Устойчивость и бифуркации семейств равновесий и стационарных движений симметричных и косимметричных динамических систем

2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.......................................................
ГЛАВА I. БИФУРКАЦИИ, СОПРОВОЖДАЮЩИЕ МОНОТОННУЮ ПОТЕРЮ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ КО-СИММЕТРИЧНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ .............................
1 1. Введение .................................................
1.2. Метод Ляпунова-Шмидта для уравнения г косимметрией .......
1.2.1. Постановка задачи и уравнения разветвления ..........
1.2.2. Случай общего положения..............................
1.2.3. Меюд Ляпунова — Шмидта в случае двумерного ядра......
1.2.4. Бифуркации общего положения в системах с косимметрией
1.2 5. Случай полного вырождения линейной части уравнения разветвления ..................................................
1.3. Метод центрального многообразия. Случай двукратного нулевого собственного значения.........................................
1.3.1. Случай двумерной жордановой клетки. Бифуркация усюй-
чиных и неустойчивых дуг.......................
1.3.2. Случай общего положения: нет локальных бифуркаций
1.3.3. Рождение неусюйчивой дуги ...................
1.3.4. Рождение пары дуг — устойчивой и неустойчивой........
1.3.5. Случай двумерного ядра: седловая бифуркация и бифуркация рождения цикла равновесий из «воздуха»..................
1.3.6. Случай двумерного ядра: бифуркация семейства равновесий, сопровождаемая рождением малой неустойчивой дуги
1.3.7. Случай двумерного ядра: ответвление малого цикла равновесий от угловой точки семейства равновесий.................
1.4. Меюд центрального многообразия. Случай трехкратного нулевого собсі венного значения........................................
6
28
28
30
30
35
36
39
43
46
48
49
50
51
53
55
57
62
3
1.4.1. Жордаиова клетка. Рождение усюйчивой дуги, образованной равновесиями разного тина ...................... 02
1.4.2. Двумерное ядро. Бифуркации семейств равновесий, сопровождаемые внутренними бифуркациями ................. 67
1.5. Приложение. Распрямление когиммефичного векторного поля на плоскости....................................................... 81
ГЛАВА II. БИФУРКАЦИЯ ОТВЕТВЛЕНИЯ ЦИКЛА В П-ПАРА-МЕТРИЧЕСКОМ СЕМЕЙСТВЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С КОСИММЕТРИЕЙ.......................................... 84
2.1. Введение ......................... ........................ 84
2.2. Постановка задачи.......................................... 84
2.3. Фазовые нортреш и перестройка.............................. 91
2 3.1. Главные семейства..................................... 91
2 3 2. Развитие неустойчивой дуги без ответвлении цикла ..... 94
2.3.3. Ответвление предельного цикла от равновесия, разделяющего устойчивую и неустойчивые дуги................... 96
2.3.4. Ответвление предельного цикла от равновесия, раздел я юще-
го две устойчивые дуги................................. 101
2.4. Заключение.................................................. 106
2.5. Приложение А: Косимметрическая версия теоремы о неявной фуик- 110
ции.........................................................
Приложение В: Сводка результатов............................. 113
ГЛАВА III. ОТВЕТВЛЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА ОТ ПОДМНОГООБРАЗИЯ РАВНОВЕСИЙ В СИСТЕМЕ С МУЛЬТИКОСИММЕТРИЕЙ ............................................. 114
3.1. Метод Ляпунова — Шмидта..................................... 114
3.1.1. Постановка задачи. Основные определения и гипотезы 114
3.1.2. Линеаризованное уравнение.............................. 117
3.1.3. Уравнение разветвления циклов.......................... 119
1
3.2. Метод центрального многообразия.............................. 131
3 2.1. Постановка задачи ...................................... 131
3.2.2. Бифуркация областей устойчивости ....................... 135
3.2.3. Модельные семейства..................................... 138
3.2.4. Ответвление предельного цикла без бифуркации областей
уеюйчивости............................................. 140
3.2.5. Огвеївление предельного цикла в случае бифуркации обла-
с і ей устойчивости..................................... 141
3.2.G. Случай общего положения: предельный цикл не ответвляется, и области уеюйчивости не бифурцируют....................... 143
ГЛАВА IV. О БИФУРКАЦИЯХ РАВНОВЕСИЙ ПРИ РАЗРУШЕНИИ КОСИММЕТРИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 145
4.1. Постановка задачи и уравнения разветвления .................. 145
4.2. Случай общею положения ...................................... 151
4.3. Метод Ляпунова — Шмидта в случае двумерного ядра............. 155
ГЛАВА V. ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ГРАНИЧНЫХ РАВНОВЕСИЙ В
СИСТЕМАХ С КОСИММЕТРИЕЙ.............................. 165
5.1. Обращение 'хеоремы о неявной функции для косиммехрических систем ............................................................. 167
5 2. Критические случаи устойчивости.............................. 170
5.2.1. Критический случай трехкратного нулевого собственного 171
значения .............................................
5.2.2. Критический случай двукратного нулевого и простой пары 172
чисто мнимых собственных значений.....................
5.2.3. Критический случай нулевого и пары чисю мнимых собственных значений (все они просты) ............................ 174
5.2.4. Уравнение на центральном многообразии, влияние косим- 175
метрии на его ряд тейлора.............................
5.2.5. Критерии устойчивости и модельные системы .............. 178
5.2.6. Устойчивость ........................................ 180
5 2.7. Неустойчивость ...................................... 184
ГЛАВА VI УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ
ПРАВИЛЬНОГО ВИХРЕВОГО МНОГОУГОЛЬНИКА 186
6.1. Введение ................................................. 186
6.2. Стационарные движения динамических систем с симметрией 192
6.3. Стационарное вращение сиаемы точечных вихрей.............. 198
6.3.1. Группа симметрии .................................... 201
6.3.2. Устойчивость правильного вихревого n-у голышка ...... 204
6 3 3. Обоснование законности линеаризации для произвольною 205
п > 2, п ф 7.......................................
