Устойчивость решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений

Устойчивость решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений
Оглавление 2
Основные обозначения 4
Введение 6
Глава 1. Общая теория стохастических функционально-дифференциальных уравнений
§1.1. Предварительные сведения и объект исследования 18
§1.2. Существование и единственность решения задачи Коши 29 §1.3. Представление решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений 35
§1.4. Многочлены со случайными коэффициентами и жорданова форма случайных матриц 40
Глава 2. Устойчивость решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений
§2.1. Устойчивость и разрешимость задачи Коши 53
§2.2. ” И'-преобразоваиие” для линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений 65
§2.3. Экспоненциальная р -устойчивость функционально-дифференциальных уравнений Ито 70
§2.4. р-устойчивость с весом и операторы, удовлетворяющие Д-условию 75
§2.5. Устойчивость с вероятностью единица линейных систем со случайными матрицами 85
Глава 3. Задача о накоплении возмущений для линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений §3.1. Допустимость пар пространств 91
§3.2. Устойчивость по начальной функции решений линейных стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом 95
§3.3. Достаточные условия устойчивости некоторых уравнений 104 Глава 4. Устойчивость по части переменных решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений
2
§4.1. Устойчивость по части переменных и разрешимость задачи Коши 116
§4.2. Изучение устойчивости по части переменных решений линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений IV-преобразованием 131
§4.3. р-устойчивость по части переменных с весом 137
Глава 5. Задача о накоплении возмущений по части переменных для линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений
§5.1. Допустимость пар пространств по части переменных 151
§5.2. Устойчивость по части переменных решений по начальной функции для линейных стохастических дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом 157
§5.3. Достаточные условия устойчивости по части переменных некоторых уравнений 172
Глава 6. Устойчивость решений нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений
§6.1. Устойчивость решений по первому приближению 200
§6.2. Устойчивость по части переменных по первому приближению
208
§6.3. Достаточные условия устойчивости и устойчивости по части переменных решений некоторых нелинейных уравнений 214
Литература 221
з
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
(£2, .Т7, Р) — основное вероятностное пространство;
£2 — множество элементарных событий (и Є П);
Т — а-алгебра событий на £2;
Р — полная вероятностная мера на Т\
(Ъ),1 >0 — непрерывный справа поток а-алгебр;
B(V) — борелевская сг-алгебра метрического пространства V\
N — множество натуральных чисел;
R” — n-мерное эвклидово пространство;
|.| — норма в Rn\
i|.|| — норма к х n-матрицы, согласованная с нормой вектора в Rn\ Z = colfz1,zm) — m-мерный семимартингал; k11 — линейное пространство ^-измеримых п -мерных случайных величин;
Ln(Z) — линейное пространство п х m-матриц на [0, +оо[, строки которых локально интегрируемые по семимартингналу Z тп мерные случайные процессы;
Dn — линейное пространство n-мерных случайных процессов на [0. +оо[, представимых в виде
t
x(t) = х(0) +1 H(s)dZ(s), о
где х{0) Єкп,Н Є Ln{Z);
А* — мера, порожденная неубывающей функцией А : [0, +оо[—>
L* — линейное пространство скалярных функций на [0, -f оо[, суммируемых со степенью q при 1 < q < оо по мере А* и ограниченных в существенном по мере А* при q = оо;
L“ — линейное пространство n-мерных функций на [0, -f эо[, суммируемых со степенью q при 1 < q < оо и ограниченных в существенном при q = оо;
С\j — линейное пространство n-мерных прогрессивно измеримых случайных процессов на [0,-foo[, траектории которых почти наверно локально суммируемы со степенью q при 1 < q < оо и локально ограничены в существенном при q = оо;
і
(££>)л — линейное пространство гг-мерных предсказуемых случайных процессов на [0, +оо[, траектории которых почти наверно локально ограничены в существенном по мере Л*;
К. ||х — норма в нормированном пространстве X;
||x||t = sup |x(z/)|, если x(v) £ Rn\
0<v<t
||H||t = sup ||H(i/)||, если H — к x п-матрица;
0<u<t
E — единичная матрица;
I — тождественный оператор;
t
V f(s) — полная вариация функции f(s) на отрезке [0, £];
s=0
Е — символ математического ожидания;
J = lim /, где S < 0;
—О <$-+0,5
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена изучению некоторых вопросов теории функционально-дифференциального уравнения по семимартингалу вида
dx(t) = (Vx)(t)dZ(t)1t > 0, (1)
где V : Вп -» Ьп{2) — вольтерров (см. определение на с. 20) оператор.
