К теории интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна : Метод преобразования монодромии

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ................................................................... 7
Уравнения Эйнштейна................................................... <5
Томные решения в теории гравитации.................................... 10
Интегрируемость двумерных редукции уравнений Эйнштейна................ 17
От гипотез интегрируемости к эффективным методам решения.............. 18
О содержании диссертации.............................................. 85
ЧАСТЬ I УРАВНЕНИЯ ЭЙНШТЕЙНА ПРИ НАЛИЧИИ ДВУМЕРНЫХ
ПРОСТРАНСТВЕННО - ВРЕМЕННЫХ СИММЕТРИЙ........................... 55
Глава 1 Геометри» пространства-времени с двумерной симметрией — 58
§ 1.1. Основные обозначения и определения..................... 58
§ 1.2. Локальные системы координат........................... 59
§ 1.3. Метрика, связность и кривизна.......................... 63
§ 1.4. Формализм Ньюмена - Пенроуза длп пространств с двумерной абелевой группой изометрий............................. 65
§ 1.5. Класс метрик Льюиса - Напапетру........................ 69
Глана 2 Классические безмассовые поля как источники гравитационного поля в пространстве-времени с двумерной симметрией 7/
§ 2.1. Электромагнитное поле............................... 72
§ 2.2. Двухкомпонентное безмассовое спннорное поле Вейля 15
§ 2.3. Скалярное поле с минимальной связью.................... 82
§ 2.4. Идеальная жидкость с предельно жестким уравнением
состояния р = є и потенциальным движением............... 83
§ 2.5. Полный тензор энергии - импульса гравитационно взаимодействующих бсзмассовых полей............................... 86
Глава 3 Уравнения Эйнштейна для пространства - времени с двумерной
симметрией.................................................... 90
§ 3.1. Уравнения связи для конформного фактора /.............. 91
§ 3.2. Автодуальная форма уравнений Эйнштейна................. 93
§ 3.3. Уравнения связи для неднагональных компонент метрики ........................................................... 96
§ 3.4. Динамические уравнения для компонент метрики Наь • •. 96
§ 3.5. Замкнутая система динамических уравнений............... 97
§ З.б. Динамические уравнения в терминах внешних форм 100
1
СОДЕРЖАНИК 2
§ 3.7. Динамические уравнения в комплексной ЗхЗ-матрнчной
форме.................................................... 105
§ 3.8. Модификация 3x3- матричных уравнений в координатах ........................................................... 108
§ 3.9. Доказательство эквивалентности 3x3 - матричных уравнений системе динамических уравнений............................ ПО
ЧАСТЬ I! МЕТОД ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МОНОДРОМИИ................................... 115
Глава 1 Представление нулевой кривизны для динамических уравнений
и эквивалентная спектральная задача............................ 121
§ 1.1. Построение ассоциированной линейной системы............. 122
§ 1.2. Эквивалентность дополнительных условий существованию эрмитова интеграла ассоциированной линейной системы .......................................................... 125
§ 1.3. Эквивалентная 3x3- матричная спектральная задача... 126
§ 1.4. Пространство локальных решений и нормировочные
условия.................................................. 127
Глава 2 Структура фундаментального решении Ф{£. г;, то) ассоциированной линейной системы................................................ 131
§ 2.1. Глобальные аналитические свойства 132
§ 2.2. Структура разреза на плоскости и>....................... 135
§ 2.3. Голоморфная ветвь Ф(£, >?, м») и ее свойства............ 136
§ 2.4. Локальные аналитические свойства Ф(£, ?7, ш) в точках
составного разреза Ь = Ь+ и/^_............................ ЦО
Глава 3 Прямая задача преобразования монодромии: определение данных монодромин для произвольного локального решения 151
§ 3.1. Определение данных монодромин........................... 152
§ 3.2. Данные монодромии для системы (11.1.16)................. 156
§ 3.3. Данные монодромии для уравнений обобщенных Эрнста. 156
Глава 4 Линейное сингулярное интегральное уравнение как эквивалентная форма полевых уравнений........................................ 160
§ 4.1. Эквивалентная задача сопряжения для аналитических
функций.................................................. 160
§ 4.2. Вывод основного сингулярного интегрального уравнения 164
§ 4.3. Структура сингулярного интегрального уравнения 172
§ 4.4. О корректности основного интегрального уравнения 175
СОДЕРЖАНИЕ з
§ 4.5. Вычисление комплексных потенциалов и компонент метрики......................................................... 179
§ 4-0. Эквивалентность основного интегрального уравнении обобщенным уравнениям Эрнста..................................... 183
Глава 5 Уравнении Фредгольма эквивалентные уравнениям Эрнста. Обратная задача преобразования монодромии: существование и единственность решения................................................. 185
§ 5.1. "Достаточность” интегральных уравнении.................. 186
§ 5.2. Регуляризация основного интегрального уравнении: уравнении Фредгольма. эквивалентные обобщенным
уравнениям Эрнста........................................ 200
§ 5.3. Уравнения Фредгольма, эквивалентные.электровакуумным уравнениям Эрнста........................ 216
5 5.4. Существование и единственность локальных решения
для произвольных данных монодромии....................... 218
ЧАСТЬ III ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ.................................. 223
Глава 1 Начальные и краевые условия и различные типы граничных
задач.......................................................... 228
§1.1. Задача Гурса............................................. 229
§ 1.2. Задача Коши............................................. 232
§ 1.3. Краевая задача в эллиптическом случае...... 236
Глава 2 Точная линеаризация граничных задач граничных для уравнений Эрнста............................................................. 241
§ 2.1. Задача Гурса............................... 241
§ 2.2. Задача Коши............................................. 245
§2.3. Краевая задача в эллиптическом случае.................... 246
Глава 3 Граничные задачи для полей с линеаризующимися динамическими уравнениями....................................................... 249
§ 3.1. Полны Эйнштейна - Розена и статические решения Вейля 250
§ 3.2. Интегральные представления общих решений уравнений
Лапласа и Эйлера - Пуассона - Дарбу...................... 253
§ 3.3. Общее решение спектральной задачи и вычисление данных монодромии для вакуумных полей с диагональной
метрикой................................................. 257
§ 3.4. Общее решение задачи Гурса для вакуумных полей с диагональной метрикой в терминах преобразования монодромии....................................................... 264
СОДЕРЖАНИЕ
I
§ 3.5. Общее решение задачи Коши в гиперболическом случае дли вакуумных полей с диагональной метрикой п терминах преобразования монодромин.............................. 271
§ 3.6. О построении решений граничных задач для вакуумных
полей с диагональной метрикой в эллиптическом случае 277
Глава 4 Классы полей определяемые асимптотическими условиями: слабые поля, поля регулярные на границе of*1,:г2) = 0 и асимптотически плоские поля.............................................. 283
§ 4.1. Общее локальное решение уравнений Эрнста в терминах
решения основного интегрального уравнения.............. 289
§ 4.2. Общее решение для слабых полей........................ 293
§ 4.3. Класс решений, регулярных на границе п(х1,т2) = 0----- 294
§ 4.4. Редукции линейных интегральных уравнений для полей
с аналитически согласованными данными монодромии .. 300
§ 4.5. Асимптотически плоские поля и их мультипольиыс разложения ..................................................... 305
ЧАСТЬ IV МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ
ЭЙНШТЕЙНА И ЭЙНШТЕЙНА - МАКСВЕЛЛА............................ 309
Глава 1 Вакуумные солитоны Белинского и Захарова (А-солитоны) в
контексте метода преобразования монодромии................... 316
§ 1.1. Генерация А-солитонов (метод "одевания”).............. 317
§ 1.2. Генерация вакуумных ш-солнтонов методом одевания ... 330
§ 1.3. Преобразование данных монодромии при генерации вакуумных ш-сол итонов......................................... 343
Глава 2 Солитонные решения электровакуумных уравнений Эйнштейна
- Максвелла (w - солитоны с комплексными полюсами)........... 349
§ 2.1. Определяюшап система матричных уравнений.............. 351
§ 2.2. Генерация солитонных решений с комплексными полюсами......................................................... 354
§ 2.3. Электровакуумные N-солитонные решения в замкнутой
форме.................................................. 359
§ 2.4. Преобразование данных монодромии, при генерации электровакуумных w - солитонов с комплексными полюсами....................................................... 361
Глава 3 О расширении семейства электровакуумных солитонов (вырожденные солитоны с вещественными полюсами)........................ 367
СОДЕРЖАНИЕ 5
§ 3.1. Генерация односолитонного решения с вещественным полюсом ....................................................... 368
Глава 4 Процедура генерация простейшего типа несолитонных решений и соответствующее ей преобразование данных монодромим 374
§ 4.1. Генерация решений с линейной по ю одевающей матрицей ......................................................... 374
§ 4.2. Преобразование данных монодромми при генерация решений с линейной по ю одевающей матрицей..................... 385
Глава 5 Класс решений электровакуумных нолей с произвольными аналитически согласованными рациональными данными моно-дромии............................................................... 387
§ 5.1. Уравнения Эйнштейна-Максвелла в форме линейных сингулярных интегральных уравнений и уравнений Фрсд-
гольма................................................. 388
§ 5.2. Аналитически согласованные данные монодромим и видоизмененные интегральные уравнения.......................... 390
§ 5.3. Общий вид решения уравнений Эйнштейна - Максвелла с произвольными аналитически согласованными рациональными данными монодромии.................................. 394
ЧАСТЬ V ПРИМЕРЫ ТОЧНЫХ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ЭЙНШТЕЙНА
И ИХ ФИЗИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ.................................. 402
Глава 1 Односолитонные возмущении и волны на фоне пространств
Мннковского................................................. 4^4
§ 1.1. Двумерные абелевы подгруппы изометрий пространства
Мннковского и отвечающие им формы метрики.............. 404
§ 1.2. Общее решение спектральной задачи для пространства
Мннковского............................................ 408
§ 1.3. Общий вид односолитонного электровакуумного решения с комплексным полюсом на фоне пространства Минков-
ского.................................................. 411
§ 1.4. Стационарное осесимметричное односолитоннос решение при Л = 0: решение Керра - Ньюмена для внешнего поля заряженной вращающейся черной дыры................... 416
§ 1.5 Односолитонные квязи-цилиндрнческие гравитационные и электромагнитные волны на фоне пространства Мин-
ковского................................................ 418
СОДЕРЖАНИЕ 6
§ 1.6 Односолитонныо кнази - сферические гравитационные и электромагнитные полны на фоне пространства Минков-ского...................................................... 423
Глава 2 Двухсолитониые конфигурации гравитационных и электромагнитных полей на фоне пространства Минковского................... 423
5 2.1 Общее двухсолитоинос электровакуумное решение на фоне пространства Минковского при >1 = 0..................... 433
§ 2.2 Двенадцатипарамстричсское стационарное осесимметричное решение для поля двух взаимодействующих источников типа Керра - Ньюмена.............................. 432
§ 2-2 Взаимодействующие неплоские солитонные гравитационные и электромагнитные полны............................... 426
Глава 3 Генерация простейших несолитонных решений: взаимодействие заданной полевой конфигурации с внешним электромагнитным полем....................................................... 428
§ 3.1. Несолитонные возмущения пространства Минковского .. 439
§ 3.2. Динамика замкнутой вселенной Фридмана при наличии
однородных электромагнитных полей.................... 444
Глава 4 Черная дыра Шварцшильда в полузамкнутой магнитной вселенной Кертотти - Робинсона, как пример нелинейной суперпозиции полей.................................................... 441
§4.1. Полевые конфигурации с рациональными данными мо-
нодромии и их нелинейная суперпозиция................ 449
§ 4.2. Черная дыра в полузамкнутой статической магнитной
вселенной............................................. 432
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................. 458
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................................................... 463
ВВЕДЕНИЕ
Современная теория гравитации, построенная на основе общей теории относительности Эйнштейна (ОТО), представляет собой, как известно, одну из наиболее стройных и красивых физических теорий. Лежащая в основе этой теории интерпретация явления гравитации, как проявления геометрических свойств (кривизны) пространства - времени, приводит к единой, динамической связи разнообразных объектов как физической, так и чисто геометрической природы. Включая в свое рассмотрение все явления классической (т.е. не квантовой) гравитационной физики, - от сугубо локальных, таких как движение и эволюция сверхплотных компактных космических объектов, образование черных дыр, излучение и распространение гравитационных волн, и до наиболее глобальных, связанных со структурой и эволюцией Вселенной как целого, в особенности, на самых начальных этапах ее развития, эта теория неизменно привлекает большое внимание исследователей на протяжении более чем восьмидесяти лет своего существования.
С физической точки зрения эго внимание обусловлено в первую очередь и тем огромным разнообразием конкретных задач, решение которых способствовало бы нашему пониманию физической природы гравитационных явлений, и тем хорошо известным влиянием, которое эта теория оказала на формирование целого ряда боле«» общих и замечательных идей, лежащих в основе современной теории поля и направленных яа построение единой теории всех наблюдаемых в природе взаимодействий. Не меньший интерес эта теория представляет и с чисто математической точки зрения, благодаря разнообразию и богатству различных структур, открывающихся при исследовании уравнений, лежащих в основе этой теории уравнений Эйнштейна. Фундаментальная природа этих уравнений, сочетающиеся и их структуре сложность и внутреннее изящество сами по себе несомненно заслуживают внимания и, став объектом исследования, могут существенно расширить наши представления о природе нелинейных уравнений, подсказывать новые пути к их интегрированию.