6.3.4 Устойчивость вихревого семиугольника ................ 209
6.4. Заключение................................................ 214
6.5. Дополнение А: Циркулянтные и косо-циркулянтныс матрицы 216
6.6. Дополнение В: Парадоксы и недоразумения................... 218
6.7. Дополнение С: Разложение относительного гамильтониана в окрестности стационарного режима ............................ 221
6.8. Дополнение D: Координатная форма записи функции !Р, заданной выражением (3.48) ......................................... 232
ГЛАВА VII. О НЕЛИНЕЙНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПРАВИЛЬНЫХ ВИХРЕВЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ И МНОГОГРАННИКОВ НА СФЕРЕ................................................ 237
7.1. Введение ................................................. 237
7.2. Уравнения движения сиелемы точечных вихрей на сфере....... 241
7.3. Усюйчивость правильного вихревого п-угольника............. 242
7 4 Устойчивость правильных вихревых многогранников ........... 248
7.5. Приложение: Полиномы Рп и Qn Таблицы 2.................... 250
ЗАКЛЮЧЕНИЕ................................................... 270
ЛИТЕРАТУРА .................................................. 273
Введенно
О
В диссертации развита общая теория локальных бифуркаций в динамических системах с косиммегрией, обладающих в условиях общею положения непрерывным семейством равновесий с переменным спею ром устй-чивосги. Исследованы бифуркации таких семейств равновесий, приводящие к рождению вюричиых и третичных стационарных режимов (в чом числе и при разрушении косимметрии системы), а чакже автоколебательных периодических режимов. Получен ряд критериев усюйчивопи равновесий непрерывного семейства.
Результаты диссертации для динамических систем с симмсфией связаны с проблемами устойчивости стационарного вращения гипемы точечных вихрей. Полностью решены задача Кельвина об устойчивое!и стационарных вращений правильных вихревых многоугольников на плоскости, а чакже ее обобщение для сферы, когда точечные вихри лежат в вершинах правильного многоугольника или правильного многогранника.
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы диссертации. Наличие у динамической сисхсмы нетривиальной симметрии или косимметрии приводит к существованию непрерывных семейств равновесий. В обоих случаях мы имеем дело с вырождением бесконечной коразмерности, которое никогда не появляется в общей теории, основанной на последовательном рассмотрении вырождений кораз.мернопей 1,2,___
Причины сильной неединственности равновесий в системах с косиммегрией и в системах с симметрией двойственны [95, 152, 153]: наличие косимметрии указывает на скрытую недоопределенноегь системы, тогда как наличие симметрии говорит о ее скрытой псреопределеиности.
Теория косимметрии [80, 151] возникла в связи е объяснением необычного характера первого перехода в двумерной задаче фильтрационной конвекции [52]. Д.В. Любимов [52] обнаружил, что в результате первого бифуркационного перехода при возникновении конвективных движений в по-
Введение
7
догреваемой снизу пористой среде, заполняющей горизонтальный цилиндр с произвольной формой поперечного сечения, возникает одпопарамсфнче-ское семейство устойчивых стационарных течений. В. И. Юдович [80, 151] доказал существованиеэтогосемействаи показал, что причиной шкогоспе-цифического перехода в этой задаче является наличие у соавеютвующего дифференциального уравнения нетривиальной косиммефии.
Члены семейава равновесий косимметричной динамической еиаемы обладают изменчивым спектром усюйчивости [80,151], что принципиально отличает такое семейство от орбшы действия любой динамической группы симметрии. Равновесия, принадлежащие одной орбите группы симметрии, лишены индивидуальности, и поэтому чеория бифуркаций в симметричных сисчемах рассматривает скорее бифуркации орбит, а не равновесий в отдельности.
Роль симметрии в современной физике, и, в частости, в теории бифуркаций, хорошо известна [108, 109, 113, 154]. Что касается косиммефии и ее роли, то исследование все еще находится в самом начале но, как мы верим, имеет немалые перспективы. Развитие теории устойчивости и теории локальных бифуркаций в косим метрических динамических системах актуально, в частности, в связи с обнаруженными в последнее время нефиви-альпыми косимметриями в ряде задач математической физики. Известные ныне примеры — фильтрационная конвекция жидкости [80, 151], в частности, многокомпонентной и магнитной [83, 91, 93], системы классической механики с симметричной потенциальной энергией [82, 153], модели фазовых переходов антиферромагнетиков [94], задачи о волнах на поверхностях раздела жидкостей [56, 57, 128, 129]. Разумеется, речь здесь идет о нсго-лономных косиммефиях, голоиомные косимметрии суть дифференциалы интегралов системы, и, конечно, хорошо известны.
Результаты дисеершции для динамических систем с симметрией связаны с проблемами усюйчивости стационарного вращения еиаемы точечных вихрей. Эти режимы описываются точным решением уравнений, обладающих непрерывной группой симметрии. Общая теория сводит проблему
Введение
8
устойчивости стационарных движений в системах с симметрией к задаче устойчивости непрерывного семейства равновесий приведенного уравнении. Поэтому методы исследования довольно 'разных, по содержанию задач устойчивости - стационарных вращений и равновесий непрерывного семейства косимметричной системы — имеют много общего
Модель т очечных вихрей на плоскости была использована Кельвином (1878 г.) для иосхроеиия его вихревой теории атома. Хотя эта теория была отвергнута, математическая модель выжила и в настоящее время приобрела новую актуальность и в связи с теорией вихрей в сверхтекучей жидкости [148. 149], и для исследования электронных колони [111, 112|. Кельвином была поставлена проблема устойчивости стационарного вращения сис!емы п одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершинах правильною п-угольника [146]. Этот режим описывается точным решением уравнений Кирхгофа. Для матрицы линеаризации уравнений Кирхгофа на эюм решении задача на собственные значения решается явно Это использовано в рабошх Дж Дж. Томсона (|144], 1883 г.) и Т. X. Хавелока ([116], 1931 г.), в коюрых получены исчерпывающие результаты о линейной устойчивости. В работах [30, 31] было показано, что при п < 6 из орбитальной устойчивости но линейному приближению следует и нелинейная орбитальная устойчивость. Случай п = 7 оставался сомнительным — в литературе можно найти как утверждения об устойчивости, так и утверждения о неустойчивости с неполными или неточными доказательствами.
