вили [14], Б.И.Голубова [7], 111.А.Алимова, Р.Р.Ашурова и А.К.Пулатова [1], М.И.Дьяченко [11], в книгах Л.В.Жижиашвили [13] и [16], А.И.Янушаускаса
Мы дадим обзор результатов, непосредственно связанных с тематикой данной работы.
В главе 1 изучается вопрос о расходимости ряда Фурье непрерывной функции многих переменных.
Как известно, для одномерного случая решение проблемы сходимости ряда Фурье непрерывной функции вытекает из общего результата Л.Карлесона - Р.Ханта ([29],[35]):
Теорема А. Если для некоторою р > 1 выполнено f(x) Є LP(T), то ряд Фурье функции f(x) сходится почти ВСЮД}'.
В случае двух переменных результат зависит от того, какой вид сходимости рассматривается.
Для сходимости по квадратам Н.Р.Тевзадзе [22] доказал аналог теоремы Карлесона:
Теорема В. Если f{x,y) € L-i{T2), то ряд Фурье функции f(x,y) сходится по квадратам почти всюду.
Дальнейшие обобщения этого результата были даны Ч.Фефферманом [32], П. Шёл ином [37] и II.10. Антоновым ([2], [3]).
Ситуация существенно меняется при рассмотрении сходимости по прямоугольникам. Ч.Фефферман [31] установил следующий результат:
Теорема С. Существует непрерывная на плоскости 2л-периодическая по каждому переменному функция, ряд Фурье которой расходится по Принг-схейму ВСЮДУ'.
Основываясь на методе Феффермана, М.Бахбух и Е.М.Никишин [5] получили такое утверждение:
Теорема D. Существует непрерывная на плоскости 2л-периодическая по каждому переменному функция f(x,y) с модулем непрерывности
ряд Фурье которой расходится по Прингсхейму на [0.2,27т - 0.2]2.
М.И.Дьяченко (II) указал, что незначительная модификация доказательства этой теоремы позволяет установить следующее утверждение.
[27].
ВВЕДЕНИЕ
8
Теорема О'. Для любого натурального тп существует непрерывная 2тг-периодическая но каждому переменному функция 2т переменных /(х} такая, что и>(/, 8) = 0(( 1п|)_ш) при 8 —» 4-0, и ее ряд Фурье расходится по Прингехейму почти всюду'.
С другой стороны, К. И. Оскол ков |18] доказал достаточное условие сходимости почти всюду в терминах модуля непрерывности.
то ряд Фурье функции / сходится по Прингехейму почти всюду.
Отметим также, что позже И.Л.Блошанский [6] получил достаточное условие сходимости почти всюду но Прингехейму ряда Фурье функции из ЬР(Т2), которое обобщает теорему Е.
В случае большей размерности какие-либо аналоги теоремы Е неизвестны. Однако Л.В.Жижиашвили [15] получил достаточное условие сходимости в терминах модуля непрерывности в 1-2, а именно:
Теорема Б. Если /(х) € Ц(ТП) и для некоторого е > 0
то ряд Фурье /(х) сходится по прямоугольникам ПОЧТИ ВСЮДУ'.
В главе 1 будет показано, как по заданному А > 1 построить непрерывную функцию 2тп переменных с оценкой на модуль непрерывности
ряд Фурье которой А-расходится всюду.
В главах 2 и 3 рассматриваются функции ограниченной Л-вариации.
Введем вначале необходимые обозначения. Для промежутка / через И(/) обозначим множество вссх_конечных систем попарно непересекающихся интервалов {/„}, таких что /„ С I.
Пусть I = (а, Ь), Д = (а,/?). Для функции одного переменного обозначим /(•О — /(&) — /(а)- Для функции двух переменных обозначим
Теорема Е. Если /(х,у) € С(Т2) и
1(1 >Уо) = /(Ь,уо) ~ /(«>2/о)> /(х0,Л) = /(хо,/?) - /(х0><*),
/(/ х Д) = ДЬ,Р) - /(«,/?) - та) + /(а,а).
ВВЕДЕНИЕ
9
Если /, А — некоторые промежутки из Е, быть может, бесконечные, то их декартово произведение / х А будем называть обобщенным прямоугольником.
В случае функции одного переменного хорошо известно (см., например, (4),гл. 1,§39 или [41|, т.1, гл.2, §8) следующее утверждение, называемое обычно признаком Жордана или признаком Дирихле — Жордана:
Теорема С. Пусть / € ВУ(Т). Тогда в каждой точке х 6 Т ряд Фурье / сходится к величине |(/(х + 0) + /(х — 0)), и сходимость равномерна внутри каждого интервала непрерывности.
Эта теорема обобщалась различными авторами на классы обобщенной ограниченной вариации, а также на случай функции многих переменных.
Д.Ватерман (39| определил в одномерном случае классы функций ограниченной Л-вариации.
Определение 8. Скажем, что неубывающая последовательность положительных чисел Л = {А,,} задает класс функций ограниченной Л-вариации (класс Ватермана}, если АГ( —» оо при п —» оо и
(В дальнейшем рассматриваются только такне Л.) Через Лт будем обозна-
т
чать величину ^
Определение 9. Функция /(х) называется функцией ограниченной Л-вариации на промежутке /, если конечна величина
которая в этом случае напивается Л-вариацией функции / по промежутку
I. Через АВУ{1) будет обозначаться множество функций ограниченной Л-вариации на данном промежутке / (класс Ватермана).
Замечание 1. Определение функции ограниченной Л-вариации, данное Ватерманом в качестве основного, несколько отличается от определения 9, но в [40] Ватерманом доказана эквивалентность двух указанных определений.
В частности, для последовательности Л = {гг} будут употребляться обозначения / € НВУ(1) и
Ватерман доказал, что функция из класса АВУ(1), как и функция ограниченной вариации, может иметь точки разрыва лишь первого рода, и уста новил следующее обобщение теоремы С (см. |39]):
- Київ+380960830922