Многие аспекты как физического содержания теории, так и ее математической структуры могут быть прослежены уже "в малом” - в упрощенных модельных ситуациях, получаемых при ограничении рассмотрения дополнительными предположениями, которые должны быть достаточно естественными, чтобы сохранить физическую содержательность теории, но достаточно действенными, чтобы сделать возможным развитие эффективных подходов к ее анализу. Как и во всякой нелинейной теории, подобным ограниченном может служить предположение о наличии пространственно - временных симметрий. Как показало развитие теории в последние три десятилетия, благодаря только этому ограничению дальнейшие исследования в ряде физически важных случаев оказываются на пересечении ин-
7
ВВЕДЕНИЕ
тересов двух направлений - теории гравитации и современной теории интегрируемых нелинейных систем, что обуславливает достаточно богатые возможности развития разнообразных аффективных математических методов исследования различных нелинейных явлений при участии сильных гравитационных полей.
Основной целью и содержанием представленных ниже исследований автора являлись поиск новых интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна, формулировка некоторого общего подхода к анализу уравнений Эйнштейна в интегрируемых случаях. наиболее адекватного внутренней структуре рассматриваемых уравнений, и развитие на его основе эффективных методов конструирования физически интересных модельных полевых конфигураций с последующим исследованием их физических и геометрических свойств, отражающих различные аспекты нелинейного характера гравитационного взаимодействия. В последующих частях настоящей работы дано подробное описание этих результатов, однако, прежде, чем переходить к их изложению, уделим некоторое внимание истории развития подобных исследований. касающейся уравнений Эйнштейна, роли их точных решений в теории гравитации, а также наиболее известных результатов, снизанных с интегрируемостью этих уравнений при наличии пространственно - временных симметрий в ряде физически интересных случаев.
Уравнения Эйнштейна.
Уравнения Эйнштейна в Общей теории относительности возникают кик далеко идущее обобщение у|швнсний ньютоновской теории гравитации. Так, в ньютоновской механике определяющие уравнения (при учете гравитации) являются экстремалями функционала действии вида
«5= I
У*хТ
где интеграл вычисляется по некоторой области пространства V3 и в пределах заданного интервала времени Т, а плотность лагранжиана помимо суммарного вклада всех видов присутствующей в пространстве материн С,„ включает еще два слагаемых, отвечающих соответственно взаимодействию материи с гравитационным полем и собственно гравитационному полю, так что само гравитационное поле, описываемое потенциалом <р, определяется хорошо известным линейным уравнением Пуассона
Ду? = Апур
где Д оператор Лапласа, у г» 6.67 • 10~&см3/г сек2 гравитационная постоянная Ньютона, а <р - потенциал гравитационного поля, создаваемого источниками, распределение масс которых характеризуется плотностью р.
ВВЕДЕНИЕ
9
В то же время, в Общей теории относительности аналогичное действие приобретает вид (х = 8я*7/с4 - гравитационная постоянная Эйнштейна):
V«
где интеграл уже берется по некоторой области искривленного четырех мерного пространства - времени V’4, плотность лагранжмшш материи Ст строится теперь с учетом римнновой пространственно - временной метрики (что и определяет взаимодействие материи и гравитационного поля и делает ненужным присутствие дополнительных членов, описывающих это взаимодействие), а часть действия, отвечающая собственно гравитационному полю, записанная в форме Гильберта - Эйнштейна, приобретает чисто геометрический вид. поскольку 72 представляет собой склариую кривизну Риччи четырехмерного псевдорнманова пространства - времени с лореицсвой сигнатурой метрики.
Вариация действия Гильберта - Эйнштейна по метрике приводит к фундаментальным уравнениям, составляющим часть полной системы уравнений, опрелсля-ющих поведение материи, гравитационного поля и характер их взаимодействия
уравнениям Эйнштейна. Эти уравнения, образующие (в отличие от уравнения Пуассона) квазилинейную гиперболическую систему, обладают несравнимо более сложной, нелинейной структурой. Именно этой структурой, как и другими СПСНН-фнчесикми свойствами этих уравнений обусловлено множество чрезвычайно интересных явлений, происходящих в сильных гравитационных полях и имеющих своей сутью отождествление гравитации с проявлением геометрических свойств пространства - времени.
Изучению всевозможных физических явлений, происходящих в сильных гравитационных полях посвящено огромное количество исследований. Подробное описание многих из этих явлений и их простейших моделей было дано в фундаментальной книге [1]. Многие важные свойства сильных гравитационных полей были также описаны о известных монографиях, книгах и сборниках, например, в [2 - 7], как и во множестве других, более поздних и современных, а так же более специальных изданий. Значительная часть этих результатов была получена благодаря знанию точных частных решений уравнений Эйнштейна. Таким образом, в теории гравитации Эйнштейна, как и в любой нелинейной теории, значительный интерес представляет построение и исследование разнообразных семейств точных решений. Выделение среди этих решений простых модельных конфигураций, их детальное исследование позволяет выявлять многие качественные особенности поведения гравитационных полей и процесса их взаимодействия с различными видами материи.
ВВЕДЕНИЕ
ю
Точные решения в теории гравитации.
Длительное время для уравнений Эйнштейна было известно лишь небольшое число отдельных семейств точных решений с очень малым числом свободных параметров. обладающих высокой степенью пространственно - временной симметрии и (или) существенной вырпжденностыо структуры различных геометрических характеристик. Тем не менее, среди этих простейших семейств решений уже содержался ряд решений, наделенных необычными, подчас весьма неожиданными свойствами и давших самые первые представления о свойствах и характере поведения сильных гравитационных полей, обусловленных их существенной нелинейностью. Дальнейшие исследовании показали, что несмотря на высокую степень пространственно временной симметрии и аырождснность структуры, многие из этих решений выражают действительно фундаментальные свойства гравитационных полей, проявляющиеся и в значительно более общей физической ситуации.
Роль точных решений в становлении основных направлений теории.
Некоторые из полученных в самом начале решений, стали широко известными, сыгран фундаментальную роль в развитии важнейших направлений теории гравитации и се приложений в астрофизике — физике черных дыр, космологии, гравитационно-оолнопой физике.
Физика черных дыр. Найденные еще в 1916 и 191# г.г. статические сферически
- симметричные решения Шварцшильда (8) и Рейсснера - Нордстрема [9,10] описывают соответственно внешнее поле в пустоте (вакууме) некоторого сферически
- симметричного массивного тела и его электровакуумный аналог, возникающий при наличии у массивного тела электрического заряда. Знание решения, описывающего внешнее поле сферической массы, позволило предсказать существование и величину ряда эффектов, таких как прецессия перигелия планетных орбит, отклонение лучей света, запаздывание электромагнитных сигналов и красное смешение их спектров в гравитационном поле, наблюдавшихся затем в действительности и до сих пор составляющих экспериментальную основу релятивистской (т.е. не ньютоновской) теории гравитации. Из этих же решений следовало, что при уменьшении радиуса центрального тела, создающего поло (т.е. при попытке получить обще-рслятнвистский аналог ньютоновского поля точечной массы и кулоновского поля точечного заряда), возникает некоторая конфигурации внишнсго ноля, обладающая рядом удивительных, специфических свойств, благодаря которым эта конфигурации получила название черной дыры.
Почти полвека спустя, благодаря использованию новых методов были найдены два новых семейства решений — решения Керра [11] и Керра - Ныомена [12], являющиеся стационарными осесимметричными обобщениями соответственно решений Шварцшильда и Нордстрема - Рейсснера и содержащие, помимо параметров, задающих массу черной дыры и ее электрический заряд, еще один важный параметр,
ВВЕДЕНИЕ
II
задающий момент вращения черной дыры. Эти решения обладают еще более богатым, чем решения Шварошильда и Нордстрема - 1’ейсснера, набором физических свойств, обусловленных вращением источника. Позднее удивительным образом оказалось, что решение Керра (или, при наличии электрического заряда, — решение Керра - Ньюмена) и только оно описывает конечное стационарное состояние изолированной от всех внешних воздействий черной дыры. Открытие этого решения, изучение его свойств положило начало ноной и весьма широкой области исследований в современной теории гравитации - физики черных дыр.
Космология. Семейства решений Фридмана [13), возникшие еще в первое десятилетие существования ОТО, представляют собой простейшую модель нашей расширяющейся Вселенной и описывают пространство - время, заполненное однородно и изотропно распределенной в пространстве материей пылью или идеальной жидкостью с давлением. Все характеристики этой материн зависят только от времени, а трехмерное физическое пространство может иметь постоянную но пространству, по зависящую от времени положительную или отрицательную, а также нулевую кривизну. Интереснейшей особенностью этих решений была их нестацмонарность, однородный и изотропный разлет всей содержащейся в прост!>анстве материн, бесконечность или конечность и замкнутость физического пространства и возможная смена расширения сжатием в зависимости от того, превосходит или нет плотность вещества Вселенной определенное критическое значение, и, наконец, наличие но всех решениях космологической сингулярности в момент времени в прошлом, соответствующий началу расширения, в котором кривизна пространства - времени, плотность вещества, его температура и давление обращались в бесконечность. .Знание этих решений позволило построить простейшую космологическую модель, описывающую наблюдаемое расширение Вселенной и в то же время лишенную всех тех внутренних парадоксов и трудностей, которые возникали при попытках построить адекватную космологическую модель в рвмках ньютоновской теории тяготения.
Интенсивное изучение проблемы начальной космологической сингулярности, начатое четверть века спустя исследованием устойчивости малых возмущений однородных и изотропных космологических моделей Фридмана, вместе с последующим анализом поведения решений, описывающих более общие, чем фридмановскис, анизотропные, но пространственно однородные космологические модели, называемые обычно моделями Бнанки, привело к доказательству существования начальной сингулярности в общем решении космологического типа и к открытию специфического колебательного характера приближения к этой сингулярности [14]. Более детальный и строгий анализ, девший полное описание всевозможных типов поведения однородных космологических моделей вблизи сингулярности, на основе качественной теории динамических систем был выполнен в [15].
В последние десятилетия при более детальном исследовании возможного характера расширения Вселенной на самых ранних его этапах, когда существенную роль
ВВЕДЕНИЕ
12
могли играть разнообразные квантовые аффекты, стали рассматриваться различные "инфляционные'’ сценарии эволюции Вселенной, типичным свойством которых является прохождение Вселенной через стадию сверхбыстрого (экспоненциального) расширения, сглаживающего все ее возможные неоднородности [10 - 18]. Особенности этой стадии впервые также были прослежены на давно известном семействе точных решений получивших таким образом более современное толкование и называемых моделями де-Ситтера [5].
Гравитационные волны. Среди первых найденных точных решений, имеющих волновой характер, хотя и представляющими изначально, быть может больший теоретический, нежели практический интерес, были двумерные волновые конфигурации Эйнштейна Розена [19,20]- Для этих полей, удовлетворяющих вакуумным уравнениям Эйнштейна, метрика пространства - времени является диагональной, а все искомые функции выражаются (хотя и довольно сложным, нелинейным образом) всего через одну функцию, являющуюся произвольным решением двумерного линейного уравнения второго порядка гиперболического тина (уравнения Эйлера -Пуассона - Дарбу). Рассмотрение конкретных решений из этого класса поставило ряд интересных теоретических вопросов о распространении и взаимодействии гравитационных волн, их воздействии на пробные тела, переносимой ими энергии [21].
Весьма интересным и неожиданным оказалось, например, что при столкновении плоских гравитационных волн даже при вполне регулярных начальных данных в результате взаимодействия этих волн и их взаимной фокусировки образуется пространственно * подобная сингулярная поверхность, вблизи которой кривизна пространства - времени неограниченно возрастает [22 - 24]. Ряд интересных аспектов распространения и взаимодействия гравитационных, а также гравитационных н электромагнитных волн, структуры образующихся при столкновении волн сингулярностей геометрии пространства - времени были детально рассмотрены в монографии [25].
Взаимодействие полей различной структуры Другим важным классом полей, сходным по своей формальной структуре с классом решений Эйнштейна - Розена, является класс статических полей с осевой симметрией в вакууме, найденный Вейлем [26] еще в 1918 г. Метрика пространства - времени для решений Вейля также является диагональной, причем все ее ненулевые компоненты выражаются алгебраически или в квадратурах всего через одну функцию, логарифм которой является произвольным решением двумерного линейного уравнения второго порядка эллиптического типа, совпадающего с 3-х мерным уравнением Лапласа для осесимметричных полей. Многие представители этого класса полей могут быть вычислены в простой и явной форме. Построенные примеры конкретных решений из этого класса порядили первые представления об обшерсллтивистских уравнениях движения тел (точное, в данном случае. - об условиях их равновесия), расширили
ВВЕДЕНИЕ
13
представления о возможных типах пространственно - временных сингулярностей.
Дальнейшие исследования также показали, что уже среди этих первых найденных простейших решений содержался ряд физически важных и интересных случаен, которым спустя почти полнена после того, как они были найдены, предстояло сыграть фундаментальную роль при обсуждении целого ряда современных вопросов как самой теории гравитации, так и различных ее приложений.
Развитие новых методов о ОТО .
Очевидный прогресс теоретических исследований в гравитации, обусловленный знанием ряда точных решений уравнений поля, естественно стимулировал развитие новых методов интегрирования уравнений Эйнштейна и поиск их новых точных решений, описывающих всевозможные физические ситуации.
Классификации решений по группам движений и алгебраической структуре В начале 60-х годов предшествовавшее изучение возможных типов геометрии пространства - времени, наделенной изометриями, их детальная классификации, а так же исследование алгебраической структуры различных геометрических характеристик (тензоров Римана, Вейли, Риччи) послужило основой нового этапа подобных исследований [27]. Большую пользу тогда принесла построенная А.3.Петровым [28] и дополненная затем Р.Пенроуэом [29] классификация типов алгебраической структуры тензора Вейля и выделение алгебраически специальных типов пространств.