Если (Ух)(1) = (Кя)(£) -г /(£)> гДе ^ —>• Ьп{2) — А^-линейный
(см. определение на с. 20), вольтерров оператор, / £ Ьп{2), то уравнение (1) называют линейным функционально-дифференциальным уравнением по семимартингалу. В этом случае уравнение (1) называют линейным однородным, если / = 0.
Заметим, что частными случаями уравнения (1) являются, напри-мер, функционально-дифференциальные уравнения Ито и их гибриды, функционально-дифференциальные уравнения в мерах, а также другие стохастические функционально-дифференциальные уравнения с последействием.
К уравнению (1) сводятся обыкновенные дифференциальные уравнения по семимартингалу, дифференциальные уравнения по семимартингалу с запаздывающим аргументом, иитегро-дифференциальные уравнения по семимартингалу.
В диссертационной работе расмотрены следующие основные вопросы: разрешимость задачи Коши для уравнения (1), представление для решения линейного уравнения (1), устойчивость и устойчивость по части переменных решений для уравнения (1) по начальным данным, а также допустимость и допустимость по части переменных некоторых пар пространств для линейного уравнения (1). Как частный случай допустимости, допустимости по части переменных пар пространств изучена устойчивость, устойчивость по части переменных по начальной функции тривиального решения для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. Получены достаточные условия устойчивости и устойчивости по части переменных решений некоторых уравнений в терминах параметров исследуемых уравнений.
Отметим, что в теории функционально-дифференциальных уравнений вопросам устойчивости решений нелинейных уравнений, а также
б
вопросам представления решений и основанных на этих представлениях теоремам об устойчивости решений линейных уравнений посвящено немало работ различных авторов (см., например, [1-3, 8, 9, 12, 13, 51-64, 67-70, 73, 76-83, 91-97, 99-101, 103-123, 125-127, 129, 130, 132]). В них, в основном, используются идеи и методы, восходящие к классическим работам А. М. Ляпу нова, в которых заложены основы метода вспомогательных функций (функций Ляпунова). Методы построения функций Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо разработаны. Применение же метода функций Ляпунова или функционалов Ляпунова-Красовского для функционально -дифференциальных уравнений, как нам кажется, оправдывает себя только в случае нелинейных уравнений. Для линейных функциональнодифференциальных уравнений в детерминированном случае в настоящее время задачи устойчивости эффективно исследованы с помощью ЛУ-метода” (метода вспомогательных или ’’модельных” уравнений) [1-3, 9, 51, 99]. Это направление берет свое начало в работах Е.А.Бар-башина [8], Х.Массера, X.Шеффера [76] и характеризуется тем, что свойство устойчивости определяется принадлежностью решений специальным функциональным пространствам.
Первой работой по устойчивости решений уравнений вида (1) является известная статья И.Я.Каца и Н.Н.Красовского [54]. В последующем теория стохастической устойчивости таких уравнений интенсивно развивалась. Отметим лишь работы некоторых авторов: Г.Н.Миль-штейн [78- 81], Г.Дж.Кушнер [67, 126, 127], В.Б.Колмановский [55-61], В.Р.Носов [58-61], Р.З.Хасьминский [100, 101], К.Н.Хусаинов [82], Е.Ф.Царьков [104-114], Л.Е. Шайхст [115-118] и др. Здесь следует выделить два основных направления: метод стохастических функций Ляпунова [52-56, 58-64, 69, 74-79, 81, 82, 94-97, 100, 101, 103-127, 131, 132] и метод моментов [57, 59, 68, 70, 80, 101]. Оба эти метода в применении к линейным стохастическим уравнениям с последействием наталкиваются на ряд принципиальных и технических трудностей. Первый метод часто требует решения сложных уравнений в баноховых пространствах, второй приложим лишь в специальных случаях к специальным классам уравнений с запаздыванием. Кроме того, все авторы, упомянутые выше рассматривали, преимущественно, уравнения Ито.
В настоящей работе \¥-метод распространяется на линейное функ-
ционально-дифференциалыюе уравнение вида (1). Как и в детерминированном случае метод основан на конструировании вспомогательного модельного уравнения с заданными асимптотическими свойствами решений. Во многих случаях этот метод позволяет обходить некоторые трудности, которые могут возникнуть при применении выше указанных методов. Кроме того, с помощью W-метода можно получать признаки устойчивости решений стохастических линейных уравнений в терминах параметров этих уравнений, а также изучать устойчивость решений новых классов таких уравнений (например, уравнений по се-мимартингалу, а также уравнений с неограниченным запаздыванием). Подчеркнем, что JK-метод позволяет формулировать необходимые и достаточные признаки устойчивости решений.