В диссертации доказано, что при п = 7 нелинейная устойчивость всё ещё имеет место. Таким образом, полный ответ на вопрос Кельвина состоит в том, что правильный вихревой п-угольник устойчив при п < 7, а при п > 8 — неустойчив.
В последнее время наблюдается всплеск интереса к задаче движения точечных вихрей па сфере (см. обзоры [11, 138]). Эю вызвано потребностями метеорологии, геофизической и астрофизической гидродинамики. Большую популярность приобрела модель колебаний центров действия атмосферы, основанная на взаимодействии конечной системы точечных ви-
Введение
9
хрей на сфере. Аналогом проблемы Кельвина для сферы является задача устойчивости вихревых полигонов, расположенных на одной широіе. Заметим, чю ответ зависит от того на какой широте расположен эюг полигон Известны и другие многочисленные стационарные режимы движения одинаковых точечных вихрей на сфере. Анализ их устойчивости находи їси пока на начальном этапе и далёк от своего завершения. Среди таких задач особо стоит проблема устойчивости правильных вихревых многогранников (Плачоновых чел). Такие многогранники неподвижны, в то время как пракчически все найденные стационарные режимы на сфере, в чом числе и вихревые полигоны вращаются. Отметим, что па плоскости сисіема одинаковых точечных вихрей не можег быть неподвижной. В диссеріации в строгой нелинейной постановке дано полное решение задачи устойчивости вихревых полиэдров (к счастью Плачоновых тел всего пять), а чакже завершено исследование устойчивости вихревых полигонов, начачое в работах В. А. Богомолова ([10], 1979 г.), С. Пикарски, Дж. Марсдена ([140], 1998 г.), В. А. Борисова, А. А. Килина ([102], 2000 г.). В резульчате в диссертации изложены необходимые и достаточные условия усюйчивости и неустойчивости всех правильных систем одинаковых чочечных вихрей на сфере.
Цели работы: для динамических систем с косимметрией развить аналитическими методами общую теорию устойчивости равновесий непрерывных семейств и локальную теорию бифуркаций; получить полное математически строгое решение проблемы устойчивости всех правильных конфигураций ч очечных вихрей на плоскости и сфере.
Методы исследования. Применяются оба существующих подхода к исследованию локальных бифуркаций — меюд Ляпунова-Шмидта и метод центрального многообразия. Устойчивость равновесий изучена прямым методом Ляпунова, а при анализе усюйчивости правильных конфигураций точечных вихрей использована теория усюйчивости стационарных движений
Введение
10
динамических систем с непрерывной группой симметрии.
Практическая значимость диссертационной работы следует из о і меченной выше актуальности темы исследования.
Все результаты теории бифуркаций, полученные в диссертации моїо-дом Ляпунова-Шмидт, представлены в виде полиномиальных неравенств для коэффициентов уравнений разветвления, заданных в виде явных формул - через корневые векторы линеаризованной системы и ее сопряженной. Таким образом, применение этих результатов к конкретным системам своди іся просто к вычислению по явным формулам. Указанная форма коэффициентов разветвления удобна для вычислений и программирования на ЭВМ. Она эффективна как для конечномерных, так и для бесконечномерных СИСІЄМ.
Полученные в диссеріации результаты об устойчивое і и конфигураций точечных вихрей относятся к давно поставленным проблемам гидродинамики. Их решение поможет при изучении устойчивости других вихревых конфигураций.
В диссертации не нашлось места для приложений полученных в ней общих результатов для косимметричных динамических сисіем. Дело в том, что в физически осмысленных задачах значительная часть работы (вычисление критических значений, собственных векторов, коэффициентов уравнений разветвления метода Ляпунова-Шмидта или коэффициентов модельных уравнений метода центрального многообразия) может быть проделана лишь с применением комнькмера. Такая работа последние десять лет регулярно проводится ростовскими и пермскими математиками Бифуркации, описанные в диссертации, исследованы в их рабоїах численными методами в моделях фильтрационной конвекции жидкости в пористой среде.
Теория и вычислительный эксперимент идут в тесной связи при изучении динамических систем с косимметрией, подсказывая друг другу направления исследования. Например, бифуркация ответвления цикла от непрерывного семейства равновесий сначала была обнаружена численно, и лини,
Введение
11
затем уже обоснована теоретически. В то же время теория нередко шла впереди вычислительного эксперимента. Например, долгое время в моделях фильтрационной конвекции жидкости не удавалось обнаружить бифуркацию ответвления тора от семейства равновесий, описанную в работах [48, 122|. Недавно она была найдена (сообщение В. Н. Говорухина и И.В. Шевченко, результат публикуется).
Апробация работы. Результаты, полученные в диссертации представлялись на Школах-семинарах МГУ "Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости" (Москва, 1994, 1996, 1998, 2002, 2004), международных конференциях "Структуры и волны: теория и приложения" (Санкт-Пеюрбург, 2002); "Симметрия и косимметрия и их приложение в теории бифуркаций и фазовых переходов," (Азов, 2000, Сочи, 2002); "Современные проблемы Механики сплошной среды" (Ростов-на-Дону, 1996, 2000,2001); "Крымской осенней математической школе симпозиуме по спектральным и эволюционным задачам," (Севастополь 2003, 2004); "Матема-1ическая гидродинамика: модели и методы" (Ростов-па-Дону, 2004).