Формализм Ньюмена и Пенроуза Одним из наиболее эффективных методов, давших значительную часть полученных в те годы результатов, явился метод, основанный на формализме, предложенном Ньюменом и Пенроузом (формализме комплексных изотропных тетрад или эквивалентной его спинорной формулировке) [30]. Этот формализм, получивший и значительно более широкие применения, был, в частности, успешно использован в сочетании с классификацией Петрова типов алгебраической структуры тензора Вейля для непосредственного интегрирования уравнений Эйнштейна для ряда подклассов алгебраически специальных полей и позволил в некоторых случаях найти полное решение для данного типа алгебраической структуры тензора Вейля (например, все вакуумные поля типа О [31)}. Различные применения этого формализма описаны в [1,5,6,30], а также в обзорах [32.33].
Другие методы Параллельно, в 00-х 70-х годах, развивались также и другие
методы анализа уравнений Эйнштейна, применявшиеся к исследованию разнообразных математических проблем общей теории относительности, в частности, так называемой гипотезы космической цензуры, положительности энергии гравитационных волн, постановки и изучения общих свойств задачи Коши. Немалую пользу при этом принесло изучение конкретных свойств различных известных точных решений уравнений Эйнштейна. Некоторые методы и полученные результаты отражены в более поздних обзорах [3-1,35].
В то же время все большее внимание стал привлекать класс стационарных осесим-
ВВЕДЕНИЕ
\Л
метричных полой, благодаря своей физической содержательности и, одновременно, значительным упрощениям уравнений Эйнштейна, возникающим при этом по крайней мере в наиболее фундаментальных случаях чисто вакуумных или электро-вакуумиых полей. Для специального и уже давно известного класса метрик (называемых метриками Льюиса Папапетру [36,37]), компоненты которых в цилиндрической системе координат зависят только от двух координат риги имеют блочно
- диагональный вид [38], Эрнстом [39,40] была получена чрезвычайно элегантная форма редуцированных уравнений, которая стала называться впоследствии уравнениями Эрнста. Оказалось, что все ненулевые компоненты рассматриваемых вакуумных метрик могут быть выражены алгебраически или в квадратурах всего через одну комплексную функцию £(р, г) (называемую комплексным потенциалом Эрнста), а в электровакуумном случае, вместе с компонентами электромагнитного 4-потенииала — через два аналогичных комплексных потенциала Эрнста £(р, г) и Ф(р, г). При этом все уравнении Эйнштейна после разрешения соязей сводятся в случае вакуума всего к одному нелинейному комплексному уравнению второго порядка (квазилинейному уравнению эллиптического типа) длп комплексного потенциала £(р, г), а в случае электровакуума (т.е. уравнения Эйнштейна - Максвелла)
— к связанной системе двух подобных у!>авнений длп комплексных потенциалов £(р,г) и Ф(р, г). Без особого труда аналогичные уравнения Эрнста могут быть выведены и длп класса нолей, весьма сходных со стационарными осесимметричными полями, но зависящих от времени и одной из пространственных координат (хотя в этом случае, очевидно, возникает система квазилинейных уравнений не эллиптического, а гиперболического типа).
Имеющие чрезвычайно простую и удобную форму, уравнении Эрнста, их внутренняя структура немедленно стали объектом детального изучения длн многих авторов, что привело к обилию различных применявшихся частных способов их интегрирования. В результате, многие из полученных в те годы решений вакуумных уравнений Эйнштейна или электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла являлись стационарными осесимметричными или плоскополновымн и были построены именно посредством решения уравнений Эрнста. Использование этих уравнений по существу стало одним из наиболее эффективных методов интегрировании уравнений Эйнштейна.
Многообразие точных решений и их физическая интерпретация.
На основе разработанных в те годы методов впоследствии было найдено значительное количество новых интересных и содержательных с физической точки зрения решений. Среди этих решений содержится, в частности, множество различных вакуумных или содержащих вещество анизотропных однородных или неоднородных решений космологического типа, различные геометрические и физические свойства которых обсуждались, например, в обзорах [41,42]; много решений, опн-
НУКЛОН НЕ
15
сыыающих разнообразные волновые конфигурации, возникающие при столкновении плоских волн различных типов (гравитационных, электромагнитных и некоторых других) н различной формы (анализ этих решений и их подробная физическая интерпретация даны, например, в книге [25]). Особенно разнообразно представлен точными решениями класс стационарных осесимметричных решений, среди которых можно выделить следующие интересные группы:
Асимптотически плоские ”частицеподо6щ :■ р :п. ним. Помимо уже упоминавшихся решений Шварцшильда, Керра. Нордстрома - Рейсснера и Керра - Ньюмена для изолированных черных дыр и некоторых их обобщений, включающих, например, отличную от нуля космологическую постоянную, здесь следует упомянуть семейства решений Томиматсу - Сато (и ряд их обобщений), содержащие параметры, описывающие, кроме массы и момента вращения, произвольный кнадрунольный и высшие мультипольмые моменты источника, имеющие горизонты, кольцевые сингулярности и другие интересные особенности [43]; решение Бониора, описывающее пате массивного магнитного диполя [44]; ссмипараметрнческое решение Плебань-ского - Демьлньского [45], содержащее помимо массы, параметры, определяющие момент вращения, электрический и магнитный заряды источника, его ускорение, параметр НУТ и ненулевое значение космологической постоянной. (Заметим, однако, что в нашей весьма условной классификации последнее решение но сноей интерпретации следует отнести, скорее, к следующей группе решений, и потому оно будет там упомянуто повторно). Наконец, еще одним, интереснейшим с физической точки зрении примером является решение, полученное Нейгсбаузром и Майнелем [46 - 48] и описывающее ‘'самосогласованную” конфигурацию состоящую из изолированного твердотельно вращающегося в собственном гравитационном поле бесконечно тонкого пылевого диска и его всюду регулярного внешнего асимптотически плоского поля.
"Двухчастичные” н ”многочастнчные" решения. Многие решения этого типа, как правило, удовлетворяют ослабленным требованиям асимптотической евкли-допости, являясь лишь локально асимптотически плоскими. Сюда можно отнести: решение, найденное много лет назад Чази и Курзоном [49,50] (принадлежащее к семейству решений Вейла), в котором две особенности, наделенные массами, находятся в равновесии II в котором, быть может, впервые было обнаружено появление нефизическнх особенностей (конических точек на оси симметрии) , являющихся дополнительными источниками гравитационного поля, обусловливающими статичность решения как целого [2]; аналогичное семейство, содержащее любое число Швярцшильдовских особенностей (свойства этого семейства были подробно изучены в [51]); статические решения Маюмдара - Пяпапетру [52,53] и их стационарные обобщения [54], в которых любое число экстремально заряженных черных дыр находится в безразличном равновесии под действием собственного гравитационного притяжении и электромагнитного отталкивания; двух-Керровское решение, впер-
ВВЕДЕНИЕ
16
вые рассмотренное в (55! и изучавшееся затем в (55 - 64], а также его электровакуумное обобщенно построенное впервые автором [65] и содержащее два источника типа Керра - Ньюмена с двенадцатью параметрами, включающими, помимо массы, момент вращения, электрический и магнитный заряды, параметр НУТ каждого из источников, или еще более полное семейство, построенное в [66], хотя и ужо содержащееся менее явно о огромном семействе формально построенных решений [67]; так называемые С - метрики в вакууме [79.69] и их электровакуумное обобщение [36,68], которые, как оказалось впоследствии [69,70], при построении их аналитического продолжения описывают равноускоренное движение (под влиянием поля некоторых дополнительных, сосредоточенных вдоль оси симметрии нитевидных источников) двух симметрично движущихся черных дыр с учетом их гравитационного и электромагнитного излучения, а также более общее семейство решений Плебаньского - Демьпньского [45], содержащее упоминавшиеся выше дополнительные параметры.
Решения, не имеющие плоской асимптотики. Среди решений, не являющихся асимптотически плоскими содержится не так много решений, обладающих ясной физической интерпретацией. И решениям такого типа относятся либо решения. описывающие некоторые протяженные полевые конфигурации, моделирующие внешние поля, с которыми могут взаимодействовать различные компактные источники или же решения, описывающие эго взаимодействие. Известными точными решениями такого рода являются, например, решения Мельвина [71] (значительно раньше найденное, однако, Бонно|к»м [72]) и Бертотти - Робинсона [73,74], описывающие статические вселенные, заполненные соответственно однородным вдоль оси симметрии или полностью пространственно однородным магнитным полем, в которых пространство оказывается замкнутым в направлении, перпендикулярном к оси симметрии; решение для Шварцшильдовской черной дыры во внешним поле, описываемом вакуумным решением Вейля [75]. решение Эрнста для "заряженной” С-метрики с внешним электромагнитным полем [76], демонстрирующее исчезновение конических особенностей при "правильном" выборе параметров, обеспечивающем соответствие между электромагнитными силами и ускорением каждой из заряженных черных дыр; построенное чрезвычайно элегантным способом семейство решений Эрнста, описывающее вращающуюся заряженную черную дыру, погруженную во вселенную Мельвина н взаимодействующую с ее полем [77]; (столь же простое решение для Шварцшильдовской черной дыры, погруженной в электромагнитную вселенную Бертотти - Робинсона значительно более сложными методами было совсем недавно построено в совместной работе А.Гарсиа и автора [78]).
Помимо решений, перечисленных выше и наделенных ясной физической интерпретацией, многими шпорами, исходившими из самых разнообразных (зачастую совершенно формальных и не имеющих физического характера) предположений, было получено очень большое количество решений уравнений Эйнштейна, описы-
ВВЕДЕНИЕ
17
ваюших либо гравитационные ноля в вакууме, либо в пространствах, заполненных разнообразной материей - пылыо, идеальной жидкостью со всевозможными уравнениями состояния, некогерентным излучением, различными полями (электромагнитным, скалярным, нейтрино и др.). Хотя значительная часть этих решений гак и осталась принадлежать к числу чисто формальных решений, не получив пока ясной физической интерпретации, они могут служить полезными примерами пространственно - временных геометрий (со всем разнообразием имеющихся в них особенностей), допускаемых уравнениями Эйнштейна.
Таким образом, за первые шестьдесят лет существования ОТО было получено большое количество |>азнообразных по своим свойствам и физической интерпретации решений уравнений Эйнштейна. Весьма полный и обстоятельный обзор этих решений и основных используемых при этом методов, содержащий результаты вплоть до 1980 года, был дан в фундаментальной, похожей на энциклопедию книге (79). Однако, не смотря на внушительный накопленный опыт изучения уравнений Эйнштейна и значительное количество найденных хитроумных способов их интегрирования в разнообразных частных случаях, действительно глубокое проникновение в многообразный мир решений эйнштейновских уравнений оказалось возможным несколько позднее, после открытия того факта, что, по крайней мерс, в наиболее фундаментальных случаях и при наличии определенных пространственно - временных симметрий соответствующие редукции этих уравнений оказываются вполне интегрируемыми.
Интегрируемость двумерных редукций уравнений Эйнштейна.
Свойства интегрируемости двумерных редукций уравнений Эйнштейна прежде всего были обнаружены для гравитационных полей в вакууме, а вскоре за этим и для уравнений Эйнштейна - Максвелла для электровакуумных полей, т.е. для взаимодействующих гравитационных и электромагнитных полой вне их источников. Позднее оказалось, что аналогичная интегрируемость имеет место и при наличии в пространстве - времени безмассовых полей других спинов (скалярных. Вейлевского спинорного) или идеальной жидкости с предельно жестким уравнением состояния. В одних случаях при наличии скалярного поля, идеальной жидкости с предельно жестким уравнением состояния, н пятимерной формулировке гравитаиия Калуцы и Клейна со специальным электромагнитным полем = 0) или с электромаг-
нитным и связанным с ним скалярным (дилатонным) полями, эта интегрируемость возникала тривиально т.к. в результате редукции полевые уравнения эффективно сводились к уже известному вакуумному случаю, в других же (как в случае присутствия электромагнитного поля общего вида и (или) Вейлевского спинорного поля) эта интегрируемость вытекала из более сложных построений, а редуцированные полевые уравнения существенно меняли свой вид.
ВВЕДЕНИЕ
Наличие свойств интегрируемости у рассматриваемых полевых уравнений про-является в существовании у этих уравнений богатой внутренней структуры, включающей в себя много замечательных свойств, которые делают эти уравнения весьма сходными по своей структуре с другими, классическими при мора ми вполне интегрируемых систем уравнениями Кортевега - до Фриза, нелинейного уравнения Шредингера, уравнения синус - Гордона и другими. При этом для рассматриваемых уравнений оказыпаютсп применимыми многие фундаментальные идеи и подходы, использовавшиеся при анализе других интегрируемых систем, что приводит к глубокому пониманию внутренней структуры исследуемых уравнений и дает основу для развития эффективных методов построения их решений.
От гипотез интегрируемости к эффективным методам решения.