Перейдем к краткому обзору основных результатов диссертационной работы.
Первая глава посвящена вопросам общей теории уравнения (1). В параграфе 1.1 приведены предварительные сведения, необходимые в дальнейшем и описан объект исследования. Во втором параграфе этой главы рассмотрен вопрос существования и единственности регулярного решения задачи Коши для уравнения (1). Вопросам существования и единственности решения задачи Коши для стохастических уравнений посвящено много работ. Достаточно полный их список приведен в монографиях [18, 58, 87, 111] и в работах [84-86, 89, 90, 128, 131, 134]. Основное ограничение на оператор V — наличие у него так называемого ’’функционального контрактора”, которое обобщает понятие ”интегрального контрактора”, введенное для оператора Немыцкого в [128, 134] и являющееся обобщением условия Липшица. Результаты параграфа 1.2 (теорема 1.2.1) существенно дополняют работу [134]. Как следствие получены условия разрешимости задачи Коши для линейных уравнений вида (1).
В параграфе 1.3 рассмотрен вопрос о представлении для решения линейного уравнения (1) (доказательство формулы типа формула Коши). Это представление играет центральную роль в задачах устойчивости, а также в теории квазилинейных уравнений. В детерминированном случае этот вопрос изучался в [4-7], а в случае линейных дифференциальных уравнеений Ито без последействия — в [92, 93, 131]. Нами получена общая формула представления для решения линейного уравнения
8
(1) при естественных ограничениях на оператор V (лемма 1.3.1). Здесь же уточняется вид общей формулы представления решения для некоторых классов линейных уравнений вида (1): линейных функциональнодифференциальных уравнений Ито с аддитивными шумами (теорема
1.3.1) и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений Ито (теорема 1.3.2). Специфика этих уравнений определяется тем, что для них ’’оператор Коши” оказывается ’’интегральным”. Отметим, что в работах [92, 93, 131] ’’формула Коши” для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений Ито была доказана при более ограничительных условиях. Особое внимание в параграфе уделено выводу уравнений для ’’матриц Коши”. Результаты этого параграфа использованы при изучении вопросов устойчивости решений уравнения (1) в следующих главах.
При исследовании на устойчивость решений дифференциальных систем со случайными коэффициентами возникает необходимость изучения вопроса приводимости к жордановой форме случайных матриц. Некоторые случайные матрицы, приводимые к жордановой форме, рассмотрены в [14]. Вопрос приводимости к жордановой форме случайных матриц связан с их спектральной теорией. А спектральная теория случайных матриц, в свою очередь, тесно связана с различными вопросами многочленов и рациональных дробей со случайными коэффициентами. Поэтому в параграфе 1.4 изучаются многочлены и рациоанльные дроби со случайными коэффициентами и приводимость к жордановой форме случайных матриц. Доказана теорема 1.4.9 о приводимости к жордановой форме произвольной случайной матрицы.
Во второй главе рассматриваются вопросы общей теории устойчивости тривиального решения линейного однородного уравнения (1) по начальным данным. Как уже отмечалось ранее, исследование проведено с помощью ТК-метода.
В первом параграфе введены некоторые понятия, сформулированы определения основных типов устойчивости решений по начальным данным для линейного уравнения (1). Далее доказано, что каждый из этих типов устойчивости эквивалентен принадлежности решений однородного уравнения, соответствующего линейному уравнению (1) специальному функциональному пространству (теорема 2.1.1). Причем, каждому виду устойчивости соответствует некоторое, вполне определенное,
9
пространство случайных процессов.
В параграфе 2.2 описано ” ^-преобразование” линейного уравнения (1). Оно однозначно определяется ’’модельным” уравнением (под модельным уравнением понимается более простое уравнение с известными асимптотическими свойствами решений). В результате получается некоторое уравнение, эквивалентное исходному. Далее остается показать его разрешимость в соответствующем функциональном пространстве, откуда и будет следовать определенная устойчивость решений исследуемого уравнения. Доказано утверждение (теорема 2.2.1), при помощи которого можно эффективно проверять искомую разрешимость.
