Содержание
0 Введение 3
1 Неоднородные 13-мерные пространства положительной секционной кривизны. 11
1.1 Построение пространств Мр....................... 11
1.2 Кривизна пространств Мр......................... 17
1.3 Топология пространств Мр........................ 22
2 Двойные частные групп Ли с интегрируемым геодезическим потоком. 33
2.1 Метод Тимма...................................... 33
2.2 Основная лемма о градиентах инвариантных полиномов ............................................... 37
2.3 Определение и свойства ранга цепочки вложенных
подалгебр Ли..................................... 38
2.4 Основная теорема о числе независимых интегралов. 41
2.5 Приложения к некоторым неоднородным пространствам положительной секционной кривизны.............. 48
3 Многообразие положительной секционной кривизны
с фундаментальной группой Ъъ ф Z:$. 53
А Функциональная независимость базиса инвариантных полиномов в регулярных точках. 56
О Введение
Одной из важных задач римановой геометрии является исследование геометрических и топологических свойств римановых пространств положительной секционной кривизны. Естественным образом, топологический аспект проблемы распадается на два направления: изучение топологических свойств односвязных пространств положительной секционной кривизны, и изучение свойств фундаментальных групп таких пространств. Дадим, сначала, краткий обзор и опишем результаты предлагаемой диссертации в первом направлении.
Известно очень мало примеров односвязных римановых многообразий положительной секционной кривизны, а именно:
1) классическими примерами являются компактные ранга 1 симметрические пространства, т. е. сферы 5“, комплексные проективные пространства СР", кватернионные проективные пространства НРп и проективная плоскость Кэли СаР2. Отметим, что перечисленные примеры исчерпывают известные топологические типы пространств положительной секционной кривизны в размерностях > 24;
2) все классические пространства положительной секционной кривизны являются нормально однородными, что навело на мысль провести исследование в классе таких пространств; это исследование было предпринято Верже [1], который взялся описать все нормально однородные пространства положительной секционной кривизны и обнаружил два новых ’’исключительных пространства” вида 8р(2)/5£/(2) и 5Р(5)/ Эр(2) х 51 размерности 7 и 13, соответственно (причем вложение 5Р(2) С 8р(2) не является стандартным). Однако, в работе Берже была допущена неточность, в силу которой им было выпущено еще одно нормально однородное пространство положительной секционной кривизны в размерности 7 вида 50(3) х 5С/(3)/0(2) (это пространство диффеоморф-но пространству Алоффа-Уоллаха Л^д, см. ниже). Ошибка была найдена и исправлена недавно, в работе Вилкинга [2]. При этом Вилкинг нашел на Д^д 1-параметрическое семейство нормально однородных метрик положительной секционной кривизны — это единственный пример с таким свойством;
3) Уоллах показал, что все четномерные однородные односвязные замкнутые многообразия с метриками положительной кривизны исчерпываются нормально однородными многообразиями и многообразиями флагов над СР2, НР2 и СаР2 (их размерности
3
равны б, 12 и 24, соответственно) [3];
4) Алофф и Уоллах [4] указали бесконечную серию пространств А7РЛ вида 5[/(3)/51, где подгруппа 51 является обмоткой максимального тора группы 5С/(3) и тем самым определяется двумя взаимно простыми целочисленными параметрами р и q. При выполнении некоторых условий на р и q на этих пространствах существует левоиивариантная однородная риманова метрика положительной кривизны. Берард Бержери [5] показал, что пространства Алоффа — Уоллаха исчерпывают все нечетномерные замкнутые односвязные многообразия с однородными (но не нормально однородными) римаыовыми метриками положительной кривизны, а Крек и Штольц обнаружили среди них пару гомеоморфных, но не диффеоморфных многообразий (N-56788,5227 И Ж.42652)6121з) [б];
5) используя конструкцию Алоффа и Уоллаха, Эшенбург нашел бесконечную серию семимерных пространств с неоднородными метриками положительной кривизны [7], а в дальнейшем построил и шестимерный пример неоднородного пространства с метрикой положительной кривизны [8].
Этот список исчерпывает известные к настоящему времени топологические типы односвязных замкнутых многообразий, допускающих метрики положительной секционной кривизны. Заметим, что размерность 13 среди указанных имеют только два многообразия — сфера 513 и нормально однородное пространство Берже 517(5)/ Эр(2) х 51.
При построении своих пространств Эшенбург использовал понятие двойного частного группы Ли — естественного обобщения однородного пространства, которое, вкратце, состоит в следующем.
Рассмотрим группу Ли (7 и подгруппу Ли V в О х <7. Зададим действие II на <7:
77 Э (01,02) : д € (7 -> дхуд^1 € (7.
Рассмотренное действие может иметь неподвижные точки. Положим V' = {(01,02) С 77|01 € Ай(С)02}. Тогда легко увидеть, что свободность рассмотренного действия, равносильна условию V = {(1,1)}, где 1 € (7 — единица группы (7.
