Рассеяние вихрей в абелевой модели Хиггса

Оглавление
Введение 3
Глава 1. Кинетическая метрика 17
1.1 Построение кинетической метрики...............................17
1.2 Гладкая зависимость канонических вихревых решений от симметрических координат.............................................24
1.3 Построение функций X//........................................30
1.4 Линейная независимость тьр....................................33
Глава 2. Обоснование адиабатического принципа 36
2.1 Вспомогательная система.......................................36
2.2 Фиксация калибровки кривой из статических решений ............44
2.3 Локальная теорема существования...............................45
2.4 Продолжение решения но времени................................50
2.5 Замечания о задаче Коши для вспомогательной и исходной систем 59
2.6 Приложение....................................................68
Глава 3. Рассеяние вихрей при симметричном столкновении 81
ЗЛ Рассеяние вихрей..............................................81
3.2 Локальное рассеяние...........................................85
3.3 Доказательство инвариантности метрики относительно поворотов, сопряжения и сдвигов ........................................01
2
Введение
Абелева (2+1)-мсрная модель Хиггса возникает в теории сверхпроводимости. Она задается гиперболическим функционалом действия, определенным на парах (А, Ф), где А — электромагнитный калибровочный вектор-потенциал, а Ф — комплексное скалярное поле Хиггса на плоскости С. Функционал действия имеет стандартный вид интеграла по времени от разности кинетической энергии (зависящей от производных компонент А и Ф по времени) и потенциальной энергии (зависящей только от положения в конфигурационном, пространстве). Несмотря на то, что указанная модель изучается с 50-х годов XX века, когда она возникла при построении В.Л. Гинзбургом и Л.Д. Ландау феноменологической теории сверхпроводимости (предложенный ими лагранжиан в случае бесконечного заполняющего все пространство сверхпроводника сводится к лагранжиану указанной модели), многие важные задачи, возникающие в этой модели, до сих пор не решены.
Как известно, при температурах, близких к абсолютному нулю, некоторые металлы и сплавы начинают вести себя как сверхпроводники (см.[б]). Иначе говоря, электрический ток течет по ним без сопротивления. (Первым такое явление наблюдал Камсрлинг-Оннсс в 1911г.) В дальнейшем было обнаружено, что при возникновении сверхпроводимости внешнее магнитное поле «выталкивается» из сверхпроводника. Этот эффект, называемый эффектом Мейсснера-Оксеифельда в честь обнаруживших его в 1933г. физиков, — один из главных практических критериев сверхпроводимости.
Если увеличивать внешнее магнитное поле, то при некотором критиче-
оком значении произойдет «пробой» сверхпроводника и магнитное поле проникнет в его толщу. Этот процесс может происходить по двум различным сценариям, в соответствии с чем все сверхпроводники делятся на два разных класса. В сверхпроводниках I рода (к которым относятся в основном сверхпроводящие металлы) пробой происходит скачком и одновременно по всей толще сверхпроводника. В сверхпроводниках II рода (к которым относятся в основном сверхпроводящие сплавы) этот процесс происходит постепенно, небольшими дискретными скачками. Как только внешнее магнитное поле превысит первое критическое значение, внутри сверхпроводника появляются трубчатые зоны смешанной проводимости — трубки тока, направленные вдоль внешнего магнитного поля. В центре этих трубок вдоль так называемых абрикосовских струи (или абрикосовских нитей) имеется нормальная проводимость, внутри трубок она является смешанной, а вне их сохраняется сверхпроводимость. Абрикосовскис нити называют еще вихревыми, поскольку по поверхности трубок (вокруг их осей) текут незатухающие вихревые токи. С увеличением внешнего магнитного поля число трубок увеличивается и после второго критического значения сверхпроводник превращается в нормальный проводник.
На основе теории фазовых переходов Гинзбург и Ландау построили в 1950г. феноменологическую теорию сверхпроводимости [4]. Энергия бесконечного сверхпроводника, помещенного в магнитное поле, в этой теории равна
Е
-/
В2 h2 / 2ie Л _ 2 Ь
4- а|Ф|2 4- ^|Ф|4 f dsx. (0.1)
8-7Г 4 т
Здесь Ф — комплекснозначная функция (параметр порядка), А — электромагнитный вектор-потенциал, В = rot А — магнитная индукция, ей т — соответственно заряд и масса электрона, h — пост оянная Планка, с — скорость света, а<0и6>0 — константы, характеризующие материал сверхпроводника.
Статическая двумерная модель Хиггса является редукцией модели, описываемой лагранжианом (0.1) в предположении, что величины А и Ф не зависят от одной из координат (например, от х3). Перемасштабируя координаты и величины Фи Л, можно избавиться от физических констант и свести выражение (0.1) к выписанному ниже функционалу энергии модели Хиггса (0.2). Входящий в пего параметр X при такой замене оказывается равным где >с — параметр* Гиизбурга-Лаидау. Значения х < —(или Л < 1) отве-
1
чают сверхпроводникам первого рода, а (или Л > 1) — второго.
у2
Как уже говорилось, во втором случае возникают трубки тока, открытые А.А.Абрикосовым в ]1) (см. также [2]). Критический случай Л = 1, изучаемый в диссертации, соответствует пограничному случаю между сверхпроводниками первого и второго рода.
Теория Гинзбурга-Ландау не объясняла физического смысла параметра порядка Ф. Это удалось сделать благодаря построению микроскопической теории сверхпроводимости в 1957г. Бардиным, Купером и Шриффером [10] и независимо в 1958г. Н.Н.Боголюбовым [3]. В этой теории феномен сверхпроводимости возникает благодаря образованию куперовских пар — квазичастиц, каждая из которых представляет собой связанное состояние двух электронов. Параметр порядка Ф интерпретируется при этом как нормированная кондеисатная волновая функция куперовских пар. Л.П.Горьков в 1959г. показал (см. [5]), каким образом теория Гинзбурга-Ландау выводится из теории Бардина-Купера-Шриффера.