Фундаментальная природа уравнений Эйнштейна, а также очевидные успехи быстро развивающейся теории вполне интегрируемых двумерных систем делали вполне естественными предположения об интегрируемости двумерных редукций уравнений Эйнштейна. Болес двадцати лет назад различными авторами были сделаны более или менее содержательные попытки установить интегрируемость этих уравнений. Впервые предположение, эквивалентное но своей сути предположению об интегрируемости вакуумных уравнений Эйнштейна при наличии двумерных пространственно - временных симметрий, т.с. при наличии двух коммутирующих между собой полей векторов Киллинга было высказано в работе Героча (80]. В этой работе был предложен некоторый индуктивный алгоритм вычисления решений. а также высказывалось предположение о наличии бесконечномерной группы внутренних симметрий вакуумных уравнений Эйнштейна, действующей транзн-тивно на пространстве всех решений, что позволило бы генерировать любое решение редуцированных уравнений, исходя, например, из пространства Минкоыского. (Впоследствии это предположение стало именоваться некоторыми авторами гипотезой Героча, а соответствующая предполагаемая группа преобразований решений о решения - группой Героча [81])
Помимо высказываемых гипотез некоторыми авторами были найдены и достаточно существенные аргументы, свидетельствующие в пользу наличия интегрируемости. как, например, обнаруженное в работах Кимнерсли и Читра |82,83] наличие бесконечномерной алгебры внутренних симметрий или найденное Майсоном [84,85] и типичное для метода обратной задачи рассеяния представление некоторой части динамических уравнений в виде условий совместности переопределенной линейной системы с комплексным параметром. Однако, фактически интегрируемость вакуумных уравнений Эйнштейна для гравитационных полей, зависящих от времени и одной из пространственных координат, а затем и для стационарных осесимметричных полей была открыта в работах Белинского и Захарова [86,87], где впервые для соответствующих динамических уравнений была дана формулировка
ВВЕДЕНИЕ
19
метода обратной задачи рассеяния, т.е. полевые уравнения были представлены в виде условий совместности переопределенной линейной система со спектральным параметром и сформулированы дополнительные условия "условия редукции”, делающие эту спектральную задачу эквивалентной исходным динамическим уравнениям, а гак же развиты эффективные методы вычисления обширных семейств точных ГЧ-солитонных решений, "генерируемых” на фойе произвольно выбираемого известного частного решения. Кроме того, уже в первой из упомянутых работ (86] впервые задача описания всех решений была эффективно сведена к некоторой матричной задаче Римана и построено эквивалентное линейное матричное сингулярное интегральное уравнение. Позднее эти результаты были повторены и существенно дополнены в ходе разнообразных исследований, выполненных в рамках самых различных подходов.
Как уже упоминалось выше, важной вехой на пути развития методом интегрирования уравнений Эйнштейна при наличии пространственно - временных симметрий были получение в 1968 году Р.Л.БгпвЬ'ом специальной эквивалентной формы вакуумных [39] и электровакуумных [40] уравнений, выраженной и терминах комплексных потенциалов, называемых теперь сосявстствснно уравнениями и потенциалами Эрнста. Недавно Эрнстом [88] была собрана весьма полная коллекция работ мног их авторов, посвященных не столько построению частных решений, но развитию всевозможных методов интегрирования уравнений Эрнста (или эквивалентных им) за все три десятилетия существования этих уравнений. Истории этих исследований (весьма краткий и далеко не полный очерк которой приводится ниже), включает имена многих авторов и характеризуется обширной географией.
Разнообразие форм редуцированных полевых уравнений
Богатство внутренней структуры уравнений Эйнштейна появилось прежде всего в большом разнообразии по-своему удобных форм редуцированных (с учетом предполагаемых двумерных пространственно - временных симметрий) полевых уравнений. К ним относится, например, уже не однажды упомянутая выше запись соответствующих динамических уравнений дли случая вакуума в виде одного квазилинейного уравнения - уравнения Эрнста для единственного комплексного потенциала - потенциала Эрнста или в виде связанной системы двух таких уравнений для двух комплексных потенциалов Эрнста в случае электровакуумных полей [39.40]. Напротив, в работах Мэйсона [8-1,85] и Белинского и Захарова [86,87] использовалась вещественная матричная форма записи уравнений, близкая к уравнениям то- моделей”, тогда как у Кимнсрсли эти же уравнения приобретали форму уравнений дуальности [82,83]. Харрисоном и [89,90] была использована также весьма удобная форма представления динамических уравнений в виде замкнутого идеала дифференциальных форм с постоянными коэффициентами ("СС^саР), а Нейге-бауэром эти уравнения были выражены в терминах теории минимальных поверх-
ВВЕДЕНИЕ
20
ностсй [91]. Известен также и ряд других интересных форм этих уравнений. Все эти формы в различных работах были использованы в качестве основы для формулировки и применения разнообразных методов, включав методы обратной задачи рассеяния, теории преобразований Бэклунда, теоретико - групповой подход, алгебра- |«ометрические методы, методы теории сингулярных интегральных уравнений и некоторые другие.
Простейшие (точечные) преобразования внутренней симметрии
Прежде всего в работах [92-94] были обнаружены различные группы точечных преобразований внутренней симметрии для двумерных редукций вакуумных уравнений Эйнштейна и электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла эквивалентных уравнениям Эрнста, а затем было поквзано, что эти преобразования являются подгруппами более широкой группы точечных преобразований симметрии .91/(1,1) для вакуумных уравнений [95] или 5(7(2,1) для электровакуумных уравнений [96.97].
Гипотеза Герочо, Ь-А-пара Майсона и бесконечномерная алгебра внутренних симметрий Киннерсли - Читра
Как уже упоминалось выше, еще в 1972 году в работе Героча [80] была высказана гипотеза о существовании бесконечномерной группы преобразований, сохраняющих редуцированные уравнения Эйнштейна, а также о том, что эта группа действует транзитивно в пространстве всех их решений, т.е. что эти преобразования позволяют получить любое решение из любого наперед заданного, например, из пространства Мннковского. Много позднее аналогичные предположения об интегрируемости редуцированных вакуумных уравнений Эйнштейна и возможности применения к ним метода обратной задачи высказывались в работах Мэйсона [84,85], где впервые для этих уравнений был построен аналог пары Лакса. Однако, еще до работы Мэйсона, Киннерсли и Читр [82,83] исследовали симметрии вакуумных уравнений Эйнштейна и электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла для стационарных осесимметричных полей. В этих работах была обнаружена бесконечномерная алгебра внутренних симметрий рассматриваемых уравнений. Сначала авторами [82,83] была найдена бесконечная иерархия матричных потенциалов, ассоциируемых с каждым решением полевых уравнений, с помощью которой было эффективно описано мнфинмтезимальное действие предполагаемой бесконечномерной группы внутренних симметрий этих уравнений. Интересно, что уже в следующей работе этой серии [98] было показано, что дли вакуумных полей вся упомянутая выше бесконечная иерархия потенциалов имеет 2x2- матричную производящую функцию, которая должна удовлетворять некоторой линейной системе дифференциальных уравнений со свободным комплексным параметром. Как стало ясно позднее, эта система, допускающая обобщение на случай электровакуумных
ВВЕДВНИК
21
полей, также может быть и, при том, весьма эффективно использована в качестве аналога пары Лакса (или, в другой терминологии, и - V - системы Захарова -Шабата или АК№ - системы) как для вакуумных уравнений Эйнштейна, так и для электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла, редуцированных для случая пространства - времени с двумерной симметрией.
Метод обратной задачи рассеяния, матричная задача Римана и генерация оакуунных и элуктроиакуумных N-солитонных решений методом одеиания
Метод обратной задачи рассеяния и вакуумные еолнтоны Белинского и Зихирова. Как уже говорилось выше, впервые эффективный подход к решению редуцированных вакуумных уравнений Эйнштейна был развит в работе Белинского и Захарова [86], в которой был сформулирован метод обратной задачи для этих уравнений. Согласно основной идее этого метода, полевые уравнения были представлены в виде условий совместности некоторой переоп|»еделенной линейной система со спектральным параметром и сформулированы дополнительные условия "условия редукции", делающие эту спектральную задачу эквивалентной исходным динамическим уравнениям. Затем общее решение возникающей спектральной задачи было эффективно сведено к некоторой матричной задаче Римана и построено соответствующее линейное матричное сингулярное интегральное уравнение. В этой же работе был описан основанный на методе одевания алгоритм вычисления обширных семейств вакуумных 1Ч-солктонных решений, "генерируемых" на фоне произвольно выбираемою известного частного решения.
Отметим здесь еще одно свойство солитонных решений, имеющее важное значение для самой возможности изучения физических свойств этих решений. Дело в том, что в самом общем виде для солитонных решений оказывается возможным не только явно решить соответствующие динамические уравнения, но и решить оставшуюся часть уравнений Эйнштейна уравнения связи, которые, вообще говори, сводятся к соотношениям, определяющим оставшиеся компоненты метрики, а именно, так называемый конформный фактор, лишь в квадратурах. Как было показано Белинским и Захаровым [86], для построенных ими вакуумных солитонов упомянутые квадратуры для конформного фактора вычисляются в общем виде и в явной форме, если сделан конкретный выбор фонового решения.
В более поздней работе Белинского н Захарова [87] тот же метод генерации вакуумных солитонов был почти дословно переформулирован на случай стационарных осесимметричных полей (в [86] были рассмотрены поля, зависящие от времени и одной из пространственных координат). В работах Белинского [99] и Белинского и Руффинн [100] эти же методы применялись соответственно для случаев уравнений Эйнштейна при наличии в пространство идеальной жидкости с предельно жестким уравнением состояния р = е и уравнений Эйнштейна, эффективно описывающих в пяти мерной теории Калуцы и Клейна электровакуумные поля специального вида
ВВЕДЕНИЕ
22
(FnF,k = 0) или электромагнитные поля и связанное с ними вещественное скалярное (дилатонное) поле.
В работе автора [101] была найдена значительно более простая и компактная, дстермннантная форма вакуумных солнтонных решений Белинского и Захарова. При этом, псе компоненты искомой метрики N - солнтонного решения выражались алгебраически через три детерминанта матриц, порядка N х N с явно вычисляемыми компонентами. При этом, в отличие от (86.87) не требовалось вычисления матриц, обратных к матрицам порядка Дг х jV. Эта форма заметно отличалась от аналогичной детерминантной формы, в то время уже построенной Нейгебауэром для решений, генерируемых N - кратными преобразованиями Бэклунда (ссылки даны ниже). Свойства статических вакуумных солитонов на фоне плоского пространства Минковского были подробно изучены в работе Белинского и автора (51).
Солнтонныс решения уравнений Эйнштейна - Максвелла. Электровакуумные солитонные решения уравнений Эйнштейна - Максвелла были впервые построены в работах автора (102,103), При этом для построении солитонов был использован метод одевания, мало отличающийся от метода Белинского и Захарова, однако этот метод применялся к существенно иной, комплексной антодуальной 3x3- матричной форме записи редуцированных уравнений Эйнштейна - Максвелла, полученной на основе автодуальных уравнений Ниннерслн [82,83] и к соответствующему электровакуумному обобщению линейной системы со спектральным параметром, полученной ранее для вакуума Кнннерсли и Чнтром (98). Это видоизменение уравнений позволило избежать введении дополнительных и не оправданных физически ограничений на поля вида /щь-Р** = 0, а так же появления в системе скалярного (ди-латонного) поля. Эта объясняется тем, что в использованной антодуальной форме уравнений Эйнштейна - Максвелла вместо обычного вещественного 4-потенциала
для электромагнитного поля использовался комплексный векторный потенциал для
+
комплексной автодуальной части тензора Максвелла Fj*. При этом вместо скаляра FiieFл естественно возникала свертка автодуального тензора Максвелла с комплексно сопряженным ему тензором. Последняя же свертка сама по себе тождественно равна нулю, как свертка автодуального бивектора с антиавтодуальным, так что не возникает никаких дополнительных ограничений на рассматриваемые поли. (Заметим, что это же электровакуумное обобщение спектральной задачи Киннер* ели возникло чуть ранее в работах Хаусера и Эрнста (104,105), где это обобщение было использовано, однако, в совершенно ином контексте.) Для электровакуумных солнтонных решений оставшиеся не определенными после решения динамических уравнений компоненты метрики, выражающиеся через упоминавшийся выше конформный фактор, вычисляются в явном виде. Результат вычисления соответствующих квадратур оказывается, как и в случае вакуумных солитонов Белинского и Захарова, имеющим, хотя и несколько иной, но несьма компактный явный вид, приведенный в работах автора (65.106). В работе [106] были также приведены при-
ВВЕДЕНИЕ
23
меры и описаны некоторые физические и геометрические свойства электровакуумных солитонных решений.
Для полноты информации здесь можно также отметить, что для того, чтобы избежать нежелательного дополнительного ограничения на электромагнитное поле вида FikF** = 0 в принципе нет необходимости отказываться от использованной Белинским и Захаровым для случал вакуума формы полевых уравнений в виде, похожем на уравнения гг - модели, переходя к уравнениям Киннерсли к меняя соответствующим образом ассоциированную спектральную задачу. В работе автора [107] была указана модификация редуцированных полевых уравнений в форме Белинского и Захарова, в результате которой для редуцированных уравнений Эйнштейна - Максвелла оказывалась пригодной в точности та же спектральная задача, которая была использована Белинским и Захаровым для случая вакуума. Эта модификация заключалась в превращении симметричной вещественной 2x2- матрицы метрических компонент, нспользонавшейся в форме вакуумных уравнениях Белинского и Захарова, н эрмитову 3x3- матрицу добавлением к ней третьего столбца и сопряженной ему третьей строки, состоящих не из компонент вещественного 4-потснцнала электромагнитного поля, как в теории Калуцы и Клейна, а из соответствующих ненулевых компонент комплексного векторного потенциала для автодуальной части тензора Максвелла. (Причины эффективности такой модификации были указаны выше.) Однако, для построения электровакуумных солитонов автором [102,103] была использована спектральная задача, отвечающая автодуальным ураынснин.м Киннерсли, поскольку эта линейная система, как и структура соответствующего ей эрмитова матричного интеграла ("условий редукции”) представляются более простыми, чем тс, которые возникают при указанной выше электровакуумной модификации схемы интегрирования Белинского и Захарова в духе комплексного (эрмитова) варианта формулировки Калуцы и Клейна.
Упомянем здесь также другую реализацию метода обратной задачи, предложенную позднее в работе Эриса, Гюрсеса и Карасу [108’ и основанную на еще одной достаточно элегантной форме спектральной задачи для электровакуумных полей. Однако, несмотря на внешнюю элегантность, эта схема представляется менее удобной, поскольку приводит лишь к вычислению потенциалов Эрнста, тогда как схема метода обратной задачи [102,103] позволяет немедленно вычислять все компоненты метрики н электромагнитного потенциала генерируемых решений. В то же время, не сложные вычисления показывают, что получаемые с помощью схемы [108] электровакуумные солитонныс решения совпадают с теми, которые были получены в [102,103].