Основные результаты диссертации докладывались на семинарах "Аэромеханика" академика РАН Г. Г. Черного (НИИ Механики МГУ), "Проблемы механики" член-корреспондента Национальной Академии Наук Украины А. Ф Улитко (Киевский национальный университет), "Математические вопросы гидродинамики" под руководством проф. В. И. Юдовича (кафедра ВМ и МФ РГУ), на заседании Ростовского математического общества.
На разных этапах данная работа поддерживалась графами РФФИ (№№ 93-01-17337, 96-01-01791, 99-01-01023, 01-01-22002, 02-01-00337, 04-01-96815-р2004юг, 05-01-00567), Межвузовской научной программы "Универ-сит е!ы России - фундаментальные исследования" (№№ 4087, УР.04.01.063, УР.04.01.035), Минобразования РФ (КЦФЕ при СПбГУ) (№№ 95-0-2.1-115. Е02-1.0-145), Президентской программы поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (НШ.1768.2003.1, НШ. 5747.2006.1), Международного научного фонда Сороса (№ ГК^ООО), Американским Фондом Граждан-
Впадение
12
ских Исследований и Развития С1ЮР (№ КМ1-2084), международного научного фонда 1МТА8 (№ 04-80-7297).
Публикации и вклад автора. Основные результаты диссертации отражены в 15 публикациях в реферируемых журналах. При этом 4 работы написаны без соавюров, а остальные вместе с проф. В. И. Юдовичем. Из публикаций в соавторстве на защиту вынесены чолько те результаты и выводы, коюрые принадлежат авторам в равной мере. Кроме юго, соискателем опубликовано в реферируемых журналах 4 статьи, результаты коюрых не включены в диссертцию по соображениям обьема
Для изложения содержания диссершции нам понадобится ряд факчов, определений и черминов, введенных в основном в рабомх В. И. Юдовича.
Косимметрия векторного поля (и определяемого им автономного дифференциального уравнения на многообразии), по определению, есчь аннулирующая его в каждой точке дифференциальная 1-форма [80, 82, 88, 151, 152). Если задана риманова или псевдориманова структура на многообразии, то косиммегрию можно отождествить с векторным нолем.
Поскольку в диссер!ации все рассмотрения носят локальный характер, ограничимся дифереициальными уравнениями на линейном (банаховом или гильберювом) пространстве.
Равновесие векторного поля косимметрично, если косимметрия на нем аннулируется. В динамической системе с косимметрией в условиях общего положения встречайся непрерывное однопараметрическое семейство иекосиммегричпых равновесий [80, 82, 88, 151, 152]. В невырожденном случае сиекчр устойчивости меняется вдоль чакого семейства [80,151], но из-за неизолироваииости равновесий обязательно содержит точку нуль. Равновесие семейства устойчиво, если весь его спектр устойчивости, кроме про-сюю нулевого собственного значения, лежит внутри левой полуплоскости
154].
Устойчивость равновесия понимаем как нейтральная усчойчивость вдоль семейства равновесий и, одновременно, асимптотическая усчойчи-
Введение
13
вость в трансверсальиых к нему направлениях.
Семейство равновесий в условиях общего положения раэбиваехся на устойчивые и неустойчивые по линейному приближению дуги. Разделяю-щие их равновесия будем называть граничными.
В то время как все равновесия, принадлежащие одной орбите группы симметрии, теряют устойчивость при одном и том же значении параметра, в косимметричной сис!еме потеря усюйчивости оказывается рааянуюй. Сначала на устойчивой дуге равновесий при некотором значении параметра появляется нейтрально-устойчивая в линейном приближении ючка, которая затем при изменении параметра превращавши в неустойчивую дугу.
Колебательная иохеря устойчивости изолированного равновесия сопровождается, как правило, ответвлением от него предельного цикла. Между тем появление нейтральной колебательной моды у одного из равновесий первоначально устойчивого семейства, вообще говоря не приводит к возникновению автоколебательного режима. Для этого должно выполняться некоюрое скалярное равенство. В рабохе В. И. Юдовича [86] отмечаехся, что к выводу о несуществовании периодического авюколебаиия в условиях общего положения пришли также Д. Любимов и Д. Брацун (результат был доложен на школе НЕЗАТЕГИУС-92) на основе анализа амплитудных уравнений на физическом уровне строгости.
Предельный цикл в условиях общего положения может вообще не родиться, а может родиться из граничного равновесия в ходе развития неусюй-чивой дуги. Этот эффект затягивания бифуркации рождения цикла был обнаружен и проиллюстрирован примерами в рабохах [86, 87, 92], в которых использовался метод Ляпунова-Шмидта.
Структура и объем диссертации. Диссерхация состоит из введения, семи глав, заключения и списка литературы.
В первой главе исследованы бифуркации, сопровождающие монотонную потерю устойчивости равновесия, являющегося в когиммехричной СИ-
Введение
14
стомо в ешуации общего положения членом однопараметрического семейства. Меч одами Ляпунова-Шмидта и центрального многообразия проанализированы бифуркации такого семейства равновесий, а также внутренние бифуркации: переходы типа фокус - узел, узел — седло и т.д. при движении вдоль семейства. Описан ряд сценариев ветвления семейс!в равновесий и изменения структуры их дуг, состоящих из однотипных равновесий. Детально исследованы бифуркации устойчивых и неустойчивых дуг, слипание и распад семейств равновесий, бифуркация потери гладкости семейством равновесий, а также ответвление малого равновесного цикла от угловой точки семейства равновесий. Переменность спектра вдоль семейс!ва вызывает ряд новых явлений, которые не встречаются ни в классическом случае изолированного равновесия, ни при бифуркации семейав равновесий системы с симметрией. Среди них затягивание по параметру ветвления семейства равновесий, потеря устойчивости по Ляпунову семейством равновесий с сохранением свойства притяжения, возникновение и гибель новых устойчивых и неустойчивых дуг на семействе равновесий.
