- г -
ВВЕДЕНИЕ
В настоящей работе рассматривается вопрос о приведении в общее положение отображений одномерных полиэдров в евклидово пространство в непрерывной зависимости от параметра.
В работе Ц 4 1 А.В.Чернавский привел формулировку новой модификации леммы о поглощении, которая использовалась для доказательства существования стягиваемых окрестностей в группе гомеоморфизмов произвольного топологического многообразия. Модификация леммы о поглощении заключалась в переформулировке этой леммы с введением произвольного непрерывного параметра.
Доказательство переформулированной леммы проводится по индукции, как и доказательство первоначального результата, полученного еще в работах Столлингса, Зимана и Хирша, но отличается от первоначального доказательства тем, что проведение элементарных шагов индукции проводится в непрерывной зависимости от параметра. Трудность заключается в приведении кусочно линейных отображений в общее положение в непрерывной зависимости от параметра, пробегающего сильно паракомпактное пространство. Уже в простейших случаях отображения отрезка в $2 и в £? общее положение нарушается неустранимым малым шевелением образом. Однако, измельчая триангуляции полиэдра, можно добиться аппроксимации первоначальных отображений кусочно линейными с не более чем нульмерным нарушением общего положения.
Сама лемма о поглощении была получена Столлингсом СИЗ ,
некоторые ее обобщения опубликованы в работе Зимана и Хирша 0*03. Вопросы, связанные с доказательством переформулированной леммы с введением непрерывного параметра, ранее не рассматривались.
Настоящая работа посвящена доказательству того, что измельчая триангуляции одномерного полиэдра, мокно первоначальное отображение этого полиэдра в № аппроксимировать кусочно линейным отображением с не более чем нульмерным нарушением общего положения, причем сделать это в непрерывной зависимости от параметра, пробегающего сильно паракомпактное пространство.
Работа состоит из трех глав. Перейдем к изложению основных результатов по главам.
Первая глава посвящена вопросу аппроксимации непрерывного отображения одномерного полиэдра Р 1 в Р ^ над
сильно паракоыпактным пространством параметров полулинейным отображением. Строится нерв звездно конечного покрытия_прост-ранства параметров и по нему строится отображение ,
аппроксимирующее первоначальное отображение полиэдра Р в Р . Доказано /лемма I/, что аппроксимировать первоначальное отображение мокно сколь угодно точно, если звездно конечное покрытие пространства параметров достаточно мелко. Далее, полученное отображение а/ аппроксимируется полулинейным
симация может быть сделана сколь угодно точной. Эти результаты получены для произвольного полиэдра Р .
Вводится определение непрерывной зависимости триангуляций одно-
отображением триангуляции полиэдра
, причем доказано /лемма 2/, что если Р достаточно мелкие, то эта аллрок-
мерного полиэдра
от параметра и доказывается /лемма 3/,
- 4 -
что одномерный полиэдр мокно триангулировать так, что его триангуляции сколь угодно мелки и непрерывно зависят от параметра.
Вторая глава разбита на три параграфа. Первый параграф посвящен доказательству двух ванных результатов о пространствах триангуляций одномерного симплекса, которые в дальнейшем используются для получения основного результата работы.
Первый результат /теорема I/ состоит в том, что пространство Л1 ^ триангуляций отрезка, имеющего не более, чем к внутренних точек разбиения, стягиваемо, если к - четно. В дальнейшем этот факт используется для продолжения триангуляций симплекса, имеющихся над границей некоторого множества, над внутренними точками множества.
Сформулируем второй результат этого параграфа.
Теорема 2. Пусть { - отображение X -мер-
ного диска ЬХ в пространство триангуляций сМ ^ :
причем
Тогда найдется отображение такое, что для некоторо-
го конечного Л' ^ к
причем
- 5 -
и
% (.г>*\ £*"■*) с Лм \Л„_1 .