В парагрггфе 2.3 отдельно рассмотрена экспоненциальная р-устойчивость решений линейного функционально-дифференциального уравнения Ито. Она оказывается эквивалентной принадлежности решений линейного однородного функционально-дифференциального уравнения Ито функциональному пространству с экспоненциальным весом (лемма
2.3.1). Здесь получено, в некотором смысле, распространение классической теоремы Боля-Перрона [99] на линейное функционально-дифференциальное уравнение Ито (теорема 2.3.1). Основной результат параграфа состоит в том, что экспоненциальная р-устойчивость тривиального решения линейного однородного функционально-дифференциального уравнения Ито следует из его ^-устойчивости при некоторых дополнительных предположениях (” А-условий”) на оператор V, встречающий в уравнении (теорема 2.3.1). В детерминированном случае подобное утверждение сформулировано в [1, 2].
В следующем параграфе изучена принадлежность решений линейного однородного уравнения (1) функциональному пространству с весом. При различных значениях веса из принадлежности решений линейного однородного уравнения (1) функциоанльному пространству с весом будет следовать р-устойчивость, асимптотическая р-устойчивость и экспоненциальная р-устойчивость решений линейного уравнения (1). Выяснены условия на оператор V (А-условие), которые обеспечивают р -устойчивость с весом (в частности, асимптотическая р-устойчивость), если аргюгг известна только р-устойчивость (теорема 2.4.1) (распространение классической теоремы Боля-Перрона на линейное уравнение (1)). Здесь же исследованы операторы, удовлетворяющие А-условию,
ю
а также подробно изучена асимптортическая р-устойчивость решений для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. Получены достаточные условия асимптотической р-устойчивости решений упомянутых уравнений в терминах параметров этих уравнений.
В последнем параграфе изучена устойчивость с вероятностью единица решений линейных систем со случайными матрицами. На основе результатов параграфа 1.4 выявлены необходимые и достаточные условия устойчивости, асимптотической и экспоненциальной устойчивости с вероятностью единица решений исследуемой системы (теоремы 2.5.1-2.5.3).
Глава 3 посвящена задаче о накоплении возмущений для линейного уравнения (1), а также задаче об устойчивости но начальной функции тривиального решения линейного дифференциального уравнения по семимартингалу с запаздывающим аргументом. В этой главе для линейных функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу приводятся эффективные (в терминах параметров исследуемых уравнений) достаточные условия устойчивости по начальным данным. Кроме того, получены достаточные условия устойчивости по начальной функции тривиального решения некоторых линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом (сосредоточенным и распределенным).
В параграфе 3.1 рассмотрены вопросы допустимости некоторых пар функциональных пространств для линейного уравнения (1). Для стохастических уравнений подобные вопросы, по-видимому, ранее не рассматривались, хотя в детерминированной теории устойчивости они играют важную роль [1, 2, 76, 99]. Например, допустимость пар пространств оказывается тесно связанной с проблемами устойчивости но начальной функции для линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. В настоящей работе допустимость пар пространств также изучается с помощью Ж-метода. Отметим, что почти все утверждения этого параграфа имеют аналоги в главе 2.
В следующем параграфе теория допустимости пар пространств применяется для изучения устойчивости по начальной функции тривиального решения линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. Такие уравнения записываются в
11
виде линейного уравнения (1). При этом начальная функция (процесс) будет входить в правую часть этого уравнения. Тогда устойчивость по начальной функции будет следовать из допустимости некоторых пар пространств для соответствующего линейного уравнения (1) (лемма
3.2.1). В дальнейшем с помощью результатов параграфа 3.1 изучается устойчивость по начальной функции тривиального решения для линейных дифференциальных уравнений но семимартингалу с запаздывающим аргументом (теоремы 3.2.1-3.2.3).
В заключительном параграфе приводятся конкретные достаточные условия устойчивости решений по начальным данным для некоторых линейных уравнений вида (1), а также достаточные условия устойчивости тривиального решения по начальной функции для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. Сначала рассматривается более общее уравнение и условия устойчивости тривиального решения этого уравнения сформулированы в терминах существования положительного числа, для которого выполняется некоторое неравенство. В дальнейшем проверяется существование такого числа для конкретных классов уравнений (скалярных и векторных). Получены достаточные условия устойчивости тривиального решения по начальной функции исследуемых уравнений в терминах их параметров. В заключении параграфа рассматривается система дифференциальных уравнений Ито с распределенным запаздыванием и скалярное дифференциальное уравнение Ито с распределенным запаздыванием.