Кроме теории сверхпроводимости, абелева модель Хиггса возникает в некоторых моделях квантовой теории поля (см., например, [17]) и в космологических теориях (см., например, [12]). Из чисто математических приложений абелевой модели Хиггса можно упомянуть использование решений статической модели Таубсом (см. [27]) при доказательстве связи между инвариантами Громова и Зайберга-Виттена четырехмерных многообразий.
Двумерная статическая модель Хиггса
Двумерная абелева модель Хиггса задастся следующим функционалом энергии:
У(Л Ф> = \ / (>^Ф12 + + |(1ф!2 - !)2) ШУ> (°‘2)
К2
где А = — гАДх — іА^сїу - калибровочный потенциал с гладкими веществен-позначными коэффициентами Аі, Л2 на Е2, Ф = Фі + гФ2 - поле Хиггса, задаваемое гладкой комплекснозначной функцией на плоскости К2, А > 0 -константа. Через Р\2 := д\А2 — #2Аі обозначается калибровочное поле, порождаемое потенциалом (/і, Л2). Здесь и далее д\ := дХ} <92 :== ду.
Функционал энергии V инвариантен относительно калибровочных преобразований следующего вида:
А і—>• А = А- і(іх , Ф ►—> Ф = е^Ф,
где х ~ гладкая вещественнозначная функция на Е2.
Интегрируя по частям, мы можем переписать функционал действия V в виде Богомольного:
У~2 J{(Ф^1 + ^іФз) "Г (Ф2Ф2 ~ Л2Фі))2+
£2
+ ((ЙЬФ, + Л2ф2) ± (йФ2 - -АіФі))2 + (Г,2 ± |(|Ф|2 - 1)У}<1х<1у±
±\1 Ра/Ыд + I(|Ф|2 _ \fdxdy. (0.3)
К- к2
Далее мы рассматриваем лишь критический случай Л = 1 (см. [11]), наиболее интересный с математической точки зрения. В этом случае правая часть последнего равенства есть сумма неотрицательных слагаемых и
члена ^ / Бпдхсіу. При некоторых дополнительных условиях на поведение 2 к?
компонент ноля (И, Ф) із бесконечности можно показать, что последний член является топологическим инвариантом поля (А, Ф).
6
Более подробно, допустим, что функция Ф не имеет нулей вне круга достаточно большою радиуса Яо* Тогда степень N отображения Ф/|Ф|: 5# ~^ *^1 окружности 5я радиуса Я > Яо не зависит от выбора Я и называется вихревым числом поля (Л,Ф).
Предположим, что выполнены следующие условия:
1. Г12 <Е ^(К2);
2. |Ф| —> 1 при г := у/х2 -Ь у2 —> ос:
3. \с1ЛФ\ ^ С/г1+7 для некоторого 7 > 0.
Тогда вихревое число N можно вычислить, пользуясь формулой (см. [11])
I РиФсОу = N.
К2
Очевидно, что оно инвариантно относительно калибровочных преобразований.
Фиксируем вихревое число N ^ 0. Тогда из формулы Богомольного следует, что К(Л,Ф) ^ 7ГN и минимальное значение V (равное тгАГ) достигается на решениях системы уравнений
дхФх + Л\Ф2 = Э2Ф2 — Л2Ф1,
52Ф1 4- А2Ф2 = —д\Ф2 4- Л1Ф1, (0-4)
= -|(|Ф|2- 1).
называемых вихревыми. Эти уравнения инвариантны относительно калибровочных преобразований.
Введем на плоскости (х} у) комплексную координату г = х + гу и обозначим, как обычно,
д дг := ~(д1 - 1д2) и д := д; := ^(^ + гд2).
7
Полагая А := -(А\ — гД2), можно записать первые два уравнения из системы (0.4) в более компактном виде
дФ = iAФ . (0.5)
Для полноты заметим, что в случае N < 0 минимальное значение V, равное 7г]Дг1, достигается на решениях похожей системы уравнений, называемых аптиеихревъши. Замена А(г) = —А(—г)у Ф(г) = Ф(—г) сопоставляет решению (Л, Ф) вихревых уравнений решение (А, Ф) антивихревых уравнений и обратно. Поэтому в дальнейшем мы ограничиваемся случаем Лг > 0.
В работе 111] доказана следующая теорема существования и единственности решений вихревых уравнений.
Теорема (Таубс). Пусть N > 0. Пусть 2^, £2,..., ~ произвольные
(не обязательно различные) точки на комплексной плоскости. Тогда существует (гладкое) решение (Л1,Д2:Ф) вихревых уравнений такое, что пули Ф совпадают с точками Z\,..., и
Ф(г, г) ~ с,'(г - Х-)п>
в окрестности каждой из точек 2у Здесь щ — кратность 2^- в наборе ..., 2^}, ц — ненулевая константа.
Для этого решения |Ф| экспоненциально стремится к 1 при \г\ -4 со, а |($1 — ?Л1)Ф| и |(д2 — гЛ2)Ф| экспоненциально убывают. Более точно,
ИдФ| ^ 67(1 — |Ф|) для некоторого С > О и для любого 7 > 0 существует (7(7) > 0 такое, что
1 - |ФК с(7)е~(1~7),=| ■
Вихревое число этого решения равно N. Решение с указанными свойствами единственно с точностью до калибровочной эквивалентности. □