О взаимосвязи электровакуумных ш - солитонов с вакуумными Л - солитонами Белинского и Захарова. Отмстим здесь наличие весьма не тривиальных связей
между вакуумными солитонами Белинского и Захарова и вакуумной частью построенных автором электровакуумных солитонов. Прежде всего следует отметить,
НВКДЕНКЕ
24
что соответствующие спектральные палачи связаны калибровочным преобразованием, зависящим от спектрального па|>вметра, причем так, что спектральная плоскость А задачи Белинского и Захарова дважды накрывает плоскость спектрального параметра и> в спектральной задаче, использовавшейся автором. В результате оказывается, что ЛГ-солитонкое решение, построенное автором (будем называть эти солитоны для краткости и» - соднтонами) в вакуумном случае переходит в ‘2Л’ -соли тонное решение Белинского и Захарова, (будем называть далее эти солитоны А
- солнтонами). Таким образом, одно и то же вакуумное решение описывается вдвое большим числом полюсов (солитонов) в формализме А - солнтонов, чем в формализме го - солитонов. При этом оказывается, что электровакуумные и> - солитоны являются обобщением только тех чисто вакуумных солитонов Белинского и Захарова, которые описываются парами комплексно сопряженных А - полюсов, тогда как электровакуумного обобщения А - солнтонов с чисто вещественными полюсами метод автора [102,103] не дает. С физической точки зрения это означает, что мы не получаем методов построения некоторых интересных типов решений, описывающих, например, взаимодействие заряженных черных дыр с разнообразными внешними гравитационными и электромагнитными полями, т.к. в стационарном осесимметричном случае черные дыры, обладающие горизонтами событий, отвечают чисто вещественными А - солитонам, тогда как комплексно сопряженным А
- полюсам отвечают "сверхэкстрсмалыше” части решений Керра и Керра - НУТ, т.о. "голые" сингулярности. Здесь следует заметить, что, на самом деле, ограничившись случаем вакуума, не трудно видоизменить процедуру построения «1
- солитонов, предложенную в [102,103]. так, чтобы она приводила и к решениям, совпадающим с солитонами Белинского и Захарова, которые описываются парами вещественных А - полюсов. (Такое видоизменение было описано в недавней работе Мичике и Гриффина [109); см. также Главу 1 Части IV настоящей работы.) Однако, это видоизменение процедуры генерации и> - солитонов оказывается возможным лишь для вакуума и его не удается перенести непосредственно на электровакуумный случай. Тем не менее, можно надеяться, и имеются частные примеры это подтверждающие, что решения такого типа могут быть построены, например, путем аналитического продолжения электровакуумных солитонных решений и пространстве их свободных параметров аналогично известному аналитическому продолжению, которое превращает "сверхэкстремальную'- часть решения Керра (Керра - ПУТ), содержащую "голую” сингулярность, в его "доэкстремаль-иая" часть, содержащую сингулярность под горизонтом событий и описывающую внешнее поле черной дыры.
Метод одевания для электровакуумных нссолитонных полей. В работе автора [110] для решения электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла был построен иной метод одевания, также приводящий к генерации новых решений, исходя из произвольно выбранного электровакуумного решения. Получаемые таким
ВВЕДЕНИЕ
25
образом решения не являлись решениями солмтонного типа, поскольку одевающая матрица при этом предполагалась имеющей полюсы не в конечной части спектральной плоскости, а в бесконечности. Однако, отличия этих решений оказались не только формальными, поскольку возникающие при этом полевые конфигурации оказывались имеющими геометрические и физические свойства, существенно отличающие их от чисто солитонных.
Метод обратной задачи рассеяния дли уравнений Эйнштейна - Максвелла - Нейл п. В еще одной работе автора [111] было показано, что система уравнений Эйнштейна - Максвелла - Вейля для взаимодействующих гравитационного, электромагнитного и беэмассового двухкомпонентного спинорного полей также оказывается интегрируемой. Выло показано, что хотя наличие спинорного поля и приводит к существенным изменениям геометрических свойств пространства - времени (в частности, метрика перестает иметь Олочно диагональный вид), для получающихся уравнений можно построить аналогичную электровакуумной (хотя и не совпадающую с ней) линейную спектральную задачу, для которой так же применимы развитые методы построения решений, например, метод одевания.
П/геоП/юлюання Воклуш)а
Преобразования Бэклунда для уравнений Эрнста были построены двумя различными путями. С одной стороны, Харрисом [89] использовал модификацию общего подхода Уолквиста и Эстабрука [112] (метод продолженных структур и псевдопотсн-циалов) и построил некоторые нетривиальные преобразования Бэклунда, которые затем были обобщены им на электровакуумный случай (90].
П то же время более эффективный подход к построению преобразований Бэклун-да для уравнений Эрнста, следующий некоторым аналогиям с теорией уравнения синус - Гордон, был развит Нейгебауэром [113 115]. В частности, после пря-
мого построения некоторого типа преобразований Бэклунда, было показано, что композиция найденного преобразования с некоторыми известными ранее п^образованиями [113]. последовательно применяемая к некоторому известному решению, приводит к серии решений с неограниченно нарастающим числом свободных параметров, причем каждое решение в этой серии может быть вычислено алгебраическим путем в терминах псевдопотенциалов, вычисленных только на первом шаге для начального решения. В последующих работах [114,115] были найдены рекурсивные формулы, способствующие эффективному вычислению решений с любым числом параметров, а также еще более простая и явная, детерминантная форма выражения для потенциала Эрнста в терминах компонент начального решения и отвечающих ему псевдопотенциалов. В более поздней работе Крамера и Нейгсбаузра [110] некоторые аспекты этого метода были обобщены на случай электровакуумных полей.
ВВЕДЕНИЕ
26
Теоретика - групповой подход Киннерсли - Читра - Хаусера - Эрнста.
В продолжение упоминавшейся выше серии работ [82,83,98], в последующих работах Киннерсли и Читра, Хоенселаерса, Киннерсли и Ксантопулоса (117 - 119] были не только описаны многие свойства бесконечномерной алгебры внутренних симметрии уравнении Эйнштейна - Максвелла для стационарных осесимметричных полей, но и построены некоторые конечнопараметрические семейства преобразований решений, возникающие как результат "экспоненцнировання" некоторых частных видов этих симметрий.
Следующий важный шаг по пути теоретике - группового подхода к построению методов генерации решений был сделан в работах Хаусера и Эрнста (104,105]. В первой из этих работ для вакуумных, а во второй • для электровакуумных стационарных полей с осевой симметрией был совершен переход от рассмотрения действия инфннитезимальных операторов алгебры внутренних симметрий на бесконечную иерархию потенциалов Киннерсли - Читра к действию элементов соответствующей группы на производящую функцию этих потенциалов. Было показано, что построение каждого такого преобразовании внутренней симметрии эквивалентно решению однородной задачи Гильберта на плоскости вспомогательного комплексного параметра. При этом граничные данные для задачи Гильберта определяются выбором производящей функции некоторого исходного ("затравочного") решения и произвольного выбора некоторой матричной функции, зависящей от того же свободного комплексного параметра и удовлетворяющей дополнительным групповым (алгебраическим) условиям. В свою очередь, эта задачи Гильберта была приведена в случае вакуума к 2 х 2 - матричному, а в случае электровакуумных волей - к 3 х 3 - матричному линейному сингулярному интегральному уравнению, решение которого и определяло искомую производящую функцию для потенциалов генерируемого решения. Подробнее структура возникшей таким образом матричной задачи Гильберта и соответствующего ей матричного линейного сингулярного интегрального уравнения были изучены теми же авторами в работах (120,121].
Здесь следует заметить, что в работах (104,105] все построения и, в частности, вывод интегрального уравнения, были сделаны при одном, но весьма существенном дополнительном ограничении на класс рассматриваемых решений, которое сокращает вдвое число произвольных функций одной переменной, от которых должно зависеть общее локальное решение. Однако, поскольку в этих работах рассматривались в основном стационарные поля с осевой симметрией (так называемый "эллиптический" случай), это дополнительное условие, представляющее собой условие регулярности оси симметрии, оказывалось вполне оправданным с физической точки зрения. В то же время, при рассмотрении тех же вакуумных или электровакуумных полей, с двумерными пространственно - временными симметриями, когда эти поля зависят от времени и одной из пространственных координат (так называемый "гиперболический'1 случай), аналогичное условие является слишком
ВВЕДЕНИЕ
27
ограничительным, лишая нас возможности рассматривать разнообразны космологические решения, или решения, описывающие сталкивающиеся волны и обладающие сингулярностями как раз на тех границах, которые отвечают оси симметрии в стационарном осесимметричном случае.
Отметим здесь также, что указанные трудности изначального подхода Хаусера и Эрнста были затем преодолены в значительно более поздних работах тех же авторов [122 - 125] и в существенно иной ф°Рмо “ п [126], где рассматривалось приложение развиваемых этими авторами теоретик«) - групповых методов к решению задачи Гурсэ (характеристической задачи Коши) для вакуумного уравнения Эрнста в гиперболическом случае.
О связи между различными метоОами генерации решений.
Генерация солитонов методом одевания произвольно выбираемого фонового решении, преобразованин Бэклунда пли оказавшееся возможным в явной форме экс-покенциирование некоторых элементов алгебры внутренних симметрий давали, казалось бы, весьма разнообразные средства генерации новых решений уравнений Эйнштейна для вакуума, электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла, а так же и для других, перечисленных выше случаев интегрируемых (при наличии двумерных пространственно - временных симметрий) редукций уравнений Эйнштейна. Однако при этом естественно возникает вопрос о совпадении или различии получаемых этими методами семейств новых решений. Различные методы генерации вакуумных решений уравнений Эйнштейна были детально проанализированы в работах Косгрова [127 - 129), где было выявлена тесная взаимосвязь и, чаше всего, эквивалентность или определенное вложение решений, генерируемых различными известными методами. В частности, встав на более субъективную точку зрения, из результатов этих работ можно сделать вывод, что, например, все решения генерируемые различными перечисленными выше методами оказываются либо эквивалентными, либо представляют собой частные или предельные случаи вакуумных сол итонов Белинского и Захарово.
Сравнение же различных имеющихся в литературе методов генерации электровакуумных решений не было проведено сголь же детально, хотя здесь следует упомянуть работу Крамера [130], где была показана калибровочная эквивалентность и найдены соответствующие калибровочные преобразования, связывающие различные вспомогательные переопределенные линейные системы с комплексным параметром, использовавшиеся при построении различных методов генерации электровакуумных решений. Однако, в отношении различных предложенных методов генерации электровакуумных решений после нскотрых не очень сложных вычислений не трудно придти к заключению, аналогичному имевшему место в чисто вакуумном случае, что и экспоненцнироваяис ннфинитезимальных преобразований симметрии [119,105], и схема преобразований Бэклунда [116], как и иные реализа-
ВВЕДЕНИИ
2»
ции метода одевания для других линейных задач, как, например, [108] не приводят к генерации решений, отличающихся от решений, генерируемых по схеме, предложенной автором в [102,103]. Исключение здесь составляет лишь описанная в [110] и упоминавшаяся ранее модификация метода одевания, в которой полюсы одевающей матрицы расположены не в конечной части спектральной плоскости иі, как это было для солитонов, а в се бесконечно удаленной точке, что приводит к генерации нссолитонных электровакуумных решений.
Алгебро - геометрические методы генерации иакуумных решений.
К обсуждавшимся выше, среди прочих, методам генерации солитонных решений непосредственно примыкают алгебро - геометрические методы построения аналогов конечно-зонных решений, хорошо известных н теории интегрируемых систем. Хотя эти методы, развитые в настоящее время для решения вакуумного уравнения Эрнста дли стационарных осесимметричных полей, и нельзя отнести в полной мере к методам генерации решений, поскольку в них отсутствует полный произвол в выборе фонового решения, частичная аналогия с методами генерации все же сохраняется, поскольку при построении этих решений оказывается возможным произвольный выбор некоторых функциональных параметров, что эквивалентно выбору в качестве фонового решения произвольного решения из класса диагональных статических метрик Вейля. Получаемые при этом решении, которые лишь весьма условно можно назвать полученными в явной форме, выражаются в терминах тета-функций Гимана и образуют обширные, многопараметрнческис семейства. включающие солнтонные решения в качестве предельных случаев.
Впервые вакуумные конечно-зонные решения уравнений Эйнштейна (вакуумного уравнения Эрнста) были построены в работах Короткина и Матвеева [131,132] путем адаптации известных в теории интегрируемых систем алгебро - геометрических методов. В значительно более поздней работе [133] этим авторам удалось также найти и конечное выражение для конформного фактора для построенных ими конечно-зонных решений, что является весьма важным для исследования особенностей и различных физических и геометрических свойств этих решений.
Независимо от этих работ, аналогичные, тста-функикональмые решения уравнения Эрнста для вакуумных нолей возникли совершенно другим путем н работах Нейгебауэра и Мвйнелн [46 48]. Авторы этих работ поставили перед собой хотя
и идеализированную, но чрезвычайно интересную физическую задачу отыскания самосогласованного решении уравнений Эйнштейна, описывающего стационарным твердотельно вращающийся в собственном гравитационном поле бесконечно тонкий пылевой диск и его всюду регулярное внешнее асимптотически плоское гравитационное поле. Решая последовательно соответствующую граничную задачу и отыскивая одновременно и внешнее гравитационное поле, и необходимое для его поддержания распределение плотности вещества самого диска, авторы пришли к
введение
выводу, что эта задача в точности приводит к классической задаче обращения Якоби для гиперэллиптических Абелевых интегралов. Решение этой задачи выражающееся, как известно, в терминах тета - функций Римана, приводит к решению уравнений Эрнста, принадлежащему к консчно-зоиным решениям. Затем Майнслем и Нейгебауэром [134] был построен и более широкий класс тета-функциональных решений, содержащий в качество функционального параметра произвольно выбираемое решение трехмирного осесимметричного уравнения Лапласа или, в иных терминах, произвольное статическое вакуумное решение, принадлежащее к классу Вейля. (При этом этими авторами был поставлен, но оставлен открытым вопрос о связи полученных ими наиболее общих решений с решениями Короткина и Матвеева.)