В четвертой главе исследованы вопросы общей теории устойчивости решений но части переменных для линейного уравнения (1). Вопросам устойчивости решений по части переменных детерминированных функционально-дифференциальных уравнений посвящены многие исследования [51, 83, 91]. В них, в основном, упомянутые вопросы изучаются с помощью аппарата функций Ляпунова и функционалов Ляпунова-Красовского. В данной главе с помощью Ил-мстода изучены вопросы устойчивости решений по части переменных для линейного уравнения (1), по нашему мнению, не рассматривавшиеся ранее.
В первом параграфе введены некоторые понятия, сформулированы определения основных типов устойчивости по части переменных решений линейного уравнения (1). Далее доказано, что каждый из этих ти-
12
пов устойчивости эквивалентен принадлежности векторов, составленных из компонентов, относительно которых изучается устойчивость решений линейного однородного уравнения (1) специальному функциональному пространству (теорема 4.1.1). Причем, каждому виду устойчивости соответствует вполне определенное пространство случайных процессов.
В параграфе 4.2 описано ^-преобразование уравнения для компонентов, относительно которых изучается устойчивость, полученная из линейного уравнения (1). Оно также однозначно определяется модельным уравнением, асимптотические свойства решений которого известны. В результате получается некоторое уравнение, эквивалентное исходному. Далее остается показать его разрешимость в соответствующем функциональном пространстве, откуда и будет следовать определенная устойчивость решений исследуемого уравнения. Доказано утверждение (теорема 4.2.1), при помощи которого можно эффективно проверять искомую разрешимость.
В последнем параграфе изучена принадлежность векторов, составленных из компонентов решений линейного однородрого уравнения (1) функциональному пространству с весом. При различных значениях веса из принадлежности векторов, составленных из компонентов решений линейного однородного уравнения (1) функциональному пространству с весом следует р-устойчивость, асимптотическя р-устойчивость, экспоненциальная р -устойчивость по части переменных решений линейного уравнения (1). Выяснены условия на операторы, определяемые по оператору V для линейного уравнения (1), которые автоматически обеспечивают р-устойчивость с весом по части переменных (в частности, асимптотическая р-усгойчивость по части переменных), если аргюН известна только р-устойчивость по части переменных (теоремы 4.3.2, 4.3.3). В заключении этого параграфа подробна изучена асимптотическая р- устойчивость но части переменных решений для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. Получены достаточные условия асимптотической р-устойчивости по части переменных решений выше упомянутых уравнений в терминах параметров этих уравнений.
В пятой главе изучены вопросы допустимости некоторых пар пространств по части переменных для линейного уравнения (1). Эти во-
13
просы играют значительную роль в теории устойчивости по части переменных дя линейного уравнения (1). В ней для линейных уравнений вида (1) приводятся эффективные (в терминах параметров исследуемых уравнений) достаточные условия устойчивости решений по части переменных по начальным данным. Кроме того, получены достаточные условаия устойчивости тривиального решения но начальной функции по части переменных для некоторых линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом (сосредоточенным и рапределенным).
В параграфе 5.1. рассмотрены вопросы допустимости некоторых нар пространств по части переменных для линейного уравнения (1). Они даже для детерминированных линейных функционально-дифференциальных уравнений, по нашему мнению, ранее не рассматривались. Эти вопросы тесно связаны с различными вопросами теории устойчивости по части переменных решений для линейных уравнений вида (1). В частности, допустимость пар пространств по части переменных тесно связана с проблемами устойчивости по начальной функции по части переменных тривиального решения для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. В этом параграфе допустимость пар пространств по части переменных для линейного уравнения (1) изучена с помощью 1У-метода. Отметим, что изученные в параграфе 5.1 пары пространств соответствуют, как показано в следующем параграфе, основным типам устойчивости по части переменных по начальной функции тривиального решения линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом.
В следующем параграфе, как отмечалось выше, теория допустимости пар пространств по части переменных для линейного уравнения (1) применяется для изучения устойчивости по части переменных тривиального решения линейных дифференциальных уравнений по семи-мартингалу с запаздывающим аргументом. Для этого такие уравнения записываются в виде (1). При этом начальная функция (процесс) будет входить в правую часть этого уравнения. Тогда устойчивость тривиального решения по начальной функции по части переменных будет следовать из допустимости некоторых пар пространств по части переменных для соответствующего уравнения (1) (лемма 5.2.1). В дальней-
14
шем с помощью результатов параграфа 5.1 изучается устойчивость по начальной функции по части переменных тривиального решения для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом (теоремы 5.2.3 — 5.2.6).