Эта теорема позволяет непрерывно изменять триангуляции сшплек-
^ . — я
сов полиэдра Р так, что над границей симплекса V
Р1
из пространства параметров триангуляции симплексов полиэдра не изменяются, а над внутренними точками V каждый одномерный симплекс полиэдра Р всюду имеет одинаковое число точек разбиения*
Эти результаты получены впервые и ранее в литературе не рассматривались.
Второй параграф посвящен построению регулярной окрестности
- &
полиэдра у края в симплексе V ‘ из пространства параметров. Вводится определение регулярной окрестности у края и доказывается существование такой окрестности /лемма 5/. Доказательство леммы конструктивно и дает способ построения регулярной окрестности у края.
В третьем параграфе строится множество г/: полули-
* , N
нейных отображений одномерного симплекса. Показано, что хотя
~иг (г1
само множество Г 5 ^ не является полиэдром, но оно стра-
тифицировано полиэдрами 1гъ{ Л1 * X £> Ь(и-т2) (Ь-01'^д/у
Подробно описано отображение склейки множества , являющееся прообразом множества в А* * р
. Ъ. /У <
11Г &
в множество х „ .
Б, N
В главе 3 проводится приведение построенного в главе I по-
а 1 к
лулинейного отображения полиэдра Р в Р в почти общее положение, то есть, с нульмерным нарушением общего положения.
- 6 -
Глава состоит из трех параграфов. В первом конкретизирована задача о приведении полулинейного отображения полиэдра Р в почти общее положение. Проведен начальный шаг индукции и сделано индуктивное предположение по приведению отображения полиэдра Р в почти общее положение. Индукция проводится по размерности симплексов из пространства параметров.Далее, рассмотрен заключительный шаг индукции,то есть, симплекс 175из пространства параметров, над границей которого отображение полиэдра Р уже приведено в почти общее положение, и обсуждаются возможные типы нарушений общности положения,получающиеся при линейном продолжении триангуляций и отображений полиэдра Р 1 с д V S на int V s .Выделяются два основных типа нарушений:
L. одномерный симплекс в образе над некоторыми точками irit V5 сжимается в точку;
Ü.образы двух одномерных симплексов /непересекающихся или имеющих лишь одну общую вершину в триангуляции полиэдра Р / над некоторыми точками int V 5 имеют общую одномерную часть.
Каждый из параграфов 2 и 3 посвящен исправлению одного из двух типов нарушений общего положения. Во втором параграфе проводится исправление нарушений общего положения типа L . Используя теорему 2 главы 2, можно получить всюду над int V $ разбиение любого симплекса полиэдра Р 1 с одинаковым числом вершин, эти подсимплексы можно занумеровать и рассматривать каждый подсимплекс отдельно.
Доказано, что с помощью малого изменения построенных полулинейных отображений, можно добиться, чтобы множество А точек из V S * над которыми для отображений одномерного
симплекса 6 £ полиэдра Р происходит нарушение общего положения типа L , являлось полиэдром. При этом использует-
s Ы
Исправление нарушений общего положения типа L проводится над регулярной окрестностью полиэдра А у края в V . Основной результат этого параграфа:
Теорема. Можно так определить новые триангуля-ции симплекса 6Г - [ос , £'] , непрерывно зависящие от параметра, и построить такие полулинейные в новых триангуляциях
А £
отображения симплекса Q , близкие к старым отображениям, чтобы над 'd~V' отображения не изменились, и над ~V
А ^
не было нарушений общего положения типа I для симплекса б .
В процессе доказательства дается способ построения новых
/Ч I
триангуляций и отображений одномерного симплекса б поли-
эдра Р 1 , удовлетворяющих условиям теоремы. Далее вновь используется теорема 2 главы 2 для получения триангуляций симплек-
А ^ « JL т~7 ^
са 6* с одинаковым числом точек разбиения над int V ;
указывается, как при этом изменяются триангуляции и отображения.