Если действие свободно и изометрично относительно некоторой римановой метрики на (7, то каноническим образом возникает фактормногообразие (7/7/, называемое двойным частным группы Ли (7 (в случае, если II = II х К, где Я, К С (7, то двойное частное обозначают Н\С/К). Впервые конструкция двойного частно-
4
го группы Ли возникла в работе Громолла и Майера [9] для построения метрики неотрицательной секционной кривизны на одной экзотической сфере Милнора.
Одним из основных результатов предлагаемой диссертации является конструкция новой серии односвязных замкнутых 13-мерных римановых многообразий, допускающих метрику строго положительной секционной кривизны. Построенные многообразия являются двойными частными группы Ли (/(5). А именно, в первой главе работы доказана следующая теорема ( она следует из Теорем 1, 2 и 3 Главы 1):
Теорема А. Пусть £7(5) — группа комплексных унитарных 5 х 5-матриц, а группа (7(4) х (7(1) вложена в нее как подгруппа, состоящая из матриц блочного вида с двумя блоками размеров 4 х 4 и 1 х 1. Пусть М2Ъ — однородное риманово многообразие, диффео.иорфное и(5) и наделенное метрикой, индуцированной из двусторопне-инвариантной метрики на (7(5) х (7(4) х 7/(1) при проекции
77(5) х (7(4) х (7(1) -> 77(5) х 7/(4) х (7(1)/Т7(4) х 7/(1) = М25, где вложение (7(4) х (7(1) —> (7(5) х (7(4) х (7(1) диагонально (у н*
Пусть р = (pi,... ,р5) такой набор целых положительных чисел, что для всех подстановок о € S$ выполняются следующие условия:
a) р<т( 1) + Ра(2) - Pi7(3) - Р«7(4) взаимно просто с ра(5),
b) Р<г(1) + Р<т(2) + Р<т(3) > Р<т(4) +Рф),
c) P<j( 1) + Ра{2) + Р«т(3) + Р<т(4) > Зр<т(5)>
d) 3(р<г(1) + Р(г(2)) > Р<т(3) + Р<г(4) + Р<г(5).
Пусть Мр — фактор-многообразие, полученное из М25 относительно факторизации по действию группы 51 х ( Sp(2) х 51)
где А € М , «1,^2 6 51, А € £р(2). Тогда Мр, оснащенное метрикой, индуцированной факторизацией М25 —> Мр, обладает следующими свойствами:
1) пространство Мр односвязно и сПт Мр — 13/
2) пространство Мр имеет положительную секционную кривизну;
(s,p) Є и(5) х (У(4) ж (7(1));.
вида
5
3) пространство Мр имеет группы когомологий
Н{ =
при г = 0,2,4,9,11,13, при г = 1,3,5,7,10,12;
группы Я6 и Я8 конечны и их порядок равен |с8 - 40\02 4- 8сг3|, где <7* — значение элементарного симметрического полинома к-й степени от пят.и переменных в точке (рь... , Рь)-
Условия а)-б) выполняются, например, при р\ = 1, р2 = Рз = Р4 = Ръ = Цп-> гле <7 — простое число. В этом случае порядок группы Н*(Мр) равен г((/,п) = 8д2п - 4дл 4- 1 и г(</,п) ->■ оо при ? —> ос или п оо. Отсюда, в частности, следует, что существует бесконечно много попарно негомеоморфных замкнутых односвязных 13-мерных римановых многообразий вида Мр положительной секционной кривизны.
Существуют и другие серии, простейшую конструкцию которых указал нам У. Абреш. А именно, возьмем пятерку чисел, для которых выполняется условие а) теоремы А (заметим, что иод взаимной простотой мы понимаем равенство единице наибольшего общего делителя) И НИ ОДНО ИЗ чисел 1^(1) 4- Р(г{2) - Ра(3) ~ Р<г(4)| не равно нулю, и будем добавлять ко всем числам рь.. - ,Р5 натуральное число ап = п • П |р<7(1) 4- Ра{2) - Рст(з) ~ Ра(\)\- Как легко
заметить, существует такое достаточно большое число -У, что при всех п > N пятерки (р\ 4- сц,... ,Рб 4- а„) удовлетворяют условиям
Ь)-с1) и они всегда удовлетворяют условию а). Например, в качестве начальной пятерки можно взять (1,1,1,2д, 4</), q — любое натуральное число.
Можно заметить, что при р\ = р2 = • • • = Р5 = 1 мы получаем пространство, диффеоморфное 13-мерному примеру Бсрже. Однако метрика нашею пространства при р* = 1, г = 1,...,5 хотя и является однородной, все же существенно ’’лучше” нормально однородной метрики Бсрже. В работе [10] Путтманн посчитал за-щемленность 1-параметрического семейства метрик на пространстве Берже: построенная в предлагаемой работе метрика имеет защемленность 1/64, в то время как защемленность метрики Берже посчитана Хайнтцем в [н1 и равна 16/(29 • 37). Отметим здесь же, что максимальная защемленность рассмотренного Путтман-ном семейства равна 1/37.
В связи с этим кругом вопросов стоит отметить связь между пространством Алоффа-Уоллаха Л^д и пространством Берже, найденную Таймановым в [12]. Он описал вполне геодезическое вло-
6
- Київ+380960830922