В заключительном параграфе приводятся достаточные условия устойчивости по части переменных по начальным данным решений для некоторых линейных уравнений вида (1), а также достаточные условия устойчивости по начальной функции но части переменных тривиального решения для линейных дифференциальных уравнений по семимартингалу с запаздывающим аргументом. В начале рассматривается общая линейная система дифференциальных уравнений по семимартингалу с сосредоточенным запаздыванием. Условия устойчивости тривиального решения по части переменных но начальной функции этой системы сформулированы в терминах существования положительного числа, для которого выполняется некоторое неравенство. В дальнейшем проверяется существование такого числа для конкретных классов уравнений. Условия устойчивости сформулированы в терминах параметров этих уравнений. В заключении этого параграфа рассматривается система двух скалярных дифференциальных уравнений Ито с распределенным запаздыванием и система дифференциальных уравнений Ито с распределенным запаздыванием.
Шестая глава посвящена вопросам устойчивости решений нелинейного уравнения (1). В параграфе 6.1 изучена устойчивость тривиального решения для нелинейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу. Для этого изучается более общий вид устойчивости уравнения (1), из которого следует устойчивость тривиального решения соответствующего нелинейного уравнения. При этом использованы идеи и результаты предыдущих глав. Распространена известная теорема Ляпунова об устойчивости но первому приближению на случай функционально дифференциальных уравнений по семимартиргалу. Для детерминированных функционально-дифференциальных уравнений этот вопрос изучался аналогично в [3]. Доказана теорема о сохранении устойчивости тривиального решения при возмущении линейного функционально-дифференциального уравнения (теорема 6.1.1). В этой теореме получены ограничения на возмущения, при выполнении которых сохраняется устойчивость три-
15
виального решения возхмущенного уравнения.
В следующем параграфе рассмотрен вопрос устойчивости по части переменных тривиального решения нелинейных функциональнодифференциальных уравнений по семимартингалу но первому приближению. Этот вопрос изучается по аналогии с вопросом устойчивости тривиального решения для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений по семимартингалу, рассмотренному в параграфе
6.1. Выяснены условия на возмущения линейного функционально-дифференциального уравнения, при выполнении которых сохраняется устойчивость но части переменных тривиального решения для возмущенного функционально-дифференциального уравнения по семимартингалу.
В заключительном параграфе на основе результатов параграфов 6.1 и 6.2 получены достаточные условия устойчивости и устойчивости по части переменных тривиального решения некоторых нелинейных функционально-дифференциальных уравнений Ито. Условия устойчивости получены в терминах параметров исследуемых уравнений. Рассмотрены скалярные и векторные дифференциальные уравнения Ито с ”максимумом”, а также векторное дифференциальное уравнение Ито с распределенным запаздыванием.
Апробирование работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на VI и VII Всесоюзных конференциях по качественной теории дифференциальных уравнений (Иркутск, 1986; Юрмала, 1989), на Всесоюзной конференции по теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений (Душанбе, 1987), на Уральских региональных конференциях ” Функционально-дифференциальные уравнения” (Уфа, 1986, 1989; Челябинск, 1987; Пермь, 1988), на Северо-Кавказских региональных конференциях ” Функционально дифференциальные уравнения и их приложения” (Махачкала, 1986, 1988, 1998), на Пермском (1986-1998) семинаре по функционально-дифференциальным уравнениям, на заседании Республиканского семинара ” Вероятностные методы кибернетики” (Рига, 1988), на научном семинаре кафедры вычислительной математики Уральского государственного университета им. А.М.Горького (Екатеринбург, 1989), на семинаре А.И.Скорохода в Институте математики АН УССР (Киев, 1989), на конференции по дифференциальным уравнениям и их применениям (Русе, Болгария, 1989), на научной конференции ”Раз-
1G
рывные динамические системы” (Ивано Франковск, 1990), в научной школе-семинаре ’’Моделирование и исследование устойчивости физических процессов” (Киев, 1990), в научной школе по конструктивной теории функций и ее приложениям (Махачкала, 1994), в Всероссийских школах-коллоквиумах по стохастических методам геометрии и анализа (Абрау-Дюрсо, 1994; Йошкар-Ола, 1995; Туапсе, 1996), на Международной конференции по теории приближения (Махачкала, 1998), на Международной конференции ’’Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования” (Москва, 1998), на научном семинаре кафедры высшей математики Московского института электронники и математики (Москва, 1998), на научном семинаре профессора А.Я.Каца в Уральской государственной академии путей сообщения (Екатеринбург, 1998), на научном семинаре ’’Качественная теории дифференциальных уравнений” кафедры дифференциальных уравнений Московского государственного университета им. М.Ламоносова (Москва, 1998).