Пункт 1.1 носит вводный характер.
В п. 1.2 изложены результаты, полученные меюдом Ляпунова - Шмидта. Исследована бифуркация семейств равновесий в динамической системе с коси.чметрией и вещественным параметром в результате монотонной потери устойчивости равновесий однопараметрического семейства. Рассмотрен как случай общего положения, так и все вырождения коразмернопей один и два.
Дана послановка задачи, и с применением спектральных проекторов выведено общее уравнение разветвления. Существенно, что уравнение разветвления наследует косимметрию [80).
Разобран случай одномерного уравнения разветвления, когда применима косиммегричная версия теоремы о неявной функции [80].
Показано, что основные вырождения в задаче о структуре множества равновесий связаны с размерностью ядра линеаризованного поля, а не со строением спектрального подпространства. Детально исследованы двумер-
Введение
15
ные уравнения разветвления. Рассмотрена ситуация, когда линейная часть уравнения разветвления невырождена, а также и случай ее вырождения. Изучены возможные вырождения - вплоть до самого сильного вырождения, когда равновесные режимы существуют лишь при критическом значении параметра и заполняют двумерную поверхность в окрестности меряющею устойчивость равновесия.
Описаны:
1) двустороняя седловая бифуркация,
2) одиостороняя бифуркация рождения равновесного цикла "из возду-
3) бифуркация потери гладкости семейством равновесий — образование нулевого угла на гладком семействе.
Рассмотрены макже следующие бифуркации семейств равновесий*
4) столкновение — расхождение пары семейств равновесий,
5) двусторонняя бифуркация рождения равновесного цикла из изолированного равновесия,
6) бифуркация "вспыхивающего" равновесия — случай, когда изолированное равновесие существует лишь при единственном значении параметра.
В пунктах 1.3, 1.4 метод центрального многообразия применяется для исследования ветвления равновесий, а также изменения их устойчивости. Мы следуем плану, предложенному в лекциях Арнольда [2]. Рассмотрение различных критических случаев позволило указать ряд типичных сценариев (последовательностей бифуркаций) распада и слияния различных семейств равновесий. Исследованы бифуркации двух видов: а) семейств равновесий; Ь) устойчивых дуг на этих семействах. Разобраны макже и пересечения маких бифуркаций.
Введение
16
Рассмотрены все вырождения коразмерности < 2, кроме двух: 1) трехмерная жорданова клетка при дополнительном нелинейном вырождении, п) чС1ырехмерная жорданова клетка.
Говоря о ситуации (скажем, бифуркации или сценарии) коразмерности 1, мы подразумеваем, что она встречается неустранимым образом (сохранив юя при малых гладких косимметричных возмущениях) в однопараметрических семействах косимме!ричных векторных полей.
Оставшиеся неразобранными случаи \) и и) заслуживают отдельного рассмотрения, поскольку наиболее интересные эффекты в них связаны с бифуркацией ответвления медленного предельного цикла [77], требующей иных методов исследования.
Для каждого вида вырождения указаны условия типичное!и и построены главные семейства. Они получаются переходом от заданной системы к ее сужению на центральное многообразие, разложением векторного поля сиаемы в ряд Тейлора, уменьшением числа параметров заменами переменных и отбрасыванием несущественных слагаемых.
В каждом случае, когда центральное многообразие двумерно, для главной системы построены бифуркационные диаграммы и характерные фазовые портреты, топологический тип которых не меняется, пока векторный параметр, двигаясь в пространстве параметров, не пересечет нейтральное множество. Для трехмерных главных семейств мы ограничились аналитическим исследованием бифуркаций семейств равновесий и их разбиением на усюйчивые и неустойчивые дуги без приведения соответствующих фазовых портретов (принципиально эю трудностей не составляет, но ответ чрезвычайно разветвлен и громоздок). В трехмерном случае, помимо граничных, указаны равновесия, отделяющие в семействе равновесия разного типа, например, уелойчивый фокус и устойчивый узел. Бифуркации равновесий при движении вдоль семейства (изменение устойчивости, переходы типа фокус-узел, узел-седло и т.д.) можно назвать внутренними
Пункт 1.3 посвящен случаю, когда спектр устойчивости равновесия имеет двукратное нулевое собственное значение.
Введение
17
Прежде всего разбирается случай одномерного ядра линеаризованного оператора. В этих условиях семейство равновесий меняется регулярным образом, но устойчивые дуги на нем могут бифурцировать. Наряду со случаем общего положения, изучены бифуркации рождения одной неустойчивой дуги либо пары дуг — устойчивой и неусюйчивой.
Затем рассматривается случай двумерного ядра линеаризованного оператора. Последовательно описаны следующие бифуркации:
1° седловая бифуркация и бифуркация рождения цикла равновесий "из воздуха";
2° бифуркация семейства равновесий, сопровождаемая бифуркацией рождения малой неустойчивой дуги;
3° ответвление малого равновесного цикла от семейства равновесий. Эта бифуркация связана с возникновением на первоначально гладком семействе острия — нулевого угла.
В п. 1.4.1 разбирается случай трехкратного нулевого собп венного значения (жорданова клетка). Показано, что в рассматриваемых условиях все сводится к исследованию трехмерной системы, имеющей семейство равновесий, расположенное на прямой. Описана бифуркация рождения устойчивой дуги, одно граничное равновесие которой соответстветвует монотонной по!ере устойчивости, а второе — колебательной. На этой малой устойчивой дуге имеется точка, разделяющая два типа усюйчивых равновесий' фокусы и узлы.
Подпункт 1.4.2 посвящен случаю трехкратного нулевого собственного значения при двумерном ядре. Установлен общий вид системы. Описаны бифуркации ее семейств равновесий, а также равновесий, отделяющих в семействах равновесия различного типа.