Методы, связанные с интегральными уравнениями.
Хорошо известно, что решение различных линейных спектральных задач может приводить к переформулировкам этих задач в виде некоторых (как правило, матричных) граничных задач (т.е. задач сопряжения) для аналитических функций на спектральной плоскости, например, - к задачам Римана и Гильберта. Эти задачи, в свою очередь, известными методами 135, 136] могут быть приведены к линейным, чаще всего - матричным, сингулярным интегральным уравнениям. Такая переформулировка задачи, построенная для всего пространства локальных решений. или хогя бы для какого-то подкласса решений, открывает новые возможности анализа рассматриваемых уравнений и построения их решений.
Впервые уравнения Эйнштейна для произвольных вакуумных полей, зависящих только от двух координат, были переформулированы в терминах матричной задачи Римана и эквивалентного ей матричного сингулярного интегрального уравнения в работе Белинского и Захарова [86]. Более детальное обсуждение структуры этих интегральных уравнений было представлено Косгровом [129].
Чуть позже и рамках теоротико - группового подхода стремление к эффект и ви-зации преобразований симметрии Киннерсли - Читра привело Хаусера и Эрнста к матричной однородной задаче Гильберта, которая затем была также приведена к линейному матричному сингулярному интегральному уравнению как для случая вакуума [104], так и для электровакуумных полей [105]. Интегральное уравнение Хаусера и Эрнста уже по своему виду существенно отличалось от интегрального уравнении Белинского и Захарова, однако ею наиболее существенное отличием от последнего состояло в том, что оно было получено не для всего пространства локальных решений, а значительно более узкого их подкласса, выделяемого условием регулярности оси симметрии. Это условие уменьшает вдове число степеней свободы для этих полей (см. обсуждение этого условия, приведенное выше).
Отказавшись от возможностей генерации решений на произвольно выбранном фоне в методе Хаусера и Эрнста и ограничив конструкцию интегрального уравне-
ВВЕДЕНИЕ
30
ния Хаусера и Эрнста выбором в качестве исходного решения пространства Мин-ковского, Сибгатуллин (137] добился существенного упрощения матричного интегрального уравнения Хаусера и Эрнста, сведя его для этого случая к совокупности скалярного линейного сингулярного интегрального уравнения с ядром, определяемым по значениям потенциалов Эрнста на оси симметрии, и некоторого простого дополнительного условия на выбор решений этого уравнения. Хотя это уравнение и не содержит чего-либо нового но сравнению с исходным уравнением Хаусера и Эрнста, очевидно, что его использование технически удобнее при конкретных вычислениях частных решений. Такие вычислении удается провести в явном виде лишь при выборе в качестве данных на оси симметрии (значений потенциалов Эрнста) рациональных функций, что и было проделано неоднократно Сибгатулли-ным с различными соавторами для различных простейших частных случаев выбора этих рациональных данных (см., например, [138,139] и приведенные в этих работах ссылки). При этом было построено немало примеров асимтотически плоских стационарных осесимметричных электровакуумных решений, отличающихся тем или иным набором мультипольных моментов. Полученные решения не редко объявлялись авторами пригодными для описания внешних полей звезд (или нейтронных звезд), но не подвергались детальному анализу (и отбору) с точки зрения их физических свойств в областях сильных полей. К сожалению, не проводилось также сопоставления построенных решений с уже известными. Между том следует заметить, что при выборе в качестве граничных данных на оси симметрии для потенциалов Эрнста рациональных функций (да еще и не имеющих полюсов в бесконечности), многие из построенных решений (в возможно, и вообще все) должны оказаться совпадающими с уже известными солитонными решениями, построенными на фоне пространства Минковского или с их аналитическими продолжениями в пространстве их свободных параметров (здесь имеется в виду уже упоминавшееся выше аналитическое продолжение но параметрам, вполне аналогичное известному, связывающему "сверхэкстремалысую* и ”доэкстремальную” части известного решения Ксрра НУТ в вакуумном случае или решения Керра - Ньюмена в электровакуумном случае).
Несколько раньше, действуя в духе метода обратной задачи рассеяния, НеЙге-бауэр [1*10] построил некоторый аналог данных рассеянна для вакуумных стационарных осесимметричных полей, по которым компоненты метрики должны восстанавливаться посредством решения построенного в этой же работе некоторого дискретного (представленного в виде бесконечной цепочки алгебраических уравнений) аналога интегрального уравнения Захарова - Шабата или Гельфанда - Левитана - Марченко. Этот подход получил свое продолжение в работах Нейгебауэра и Майнеля [46 48], где для решения задачи о стационарном тонком пылевом дис-
ке, вращающемся как твердое тело в собственном гравитационном поле, авторами были получены (по-видимому, уже в замкнутой форме) ’’большое’' и ’’малое” сип-
ВВЕДЕНИЕ
31
гулярные интегральные уравнения. Однако, ни в одной из известных автору работ этих авторов упомянутое "большое'1 интегральное уравнение, которое должно быть эквивалентным вакуумному уравнению Эрнста по крайней мере, для стационарных осесимметричных полей, обладающих асимптотической евклидовостью и регулярной осью симметрии, в явном виде найти не удалось.
Еще одна форма матричной однородной задачи Гильберта и соответствующих ей матричных сингулярных интегральных уравнений, отвечающих вакуумному гиперболическому уравнению Эрнста, была получена Хаусером и Эрнстом в работах [122 - 125], где она была использована для анализа задачи Гурса (характеристической задачи Коши) для уравнений Эйнштейна для вакуумных гравитационных нолей, зависящих от времени и одной из пространственных координат. Особое внимание при этом уделялось тому, чтобы вся конструкция допускала рассмотрение задачи Гурса с неонолитическими начальными данными, от которых требовалось бы лишь наличие нескольких непрерывных производных. В этих же работах полученные линейные матричные сингулярные интегральные уравнения были преобразованы в более удобные для проведения доказательств существования и единственности решений матричные уравнения Фродгольма. В отличие от построенных ранее этими авторами уравнений для вакуумных стационарных осесимметричных полей с регулярной оСыо симметрии (104, 105], последние уравнении уже не содержат каких - либо дополнительных ограничений на рассматриваемые поля, что потребовало заметных изменений их структуры. В частности, основной контур, на котором строятся интегральные уравнения, был разделен на два не связанных между собой отрезка, а для описания начальных данных на различных характеристиках были введены два матричных "спектральных потенциала”, каждый из которых определен на "своей” части упомянутого выше составного контура.
Наконец, в совсем недавно опубликованной работе [126] Хаусер и Эрнст чрезвычайно подробно исследовали групповую структуру всего пространства решений гиперболического пакуумного уравнения Эрнста, для которых потенциалы Эрнста имеют класс гладкости С4. В этой работе была доказана "обобщенная гипотеза Героча". под которой подразумевается предположение о возможности преобразованиями внутренних симметрий получать любое решение, начав с произвольно выбранного. (Изначально гипотеза Героча, как она была интерпретирована в работах Киннорсли и Чигра, состояла в возможности такого преобразования для аналитических решений эллиптического уранненин Эрнста.) Была рассмотрена общая задача Гурса (характеристическая задача Коши), сформулированы и весьма подробно доказаны теоремы сущестнованин и единственности ее решений указанного класса гладкости. Для этого авторами [126] была дана новая, наиболее общая формулировка однородной задачи Гильберта, отвечающей гиперболическому уравнению Эрнста для решений упомянутого класса гладкости и получены соответствующие линейные немвтричные сингулярные интегральные уравнения, преобразованные затем к
ИВВДВИИБ
32
уравнениям Фредгольма. При этом авторами [126' было показано, что полученные сингулярные уравнения совпадают с интегральными уравнениями, полученными много ранее автором настоящей работы в рамках развитого им метода, названного "методом преобразования монодромии”, где все рассмотрение для простоты велось лишь для чисто аналитического случая.
Метод преобраломания монодромии.
Опыт анализа различных перечисленных выше подходов к решению известных интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна привел автора настоящей работы к развитию нового, наиболее общего и, по - видимому, наиболее простого подхода к интегрированию этих уравнений, как в эллиптическом, так и в гиперболическом случаях.
Данные монодромии, как координаты в пространстве решений. Сначала в работах [141,142,106,143,1-14] была описана общая аналитическая структура на спектральной плоскости фундаментального решения той же спектральной задачи, которая равее была использована автором в [102, 103] для построения электровакуумных солитонных решений ("иг - солитонов“), а затем обобщена в [111] на случай наличия в пространстве безмассового Вейлевского двухкомпонентного спинорно-го поля. Вследствие найденного хариктсра этой структуры оказалось возможным для любого локального решения полевых уравнений определить некоторые функциональные параметры, однозначно характеризующие это решение и являющиеся функциями только спектрального параметра, но не пространственно - временных координат. Вскоре выяснилось (см. [143], некоторые пояснения к методу, приведенные в приложении к работе [78], а также (144]), что эти функциональные параметры имеют простую интерпретации), представляв собой данные монодромии фундаментального решения рассматриваемой спектральной задачи, нормированно-го определенным образом в некоторой выбранной начальной точке пространства - времени. При этом возник естественный вопрос о том, нельзя ЛИ Эффективно использовать эти параметры в качестве новых "координат” в пространстве решений рассматриваемых нолевых уравнений. Эти координаты были бы удобны уже тем, что эволюция таких "полевых переменных” оказывается тривиальной -они являются сохраняющимися величинами. Для ответа на этот вопрос следовало, очевидно, рассмотреть "прямую” и "обратную" задачи такого преобразования -преобразования от половых переменных к данным монодромии, характеризующим каждое локальное решение (прямая задача) и восстановлен и я полевых переменных по заданным данным монодромии. (Именно задача построения такого преобразования и ему обратного и послужила причиной выбора самого названия метода, как преобразования полевых переменных в данные монодромии, что вполне аналогично известному преобразованию рассеяния, т.е. переходу от потенциалов к данным рассеяния.)
ВВЕДЕНИЕ
Обратная задача преобразования монодромии. В самом общем случае, ил весьма элементарных соображений (не опирающихся непосредственно на формулировку вспомогательной краевой задачи типа задачи Римана) в рассматриваемом подходе возникли линейные скалярные (т.е. не матричные) сингулярные интегральные уравнения, которым должны были удовлетворять определенные элементы алгебраической структуры решений спектральной задачи, что являлось необходимым и достаточным условием для того, чтобы соответствующие коэффициенты этой спектральной задачи определяли решение уравнений Эрнста (141,142,106,143,144]. Ядро и правые части построенных линейных сингулярных интегральных уравнений оказались полностью определенными в терминах упомянутых выше данных монодромии. Немедленно выяснилось, что построенные интегральные уравнении имеют характеристическую часть, индекс которой равен нулю, что позволяет, согласно известным результатам общей теории линейных сингулярных интегральных уравнений [135,136], провести вполне стандартным образом эквивалентную регуляризацию этих уравнений, перейдя к эквивалентным (кнази-) Фрсдгольмовым уравнениям. Конкретный вид регулнриаованных уравнений вместе со стандартной процедурой представления их решений в виде равномерно сходящихся функциональных рядов для всевозможных известных интегрируемых случаев уравнений Эйнштейна был опубликован автором значительно позже (144]. Полученные же (кнази-) Фредгольмовы уравнении позволяют легко доказать существование и единственность локальных решений этих уравнений, а следовательно, и решений исходных нолевых уравнений (как в эллиптическом, так и в гиперболическом случаях) для произвольно выбранных данных монодромии, как функций спектрального параметра. Таким образом, было доказано, что эти интегральные уравнения (сингулярные, или квази-Фредгольмовы) приводит к решению определенной выше обратной задачи искомого преобразования монодромии. При этом, сами потенциалы Эрнста, а также компоненты метрики и других полей (если рассматривается не только вакуумный случай) любого локального решения вычисляются по решениям построенных интегральных уравнений н квадратурах.
Приложения метода преобразования монодромии. Этот подход может иметь разнообразные приложения. В частности, решение прямой задачи преобразования мо-нодромии, т.е. вычисление данных монодромии, отвечающих различным известным решениям, позволяет установить некоторые общие связи между аналитическими свойствами данных монодромии и некоторыми физическими и геометрическими свойствами отвечающих им полевых конфигураций (145,146, 78], что приводит к дополнительным возможностям идентификации и классификации различных решений. Колсе того, рассмотрение в рамках этого метода различных методов генерации решений [147] позволяет в самом общем виде описать свойства соответствующих преобразований решений, что дает эффективные средства описания различных возможностей, предоставляемых этими методами, сопоставления различных методов
ВВЕДЕНИЕ
34
генерации решений и предсказания свойств строящихся решений до выполнения (как правило, весьма громоздких) конкретных вычислений.