17
ГЛАВА 1 Общая теория стохастических функционально-дифференциальнфых уравнений
Вопросу существования и единственности решения задачи Коши специальных случаев стохастических функционально-дифференциальных уравнений посвящены многие исследования [18, 58, 84-87, 89, 128, 131, 134]. Однако, утверждения, приводимые в этих работах, не применимы к достаточно общему случаю линехшых стохастичесческих функционально-дифференциальных уравнений. Поэтому возникает необходимость в более общих концепциях и теоремах о существовании решений стохастических функционально-дифференциальных уравнений. Ниже предлагается теорема об однозначной разрешимости задачи Коши для достаточно общего стохастического функционально-дифференциального уравнения по семимартингалу. В линейном случае предлагается ”формула Коши” для представления общего решения. Эта формула распространяет на общий случай линейных стохастических функционально-дифференциальных уравнений известное обобщение классической формулы Коши, предложенный для обыкновенных дифференциальных уравнений Ито в работах [92, 93, 131]. В заключении главы рассматривается вопрос приводимости к жордановой форме случайных матриц. Результаты этой главы явились далее основой для исследования вопросов устойчивости решений линейных стохастических функционально дифференциальных уравнений.
§1.1. Предварительные сведения и объект исследования
Приведем некоторые понятия и определения из [10, 15-18, 72], которые будут необходимы в дальнейшем.
Здесь и в дальнейшем фиксируется полное вероятностное пространство (О, Т, .75, Р) с непрерывным справа потоком сг-алгебр №), £ > 0.
Напомним, что семейство сг-алгебр > 0 называют потоком,
если Т8 С Ть С Т для 5 < £; поток (•?•*), £ > 0 называют непрерывным
18
справа, если П Т8 = Т% для всех 5, £ Е [0, +оо[.
Случайная величина — это ^-измеримая действительная функция; ^-измеримая функция в Яп называется п-мерной случайной величиной. Случайная величина т = т(<д), заданная на (П,.?7) и принимающая значения в [0, Н-ос] называется случайным момент,ом. Случайный момент т = г(со) называется марковским моментом, если для каждого £ > 0 имеем {о? : со Е Г2,т(сц) < £} £ Т%. В случае Р{и : со Е £2,т(о;) < оо} = 1 марковский момент т называется моментом остановки.
Всякое подмножество множества П х Я+ называется случайным множеством.
Важными примерами случайных множеств являются стохастические интервалы
К г] = {(^, *) : а(ш) < I <
[а,т[= {(и,*) : <т(и) < < <
]сг, т] = : <т{ш) <t< т{ш)},
]а’т[= {(“>>*) : <?{и) < < < т(о>)},
построенные по случайным моментам а и т.
Случайным процессом называют функцию двух аргументов х(£) = = х(£,о;), £ Е [0, +оо[, со Е П, ^-измеримую при каждом значении £ Е Е [0, +оо[, принимающую действительные значения или, если это специально оговорено, значения в другом измеримом пространстве {С, 5}. Пространство С иногда называют фазовым пространством процесса, а функцию х(.,со) аргумента £ (си фиксировано) — траекторией процесса. Если значения случайного процесса х принадлежат И11, то случайный процесс х называют п-мерным случайным процессом. Случайный процесс х(£, и;) называется согласованным с потоком (^), £ > О, если при каждом фиксированном £ Е [0, +оо[ случайная величина х(£,.) является ^-измеримым.
Случайный процесс х(£) = х^,со), (£,и>) Е [0, +оо[хГ2, принимающий значения в измеримом пространстве {(3, <3} называют измеримым., если функция х(£,с^) — Я([0,+ос[) 0 ^-измерима, т.е. для любого Л Е С справедливо {(£,<д) : х(£,о;) Е Л) Е #([0, +оо[) 0 Т. Процесс х(£) называют прогрессивно измеримым (относительно потока (^), £ > 0),
19
если он согласован относительно потока (.Т7*), t > 0 и для каждого t £ [0,+оо[ функция x(s) = х($,и),($,и) £ [0,t\ х 12 — £([0, t]) ® ^’t-измерима.
Случайные процессы х(2) и y(t) называют стохастически эквивалентнымиесли Р{сд : w € Г2,я(2,о;) ф y{t,w)} = 0 для каждого t > 0.