В п. 1.5 показано, что на плоскости Я2 косимметричное векторное поле можно распрямить в окрестности любой неособой точки когиммегрии (даже и равновесия данной системы), то есть привести систему к виду:
2/1 = /1(2/1,2/2, е), 2/2 = 0,
Введение
18
где (уьУг) G Л2 — переменная, а г — параметр системы. Заметим, что в этой системе невозможна бифуркация ответвления цикла от семейства равновесий.
Результаты главы I опубликованы в работах ЦО, 42, 43, 121/•
Во второй главе изучена бифуркация ответвления предельного цикла (бифуркация Пуанкаре-Андронова-Хопфа) от одномерного гладкого подмногообразия равновесий динамической системы, зависящей от векторного параметра и допускающей косиммегрию. Применяется метод центрального многообразия. Основной результат — топологическая классификация локальных фазовых портретов вблизи известного равновесия, когда параметр системы близок к его критическому значению, отвечающему колебательной неусюйчивости. Тем самым дано детальное описание явлений, не наблюдающихся в классическом случае изолированного равновесия: (а) потери устойчивости семейством равновесий с сохранением свойства притяжения, (Ь) затягивания рождения цикла по параметру, (с) возможности сверхкритических неустойчивых автоколебаний. Явления (Ь) и (с) впервые были обнаружении в работах [86, 87, 92], в которых применялся меюд Ляпу нова- Ш м идта.
Пункт 2.1 носит вводный характер.
В п. 2.2 переходим к системе уравнений на центральном многообразии [3], которая затем приводится к нормальной форме. Эта сиаема наследует коеимметрию и обладает однопараметрическим семейством равновесий.
В п. 2.3 проводится дальнейшая обработка сииемы уравнений на центральном многообразии. Отбрасывая высшие члены разложения Тейлора, приходим к модельной системе (нормализованная струя по терминологии работы [6|). При помощи масштабных замен переменных и еще одной нетривиальной замены, уменьшается число параметров. В тоге задача приводится к исследованию серии главных семейств векторных полей, которые и определяют возможные топологические типы фазовых пор 1 ре101). Главные системы оказываются двумерными — размерность понижаемся до
Введение
19
двух, благодаря вращательной симметрии нормализованных сисюм на центральном многообразии. Выясняеюя, что каждая главная система записи г не более чем от двух независимых параметров, а в ситуации общего положения даже вообще не содержит непрерывных параметров.
Остальная часть раздела п. 2.3 посвящена исследованию главных сисюм, которое приводит к выводам о возможных бифуркациях и различных сценариях возникновения автоколебательного режима.
Для каждой главной системы строятся фазовые диаграммы на плоскости параметров, и приводятся фазовые пор феты, которые не могут меняться, пока точка, двигаясь по параметрической плоскости, не пересекает нейтральных кривых. В п. 2.3.2 рассмотрен случай, когда неустойчивая дуга развиваеюя, не порождая предельных циклов. Граничные точки неустойчивой дуги бывают двух типов: устойчивые и неусюйчивые. В первом случае движение, начинающееся вблизи неустойчивой дуги, возвраща-еюя на устойчивую часть дуги, а во втором случае — уходит на «бесконечность», либо возвращается на устойчивую дугу семейства, перепрыгивая через неустойчивую дугу.
В подпунктах 2.3.3 и 2.3.4 приведены бифуркационные диаграммы и фазовые портреты в ситуации, когда необходимое условие рождения предельного цикла выполнено, и он действительно возникает.
В и. 2.4 обсуждаются результаты главы II вместе с возможномыми приложениями и перспективами их развития.
Пункт 2.5 состоит из двух приложений. В первом приложении приведена с доказательством косимметрическая версия теоремы о неявной функции для случая, когда косимметрия зависит от параметра, в той форме, в какой она используется в рабою. Во втором приложении дана сводка основных результатов по бифуркациям, полученных в главе II: приведены модельные и главные семейства вместе с характеризующими их условиями типичности и ссылками на рисунки фазовых портретов.
Результаты главы II опубликованы в работах [36, 39, 120/.
Введенне
20
Для динамической системы, допускающей к независимых косиммсч-рий, типично существование /г-мерных подмногообразий, заполненных равновесиями. В третьей главе изучена бифуркации ответвлении предельного цикла (бифуркации Пуанкаре—Андронова—Хопфа) от такого подмногообразия равновесий. В предыдущей главе II в случае одной косиммет-рии были детально исследованы новые эффекты, связанные с бифуркацией ответвления предельного цикла от семейства равновесий (запаздывание по параметру и возможность сверхкригичееких неустойчивых автоколебаний) Здесь эти результаты распространяются на случай любого к. При к > 1 приходится иметь дело с новым явлением — бифуркацией областей устойчивости на семействе равновесий. Применяются оба основных подхода к задаче возникновения автоколебаний — метод Ляпунова—Шмидта [77] и метод центрального многообразия [2]. Показано, что предельный цикл может ответвляться от одного из равновесий семейства как в случае регулярного изменения области устойчивости, так и при ее бифуркации. Лишь в последнем случае цикл может рождаться без запаздывания, вмесче с образованием области неустойчивости. В общей ситуации он ответвляв!си от границы развитой области грубой устойчивости или неустойчивости.
Глава III организована следующим образом. В п. 3.1 изложены результаты, полученные меюдом Ляпунова — Шмидта. Выведено и проанализировано уравнение разветвления циклов. Показано, что предельный цикл ответвляется от равновесия семейства лишь при выполнении некоторого необходимого условия. В случае, когда оно выполнено, для периодического режима и его час юты получаются сходящиеся разложения Ляпунова-Шмидта. Разобраны некоторые возможные вырождения - вплоть до сильного вырождения, когда периодические режимы существуют лишь при критическом значении параметра и заполняют целую поверхность в окрестности теряющего усюйчивость равновесия.