Далее, этот подход, благодаря полному учету всех степеней свободы полей, впервые открыл возможности для конструктивного рассмотрения разнообразных граничных задач для редуцированных (с учетом предполагаемых пространственно - временных симметрий) уравнений Эйнштейна или, эквивалентно, - уравнений Эрнста. К таким задачам относятся (в локальной постановке) в гиперболическом случае - задача Гурса (характеристическая задача Коши) и задача Коши, а в эллиптическом случае-различные граничные задачи. Для всех этих задач было показано [106,143,148,149], что знание полного набора граничных данных для каждой из этих задач позволяет (в принципе) однозначно вычислить отвечающие им данные мо-нодромии , которые, в силу своей независимости от пространственно - временных координат, являются и данными монодром и и для искомого решения рассматриваемой граничной задачи. При этом, вычисление этих данных требует решения чисто линейной задачи - интегрирования уравнений спектральной задачи, ограниченных на начальную кривую. Коэффициенты же этой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений полностью определяются лишь граничными данными. По найденным данным монодромии локальное решение рассматриваемой граничной задачи находится, но крайней мере - в принципе, посредством решения основного интегрального уравнения (сингулярного или эквивалентного ему квази -Фредгодьмова), что представляет собой так же линейную задачу. Таким образом, метод преобразования монодромии приводит к точной линеаризации различных граничных задач для рассматриваемых полевых уравнений. Поскольку каждый из этих шагов достаточно трудно выполнить в явном виде, то не исключено, что полезную роль при решении локальных граничных задач может сыграть общее локальное решение интегральных уравнений, построенное н [144] в виде функциональных рядов.
Кроме того, для достаточно широких классов данных монодромии, выделяемых наложением некоторых простых алгебраических связей и заданием остающихся произвольными (после решения этих связей) функций в виде рациональных функций спектрального параметра, построенные интегральные уравнении допускают явное решение в элементарных функциях. (Заметим, чго этот класс решений включает, очевидно, все семитонные решения, построенные на фоне плоского пространства Минковского или любого другого фонового решения с рациональными данными монодромии.) Получаюшиеси в результате обширные (многоиараметри-ческие) семейства точных решений полевых у|хавнений содержат значительное количество известных решений, имеющих ясную физическую интерпретацию. Это позволяет строить разнообразные обобщения этих решений и всевозможные нелинейные суперпозиции этих полей, среди которых, очевидно, может содержаться и много физически интересных случаев. Примеры таких точных решений и их
ВВЕДЕНИЕ
суперпозиций были построены в [106,78.146,148,151]. Наконец, общий вид точных решений вакуумных уравнений Эйнштейна и электровакуумных уравнений Эйнштейна - Максвелла, отвечающих рациональным данным монодромии, на которые наложены лишь свяли, обеспечивающие регулярное поведение решений на границах ог(х1,х2) = 0 (где о есть элемент площади на орбитах группы изомстрий), например, на оси симметрии, был представлен в [152] в явной, достаточно компактной, детерминантной форме, В чуть более общей форме этот класс решений был представлен также в приложении к работе (78]. Другой столь же большой класс явно вычисляемых частных решений редуцированных уравнений в гиперболическом случае был найден недавно в роботе [153]. Этот класс содержит в своих данных монодромии. как и упомянутый только что класс решений с регулярной осью симметрии, произвольные рациональные функции. К этому классу решений принадлежит ряд известных физически интересных случаев, отвечающих задаче о столкновении волн или космологических решений, что позволяет надеяться, что многие другие решения этого класса также могут оказаться наделенными интересными физическими и геометрическими свойствами.
Следует упомянуть также, что продемонстрированная в (1-1-1) применимость метода преобразования монодромии ко всем известным случаям интегрируемых гиперболических и эллиптических редукций уравнений Эйнштейна (включав и некоторые полевые модели, возникающие эффективно в низкоэнергетическом пределе нскогорых моделей теории струн, например так называемая аксиоино - дилатониан гравитация с электромагнитными нолями) позволяет, очевидно, переносить нее перечисленные выше приложения метода преобразования монодромии на каждый из этих интегрируемых случаев.
О содержании диссертации.
В заключительной части введения дадим краткое описание содержания следующих за ним частей н глав настоящей работы, которые в основном будут посвящены подобному изложению развитой автором теории интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна, а так же приложений разработанных методов к построению и нелледованию различных классов полевых конфигураций, имеющих разнообразную физическую интерпретацию.
Часть I
Часть I настоящей работы в значительной мере носит вводный характер. В ней, прежде всего, формулируются дна основных предположении "Физический анзац” и “Геометрический анзац”. соответственно о видах присутствующей в пространстве материн и о наличии и характера пространственно - временной симметрии, которые приводят к интегрируемости родуциронанных уравнений Эйнштейна и
____________________________ ВВЕДЕНИЕ__________________________________36
исходя из которых (и ТОЛЬКО из них) будет строиться вся последующая теория. Далее описаны локальная геометрия рассматриваемого класса пространств с двумерной симметрией, структура тензора энергии - импульса классических безмас-совых полей, при условии, что рассматриваемые конфигурации этих полей так же обладают указанной пространственно - временной симметрией. В заключение этой части описана редукция уравнений Эйнштейна, допускаемая этим)! уравнениями при наличии предполагаемых двумерной пространственно - временной симметрии и структуры материальных источников. Приведены различные полезные для дальнейшего формы редуцированных динамических уравнений.
Глава 1 содержит описание единой системы обозначений, в которой будет удобно затем рассматривать всевозможные интегрируемые редукции уравнений Эйнштейна - как эллиптического, так и гиперболического типа. Здесь приведено также последовательное описание самых общих локальных геометрических свойств пространства - времени, обладающего предполагаемой двумерной симметрией, т.е. допускающей двумерную абелеву группу иэометрий с неиэотропными векторами Киллинга. Представлены общие выражения для метрики, связности и кривизны такого пространства в традиционной, координатной форме и в формализме Ньюмена - Пенроуза - формализме комплексных изотропных тетрад, весьма удобном для некоторых из последующих вычислений.
Глава 2 Здесь с учетом сделанных предположений о пространственно - временной симметрии, которой должны обладать не только гравитационное ноле, но и все рассматриваемые конфигурации материальных полей, рассмотрена структура определяющих уравнений к тензора энергии - импульса материи. В частности, рассмотрены электромагнитное поле в области пространства, не содержащей его источников - зарядов, токов, а так же безмзссовоо двухкомионентное спинорное поле Нейля. скалярное поле с минимальной связью и идеальная жидкость с предельно жестким уравнением состояния р = е (рассмотрение последнего случая имеет смысл лишь тогда, когда оба нектора Киллинга являются пространственно -подобными). Все эти материальные поля или какие - то из них могут находиться в пространстве одновременно, взаимодействуя между собой лишь гравитационно. При этом интегрируемость соответствующих полевых уравнений не будет нарушаться.
Глава 3 посвящена редукции уравнений Эйнштейна с учетом имеющейся пространственно - временной симметрии и структуры описанных в предыдущей главе хеатериальных источников. Здесь все у|>явнс11ин Эйнштейна разделяются естественным образом на динамические уравнения и связи. Показано, что все уравнения связи сводятся к квадратурам, определяющим (с точностью до некоторых чисто калибровочных преобразований) различные компоненты метрики и потенциалов материальных полей по решениям оставшихся, динамических уравнений. Рассматриваются различные удобные формы редуцированных динамических уравнений.
ВВЕДЕНИЕ
37
Затем, все рассматриваемые динамические уравнения записываются в виде эквивалентной нелинейной системы комплексных 3x3- матричных уравнений, которые и будут служить основой для дальнейших построений.
ЧастьII
Содержание Части II представляет собой детальное изложение развитого автором метода преобразования монодромии для исследовании и единообразного описания внутренней структуры и свойств интегрируемости уравнений Эйнштейна, рассматриваемых на единой основе для всех известных интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна. Фактически здесь речь идет о редуцированных (с учетом предполагаемой пространственно - временной симметрии) уравнениях Эйнштейна - Максвелла - Вейля, которые мы иногда будем называть также обобщенными уравнениями Эрнста, поскольку, как и электровакуумные уравнения Эйнштейна - Максвелла, в наиболее компактной форме они могут быть записаны в терминах потенциалов Эрнста.
Глаяа 1. В этой главе для полученных в предыдущей Части I динамических уравнений, записанных в виде нелинейных комплексных 3x3- матричных дифференциальных соотношений и некоторого набора алгебраических связей, строится ассоциированная линейная система (”представление нулевой кривизны91) со свободным комплексным (’’спектральным”) параметром. Показано, что упомянутые дополнительные алгебраические условия эквивалентны существованию у построенной переопределенной линейной системы (‘'спектральной задачи”) матричного эрмитова первого интеграла определенной структуры, представляющего собой аналог известных 'условий редукции" обычно возникающих н спектральных задачах для других нелинейных систем. Сформулирован некоторый минимальный набор условий, делающих рассматриваемую спектральную задачу эквивалентной исходной динамической системе. Дано определение пространства локальных решений, которым и будут ограничиваться все последующие рассмотрении, а также введены универсальные условия нормировки решений дли максимального уменьшения (без потери общности) имеющейся в задаче свободы калибровочных преобразований.
Глава 2. Описанные в этой главе самые обшие свойства аналитической структуры нормированного фундаментального решения спектральной задачи являются ключевыми для всех дальнейших построений. Здесь показано, что нормированное фундаментальное решение Ф(4?т;,а?) спектральной задачи, отвечающее произвольно выбранному локальному решению исходных динамических уравнений (т.е. редуцированных уравнений Эйнштейна - Максвелла - Вейля или обобщенных уравнений Эрнста) на спектральной плоскости и? обладает четырьмя особыми точками, причем положения двух из этих точек постоянны и определены координатами (^о? г7ъ) выбранной точки нормировки решений, тогда как две другие особые точки являются "бегущими”, и их положения зависят от значений пространственно
ВВЕДЕНИЕ
- временных координат (£,»}). В случае вакуумных или электровакуумных полей все эти особые точки являются алгебраическими точками ветвления порядка * для каждой из ’'неподвижных'1 точек, и для каждой из ’’бегущих”. Для компонент обратной матрицы Ф-1 порядки ветвления в этих точках имеют противоположные знаки. При наличии спинорного полп все эти точки становятся существенно особыми.
В соответствии с найденной структурой особых точек Ф(£.т/, ш) строится разрез Iу на спектральной плоскости, попарно соединяющий эти особые точки и состоящий из двух простых незамкнутых и не пс|>есскающнхся между собой контуров каждый из которых целиком расположен в локальной окрестности неподвижных особых точек, причем эти окрестности между собой так же не пересекаются. Этот ризрез позволяет однозначно выделить всгвь матричной функции Ф(£,!/,«?), голоморфную на всей расширенной плоскости ы вне разреза Ь, включал бесконечно удаленную точку, где Ф(£,г/,и>), кроме того, должна обращаться в единичную матрицу. Чрезвычайно важным свойством этой ветви оказалась наличие определенной и весьма простой ее локальной структуры в точках разреза I, = /,+ 4- /,_ (а так же в окрестности этого разреза, если рассматриваются аналитические решении полевых уравнений). Показано, что вегвящиеся в особых точках части компонент Ф образуют вырожденную матрицу, имеющую ранг, ранный единице и, следовательно представимую в виде произведения вектора - столбца на вектор - строку. При этом замечательным образом оказывается, что среди этих векторов, определенных лишь в "проективном” смысле (т.с. с точностью до произвольного скалярного сомножителя - для одного из векторных сомножителей и ему обратного для другого) второй сомножитель является лишь функцией спектрального параметра и вообще не зависит от пространственно - временных координат. Именно выделение этих не зависящих от координат и определенных в проективном смысле векторных функций спектрального параметра и дало возможность связать с каждым локальным решением обобщенных уравнений Эрнста некоторый вполне характеризующий это решение набор не эволюционирующих функциональных параметров, которые, как оказалось, имеют простую интерпретацию, представляя собой полный набор данных монодромин для Ф(£,ту,-и») в ее особых точках.
Глава 3. По аналогии с методом обратной задачи рассеяния, называемого также преобразованием рассеянии, содержание этой главы можно определить как формулировку "прямой” задачи преобразования монодромин. Действительно, в этой главе на основе общих свойств изученной в предыдущей главе аналитической структуры фундаментального решения спектральной задачи предста&тсно определение специальных функциональных параметров, однозначно ассоциируемых с каждым локальным решением линейной системы и отождествляемых с полным набором данных монодромин этого решения па спектральной плоскости. Показано, что условие существования матричного эрмитова интеграла, входящее в условия полной спек-
ВВЕДЕНИЕ
тральной задами, приводит к простым и легко разрешимым связям (редукциям), накладываемым на данные монодромии. В результате, число функциональных параметров, входящее в полный набор построенных данных монодромии сокращается ровно вдвое, и любое локальное решение редуцированных уравнений Эйнштейна - Максвелла -Вейля, как и решение электровакуумных уравнений Эйнштейна -Максвелла характеризуется набором из четырех независимых скалярных функций спектрального параметра, обозначаемых нами и±(и>) и у±(«і), где индексы 4: напоминают нам о локальных областях, где эти функции определены и голоморфны - точках и окрестностях составных частей разреза Ь. Для гравитационных полей в вакууме число этих функций сокращается вдвое, так что остается лишь две таких функции и±(ш).
Глава 4. В этой главе получено векторное линейное сингулярное интегральное уравнение, которое по сути является основным “инструментом” всего развиваемого метода. Это уравнение, вытекающее из проведенного в Главе 2 исследования аналитической структурі»! нормированного фундаментального решения построенной в Главе 1 спектральной задачи, является следствием установленной ранее представимости общего решения этой задачи в виде интеграла Коши но составному разрезу I и установленных в Главе 2 алгебраических соотношений между элементами алгебраической структуры этого решения в точках этого разреза. Полученное векторное линейное сингулярное интегральные уравнение имеет скалярное ядро, так что фактически это векторное уравнение распадается на отдельные уравнения для каждой из компонент искомой векторной функции. Это ядро, как и компоненты правой части векторного уравнения полностью определяются заданием тех самых функций спектрального параметра, которые были определены в предыдущей главе и отождествлены с данными монодромии. Показано, что по решению этого интегрального уравнении соответствующие потенциалы Эрнста, а гак же все компоненты метрики и потенциалов материальных полей вычисляются в квадратурах. Таким образом, построенное интегральное уравнение, при условии, что его решение существует и является единственным для произвольно выбираемых данных монодромии {и± («.')• у=(«;)}» решает обратную задачу строящегося нами преобразования монодромии, т.е. задачу определения решения уравнений Эйнштейна по произвольно выбранным данным монодромии.