Процессы x(t) и y(t) называют неразличимыми (или Р-неразличимыми), если Р(А) = 0, где А = {со : со £ 12, существует t £ [0,+оо[ такие, что x(t,u>) ф ?/(f,cj)}.
Наименьшую сг-алгебру, порожденную случайными множествами вида [0, т[, где т — марковский момент, называют сг-алгеброй предсказуемых множеств. Эту а- алгебру обозначим через V.
Случайный процесс x(t) называется предсказуемым, если функция x(t,и), (tjio) € [0,+оо[х£2 является V-измеримой.
Пусть D отрезок [0,Т] или полуось [0, +ос[, X, Y — линейные пространства предсказуемых или прогрессивно измеримых случайных процессов на D.
Оператор V : X —»■ Y называют вольтерровым, если для любого момента остановки т, значения которого из множества D с вероятностью единица и для любых случайных процессов я, у, принадлежащих пространству X из того, что x(t) = y(t) при t € [0,т] почти наверно, будет следовать (Vx)(t) = (Vy)(t) при t £ [0, г] почти наверно.
Оператор V : X —>■ У называют к1 -линейным, если для любых а, (3 £ £ к\ х,у £ X выполнено равенство V(ax + (Зу) = aVх + fdVy.
Предположим теперь, что траектории случайных процессов из пространств X, Y принадлежат некоторым метрическим пространствам. Оператор V : X —> Y называется стохастически непрерывным, если для х,хп £ X при любом п £ N из того, что хп(.,и) сходится к х(.,со) при п —> оо с вероятностью единица следует сходимость (Vxn)(.,u>) к (1Лг)(.,а;) при п —» оо с вероятностью единица.
Здесь и в дальнейшем: Я7 — оператор расширения с [0, Т] на [0, + оо[. Заметим, что поскольку возможны различные расширения случайных процессов с [0, Т] на [0,+оо[, то для определенности под расширением случайною процесса х с [0,Т] на [0,+оо[ будем понимать случайный процесс совпадающий с х на [0, Т] и равной х{Т) на [Т, +оо[. Пусть Р1 — оператор сужения с [0,+оо[ на [0,Т].
Далее, если Х,У — линейные простраства предсказуемых (прогрес-
20
сивно измеримых) случайных процессов, заданных на [0, +оо[, то Хт, Ут — линейные пространства предсказуемых (прогрессивно измеримых) случайных процессов, заданных на [О, Т], состоящиеся из сужений процессов из пространств X, У на [0. Т] соответственно. Кроме того, если V : X -» У — некоторый оператор и оператор Г1Т действует из пространства Хт в пространство X, то через Ут обозначим оператор, определяемый равенством Ут = РГУЛт. Отметим, что Ут — оператор действующий из пространства Хт в пространство Ут, и если оператор У — А^-линейный, вольтерров оператор, то оператор У1 — также А^-линейный, вольтерров.
Основным объектом работы является линейное стохастическое функционально-дифференциальное уравнение по семимартингалу вида
дх(і) = [(Уя)(£) + f(t)\dZ(t),t > 0, (1-1-1)
где / Є Ьп{2), а У : И4 -> Ьп(2) — /^-линейный, вольтерров оператор такой, что УТ : П? —> (Ьп(2))т — стохастически непрерывный оператор для любого Т є]0, +ос[.
В параграфе 1.2 и в главе б рассматривается стохастическое функционально-дифференциальное уравнение по семимартингалу вида
= (Ух)(ь)дг(ь)^ > о, (1.1.2)
где У : Ип Ьп(2) — некоторый вольтерров оператор (не обязательно к1-линейный) такой, что Ут : 1)^ —»■ (Ьп(2))т — стохастически непрерывный оператор для любого Т б]0,+оо[. Уравнение (1.1.1) является частным случаем уравнения (1.1.2).
Решение уравнения (1.1.2) - это случайный процесс из П4 удовлетворяющий 5?интегро-функциональному” уравнению
ж(£) = ж(0) + (Л;)(£),2 > 0, (1.1.3)
і -
где (Рх)(і) = !(Ух)($)с12($) — вольтерров оператор действующий в
пространстве Рп (интеграл в равенстве (1.1.3) — стохастический интеграл по семимартингалу 2 [124]), т(0) Є кп.
В дальнейшем предположим, что семимартингал 2 представим в виде 2 = 6 4- с, где Ь — предсказуемый случайный процесс локально ограниченной вариации, ас — локально квадратически интегрируемый мартингал [72, с. 28] и все компоненты процесса Ь и взаимные
21