В третьем параграфе проводится исправление нарушений обще-
« *
го положения типа l L . Для этого последовательно рассматривается каждая пара симплексов полиэдра Р и для нее прово-
дится исправление нарушений общего положения типа »-1 . Исправление проводится так, чтобы не нарушить уже исправленного и не получить новых нарушений общего положения типов i и Li . Доказано, что малым изменением отображений можно добиться, чтобы множество В точек, над которыми для рассматриваемой пары симплексов нарушается общее положение, являлось полиэдром.
Далее, рассматривается регулярная окрестность множества ß и проводится ее исправление. Необходимость исправления ре-
- 8 -
гулярной окрестности полиэдра В у края в V связана
с тем, что симплексы над ІНІ V уже не обязательно имеют
одинаковое число точек разбиения. Над некоторыми точками іігі V в прообразе /то есть, в триангуляции полиэдра Р / одномерный симплекс монет сжаться в точку, над такими точками V 5 исправлять отображения и триангуляции не требуется, поэтому их надо исключить из регулярной окрестности.
Основным результатом этого параграфа является следующая теорема:
Теорема. Можно так определить новые триангуляции симплекса 6^ -Есс\ & ] , непрерывно зависящие от параметра, и построить такие полулинейные в новых триангуляциях
А і
отображения симплекса о t , близкие к старым отображениям, чтобы над ЭУ отображения не изменились, и над У не было нарушений общего положения типов і и ІІ для рассмат-
^ і ^ 1
риваемой пары симплексов Q и 6 2 . / Здесь У -
почти регулярная окрестность полиэдра ß у края в V •/ Основные результаты диссертации изложены в С5” - 9 3 • Пользуясь случаем, хочу выразить искреннюю благодарность своему научному руководителю А.Л.Онищику и профессору А.ВЛер-навскому за большое внимание к работе.
- 9 -
ГЛАВА І
АППРОКСИМАЦИЯ ПОЛУЛИНЕЙНЫМ ОТОБРАЖЕНИЕМ НЕПРЕРЫВНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ В ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО ОДНОМЕРНОГО ПОЛИЭДРА НАД СИЛЬНО ПАРАКОМПАКТНЫМ ПРОСТРАНСТВОМ ПАРАМЕТРОВ.
Пусть дано отображение У : Р * X Р * • Здесь У
- непрерывное отображение в евклидово пространство, Р -
компактный полиэдр, X - сильно паракомпактное пространство
параметров. Через Рх будем обозначать полиэдр Р х ос ,
ос е X »и через Ж ос отображение I р *
'Лзс
Для звездно конечного покрытия л пространства X
возьмем его нерв Ті - Ті (SL ) • Звезда каждой вершины в 71 конечна, сам же нерв УХ может быть бес-
конечным и бесконечномерным.
Пусть
Ї • х - л
- непрерывное отображение, вписанное в , то есть, прооб-
раз звезды вершины а. і є УХ лежит в соответствующем элементе покрытия 10 ■ е ХІ.
Далее, построим непрерывное отображение
Є : Р*Ж — и\
Возьмем произвольный элемент покрытия гО- € Л, и В нем точку ос і е X . Определим над вершиной (Xі е УХ отображение полиэдра Р , положив
- 10 -
6 (р,аі) = & (р.Хі) для Р€ Р • <*)
Проделывая это построение для всех элементов покрытия хъ и соответствующих вершин нерва УХ , получим, что отображение О определено над вершинами ^ї, . Распространим
это отображение линейно на весь нерв УХ . Делаем это сра-
зу над всеми симплексами из Лі с помощью барицентрических координат
0(р, ЕА;йг) = £ Л і&(руо-і) у />Є Р . (2 )
С
Имеем следующую диаграмму:
& к
р*х ——* /?
(3 = 1*<у
р X Л -------V £ к
Положим ~ ^ О. Р * X Р _
Л е м м а I. Если покрытие XX пространства X достаточно мелко, то У и сХ близки, то есть, для любой сколь угодно малой непрерывной функции £6х) > О существует такое покрытие XX , что для любого р е Р
(&(р,я) > &(р,х)) < €(ос)}
если У построено по покрытию XX , как выше. Доказательство. В силу непрерывности
- Київ+380960830922