В п. 3.2 методом центрального многообразия изучены бифуркация рождения цикла и бифуркации областей устойчивости семейства равновесий в динамической системе с несколькими косимметриями. Разобранны раз-
Введение
21
личные варианты взаимодействия этих бифуркаций.
Результаты главы III опубликованы в работах /«У7, «У8, 41, 44, Щ-
Четвертая глава посвящена исследованию бифуркаций, сопутствующих распад непрерывного семейства равновесий косимметричной динамической системы (или, вообще, семейства решений косимметричною операторного уравнения) при возмущении, разрушающем косиммстрию. Как показано в работах [89, 90, 96) при таких возмущениях, в предположении аналитичности операторов, в условиях общего положения сохраняйся не более конечного числа равновесий. Если исчезают все равновесия — цикл равновесий превращается в предельный цикл — траекторию периодического режима с большим периодом.
В рабо1ах [89, 90] разобран случай невырожденного семейства равновесий, когда размерность ядра производной оператора совпадает с размерностью семейства и с числом не1ривиальных косиммегрий. Основная цель главы IV — рассмотреть случай вырооюденпых равновесий семейства, когда соответствующее уравнение разветвления двумерно. Ранее, в главе I были изучены возмущения, сохраняющие косиммегрию. Можно сказать, что в данной главе исследовано разрушение бифуркаций, описанных в главе 1.
Распаду семейства стационарных режимов фильтрационной конвекции в невырожденном случае посвящена работа [103]. В работе [18) для одной конечномерной модели фильтрационной конвекции раесмофела и вырожденный случай.
Данная глава организована следующим образом. В п. 4.1 дана постановка задачи, и с применением спектральных проекторов выведено общее уравнение разветвления. Напоминается, что уравнение разветвления наслеге г косиммефию при косимметричном возмущении. Доказано, чю в условиях общего положения в результате возмущения непрерывное семейство полностью исчезает.
В п. 4.2 разобран случай одномерного уравнения разветвления. Сна-
Введение
22
чала приводимся результаты главы I для косимметричного возмущения, когда применима косиммстричная версия теоремы о неявной функции [80] Затем описываются бифуркации при разрушении косимметрии. Показано, в частности, что распад семейства равновесий может сопровождаться бифуркацией рождения пары равновесий "из воздуха." Рассмотрен как случай общего положения, так и случай линейного вырождения коразмернос ги 1 и произвольных нелинейных вырождений.
Вырождение коразмерности 1 в нашей задаче означает, что соответствующая невозмущепная система встречается неустранимым образом в однопараметрических семействах косимметричных векторных полей, т. е. сохранив!ся при малых гладких косимметричных возмущениях
В п. 4.3 детально исследованы двумерные уравнения разветвления. Снова сначала разбирав!ся косимметричный случай Рассмотрена си1уа-ция, когда линейная часть уравнения разветвления иевырожденна, а также и случай ее вырождения. Изучены возможные вырождения — вплоть до самого сильного, когда равновесные режимы существуют лишь при критическом значении параметра и заполняют двумерную поверхность в окрестности невозмущенного равновесия. Описаны: а) двуетороняя седловая бифуркация, Ь) одностороияя бифуркация рождения равновесного цикла "из воздуха" и с) бифуркация потери гладкости семейством равновесий — образование нулевого угла на гладком семействе. Затем исследован распад бифуркаций а) и Ь) под действием некосимметричных возмущений.
Результаты главы IV опубликованы в работе [50].
В пятой главе развита общая теория устойчивости равновесий непрерывного семейства в динамических системах с коеимметрией. Получен ряд кршериев устойчивости граничных равновесий, устойчивость которых зависит от нелинейных слагаемых системы.
Перемещаясь вдоль семейства некосимметричных равновесий, при переходе с устойчивой дуги на неустойчивую будем наблюдать как бы потерю устойчивости равновесием, точнее изменение усюйчивоети, связанное
Введение
23
с изменением парамефа - дуги кривой равновесий. Она может быть мягкой или жесткой, как и в случае изолированного равновесия системы с параметром (см., например [8, 72] и имеющиеся чам ссылки). Не приводя строгих определений, заметим, что мягкой (жесткой) она являйся, если соотво1Сгвующее граничное равновесие устойчиво (неусюйчиво). Уже это показывает, что полезно значь, усюйчиво граничное равновесие или нет.
Снекчр устойчивости граничного равновесия лежит в замыкании левой полуплоскости, и его нейтральную часть составляют собственные значения: нулевое с кратностью и индексом п, а также к пар чисю мнимых (п > 1,п + к > 2).
Наличие в сисчеме с косимметрией граничного равновесия есть случай общего положения. В главе V получены кричерии устойчивости граничных равновесий для трех критических случаев (п, к) = (3,0), (2,1), (1,1) Из всех случаев коразмерности 0 и 1 оаались неразобранными два (п} к) = (2,0), (1,2). Первый случай нет нужды рассматривать, поскольку он полностью исследован А. М. Ляпуновым [55]. Что касается вюрого, чо он не прост, но достаточно полное решение задачи устойчивости для него можно извлечь из результатов работы [70].
Используются теоремы об асимптотической устойчивости но отношению к части переменных [55, 67]. Применяется прямой метод Ляпунова. Построенные функции Ляпунова полиномиальны во всех случаях, кроме одного, когда построена трансцендентная (и к тому же многозначная) функция Ляпунова и доказано, что полиномиальных не существует.
Наличие косимметрии определяет специфику рассматриваемых вырождений. В определённом смысле, верно и обратное. Пусть динамическая система допускает гладкое однонарамегрическое семейство равновесий. Тогда, как показано в п. 5.1, по крайней мере, локально, вблизи каждого невырожденного равновесия, входящего в сосчав семейства, можно определить нетривиальную косимметрию — такую, чю равновесия семейства оказываются иекоеимметричными, чо есть косиммегрия на них не аннулируется. Это позволяет в разобранных далее критических случаях уеюй-
Внсдрши*
24
чивосги рассматривать исследуемую косиммегричную сисАему просто как сигАему, имеющую одиопарамеАрическое семейство равновесий, для коао-рой выполнены определенные условия гладкости и невырожденности.