Глава 5. В этой главе исследованы структура и свойства построенного в Главе 1 векторного линейного сингулярного интегрального уравнении. Поскольку в предыдущей Главе Л это уравнение было получено лишь как необходимое следствие рассматриваемых полевых уравнений, здесь сформулирована и доказана одна простая, но важная для дальнейших приложений теорема о том, что даже при значительно более слабых, чем условие аналитичности, условиях на функции спектрального параметра, игравшие в аналитическом случае роль данных монодромии, выполнение построенного интегрального уравнения является достаточным для того, чтобы
ВВЕДЕНИЕ
•40
определяемые по его решениям известным путем (в виде квадратур) компоненты полей удовлетворяли соответствующим полевым уравнениям.
Далее в этой главе исследована структура полученного основного интегрального уравнения. Снова обращаясь к результатам Главы 2. легко показать, что мы не располагаем каким либо произволом в выборе того, в каком классе функций следует искать решение построенного интегрального уравнения. (Под выбором класса функций здесь понимается хорошо известные в теории линейных сингулярных интегральных уравнений условия ограниченности решения на определенных концах контура интегрирования и допущения интегрируемых бесконечностей в поведении решения на остальных концах.) При этом немедленно оказывается, что в классе функций, однозначно определяемом найденной в Главе 2 локальной структурой Ф(£,»7,щ) на разрезе характеристическая часть построенного нами интегрального уравнения имеет нулевой индекс. Снова обращаясь к известным результатам общей теории таких уравнений, заключаем, что построенное уравнение допускает (и, при том, многими способами) эквивалентную регуляризацию, превращающую его в квази - Фред гол ьмоно, а после дополнительного преобразования переменной интегрирования во Фредгольмово уравнение 2-го рода..
Затем в этой же главе проводится указанная регуляризация и показано, что решение получаемого таким образом (квази) - Фредгольмова уравнении (по крайней мере - локальное) может быть построено обычным итерационным методом. При этом для локальных решений, т.е. при условии, что пространственно - временные координаты, определяющие положения концов разрезов, принимают значения, достаточно близкие к их начальным значениям в выбранной точке нормировки, легко показать, что возникающие в результате итераций функциональные ряды равномерно сходятся, определяя тем самым общее решение полученных эквивалентной регуляризацией уравнений Фредгольма. Показано также, что это решение является единственным при произвольном выборе данных монодромнм (при том лишь условии, что последние удовлетворяют в точках разрезов условию Гёльдера). Таким образом, с полным основанием можно говорить о существовании взаимно однозначного соответствия между пространством локальных решений каждой из интегрируемых редукций уравнений Эйнштейна и набором (пространством) произвольно выбираемых в качестве данных монодромнм функций (и±(иг), у±(и?)}, называя переход от описания полей в терминах полевых переменных к их описанию в терминах этих функций "преобразованием монодромни".
Чисть III
Эта часть посвящена одному из возможных приложений метода преобразования монодромни линеаризации граничных задач для уравнений Эрнста. Здесь рассмотрены основные постановки таких граничных задач - задачи Гурса и Коши для гиперболических уравнений Эрнста и граничная задача для эллиптических урав-
ВВЕДЕНИЕ
41
нений Эрнста. Под линеаризацией этих задач здесь понимается их принципиальное сведение (в точной постановке, без каких - либо приближений, которые обычно понимаются под линеаризацией) к решению последовательности (состоящей из двух шагов) чисто линейных задач.
П предлагаемом подходе первой из таких линейных задач является решение прямой задачи преобразования монодромии, т.е. построение данных монодромии. но не но известному решению, как это обсуждалось в предыдущей Части И, и лишь по заданным граничным данным, определяющим искомое локальное решение той или иной граничной задачи. Показано, что данные монодромии действительно вполне и однозначно определяются граничными данными для любого из рассмотренных типов граничных задачи и могут быть найдены, как данные монодромии фундаментального решения некоторой линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, получаемой путем ограничения уравнений спектральной задачи на каждую из характеристик (в случае задачи Гурса), или на начальную или граничную кривую (для задачи Коши или краевой задачи в эллиптическом случае).
Второй шаг в решении каждой из рассматриваемых граничных задач заключается в отыскание самого решения граничной задачи посредством решения основного линейного сингулярного интегрального уравнения, ядро которого и правая часть вычисляются по найденным на первом шаге данным монодромии. Получаемое при этом решение интегрального уравнения позволяет восстановить все компоненты искомого решения граничной задачи в квадратурах.
Здесь следует отметить, что. с одной стороны, использование метода лреобразо-ванин монодромии, учитывающего все степени свободы полей, позволило впервые сформулировать конструктивный подход к рассмотрению граничных задач общего вида, когда граничные данные могут (по крайней мере, в принципе) задаваться на произвольной граничной кривой, не обязательно совпадающей с какой-либо выделенной границей, например, с осью симметрии. В то же премя, явное решение различных граничных задач часто представляет, очевидно, большие трудности, поскольку уже на первом шаге, для построения ядра интегрального уравнения требуется найти явное решение системы обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, что вообще возможно лишь в сравнительно небольшом числе случаев. Очевидно также, что подобные трудности являются не свойством предлагаемого подхода, а присущи при|юде самих рассматриваемых нелинейных граничных задач и, следовательно, неизбежно с подобными трудностями будут сталкиваться и любые другие попытки решения этих задач в точной, а не приближенной постановке. Поэтому для эффективного решения рассматриваемых граничных задач в сколь - ни будь нетривиальных случаях требуются дополнительные исследования, для которых, однако, предлагаемый метод может служить конструктивной основой.
Глава_1. В этой главе рассмотрены основные типы граничных задач для гипербо-
ВВЕДЕНИЕ
42
лическнх или эллиптических редукций уравнений Эйнштейна, которые встречаются в теории гравитации. Граничные условия для этих задач переформулируются здесь в виде аналогичных граничных задач для соответствующих типов уравнений Эрнста.
Глава 2. В этой главе описана процедура точной линеаризации рассматриваемых нелинейных граничных задач. Показано, что задание стандартного набора граничных данных, определяющих локальное решение любой из этих граничных задач, оказывается достаточным для определения данных монодромии, характеризующих искомое локальное решение.
Глава 3. В этой главе рассмотрены существенно более простые случаи тех же типов граничных задач, ио рассмотренных для специальных, более узких классов полей, обладающих вдвое меньшим числом степеней свободы - вакуумных гравитационных полей с диагональными метриками. Для этих полей динамические уравнения, как известно, сводятся к линейным уравнениям уравнению Эйлера -Пуассона - Дарбу в гиперболическом случае или трехмерному осесимметричному уравнению Лапласа в эллиптическом случае. Хотя для каждого из этих линейных уравнений известно интегральное представление, дающее решение рассматриваемых типов граничных задач (например, преобразование Абеля для задачи Гу рея или преобразование Шлсмильха - для специальных случаев задачи Коши), рассмотрение этих случаев в контексте метола преобразования монодромии представляется имеющим некоторый интерес, поскольку во-первых, упомянутые интегральные представления выводятся здесь весьма естественно и даже обобщают известные формулы на случай границ произвольной формы (задача Коши), а во-вторых, эти случаи явного решения граничных задач, в сочетании е описанным выше алгоритмом линеаризации нелинейных граничных задач, могут служить полезным материалом для развития эффективных методов решения этих задач в общем, нелинейном случае.
Глава 4. Эта глава посвящена рассмотрению различных физически важных классов полей, выделяемых некоторыми граничными или асимптотическими условиями. Рассмотрение этих нолей н контексте метода преобразования монодромии может представлять интерес, поскольку позволяет выражать различные физические и геометрические свойства полей или классов полей и связанные с этими свойствами физические параметры непосредственно в терминах аналитической структуры отвечающих этим полям данных монодромии.
К рассматриваемым в этой главе классам полей относятся, в частности, поля с регулярным поведением на некоторой вырожденной границе кривой в пространстве орбит группы иэомстрий (определяемой в наших обозначениях как «(ж1,!2) = 0), на которой обращается в нуль элемент площади этих орбит. Очевидным примером такой границы служит, например, ось симметрии для цилиндрических волн или для палей, обладающих стационарностью и осевой симметрией.
__________ _____ ^нкдение______________________________________________________43
При этом предполагается, что в рассматриваемых точках этой оси нет источников полей и поведение всех полей в окрестности этих точек оси является регулярным. Другой класс рассматриваемых в этой главе полей образуют асимптотически плоские поля, выделяемые, как известно, своим поведением на бесконечности (строго говоря, согласно определению Пенроузн на изотропной бесконечности прошлого и будущего, или в более простой, как здесь, ситуации, т.е. при наличии стационарности и осевой симметрии - на пространственной бесконечности).
Для таких полей найдены связи, которым должны удовлетворить данные моно-дромни для того, чтобы отвечающие им поли обладали указанными свойствами. В частности, выделен класс так называемых ’’аналитически согласованных" данных монодромии и показано, что условие аналитической согласованности данных монодромнн эквивалентно условию регулярности оси симметрии или какой-то другой вырожденной границы. Для таких данных монодромии найдены чрезвычайно простые выражении, связывающие данные монодромии со значениями потенциалов Эрнста на упомянутых регулярных вырожденных границах.
Кроме того, п этой главе показано, что для этого специального класса полей, обладающих регулярной вырожденной границей о(х1,х2) =0 и, следовательно, требующих для своего описания вдвое меньшее число независимых функций в данных монодромии (н силу условия их аналитической согласованности), построенное нами ранее основное интегральные уравнение может бы гь несколько упрощено. Так. составной разрез, который в общем случае должен состоять из двух контуров, может быть преобразован в один связный (по-прежнему - не замкнутый) контур. При этом полученное нами ранее основное интегральное уравнение на таком контуре превращается в более простое на вид уравнение, теряющее, однако, свойство единственности решений, и в некоторое дополнительное (интегральное) условие, также естественно возникающее в этом контексте. В частном случае стационарных осесимметричных нолей с регулярной осью симметрии это упрощенное интегральное уравнение вместо с упомянутым дополнительным условием на выбор его решений переходят в аналогичные уравнение и дополнительное условие, полученные Сибга-туллиным [38] непосредственным упрощением интегрального уравнения Хаусера и Эрнста [104,105].
Здесь стоит заметить, что некоторая кажущаяся относительная простота полученного упрощенного уравнения связана, в основном, с тем, что его ядро строится непосредственно нз значений потенциалов Эрнста на оси симметрии. Но этой же причине, однако, область применимости этого уравнения оказывается весьма ограничена, поскольку различные естественные постановки конкретных задач не определяют, как правило, заранее граничные значения потенциалов Эрнста на оси симметрии, а граничные условия и другие связи, даже при условии регулярности оси симметрии, могут накладываться на решения не только на оси симметрии. Поэтому даже для стационарных полей с {югулярной осью симметрии представляется
ВВЕДЕНИЕ
11
более содержательным подход, основанный на полном интегральном уравнении, в котором ядро строится по данным монодромии, определение и способы вычисления которых не ’'привязаны" к точкам оси симметрии и граничным данным на згой оси. Исключение здесь составляет лишь задача прямого вычисление решений интегрального уравнения по формально заданным значениям потенциалов Эрнста на оси симметрии, эффективно решаемая в элементарных функциях, если эти данные задаются рациональными функциями. Однако, в этом последнем случае такие вычисления, без каких-либо усложнений процедуры вычислений, могут быть проведены и в самом обшем виде (см. следующую Часть IV’) непосредственно для полученного здесь основного интегрального уравнения.
Далее в этой главе для класса стационарных асимптотически плоских полей найдены выражения, связывающие коэффициенты разложения данных монодромии по обратным степеням спектрального параметр н окрестности бесконечно удаленной точки на спектральной плоскости непосредственно с мультнпольными моментами отвечающих им нолей.
Часть IV
В этой части работы описываются различные методы построения точных решений для гравитационных полей в вакууме и для электровакуумных полей. Среди рассматриваемых методов методы генерации солитонных решений, получаемых с помощью метода одевания, впервые примененного для генерации вакуумных соли-тонов Белинским и Захаровым, а гак же генерация некоторого типа нееолитонных решений, получаемых достаточно простой модификацией этого метода. Рассмотрены различные аспекты этих методов в контексте метода преобразования монодромии. Это открывает некоторые новые возможности описания и анализа генерируемых этими методами решений, сопоставления результатов применения различных методов (не конкретизируя при этом выбор фонового поля и не прибегая к конкретным, часто - весьма громоздким вычислениям), выяснения смысла различных параметров и рассмотрении некоторых друг их вопросов. Описано нычисленис большого класса точных электровакуумных решений, получаемого непосредственным интегрированием основного интегрального уравнения для аналитически согласованных данных монодромии, заданаемых произвольными рациональными функциями. Лк>бое решение этого класса представлено в удобной детерминантной форме. Обсуждается связь этого класса решений с классом чисто солитонных решений.
Глава I. В этой главе прежде всего рассмотрена процедура генерации вакуумных солитонов Белинского и Захарова (А - солитонов). Описано калибровочное преобразование, связывающее спектральную задачу Белинского и Захарова со спектральной задачей, на которой были основана конструкция преобразования монодромии. (Упомянем здесь, что связь этих формализмов достаточно нетривиальна, что проявляется уже в том, что спектральная плоскость А дважды накрыпает спектральную