В п. 5.2 рассмотрены задачи устойчивости граничных равновесий для трех различных случаев нейтрального спектра устойчивости:
I) трехкратное нулевое собственное значение (см. п. 5.2.1),
II) двукратное нулевое и пропаи пара чиоао мнимых собпвенных значений (см. п. 5.2.2),
Ш) нропме нуль и пара число мнимых собственных значеААИй (см. п. 5.2.4-5.2.7, краткое содержание которых можно найти в п. 5.2.3).
Результаты главы V опубликованы в работах [32, 33].
В шестой главе доказана устойчивость стационарного вращения системы семи одинаковых точечных вихрей, расположенных в вершиААах правильного семиугольника. Вместе с уже известными результатами многих авторов, вывод об устойчивости правильного вихревого семиугольника приводит к полному решению проблемы Кельвина (1878 г.): каково максимальное число вершиАА устойчивого правильного вихревого п-угольника на плоскости? Ответ на него: 7.
Глава VI организована следующим образом.
Пункт 6.1 носит вводный характер, освещается история вопроса.
В п. 6.2 изложены некоторые общие результаты о стационарных движениях в системах с симметрией и их устойчивости. Изложение основыва-сася здесь на докторской диссерАации В. И. Юдовича [78). Прежде всего приводится общее определение САаЦИОНарНОА’О движения диААамической системы с группой симметрии. Далеко идущие обобщения и развитие теории устойчивости для стационарных движений консервативных (гамильтоновых и лагранжевых) систем читатель найдет в работах [23, 131, 139, 143).
Мы приводим здесь общее определение УСТОЙЧИВОСТИ САВЦИОААарНОГО движсааия — по сути, 1АужАА0 решить, по отношению к каким переменным стационарное движение может быть уСАОЙЧИВО, и исключить те перемен-
Введение
25
ные, но отношению к коюрым оно заведомо неустойчиво.
Обычно само понятие стационарного движения рассматривается лишь для гамильтоновой сис1емы. Следуя Раусу, его обычно определяют как движение, при коюром изменяются лишь циклические координаты, а остальные координаты, называемые позиционными, осшохея постоянными. Циклические координаты оказываются, попросту, линейными функциями времени, а отвечающие им циклические импульсы, также постоянны. В теории устойчивое 1 и стационарных движений, развиюй Раусом, учитывается, что относи 1ельно циклических координат такие движение всегда неустойчивы (возмущения растут линейно со временем). Таким образом, речь должна идти об устойчивости относительно части переменных — позиционных координат и импульсов. Такого рода устойчивость мы называем устойчивостью по Раусу. Вопрос об устойчивости по отношению к циклическим импульсам должен быть рассмотрен особо. Как показали Раус и его последователи, при естественных дополнительных условиях (Х01Я и не всегда) устойчивость относительно циклических импульсов следует из устойчивости по Раусу. Поэтому в приложениях циклические импульсы обычно не требуют дополнительных рассмотрений. Именно так обстоит дело и в проблеме данной главы.
В конце п. 6.2 мы рассматриваем гамильтоновы сис!емы и показываем, что в этом случае общая теория соответствует 'теории Рауса.
Мы сочли нужным включить Э'ют раздел и по 1 ому, чш с определением устойчивоети перманентного вращения уже возникали недоразумения, и потому, что надеемся на дальнейшие приложения общей теории, в частности, и в проблеме перманентных вращений сложных вихревых сиаем.
В п. 6.3 общая теория п. 6.2 применяется к уравнениям движения системы п '1 очечных вихрей на плоскости. Прежде всего, там приведены уравнения Кирхгофа в вещественной и комплексной форме, указаны их интегралы и отмечена глобальная разрешимость соогвеюгвующей задачи Коши в случае интенсивностей одного знака.
Уравнения Кирхгофа инвариантны относительно группы С евклидо-
Внедение
26
вых движений плоскости Я2.
В п. 6.3.1 выписаны два уравнения стационарных движений, отвечающих соответственно трансляции и вращению — одноиараметричоским подгруппам группы (3.
Анализ первого из них приводит к выводу, чю стационарный режим, отвечающий группе трансляций и отличный от равновесия, может существовать лишь при условии, когда суммарная интенсивность вихрей равна нулю. Стационарное же вращение правильного вихревого многоугольника в случае одинаковых интенсивностей отвечает группе вращений. Исследованию его устойчивости и посвящен п. 6.3.2.
Теорема 3.1 главы VI обосновывает метод линеаризации в задаче усюй-чивости вихревого п-угольника, когда пф 7.
В теореме 3.2 главы VI устанавливается центральный результат насю-ящей главы — устойчивость вихревого семиугольника. Её доказательство потребовало учёш слагаемых ряда Тейлора относительного гамильтониана до четвертого порядка включительно
В п. 6.4 обсуждаются результаты главы VI вместе с возможномыми приложениями и перспективами их развития.
Завершают главу VI четыре приложения 6А — 6Б.
В приложении 6А приведены известные результаты о циркулянтных и косо-циркулянтных матрицах, использованные в данной главе. В приложении 6С получена операторная форма разложения относительного гамильтониана до четверюго порядка включительно в окрестности пационариого режима для любого п > 2. Координатной же форме такого предствления в случае п = 7 посвящено приложении 6Т).
Чтобы облегчить читателю ориентировку в цитируемой лихературе, в приложении 6В обсуждаются парадоксы и недоразумения, сопровождающие задачу устойчивости перманентного вращения правильного вихревого многоугольника.
Результаты главы VI опубликованы в работах Ц7, 49, 1231